不定积分的性质

不定积分与定积分积分是数学分析中重要的概念和工具，在微积分中具有广泛的应用。

其中不定积分和定积分是常见的两种类型。

它们分别具有不同的定义和性质，对于解决实际问题和求解函数的面积等概念都有着重要的作用。

一、不定积分1.1 定义不定积分是函数的原函数的集合。

给定一个连续函数f(x)，其不定积分可以表示为∫f(x)dx = F(x) + C，其中F(x)是f(x)的一个原函数，C为常数。

1.2 性质不定积分具有线性性质，即∫[af(x) + bg(x)]dx = a∫f(x)dx + b∫g(x)dx，其中a、b为常数。

同时，不定积分满足微积分基本定理，即对于函数f(x)的原函数F(x)，有∫f'(x)dx = F(x) + C。

1.3 计算方法求解不定积分的方法有很多，最常用的方法是换元法和分部积分法。

换元法是通过引入新的变量替代原变量，将原函数转换成更容易积分的形式。

分部积分法则是通过对乘积的两个函数进行积分，得到原函数的表达式。

二、定积分2.1 定义定积分是对函数在一个闭区间上的积分。

给定函数f(x)在[a, b]区间上连续，定积分可以表示为∫[a, b]f(x)dx。

定积分表示函数在该区间上的面积或曲线与x轴所围成的面积。

2.2 性质定积分具有线性性质和可加性质，即对于函数f(x)和g(x)，有∫[a, b][f(x) ± g(x)]dx = ∫[a, b]f(x)dx ± ∫[a, b]g(x)dx。

同时，定积分也满足中值定理，即在区间[a, b]上存在一个点c，使得∫[a, b]f(x)dx = f(c)·(b - a)。

2.3 计算方法计算定积分可以使用几何意义的面积计算法、代数意义的换元法和分段函数积分法等。

其中，面积计算法是将曲线区间划分成若干个小矩形，再对这些小矩形的面积求和。

而换元法和分段函数积分法则是通过转换变量或分别对函数在不同区间求积分。

不定积分的基本性质在微积分中，不定积分是求解函数的原函数的过程。

它在数学和物理等领域中都有广泛的应用。

不定积分具有一些基本性质，本文将对这些性质进行探讨。

1. 可加性：若函数f(x)和g(x)都在区间[a, b]上可积，那么对于常数c，有∫(f(x)+g(x))dx=∫(f(x))dx+∫(g(x))dx和∫(c*f(x))dx=c∫(f(x))dx。

这一性质使得我们能够方便地对复杂函数进行分解和计算。

2. 线性性质：对于可积函数f(x)和g(x)，以及常数a和b，有∫(a*f(x)+b*g(x))dx=a∫(f(x))dx+b∫(g(x))dx。

这个性质使得我们能够将积分运算与常数的乘法和加法进行简化。

3. 等式：在区间[a, b]上，如果函数f(x)和g(x)除了有一个常数差别外是相等的，即f(x)=g(x)+C，其中C为常数，那么∫(f(x))dx=∫(g(x))dx+C。

这个性质使得我们能够在不知道函数的具体形式时，通过找到它的一个原函数来求解不定积分。

4. 替代法则：替代法则，也被称为链规则，是求解不定积分中常用的一种方法。

如果u=g(x)是函数f(x)的可导函数，那么∫(f(g(x))*g'(x))dx=∫(f(u))du。

这个法则可以帮助我们将复杂函数的不定积分转化为简单函数的不定积分。

5. 分部积分法则：分部积分法则是求解不定积分中另一种常用的方法。

如果u=u(x)和v=v(x)都是可导函数，那么∫(u*v')dx=u*v-∫(u'*v)dx。

这个法则可以将一个积分问题转化为另一个积分问题，通过反复应用该法则，可以逐步减小被积函数的难度。

6. 基本初等函数的不定积分：对于一些基本初等函数，我们知道它们的不定积分形式。

如常数函数的不定积分为Cx，幂函数的不定积分为x^(n+1)/(n+1)+C，其中n不等于-1，三角函数、指数函数、对数函数等的不定积分也都有相应的形式。

第五章不定积分Indefinite Integral§2 不定积分的性质及基本积分公式2.1 不定积分的性质Properties 1（See p.109）不定积分的导数等于被积函数或不定积分的微分等于被积表达式，即()[]()x f dx x f dxd=⎰或()()dx x f dx x f d =⎰.证明 设()x F 是()x f 的一个原函数，则()()x f x F ='，所以()[]()[]()()x f x F C x F dx x f dxd ='='+=⎰，()()[]()()dx x f dx x F C x F d dx x f d ='=+=⎰（最后一个式子也可这样来证：()()[]()dx x f dx dx x f dx x f d ='=⎰⎰）.Properties 2（See p.109）一个函数的导数（或微分）的不定积分等于这个函数加上任意常数，即()()C x f dx x f +='⎰或()()C x f x df +=⎰.证明 因为()x f 是()x f '的一个原函数，所以()()C x f dx x f +='⎰ 或()()()C x f dx x f x df +='=⎰⎰. 【Note 】 Properties 1＆2告诉我们，求导数或微分的运算（简称微分运算[differential operation ]，以记号“d ”表示）与求不定积分的运算（简称积分运算[integral operation ]，以记号“⎰”表示）是互逆的（即微分运算与积分运算互为逆运算[inverse operation ]）.当记号“⎰”与“d ”连在一起时，或者抵消，或者抵消后差一个常数.()x f⎰()dxx f ⎰d()x f积分运算微分运算()x fd()x f '⎰()C x f +微分运算积分运算()x df⎰()⎰x df d()x df积分运算微分运算()x fd()x df⎰()C x f +微分运算积分运算Properties 3（See p.110）被积函数中的非零常数因子可以提到积分号外，即()()dx x f k dx x kf ⎰⎰=（k 为非零常数）.证明 因为()[]()[]()x kf dx x f k dx x f k ='='⎰⎰,由不定积分定义，得()()dx x f k dx x kf ⎰⎰=.Properties 4（See p.110）两个函数代数和的不定积分等于这两个函数不定积分的代数和，即()()[]()()dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰±=±.证明 因为()()[]'±⎰⎰dx x g dx x f ()[]()[]()()x g x f dx x g dx x f ±='±'=⎰⎰.由不定积分定义，有()()[]()()dx x g dx x f dx x g x f ⎰⎰⎰±=±.【Note 】此性质可以推广到有限多个函数代数和的情形，即()()()[]dx x f x f x f n21⎰±±±()()()dx x f dx x f dx x f n21⎰⎰⎰±±±=2.2 基本积分公式如前所述，由于求不定积分的积分运算与求导数的微分运算互为逆运算，所以不定积分的基本公式可由导数的基本公式直接写出：⑴ ()0C =′ （C 为常数）C dx 0=⎰⑵ αααx x 111='⎪⎭⎫ ⎝⎛++ （1-≠α）⑶ ()1x ='C x dx 1+=⎰⑷ ()x 1x ln =′⑸ x x a a ln a =⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛′ （a ＞0，1a ≠）⑹ ()xx e e =′C e dx e x x +=⎰⑺ ()x sin x cos =-′C x cos dx x sin +-=⎰⑻ ()x cos x sin =′C x sin dx x cos +=⎰⑼()x sec xcos 1x tan 22==′⑽ ()x csc x sin 1x cot 22==-′⑾ ()x tan x sec x sec ⋅=′C x sec dx x tan x sec +=⋅⎰⑿ ()x cot x csc x csc ⋅=-′C x csc dx x cot x csc +-=⋅⎰ ⒀()2x11x arcsin -=′（x ＜1） ()2x11x arccos -=-′（x ＜1）⒁()2x 11x arctan +=′()2x11x cot arc +=-′⒂ ()1x x 1x sec arc 2-=′（x ＞1） ()1x x 1x csc arc 2-=-′（x ＞1）【Note 】我们作如下说明：显然，当x ＞0时，有()()x1lnx x ln ='='；而当x ＜0时，有()()[]()x 11x 1x ln x ln =-⋅-='-='.总之，不论x ＞0或x ＜0，恒有()x1x ln =′，故C x ln dx x 1+=⎰. 我们知道，求导数的工具有二：基本导数公式和求导数的法则（四则运算求导法则、复合运算求导法则）.现在，也许有的同学会想，我们已经有了基本积分公式，要是再掌握了求积分的法则（四则运算求积分法则、复合运算求积分法则）不就可以求出任何一个函数的不定积分了吗？真要是这样就好了，可惜这是做不到的.第一是没有通用的求积分的法则（没有两函数之积[商]的求积分法则也没有复合运算的求积分法则）.第二是有些函数的不定积分是算不出来的.这里所说的“算不出来”（can not be calculated ）是指函数()x f 的原函数()x F 存在（从而()()C x F dx x f +=⎰）但()x F 不能表为有限形式（can not form a limited form of ,即()x F 不是初等函数）.比如由于函数2x e-是初等函数，从而dx e 2x ⎰-存在，但数学上可以证明2x e -的原函数不是初等函数，所以dx e 2x ⎰-是“算不出来”的（还有很多形式上看并不复杂的积分，如dx x ln 1⎰，dx x x sin ⎰，dx x x cos ⎰，dx x sin 2⎰，dx x cos 2⎰等，也都是“算不出来”的）.这样看来，积分运算比微分运算要难得多（就像减法运算比加法运算难、除法运算比乘法运算难、开方运算比乘方运算难）.原因就在于“⎰”是“d”的逆运算（就像“-”是“+”的逆运算、“÷”是“⨯”的逆运算、“n”()n”的逆运算，逆运算都比原是“运算难）.那么，为什么逆运算比原运算要难呢？其实，根本原因在于，加法运算、乘法运算、乘方运算、微分运算这些原运算的定义都是构造性的（constructive[不仅告诉“是什么”，而且告诉“怎样求”]），而减法运算、除法运算、开方运算、积分运算这些逆运算的定义都是非构造性的（non constructive[仅仅告诉“是什么”，而未告诉“怎样求”]）.比如，“导数”的定义就是构造性的：()()()00x x 0x x x f x f lim x f 0--='→，定义不仅告诉我们什么是导数，同时还告诉我们如何求导数；而“不定积分”的定义则是非构造性的：如果()()x f x F ='，那么()()⎰+=C x F dx x f ，定义本身只是告诉我们什么是不定积分（所有原函数），而并未告诉我们如何求不定积分（即如何求原函数）.积分运算由于其定义的非构造性，先天性地决定了它比微分运算这种定义为构造性的运算要难得多，复杂得多，对此我们要有足够的心理准备.当然，尽管难，我们也不必太“畏难”，我们还是有很多办法来求不定积分的.在下一节中，我们将学习到不定积分的基本运算方法.这里先告诉大家，在本课程中，我们不会遇到“算不出来”的不定积分.特别需要提醒大家的是，做为逆运算，积分学的熟练程度在很大程度上取决于微分学的熟练程度——就像25 就不可能会知道不知道322325=一样，不知道()x cos x sin ='也就不可能会知道C x sin xdx cos +=⎰.所以，即使我们现在已开始学习积分学的内容，大家还是要进一步熟悉微分学的内容.最后要强调一点，不仅孤立地看，“不定积分”是本课程的一个重点内容，而且它对后续内容（Chapter 6，即“定积分”）的学习也至关重要.。