经济数学——微积分 4
不定积分的概念与性质 原函数与不定积分的概念 不定积分的几何意义 基本积分表
不定积分的性质 小结思考题
经济数学——积分
二—原函数与不定积分的概念 定义如果在区I刖内，可导函数尸(X)的 导函数为/(X),即 We/,都有F\x) = f(x) 或dF(x) = /(x)dx,那么函数F(x)就称为/(x) 或f(x)dx在区间/内原函数・(primitive furwtion ) 例(sinx) =cosx sinx是cos兀的原函数.
(inx) =— (X >0) X
In X是1在区间((),+oo)内的原函数. X 第一节
五、 经济数学一微积分
定理原函数存在定理：
如果函数八X)在区间内连续, 那么在区间^内存在可导函数F(x), 使Hxef,都有F\x) =
f(x).
简言之：连续函数一定有原函数.
问题：(1)原函数是否唯一？
(2)若不唯一它们之间有什么联系？ 1 f
例(sinx) =cosx (sinx + C) =cosx
(C为任意常数)
经济数学一微积分
关于原函数的说明:
(1)
(2)
证
说明F(x)+c是f (兀舶全部原粛或 经济数学——微积分
不定积分（indefinite integral）的定义：
在区间/内，函数/（兀）的带有任意 常数项的原函数称为/（兀）在区I可内的 不定积分，记为f/（xMr・
经济数学——微积分
6
=X% /. fx^dx =——十 C. J 」 6
例2求f --------- dr.
J 1 + X- / J
解•/ (arctanx)= ,, I ‘ 1 + 疋 心& =皿2被积函数 『积分号 积分变量
寒积表达式 F(x) 经济数学一微积分
例3某商品的边际成本为100-2x ,求总成
本函数C(jc).
解 C(x) = J(100-2x)dx g = 1 OQx —兀 2 + c IK ™其中c为任意常数
高等数学教案 不定积分的概念与性质
1 第一节 不定积分的概念与性质
一．原函数与不定积分的概念
1.原函数的概念
引例 设xxfcos)(,求)(xf.
解 因为xxcos)(sin,所以cxxfsin)(.
此时称xsin为xcos的一个原函数.
定义 如果在区间I上,可导函数)(xF的导函数为)(xf,即Ix,有
)()(xfxF (或dxxfxdF)()()
则称)(xF为)(xf(或))(dxxf在区间I上的一个原函数.
如xarctan是211x的原函数;211x是)1ln(2xx的原函数.
什么样的函数具有原函数呢?有
定理(原函数存在定理) 连续函数必有原函数.即
如果函数)(xf在区间I上连续,则在区间I上存在可导函数)(xF,使得对Ix,有
)()(xfxF
即)(xF为)(xf在区间I上的一个原函数.
其证明见289P.
注意 (1)由原函数的定义可知:如果)(xF为)(xf在区间I上的原函数,则CxF)(也是)(xf的原函数,即)(xf若有原函数,则)(xf有无限多个原函数.
(2)设)(xF和)(x都是)(xf在区间I上的原函数,则)(xF=Cx)(.事实上
0)()()()(])()([xfxfxxFxxF
所以)(xFCx)(,即)(xF=Cx)(.
2.不定积分的概念
定义 在区间I上, )(xf的原函数的全体,称为)(xf(或))(dxxf在区间I上的不定积分,记作
dxxf)(.
其中:‘’——积分符号; )(xf——被积函数;dxxf)(—被积表达式;x——积分变量. 高等数学教案 不定积分的概念与性质
不定积分的基本概念与性质
不定积分是微积分中的重要概念之一，它具有广泛的应用领域。本文将介绍不定积分的基本概念与性质，帮助读者更好地理解和应用不定积分。
一、不定积分的基本概念
不定积分，也称为算术积分，是微积分的基本概念之一。它是函数求导的逆运算。给定一个函数f(x)，如果存在函数F(x)，使得F'(x) =
f(x)，那么F(x)就是f(x)的一个不定积分，记作∫f(x)dx。
二、不定积分的性质
1. 线性性质：若f(x)和g(x)的不定积分都存在，那么它们的线性组合af(x) + bg(x)的不定积分也存在，并且是af(x)和bg(x)的不定积分的线性组合。
2. 积分的换元法：不定积分具有换元法。即通过变量代换，将一个复杂的函数替换为另一个变量，使得不定积分的求解变得简单。
3. 积分的分部积分法：不定积分具有分部积分法。通过对积分式中的一部分进行求导，另一部分进行不定积分，从而将一个复杂的积分式转化为一个简单的积分式。
4. 基本积分公式：不定积分的基本公式是通过观察求导与不定积分的关系得到的。常见的基本不定积分公式包括幂函数的积分、指数函数的积分、三角函数的积分等。 5. 牛顿-莱布尼茨公式：牛顿-莱布尼茨公式是不定积分与定积分之间的重要联系。根据该公式，若F(x)是f(x)的一个不定积分，那么定积分∫[a,b]f(x)dx = F(b) - F(a)。
三、不定积分的应用
不定积分在多个学科领域有广泛的应用，以下介绍其中的几个方面。
1. 几何应用：不定积分可用于计算曲线的弧长、曲线与坐标轴所围成的面积以及曲线的质心等。
2. 物理应用：不定积分可用于物理学中的速度、加速度以及质量等的求解。例如，通过计算速度函数的不定积分即可求得位移函数。
3. 统计学应用：不定积分可用于统计学中概率密度函数的求解，从而计算随机变量落在某个区间内的概率。
4. 经济学应用：不定积分在经济学中有着广泛的应用，特别是在计算边际效用、生产函数以及准线性需求曲线等方面。
不定积分的概念与基本性质
在微积分中，积分是一个重要的概念和工具。它可以看作是微分的逆运算，用于求解函数的原函数。在不定积分中，我们将讨论不定积分的概念以及其一些基本性质。
一、不定积分的概念
不定积分，又称为反导数，表示对一个函数进行积分得到的结果。设函数f(x)在区间[a,b]上连续，则f(x)在[a,b]上的不定积分可以表示为∫f(x)dx。
二、基本性质
1. 线性性质：对于任意常数C，以及可积函数f(x)和g(x)，有以下公式：
（1）∫[f(x)+g(x)]dx = ∫f(x)dx + ∫g(x)dx
（2）∫k·f(x)dx = k·∫f(x)dx
这意味着我们可以将一个复杂的函数拆分成多个简单函数的和或差的形式进行积分计算。
2. 保号性质：若在[a,b]上，有f(x)≥0，则∫f(x)dx≥0。这个性质告诉我们，如果函数在某个区间上始终保持非负，则其在该区间上的积分也将非负。 3. 常数项性质：若函数f(x)在[a,b]上可积，且F(x)是f(x)的一个原函数，则对于任意常数C，有∫f(x)dx=F(x)+C。这个性质表明，不定积分的结果存在无穷多个，只相差一个常数项。
4. 换元法则：设函数f(u)在区间[a,b]上可积，且u=g(x)是可导函数，且导函数g'(x)连续，则有以下公式：
∫f(g(x))g'(x)dx = F(g(x)) + C
其中，F(u)是f(u)的一个原函数。换元法则为我们提供了一种通过变量代换简化计算的方法。
5. 分部积分：若函数u(x)和v(x)在区间[a,b]上可导，且连续，则有以下公式：
∫u(x)v'(x)dx = u(x)v(x) - ∫v(x)u'(x)dx
这个公式将一个积分变为了另一个积分和一个乘积的形式，通常用于解决无法直接积分的情况。
三、结论
通过本文的论述，我们了解了不定积分的概念和基本性质。不定积分是对函数进行积分的逆运算，可以求解函数的原函数。在计算不定积分时，我们需要注意其线性性质、保号性质、常数项性质等基本性质，同时还可以运用换元法则和分部积分等方法简化计算过程。掌握不定积分的概念和基本性质，对于进一步学习微积分和解决实际问题具有重要意义。 以上是关于不定积分的概念与基本性质的论述，希望对您的学习和理解有所帮助。
