新高三数学小测试
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新高三数学小测试
1．如果数列na的前n项和332nnSa，那么这个数列的通项公式是______________．an＝2·3n
2．已知数列na满足1112,1nnnaaaa (n∈N*)，则12aa·…·2011a的值为________．3
3．数列na的通项公式为2naann，若满足12345aaaaa，且1nnaa对8n恒成立，则实数a的取值范围是____________．－19，－117
4．设数列na、nb都是等差数列，且112210,90,100abab，那么数列nnab的第2012项的值是________．100
5．设等差数列nanb的前n项和分别为nS、nT，若对任意自然数n都有2343nnSnTn，则935784aabbbb的值为________．1941
6．已知方程22(2)(2)0xmxxnx的四个根组成以12为首项的等比数列，则mn________.32或23
7．已知数列nx满足1lg1lgnnxx (n∈N*)，且123xxx＋…＋100x＝1，则101102lg(xx…200)x＝________.b9a8
8．已知数列na是正项等比数列，若13432,12aaa，则数列2logna的前n项和nS的最大值为________．15
9．设数列na的前n项和为1,1,2(1)nnnSSaann(n∈N*)．
(1)求证：数列na为等差数列，并分别写出na和nS关于n的表达式；
(2)是否存在自然数n，使得32123SSS…2(1)2013?nSnn若存在，求出n的值；若不存在，请说明理由．
解 (1)由an＝Snn＋2(n－1)，
得Sn＝nan－2n(n－1) (n∈N*)．
当n≥2时，an＝Sn－Sn－1
＝nan－(n－1)an－1－4(n－1)，
即an－an－1＝4，∴数列{an}是以a1＝1为首项，4为公差的等差数列．
于是，an＝4n－3，Sn＝(a1＋an)n2＝2n2－n (n∈N*)．
(2)由Sn＝nan－2n(n－1)，得Snn＝2n－1 (n∈N*)，
∴S1＋S22＋S33＋…＋Snn－(n－1)2＝1＋3＋5＋7＋…＋(2n－1)－(n－1)2＝n2－(n－1)2＝2n－1.
令2n－1＝2 013，得n＝1 007，
即存在满足条件的自然数n＝1 007.
10．设数列na的前n项和nS.已知11,3nnnaaaS，n∈N*.
(1)设3nnnbS，求数列nb的通项公式；
(2)若1nnaa，n∈N*，求a的取值范围．
解 (1)依题意，Sn＋1－Sn＝an＋1＝Sn＋3n，
即Sn＋1＝2Sn＋3n，
由此得Sn＋1－3n＋1＝2(Sn－3n)，
∴{Sn－3n}是等比数列，
因此，所求通项公式为
bn＝Sn－3n＝(a－3)2n－1，n∈N*.①
(2)由①知Sn＝3n＋(a－3)2n－1，n∈N*，
于是，当n≥2时，
an＝Sn－Sn－1＝3n＋(a－3)2n－1－3n－1－(a－3)2n－2＝2×3n－1＋(a－3)2n－2，
an＋1－an＝4×3n－1＋(a－3)2n－2
＝2n－212·32n－2＋a－3，
当n≥2时，an＋1≥an⇔12·32n－2＋a－3≥0⇔a≥－9.
又a2＝a1＋3>a1.
综上，所求的a的取值范围是[－9，＋∞)．
∴1bn＝1＋n－13＝n＋23，∴bn＝3n＋2.
