一般用法是，设某一多项式的全部或部分系数为未知数，利用两个多项式恒等式同类项系数相等的原理或其他已知条件确定这些系数，从而得到待求的值。例如，将已知多项式分解因式，可以设某些因式的系数为未知数，利用恒等的条件，求出这些未知数。求经过某些点的圆锥曲线方程也可以用待定系数法。从更广泛的意义上说，待定系数法是将某个解析式的一些常数看作未知数，利用已知条件确定这些未知数，使问题得到解决的方法。求函数的表达式，把一个有理分式分解成几个简单分式的和，求微分方程的级数形式的解等，都可用这种方法。
【又】一种常用的数学方法。对于某些数学问题，如果已知所求结果具有某种确定的形式，则可引进一些尚待确定的系数来表示这种结果，通过已知条件建立起给定的算式和结果之间的恒等式，得到以待定系数为元的方程或方程组，解之即得待定的系数。广泛应用于多项式的因式分解，求函数的解析式和曲线的方程等。
编辑本段待定系数法分解因式
待定系数法是初中数学的一个重要方法。用待定系数法分解因式，就是先按已知条件把原式假设成若干个因式的连乘积，这些因式中的系数可先用字母表示，它们的值是待定的，由于这些因式的连乘积与原式恒等，然后根据恒等原理，建立待定系数的方程组，最后解方程组即可求出待定系数的值。在初中竞赛中经常出现。
例、分解因式x ﹣x ﹣5x ﹣6x﹣4
分析：已知这个多项式没有二次因式，因而只能分解为两个一次因式。
解：设x ﹣x ﹣5x ﹣6x﹣4=(x ﹢ax﹢b)(x ﹢cx﹢d) = x² ﹢(a﹢c)x ﹢(ac﹢b﹢d)x ﹢(ad﹢bc)x﹢bd
所以解得
则x -x -5x -6x-4 =(x +x+1)(x -2x-4)=（2x+1）（-x-4)
编辑本段待定系数法解题步骤
使用待定系数法解题的一般步骤是：（1）确定所求问题含待定系数的解析式；（2）根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程；. （3）解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。
例如：“已知x²-5=（2-A）·x²+Bx+C，求A，B，C的值．”解答此题，并不困难．只需将右式与左式的多项式中的对应项的系数加以比较后，就可得到A，B，C的值．这里的A，B，C是有待于确定的系数，这种解决问题的方法就是待定系数法．
步骤：
一、确定所求问题含待定系数的解析式。上面例题中，解析式就是:
（2-A）× x&2;+Bx+C
二、根据恒等条件，列出一组含待定系数的方程。在这一题中，恒等条件是：2-A=1 B=0 C=-5
三、解方程或消去待定系数，从而使问题得到解决。∴A=1 B=0 C=-5 圆锥曲线
求助编辑百科名片
圆锥曲线
圆锥曲线包括椭圆，双曲线，抛物线。其统一定义：到定点的距离与到定直线的距离的比e 是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0
目录
由来
定义
几何观点
代数观点
焦点-准线观点
相关几何概念与性质
方程和性质
1）椭圆（ellipse)
2）双曲线（hyperbola)
3）抛物线（parabola)
离心率
焦半径
焦准距
焦点三角形
通径
圆锥曲线的性质对比
圆锥曲线的中点弦问题
求点的轨迹方程
圆锥曲线判别法
圆锥曲线漫谈
圆锥曲线研究历史
光学性质
椭圆的光学性质
双曲线的光学性质
抛物线的光学性质
图说圆锥曲线的应用
展开
由来
定义
几何观点
代数观点
焦点-准线观点
相关几何概念与性质
方程和性质
1）椭圆（ellipse)
2）双曲线（hyperbola)
3）抛物线（parabola)
离心率
焦半径
焦准距
焦点三角形
通径
圆锥曲线的性质对比
圆锥曲线的中点弦问题
求点的轨迹方程
圆锥曲线判别法
圆锥曲线漫谈
圆锥曲线研究历史
光学性质
椭圆的光学性质
双曲线的光学性质
抛物线的光学性质
图说圆锥曲线的应用
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编辑本段由来
两千多年前，古希腊数学家最先开始研究圆锥曲线，并且获得了大量的成果。古希腊数学家阿波罗尼采用平面切割圆锥的方法来研究这几种曲线。用垂直于锥轴的平面去截圆锥，得到的是圆；把平面渐渐倾斜，得到椭圆；当平面倾斜到“和且仅和”圆锥的一条母线平行时，得到抛物线；当平面再倾斜一些就可以得到双曲线。阿波罗尼曾把椭圆叫“亏曲线”，把双曲线叫做“超曲线”，把抛物线叫做“齐曲线”。事实上，阿波罗尼在其著作中使用纯几何方法已经取得了今天高中数学中关于圆锥曲线的全部性质和结果。
编辑本段定义
几何观点
用一个平面去截一个圆锥面，得到的交线就称为圆锥曲线。
通常提到的圆锥曲线包括椭圆，双曲线和抛物线，但严格来讲，它还包括一些退化情形。具体而言：
1) 当平面与圆锥面的母线平行，且不过圆锥顶点，结果为抛物线。
2) 当平面与圆锥面的母线平行，且过圆锥顶点，结果退化为一条直线。
3) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，结果为椭圆。
4) 当平面只与圆锥面一侧相交，且不过圆锥顶点，并与圆锥面的对称轴垂直，结果为圆。
5) 当平面只与圆锥面一侧相交，且过圆锥顶点，结果退化为一个点。
6) 当平面与圆锥面两侧都相交，且不过圆锥顶点，结果为双曲线的一支（另一支为此圆锥面的对顶圆锥面与平面的交线）。
7) 当平面与圆锥面两侧都相交，且过圆锥顶点，结果为两条相交直线。
代数观点
在笛卡尔平面上，二元二次方程ax^2+bxy+cy^2+dx+ey+f=0的图像是圆锥曲线。根据判别式的不同，也包含了椭圆，双曲线，抛物线以及各种退化情形。
焦点-准线观点
（严格来讲，这种观点下只能定义圆锥曲线的几种主要情形，因而不能算是圆锥曲线的定义。但因其使用广泛，并能引导出许多圆锥曲线中重要的几何概念和性质）。
给定一点P，一直线L以及一非负实常数e，则到P的距离与L距离之比为e的点的轨迹是圆锥曲线，根据e的范围不同，曲线也各不相同，具体如下：
1) e=0，轨迹退化为点（即定点P）。
2) e=1（即到P与到L距离相同），轨迹为抛物线。
3) 0 4) e>1,,轨迹为双曲线。 编辑本段相关几何概念与性质 （以下以纯几何方式叙述主要的圆锥曲线通用的概念和性质，由于大部分性质是在焦点－准线观点下定义的，对于更一般的退化情形，有些概念可能不适用。） 考虑焦点－准线观点下的圆锥曲线定义。定义中提到的定点，称为圆锥曲线的焦点；定直线称为圆锥曲线的准线；固定的常数（即圆锥曲线上一点到焦点与准线的距离比）称为圆锥曲线的离心率；焦点到准线的距离称为焦准距；焦点到曲线上一点的线段称为焦半径。过焦点、平行于准线的直线与圆锥曲线相交于两点，此两点间的线段称为圆锥曲线的通径，物理学中又称为正焦弦。 圆锥曲线是光滑的，因此有切线和法线的概念。 类似圆，与圆锥曲线交于两点的直线上两交点间的线段称为弦；过焦点的弦称为焦点弦。 对于同一个椭圆或双曲线，有两个“焦点－准线”的组合可以得到它。因此，椭圆和双曲线有两个焦点和两条准线。而抛物线只有一个焦点和一条准线。 圆锥曲线关于过焦点与准线垂直的直线对称，在椭圆和双曲线的情况，该直线通过两个焦点，该直线称为圆锥曲线的焦轴。对于椭圆和双曲线，还关于焦点连线的垂直平分线对称。 定理（Pappus)：圆锥曲线上一点的焦半径长度等于该点到相应准线的距离乘以离心率。 定理（Pascal)：圆锥曲线的内接六边形，若对边两两不平行，则该六边形对边延长线的交点共线。（对于退化的情形也适用） 定理（Brianchon)：圆锥曲线的外切六边形，其三条对角线共点。 编辑本段方程和性质 1）椭圆（ellipse) 文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个小于1的正常数e。平面内一个动点到两个定点（焦点）的距离和等于定长2a的点的集合。定点是椭圆的焦点，定直线是椭圆的准线，常数e是椭圆的离心率。 标准方程： 1.中心在原点，焦点在x轴上的椭圆标准方程：（x^2/a^2)+(y^2/b^2)=1 其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2. 2.中心在原点，焦点在y轴上的椭圆标准方程：（x^2/b^2)+(y^2/a^2)=1 其中a>b>0，c>0，c^2=a^2-b^2。 参数方程：x=acosθ y=bsinθ （θ为参数,0≤θ≤2π) 2）双曲线（hyperbola) 文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是一个大于1的常数e。定点是双曲线的焦点，定直线是双曲线的准线，常数e是双曲线的离心率。 标准方程： 1.中心在原点，焦点在x轴上的双曲线标准方程：（x^2/a^2)-(y^2/b^2)=1 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 2.中心在原点，焦点在y轴上的双曲线标准方程：（y^2/a^2)-(x^2/b^2)=1. 其中a>0,b>0,c^2=a^2+b^2. 参数方程：x=asecθ y=btanθ （θ为参数) 直角坐标（中心为原点）：x^2/a^2 - y^2/b^2 = 1 （开口方向为x轴）y^2/a^2 - x^2/b^2 = 1 （开口方向为y轴） 3）抛物线（parabola) 文字语言定义：平面内一个动点到一个定点与一条定直线的距离之比是等于1。定点是抛物线的焦点，定直线是抛物线的准线， 参数方程 x=2pt^2 y=2pt (t为参数）t=1/tanθ（tanθ为曲线上点与坐标原点确定直线的斜率）特别地，t可等于0 直角坐标 y=ax^2+bx+c （开口方向为y轴，a≠0）x=ay^2+by+c （开口方向为x轴，a≠0 ) 圆锥曲线（二次非圆曲线）的统一极坐标方程为 ρ=ep/(1-ecosθ） 其中e表示离心率，p为焦点到准线的距离。 离心率 椭圆，双曲线，抛物线这些圆锥曲线有统一的定义：平面上，到定点的距离与到定直线的距离的比e是常数的点的轨迹叫做圆锥曲线。当0 焦半径 圆锥曲线上任意一点到焦点的距离称为焦半径。 圆锥曲线左右焦点为F1、F2，其上任意一点为P(x,y），则焦半径为： 椭圆 |PF1|=a+ex |PF2|=a-ex 双曲线 P在左支，|PF1|=－a-ex |PF2|=a-ex P在右支，|PF1|=a+ex |PF2|=－a+ex P在下支，|PF1|= －a-ey |PF2|=a-ey P在上支，|PF1|= a+ey |PF2|=－a+ey 抛物线 |PF|=x+p/2 圆锥曲线的切线方程 圆锥曲线上一点P（x0,y0）的切线方程以x0x代替x^2，以y0y代替y^2；以（x0+x)/2代替x，以（y0+y)/2代替y 即椭圆：x0x/a^2+y0y/b^2=1；双曲线：x0x/a^2-y0y/b^2=1；抛物线：y0y=p(x0+x) 焦准距 圆锥曲线的焦点到准线的距离p叫圆锥曲线的焦准距，或焦参数。 椭圆的焦准距：p=(b^2)/c 双曲线的焦准距：p=(b^2)/c 抛物线的准焦距：p 焦点三角形 椭圆或双曲线上的一点与两焦点所构成的三角形。 设F1 F2分别为椭圆或双曲线的两个焦点，P为椭圆或双曲线上的一点且PF1F2能构成三角形。 若∠F1PF2=θ，则椭圆焦点三角形的面积为S=b^2tan（θ/2）.双曲线焦点三角形的面积为S=b^2cot（θ/2）。 通径 圆锥曲线中，过焦点并垂直于轴的弦称为通径。 椭圆的通径：（2b^2)/a 双曲线的通径：（2b^2)/a 抛物线的通径：2p 圆锥曲线的性质对比 圆锥曲线的中点弦问题 已知圆锥曲线内一点为圆锥曲线的一弦中点，求该弦的方程 ⒈联立方程法。 用点斜式设出该弦的方程（斜率不存在的情况需要另外考虑），与圆锥曲线方程联立求得关于x的一元二次方程和关于y的一元二次方程，由韦达定理得到两根之和的表达式，在由中点坐标公式的两根之和的具体数值，求出该弦的方程。 2.点差法，或称代点相减法。 设出弦的两端点坐标（x1,y1）和（x2,y2），代入圆锥曲线的方程，将得到的两个方程相减，运用平方差公式得[(x1+x2）·（x1-x2)]/(a^2)+[(y1+y2）·（y1-y2)/(b^2]=0 由斜率为（y1-y2)/(x1-x2）可以得到斜率的取值。（使用时注意判别式的问题） 求点的轨迹方程 在求曲线的轨迹方程时，如果能够将题设条件转化为具有某种动感的直观图形，通过观察图形的变化过程，发现其内在联系，找出哪些是变化的量（或关系）、哪些是始终保持不变的量（或关系），那么我们就可以从找出的不变量（或关系）出发，打开解题思路，确定解题方法。 圆锥曲线的曲率（见右图）曲率半径的作图。第二条垂线与法线的交点 Z就是曲率的中心它到P点的距离便是曲率半径。 编辑本段圆锥曲线判别法 设圆锥曲线的方程为 Ax^2+2Bxy+Cy^2+2Dx+2Ey+F=0 |A B D| ?= |B C E| δ=|A B| S=A+C 称为二次曲线不变量 |D E F||B C| 编辑本段圆锥曲线漫谈 圆锥曲线包括椭圆、抛物线、双曲线和圆，通过直角坐标系，它们又与二次方程对应，所以，圆锥曲线又叫做二次曲线。圆锥曲线一直是几何学研究的重要课题之一，在我们的实际生活中也存在着许许多多的圆锥曲线。 我们生活的地球每时每刻都在环绕太阳的椭圆轨迹上运行，太阳系其他行星也如此，太阳则位于椭圆的一个焦点上。如果这些行星运行速度增大到某种程度，它们就会沿抛物线或双曲线运行。人类发射人造地球卫星或人造行星就要遵照这个原理。相对于一个物体，按万有引力定律受它吸引的另一物体的运动，不可能有任何其他的轨道了。因而，圆锥曲线在这种意义上讲，它构成了我们宇宙的基本形式。 由抛物线绕其轴旋转，可得到一个叫做旋转物面的曲面。它也有一条轴，即抛物线的轴。在这个轴上有一个具有奇妙性质的焦点，任何一条过焦点的直线由抛物面反射出来以后，都成为平行于轴的直线。这就是我们为什么要把探照灯反光镜做成旋转抛物面的道理。 由双曲线绕其虚轴旋转，可以得到单叶双曲面，它又是一种直纹曲面，由两组母直线族组成，各组内母直线互不相交，而与另一组母直线却相交。人们在设计高大的立塔时，就采取单叶双曲面的体形，既轻巧又坚固。 由此可见，对于圆锥曲线的价值，无论如何也不会估计过高。 编辑本段圆锥曲线研究历史 对于圆锥曲线的最早发现，众说纷纭。有人说，古希腊数学家在求解“立方倍积”问题时，发现了圆锥曲线：设x、y为a和2a的比例中项，即。a：x=x：y=y：2a，则x^2=ay,y^2=2ax，xy=2a^2，从而求得x^3=2a^3。又有人说，古希腊数学家在研究平面与圆锥面相截时发现了与“立方倍积”问题中一致的结果。还有认为，古代天文学家在制作日晷时发现了圆锥曲线。日晷是一个倾斜放置的圆盘，中央垂直于圆盘面立一杆。当太阳光照在日晷上，杆影的移动可以计时。而在不同纬度的地方，杆顶尖绘成不同的圆锥曲线。然而，日晷的发明在古代就已失传。 早期对圆锥曲线进行系统研究成就最突出的可以说是古希腊数学家阿波罗尼（Apollonius，前262~前190）。他与欧几里得是同时代人，其巨著《圆锥曲线》与欧几里得的《几何原本》同被誉为古代希腊几何的登峰造极之作。 在《圆锥曲线》中，阿波罗总结了前人的工作，尤其是欧几里得的工作，并对前人的成果进行去粗存精、归纳提炼并使之系统化的工作，在此基础上，又提出许多自己的创见。全书8篇，共487个命题，将圆锥曲线的性质网罗殆尽，以致后代学者几乎没有插足的余地达千余年。 现在，我们都知道，用一个平面去截一个双圆锥面，会得到圆、椭圆、抛物线、双曲线以及它们的退化形式：两相交直线，一条直线和一个点，如图1，所示。 在此，我们仅介绍阿波罗尼关于圆锥曲线的定义。如图2，给定圆BC及其所在平面外一点A，则过A且沿圆周移动的一条直线生成一个双锥面。 这个圆叫圆锥的底，A到圆心的直线叫圆锥的轴（未画出），轴未必垂直于底。 设锥的一个截面与底交于直线DE，取底圆的垂直于DE的一条直径BC，于是含圆锥轴的△ABC叫轴三角形.轴三角形与圆锥曲线交于P、P’，PP’未必是圆锥曲线的轴，PP’M是由轴三角形与截面相交而定的直线，PM也未必垂直于DE。设QQ’是圆锥曲线平行于DE 的弦，同样QQ’被PP’平分，即VQ=QQ’。 现作AF∥PM，交BM于F，再在截面上作PL⊥PM。如图3，PL⊥PP’ 对于椭圆、双曲线，取L满足，而抛物线，则满足，对于椭圆、双曲线有QV=PV·VR，对于抛物线有QV=PV·PL，这是可以证明的两个结论。 在这两个结论中，把QV称为圆锥曲线的一个纵坐标线，那么其结论表明，纵坐标线的平方等于PL上作一个矩形的面积。对于椭圆来讲，矩形PSRV尚未填满矩形PLJV；而双曲线的情形是VR>PL，矩形PSRV超出矩形PLJV；而抛物线，短形PLJV恰好填满。故而，椭圆、双曲线、抛物线的原名分别叫“亏曲线”、“超曲线”和“齐曲线”。这就是阿波罗尼引入的圆锥曲线的定义。 阿波罗尼所给出的两个结论，也很容易用现代数学符号来表示： 趋向无穷大时，LS=0，即抛物线，亦即椭圆或双曲线的极限形式。 在阿波罗尼的《圆锥曲线》问世后的13个世纪里，整个数学界对圆锥曲线的研究一直没有什么新进展。11世纪，阿拉伯数学家曾利用圆锥曲线来解三次代数方程，12世纪起，圆锥曲线经阿拉伯传入欧洲，但当时对圆锥曲线的研究仍然没有突破。直到16世纪，有两年事促使了人们对圆锥曲线作进一步研究。一是德国天文学家开普勒（Kepler,1571~1630）继承了哥白尼的日心说，揭示出行星按椭圆轨道环绕太阳运行的事实；二是意大利物理学家伽利略（Galileo,1564~1642）得出物体斜抛运动的轨道是抛物线。人们发现圆锥曲线不仅是依附在圆锥面上的静态曲线，而且是自然界物体运动的普遍形式。于是，对圆锥曲线的处理方法开始有了一些小变动。譬如，1579年蒙蒂（Guidobaldo del Monte,1545~1607）椭圆定义为：到两个焦点距离之和为定长的动点的轨迹。从而改变了过去对圆锥曲线的定义。不过，这对圆锥曲线性质的研究推进并不大，也没有提出更多新的定理或新的证明方法。 17世纪初，在当时关于一个数学对象能从一个形状连续地变到另一形状的新思想的影响下，开普勒对圆锥曲线的性质作了新的阐述。他发现了圆锥曲线的焦点和离心率，并指出抛物线还有一个在无穷远处的焦点，直线是圆心在无穷远处的圆。从而他第一个掌握了这样的事实：椭圆、抛物线、双曲线、圆以及由两条直线组成的退化圆锥曲线，都可以从其中一个连续地变为另一个，只须考虑焦点的各种移动方式。譬如，椭圆有两个焦点F1、F2，如图4，若左焦点F1固定，考虑F2的移动，当F2向左移动，椭圆逐渐趋向于圆，F1与F2重合时即为圆；当F2向右移动，椭圆逐渐趋向于抛物线，F2到无穷远处时即为抛物线；当F2从无穷远处由左边回到圆锥曲线的轴上来，即为双曲线；当F2继续向右移动，F2又与F1重合时即为两相交直线，亦即退化的圆锥曲线。这为圆锥曲线现代的统一定义提供了一个合乎逻辑的直观基础。 随着射影几何的创始，原本为画家提供帮助的投射、截影的方法，可能由于它与锥面有 着天然的联系，也被用于圆锥曲线的研究。在这方面法国的三位数学家笛沙格（Desargue1591－1661）、帕斯卡（Pascal，1623－1662）和拉伊尔（Phailippe de La Hire，1640～1718）得出了一些关于圆锥曲线的特殊的定理，可谓别开生面。而当法国另外两位数学家笛卡儿和费马创立了解析几何，人们对圆锥曲线的认识进入了一个新阶段，对圆锥曲线的研究方法既不同于阿波罗尼，又不同于投射和截影法，而是朝着解析法的方向发展，即通过建立坐标系，得到圆锥曲线的方程，进而利用方程来研究圆锥曲线，以期摆脱几何直观而达到抽象化的目标，也可求得对圆锥曲线研究高度的概括和统一。 到18世纪，人们广泛地探讨了解析几何，除直角坐标系之外又建立极坐标系，并能把这两种坐标系相互转换。在这种情况下表示圆锥曲线的二次方程也被化为几种标准形式，或者引进曲线的参数方程。1745年欧拉发表了《分析引论》，这是解析几何发展史上的一部重要著作，也是圆锥曲线研究的经典之作。在这部著作中，欧拉给出了现代形式下圆锥曲线的系统阐述，从一般二次方程。出发，圆锥曲线的各种情形，经过适当的坐标变换，总可以化以下标准形式之一： 继欧拉之后，三维解析几何也蓬勃地发展起来，由圆锥曲线导出了许多重要的曲面，诸如圆柱面、椭球面、单叶和双叶双曲面以及各种抛物面等。 总而言之，圆锥曲线无论在数学以及其他科学技术领域，还是在我们的实际生活中都占有重要的地位，人们对它的研究也不断深化，其研究成果又广泛地得到应用。这正好反映了人们认识事物的目的和规律。 编辑本段光学性质 椭圆的光学性质 从椭圆一个焦点发出的光，经过椭圆反射后，反射光线都汇聚到椭圆的另一个焦点上。双曲线的光学性质 从双曲线一个焦点发出的光，经过双曲线反射后，反射光线的反向延长线都汇聚到双曲线的另一个焦点上。 抛物线的光学性质 从抛物线的焦点发出的光，经过抛物线反射后，反射光线都平行于抛物线的对称轴。 一束平行光垂直于抛物线的准线，向抛物线的开口射进来，经抛物线反射后，反射光线汇聚在抛物线的焦点。 编辑本段图说圆锥曲线的应用 椭圆的声学性质 圆锥曲线中椭圆、双曲线、抛物线的比较[1] 参考资料 1．比较图． 待定系数法练习题 一．选择题（共10小题） 1．已知正比例函数y=kx（k≠0）的图象经过点（1，﹣3），则此正比例函数的关系式为（） A．y=3x B．y=﹣3x C．D． 2．已知某条经过原点的直线还经过点（2，1），下列结论正确的是（） A．直线的解析式为y=2x B．函数图象经过二、四象限 C．函数图象一定经过点（﹣2，﹣1）D．y随x的增大而减小 3．已知y﹣1与x成正比，当x=2时，y=9；那么当y=﹣15时，x的值为（） A．4 B．﹣4 C．6 D．﹣6 4．函数y=kx+2，经过点（1，3），则y=0时，x=（） A．﹣2 B．2 C．0 D．±2 5．一次函数的图象经过点（2，1）和（﹣1，﹣3），则它的解析式为（） A．B．C． D． 6．一次函数y=kx+b的图象如图，则（） A．B．C．D． 7．如图，矩形OABC的边OA在x轴上，O与原点重合，OA=1，OC=2，点D的坐标为（2，0），则直线BD 的函数表达式为（） A．y=﹣x+2 B．y=﹣2x+4 C．y=﹣x+3 D．y=2x+4 8．已知y是x的一次函数，下表中列出了部分对应值，则m等于（） x ﹣1 0 1 y 1 m ﹣5 A．﹣1 B．0 C．﹣2 D． 9．已知一次函数y=kx+b，当0≤x≤2时，对应的函数值y的取值范围是﹣2≤y≤4，则k的值为（） A．3 B．﹣3 C．3或﹣3 D．k的值不确定 10．把正比例函数y=2x的图象向下平移3个单位后，所得图象的函数关系式为（） A．y=2（x﹣3）B．y=2x﹣3 C．y=2x+3 D．y=2x 二．填空题（共8小题） 11．已知一次函数y=kx+b的图象经过两点A（0，1），B（2，0），则当x时，y≤0． 12．如图，在直角坐标系中，已知矩形ABCD的两个顶点A（3，0）、B（3，2），对角线AC所在的直线L，那么直线L对应的解析式是． 13．如图，一次函数的y=kx+b图象经过A（2，4）、B（0，2）两点，与x轴交于点C，则△AOC的面积为． 14．已知一次函数y=kx+b，当x减少3时，y增加2，则k的值是． 15．已知函数y=kx+b（k≠0）的图象与y轴交点的纵坐标为﹣2，且当x=2时，y=1．那么此函数的解析式 为． 16．正方形ABCO的边长是2，边OA，OC分别在y轴、x轴的正半轴上，且点E是BC的中点，则直线AE 的解析式是． 17．已知点A（2a﹣1，3a+1），直线l经过点A，则直线l的解析式是． 18．一次函数y=kx+b 的图象过点A（﹣1，2），且与y轴交于点B，△OAB的面积是2，则这个一次函数的表达式为． 三．解答题（共6小题） 19．在直角坐标系中，一条直线经过A（﹣1，5），P（﹣2，a），B（3，﹣3）三点． 用待定系数法求递推数列通项公式初探 摘要: 本文通过用待定系数法分析求解9个递推数列的例题，得出适用待定系数法求其通项公式的七种类型的递推数列，用于解决像观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法等不能解决的数列的通项问题。 关键词:变形 对应系数 待定 递推数列 数列在高中数学中占有重要的地位，推导通项公式是学习数列必由之路，特别是根据递推公式推导出通项公式，对教师的教学和学生的学习来说都是一大难点，递推公式千奇百怪，推导方法却各不相同，灵活多变。对学生的观察、分析能力要求较高，解题的关键在于如何变形。常见的方法有观察法、公式法、迭乘法、迭加法、裂项相消法和公式法。但是对比较复杂的递推公式，用上述方法难以完成，用待定系数法将递推公式进行变形，变成新的数列等差数列或等比数列。下面就分类型谈谈如何利用待定系数法求解几类数列的递推公式。 一、n n a pa q +=+ 型（p q 、为常数，且0,1pq p ≠≠） 例题1.在数列{}n a 中，11a =,121n n a a +=+,试求其通项公式。 分析：显然，这不是等差或等比数列，但如果在121n n a a +=+的两边同时加上1，整理为112(1)n n a a ++=+，此时，把11n a ++和1n a +看作一个整体，或者换元，令111n n b a ++=+，那么1n n b a =+，即12n n b b +=，1112b a =+=，因此，数列{}1n a +或{}n b 就是以2为首项，以2为公比的等比数列 12n n a +=，或者2n n b =，进一步求出21n n a =-。 启示：在这个问题中，容易看出在左右两边加上1就构成了新的等比数列{}1n a +，那不易看出在左右两边该加几后构成新的等比数列时，该怎么办呢？ 学案十三 待定系数法 一、三维目标： 1、 知识目标：使学生掌握用待定系数法求解析式的方法； 2、能力目标：（1）尝试设计有关一次、二次函数解析式问题，运用待定系数法求解； （2）培养学生由特殊事例发现一般规律的归纳能力。 3、情感目标：（1）通过新旧知识的认识冲突，激发学生的求知欲； （2）通过合作学习，培养学生团结协作的品质。 二、教学重点与难点 重点：用待定系数法求函数解析式； 难点：设出适当的解析式并用待定系数法求解析式。 三、教学方法 采用实例归纳，自主探究，合作交流等方法；教学中通过列举例子，引导学生进行讨论和交流，并通过创设情境，让学生自主探索。 在回顾初中所学函数的有关知识的基础上，认真阅读教材P61—P62，通过对教材中 的例题的研究，完成学习目标 。 1. 待定系数法定义 一般地，在求一个函数时，如果知道这个函数的一般形式, 可先把所求函数写为一般形式，其中系数待定，然后再根据题设条件求出这些待定系数. 这种通过求待定系数来确定变量之间关系式的方法叫做_________. 2. 利用待定系数法解决问题的步骤： ○ 1确定所求问题含有待定系数解析式. ○ 2根据_______, 列出一组含有待定系数的方程. ○ 3解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决. 3.正比例函数的一般形式为_____________________, 一次函数的一般形式为___________________________。 4. 用待定系数法求二次函数的解析式 二次函数的解析式有三种形式： ○ 1 一般式：c bx ax y ++= 2 （a 、b 、c 为常数，且0≠a ）. ○ 2 顶点式：k h x a y +-=2)( （a 、b 、c 为常数, 0≠a ）. 21.3用待定系数法确定一次函数表达式 【教材分析】 本节是冀教版数学八年级下册第二十一章第三节内容.在此之前学生已经能够根据实际问题的意义写出函数表达式,并且知道一次函数的意义及其性质,本节是在此基础上学习确定一次函数的表达式的方法,这一节内容在本章及初中的函数学习中都占有重要地位. 【教学目标】 （1）知识与技能：1、能依照不同情境选择确定一次函数表达式的方法. 2、会用解二元一次方程组的方法求y=kx+b中的待定系数k与b. （2）过程与方法：经历观察、猜测、探索、合作交流等过程，锻炼学生的总结归纳能力，培养学生数形结合的数学思维. （3）情感态度价值观：通过观察、讨论、交流，培养探索精神、合作精神. 【教学重难点】 重点：利用待定系数法求一次函数的表达式 难点：待定系数法的探索过程 【教学方法和手段】 1、综合采用启发式、讨论式、探究式的教学方法 2、借助多媒体课件运用联想、猜测、观察、讨论等多种教学手段 【教学过程设计】 (一) 创设情境 利用多媒体课件出示温故而知新的画面,出示复习问题 1 、请你给大家说一说一次函数和正比例函数的意义 2、请你为大家描述一下一次函数和正比例函数图像的特点 3 、请你在平面直角坐标系中画出正比例函数y=2x和一次函数y=2x+3的图像 （设计意图:问题1、2 为本课课题服务的.在质疑中发现问题,在问题中展开教学,可以激活学生的数学思维,在解决问题中深化学生对知识的理解.） (二)尝试与探索 通过正比例函数和一次函数表达式,我们可以画出它们的函数图像;反过来,如果给你一个函数图像,你能求出它的函数表达式吗?我们一起来看下面两个问题. 1、抛出问题 (1)现有位同学画了如图所示的一条直线，但是他忘记了写表达式， 用待定系数法确定一次函数 教学目标 1.使学生了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数；能由两个条件确定解析式或者能根据函数的图象确定一次函数的解析式。 2、通过类比的方法学习一次函数，体会数学研究方法多样性；进一步提高分析概括、总结归纳能力；利用数形结合思想，进一步分析一次函数与正比例函数的联系，从而提高比较鉴别能力。 3、积极思考、勇跃发言，养成良好学习习惯；独立思考、合作探究，培养科学的思维方法。 重点 会用待定系数法确定一次函数的表达式 难点 从图象上捕捉信息 教学方法 引导法，探究法，分析法，归纳法 教学过程： 一、创设情景，提出问题 1.复习：画出函数y=2x 的图象 （引入新课）在上节课中我们学习了再给定一次函数表达式的前提下，可以说出它的图象的特征及有关性质；反之，如果给你函数的图象，你能不能求出函数的表达式呢？这就是这节课我们要研究的问题。 二、合作交流、解读探究 1.求右图中直线的函数表达式。 分析与思考:(1)题是经过原点的 一条直线，因此是正比例函数， 二条可设它的表达式为y=kx,将 三条点（1,2）代人表达式得2=k,从而确定该函数的表达式为y=2x. （2）题设直线的表达式为y=kx+b,因为此直线经过点（0,3），（2,0），因此将这两个点的坐标代人，可得关于k 、b 的二元一次方程组，从而确定了k 、b 的值，确定了表达式.(写出解答过程) 2.反思小结：确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定一次函数的表达式需要两个条件。即如果有一个系数，只要利用一点坐标列出关于k 的一元一次方程即可；如果有2个系数，则要用2个点的坐标列出关于k,b 的二元一次方程组。 探究：已知:一次函数的图象经过点(0，-1)和点(1，1),求出一次函数的解析式. 解：设一次函数的解析式为＿＿＿＿＿＿＿， 把点＿＿＿＿＿，＿＿＿＿＿代入解析式得 ＿＿k+b=＿＿ k=＿＿ ＿＿k+b=＿＿ 解得， b=＿＿ 把k=____，b=____ 代入y=kx+b 中，得一次函数解析式为__________. 问：通过以上各题，你能归纳出求一次函数解析式的步骤了吗？ 就是先设待求函数关系式（其中含有未知常数系数），再根据条件列出方程，求出未知系数，从而得到所求结果。 归纳：这种求一次函数的解析式的方法叫待定系数法，它的步骤可归纳为： “一设二列三解四还原”． 具体的说，一设：设出一次函数解析式的一般形式y ＝kx +b （k ≠0）； 二列：根据已知两点或已知图象上的两个点坐标列出关于k 、b 的二元一次方程组； 图2 图1 高中数学解题基本方法--待定系数法 要确定变量间的函数关系，设出某些未知系数，然后根据所给条件来确定这些未知系数的方法叫待定系数法，其理论依据是多项式恒等，也就是利用了多项式f(x)≡g(x)的充要条件是：对于一个任意的a值，都有f(a)≡g(a)；或者两个多项式各同类项的系数对应相等。 待定系数法解题的关键是依据已知，正确列出等式或方程。使用待定系数法，就是把具有某种确定形式的数学问题，通过引入一些待定的系数，转化为方程组来解决，要判断一个问题是否用待定系数法求解，主要是看所求解的数学问题是否具有某种确定的数学表达式，如果具有，就可以用待定系数法求解。例如分解因式、拆分分式、数列求和、求函数式、求复数、解析几何中求曲线方程等，这些问题都具有确定的数学表达形式，所以都可以用待定系数法求解。 使用待定系数法，它解题的基本步骤是： 第一步，确定所求问题含有待定系数的解析式； 第二步，根据恒等的条件，列出一组含待定系数的方程； 第三步，解方程组或者消去待定系数，从而使问题得到解决。 如何列出一组含待定系数的方程，主要从以下几方面着手分析： ①利用对应系数相等列方程； ②由恒等的概念用数值代入法列方程； ③利用定义本身的属性列方程； ④利用几何条件列方程。 比如在求圆锥曲线的方程时，我们可以用待定系数法求方程：首先设所求方程的形式，其中含有待定的系数；再把几何条件转化为含所求方程未知系数的方程或方程组；最后解所得的方程或方程组求出未知的系数，并把求出的系数代入已经明确的方程形式，得到所求圆锥曲线的方程。 Ⅰ、再现性题组： 1.设f(x)＝x 2 ＋m，f(x)的反函数f-1(x)＝nx－5，那么m、n的值依次为_____。 A. 5 2 , －2 B. － 5 2 ， 2 C. 5 2 , 2 D. － 5 2 ，－2 2.二次不等式ax2＋bx＋2>0的解集是(－1 2 , 1 3 )，则a＋b的值是_____。 A. 10 B. －10 C. 14 D. －14 3.在(1－x3)（1＋x）10的展开式中，x5的系数是_____。 A. －297 B.－252 C. 297 D. 207 4.函数y＝a－bcos3x (b<0)的最大值为3 2 ，最小值为－ 1 2 ，则y＝－4asin3bx的最小 正周期是_____。 5.与直线L：2x＋3y＋5＝0平行且过点A(1,-4)的直线L’的方程是_______________。 6.与双曲线x2－y2 4 ＝1有共同的渐近线，且过点(2,2)的双曲线的方程是 ____________。 第 10 讲 待定系数法(高中版) （第课时） D 重点：1． ；2．；3．。 难点 ：1．；2．； 3．；。 其中含有某些待定的系数，而后根据题设条件列出关于待定系数的等式，最后解出这些待定系数的值或找到这些待定系数间的某种关系，从而解答数学问题，这种解题方法称为待定系数法。 待定系数法是中学数学常用的方法，它常用在求代数式的值、因式分解、恒等变形、求函数表达式、数列求和、求复数、求曲线方程等等方面。 使用待定系数法解题的基本步骤是：第一步，针对所求问题，确定含有待定系数的解析式；第二步，列出一组含待定系数的方程；第三步，解方程组确定待定系数或者消去待定系数。确定待定系数的值常用比较系数法或特殊值法。 二次函数解析式有三种表达形式， 1．一般式：y=ax 2+bx+c ；其中 a≠0, a, b, c 为常数 2．顶点式：y=a(x-h)2+k ；其中a≠0, a, h, k 为常数，（h,k ）为顶点坐标。 3．交点式：y=a(x-x 1)(x-x 2)；其中a≠0, a, x 1,x 2 为常数，x 1,x 2是抛物线与横轴两交点的横坐标。 每种形式都有三个待定的系数，所以用待定系数法求二次函数解析式应注意以下几点： 根据题目给定的条件注意选择适当的表达形式，一般已知抛物线的顶点，用顶点式；已知抛物线与x 轴的两个交点（或与x 轴的一个交点及对称轴），用交点式。 解题过程中待定的系数越少，需构造的方程也越少，这样可以大大简化计算过程，故尽量由已知条件先行直接确定某些系数。 若题目给定二次函数解析式的某种形式（如y=ax 2+ bx+c=0 (a≠0)），那么最后的结果必须写成此种形式。 1．待定系数法在求数列通项中的应用 例.（高三）数列{a n }满足a 1=1，a n = 21 a 1 n +1（n ≥2），求数列{a n }的通项公式。 高中数学-待定系数法练习 课时过关·能力提升 1反比例函数的图象经过点(-2,3),则其还经过点() A.(-2,-3) B.(3,2) C.(3,-2) D.(-3,-2) 解析设反比例函数为f(x)= (k≠0), 则3=,k=-6,即f(x)=, 故其还经过点(3,-2). 答案C 2二次函数y=x2+ax+b,若a+b=0,则它的图象必经过点() A.(-1,-1) B.(1,-1) C.(1,1) D.(-1,1) 解析当x=1时,y=12+a×1+b=a+b+1=1,因此图象一定经过定点(1,1). 答案C 3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(2,-1),与y轴的交点为(0,11),则() A.a=1,b=-4,c=11 B.a=3,b=12,c=11 C.a=3,b=-6,c=11 D.a=3,b=-12,c=11 解析由已知可设二次函数f(x)=a(x-2)2-1(a≠0). 因为点(0,11)在二次函数f(x)=a(x-2)2-1的图象上, 所以11=4a-1,解得a=3. 所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11. 故a=3,b=-12,c=11. 答案D 4已知x3+2x2-5x-6=(x+a)(x+b)(x+c),则a,b,c的值分别为() A.1,2,3 B.1,-2,-3 C.1,-2,3 D.1,2,-3 解析∵(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc=x3+2x2-5x-6, ∴ 解得a=1,b=-2,c=3. 答案C 5设函数f(x)=若f(-1)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为() A.1 B.2 C.3 D.4 解析由f(-1)=f(0),f(-2)=-2, 可得 解得 故f(x)= 令f(x)=x,解得x=2或x=-2. 答案B 6抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A与点B,与y轴相交于点C,如果OB=OC=OA,那么b的值为() 待定系数法求函数解析式 【要点梳理】 一．已知三点求抛物线解析式 例1 二次函数的图象经过点（1，4），（－1，0）和（－2，5），求二次函数的解析式． 例2若抛物线经过A（－1，0）和B（3，0），且与y轴交于点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标． 二．已知顶点坐标及另一点坐标求抛物线解析式例3 已知抛物线的顶点坐标是（－2，3）且过（－1，5），求抛物线的解析式． 三．已知两点及对称轴，求抛物线解析式 例4已知抛物线过A（1，0），B（0，－3）两点，且对称轴为直线x=2，求抛物线解析式． 四．已知x轴上两点坐标及另一点坐标求抛物线解析式 例5若抛物线经过A（－2，0）和B（4，0），且与y轴交点（0，－3），求此抛物线的解析式及顶点坐标． 五．求平移后新抛物线解析式 例6把抛物线2x y- =向左平移1个单位，然后 向上平移3个单位，求平移后新的抛物线解析式． 六．求沿坐标轴翻折后新抛物线解析式 例7 在一张纸上作出函数3 2 2+ - =x x y的图 象，沿x轴把这张纸对折，描出与函数 3 2 2+ - =x x y的图象关于x轴对称的抛物线， 并写出新抛物线解析式． 【课堂操练】 1．求下列条件下的二次函数解析式： （1）过点（－1，0），（0，2）和（4，0）． （2）顶点为（2，－3），且过点（－1，15）． 2．已知二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所 示，求它关于y轴对称的抛物线解析式． 3．已知二次函数c bx ax y+ + =2的图象如图所 示，求它关于x轴对称的抛物线解析式． 4．已知二次函数c bx x y+ + =2 2 1 的图象过点A （c，－2），，求证：这 个二次函数图象的对称轴是直线x=3，题目中横线 上方部分是被墨水污染了无法辨认的文字． （1）根据已知和结论中现有信息，你能否求出题 目中的二次函数解析式？若能，请写出解题过程； 若不能，请说明理由． （2）请你根据已有的信息，在原题中的横线上添 加一个适当的条件，把原题补充完整． 【课后巩固】 1．将抛物线2 y x =的图像向右平移3个单位，则 平移后的抛物线的解析式为___________． 2．二次函数3 4 2+ + =x x y的图象可以由二次 函数2x y=的图象平移而得到，下列平移正确的 是（） A、先向左平移2个单位长度，再向上平移1个单 位长度 B、先向左平移2个单位长度，再向下平移1个单 位长度 C、先向右平移2个单位长度，再向上平移1个单 位长度 D、先向右平移2个单位长度，再向下平移1个单 位长度 3．已知2 y ax bx c =++的图象过（－2，－6）、 （2，10）和（3，24）三点，求函数解析式． 4．已知函数2 y ax bx c =++，当x＝1时，有最 大值－6，且经过点（2，－8），求出此抛物线的 解析式． 5．已知二次函数的图象与x轴的交点横坐标分别 为2和3，与y轴交点的纵坐标是72，求它的解 析式． 4.4 用待定系数法确定一次函数表达式 教学目标 知识与技能 1．学会用待定系数法确定一次函数表达式． 2．了解两个条件确定一个―次函数；一个条件确定一个正比例函数． 过程与方法 1．经历待定系数法的运用过程，提高研究数学问题的技能． 2．能根据函数的图象确定一次函数的表达式，体验数形结合思想，具体感知数形结合思想在一次函数中的运用． 情感、态度与价值观 能把实际问题抽象为数学问题，也能把所学的知识应用于实际，让学生认识数学与人类生活的密切联系及对人类历史发展的作用． 重点难点 重点：待定系数法确定一次函数表达式． 难点：灵活运用有关知识解决相关问题． 教学设计 —、创设情景 1．复习：画出函数y=3x，y=3x-1的图象． 2．反思：你在作这两个函数图象时，分别描了几个点？ 你为何选取这几个点？ 可以有不同取法吗？ 3．引入新课：在上节课中我们学习了在给定一次函数表达式的前提下，可以说出它的图象特征及有关性质；反之，如果给你信息，你能否求出函数的表达式呢？这将是本节课我们要研究的问题． 二、探究新知 1．设直线的表达式是y=kx+b，因为此直线经过点P(-20，5)，Q(10，20)，因此将这两个点的坐标代入，可得关于k、b的方程组，进而确定了k、b的值，确定了表达式．(写出解答过程) 2．反思小结：确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定函数的表达式需要两个条件． 初步运用，感悟新知． 已知一次函数的图象经过点(3，5)和(-4，-9)，求这个一次函数的表达式． 解：设这个一次函数的表达式为y=kx+b． ∵y=kx+b的图象过点(3，5)和(-4，-9)． ∴这个一次函数的表达式为y=2x-1． 像这样先设出函数表达式，再根据条件确定表达式中未知数的系数，进而求出函数表达式的方法，叫作待定系数法． 例题解析 例1 温度的测量有两种：摄氏温度和华氏温度.水的沸点温度是100℃，用华氏温度测量为212℉；水的冰点温度是0℃，用华氏温度测量为32 ℉.已知摄氏温度与华氏温度的关系近似地为一次函数关系，你能不能想出一个办法把华氏温度换算成摄氏温度？ 例2 某种拖拉机的油箱可储油40L，加满油并开始工作后，油箱中的剩余油量y(L)与工作时间x(h) 之间为一次函数关系，函数图象如图. (1)求y关于x的函数表达式； (2)一箱油可供拖拉机工作几小时？ 三、综合运用 1．若一次函数y=3x-b的图象经过点P(1，-1)，则该函数图象必经过点( ) A．(-1，1) B．(2，2) C．(-2，2) D．(2，-2) 2．若直线y=kx+b平行于直线y=3x+2，且在y轴上的截距为-5，则k=_____，b=______．3．写出两个一次函数，使它们的图象都经过点(-2，3)． 2.2.3 待定系数法 课时跟踪检测 [A 组 基础过关] 1．反比例函数图象过点(－2,3)，则它一定经过( ) A ．(－2，－3) B ．(3,2) C ．(3，－2) D ．(－3，－2) 解析：设f (x )＝k x (k ≠0)，∵f (x )过(－2,3)，∴k －2＝3，∴k ＝－6，f (x )＝－6 x ，过(3， －2)点．故选C ． 答案：C 2．已知抛物线与x 轴交于点(－1,0)，(1,0)，并且与y 轴交于点(0,1)，则抛物线的解析式为( ) A ．y ＝－x 2 ＋1 B ．y ＝x 2 ＋1 C ．y ＝－x 2－1 D ．y ＝x 2 －1 解析：设f (x )＝a (x －1)(x ＋1)(a ≠0)， ∵过(0,1)点， ∴f (0)＝－a ＝1， ∴a ＝－1， ∴f (x )＝－(x －1)(x ＋1)＝－x 2 ＋1，故选A ． 答案：A 3．函数y ＝ax 2 ＋bx 与y ＝ax ＋b (ab ≠0)的图象只能是( ) 解析：y ＝ax 2 ＋bx 的图象过原点，故A 错； 由B ，C ，D 中抛物线的对称轴可知－b 2a >0， ∴a 与b 异号，观察图中的直线，B 错； 两图象的交点为? ?? ??－b a ，0，故选D ． 答案：D 4.如图，抛物线y ＝－x 2 ＋2(m ＋1)x ＋m ＋3与x 轴交于A ，B 两点，且OA ＝3OB ，则m 等于( ) A ．－53 B ．0 C ．－5 3 或0 D ．1 解析：设A (x 1,0)(x 1＞0)，B (x 2,0)(x 2＜0)， 则x 1，x 2是方程－x 2 ＋2(m ＋1)x ＋m ＋3＝0的两根， 即x 2 －2(m ＋1)x －m －3＝0， ∴????? x 1＋x 2＝2(m ＋1)＞0，x 1·x 2＝－m －3.∵x 1＝－3x 2， ∴????? －2x 2＝2(m ＋1)，－3x 2 2＝－m －3， ∴m ＝0，m ＝－5 3(舍)，故选B ． 答案：B 5．已知f (x )＝ax ＋b (a ≠0)，且af (x )＋b ＝9x ＋8，则( ) A ．f (x )＝3x ＋2 B ．f (x )＝－3x －4 C ．f (x )＝3x －4 D ．f (x )＝3x ＋2或f (x )＝－3x －4 解析：由题可得a (ax ＋b )＋b ＝9x ＋8， ∴? ?? ?? a 2 ＝9，ab ＋b ＝8，∴? ?? ?? a ＝3， b ＝2或? ?? ?? a ＝－3， b ＝－4，故选D ． 答案：D 6．已知抛物线y ＝ax 2 与直线y ＝kx ＋1交于两点，其中一点的坐标为(1,4)，则另一交点的坐标为________． 答案：? ?? ??－14，14 7．反比例函数y ＝12 x 的图象和一次函数y ＝kx －7的图象都经过点P (m,2)，则一次函数 待定系数法 待定系数法是中学数学中的一种重要方法，它在平面解析几何中有广泛的应用． (一)求直线和曲线的方程 例1 过直线x-2y-3=0与直线2x-3y-2=0的交点，使它与两坐标轴相交所成的三角形的面积为5，求此直线的方程． 【解】设所求的直线方程为(x-2y-3)+λ(2x-3y-2)=0，整理，得 依题意，列方程得 于是所求的直线方程为 8x-5y＋20=0或2x-5y-10=0． 【解说】 (1)本解法用到过两直线交点的直线系方程，λ是待定系数． (2)待定系数法是求直线、圆和圆锥曲线方程的一种基本方法． 例2 如图2－9，直线l1和l2相交于点M，l1⊥l2，点N∈l1，以A、B为端点的曲线C上的任一点到l2的距离与到点N的距离相等．若 系，求曲线C的方程．(1998年全国高考理科试题) 【解】如图2－9，以l1为x轴，MN的垂直平分线为y轴，建立直角坐标系．由已知，得曲线C是以点N为焦点、l2为准线的抛物线的一段，其中点A、B 为曲线C的端点． 设曲线C的方程为y2=2px，p＞0(x1≤x≤x2，y＞0)．其中，x1、x2分别是A、B的横坐标，p=|MN|．从而M、N 解之，得p=4，x1=1． 故曲线C的方程为y2=8x (1≤x≤4，y＞0)． (二)探讨二元二次方程(或高次方程)表示的直线的性质 例3 已知方程ax2＋bxy＋cy2=0表示两条不重合的直线L1、L2．求：(1)直线L1与L2交角的两条角平分线方程；(2)直线L1与L2的夹角的大小． 【解】设L1、L2的方程分别为mx＋ny=0、qx＋py=0，则 ax2+bxy＋cy2＝(mx+ny)(qx+py)． 从而由待定系数法，得 14.2.2 一次函数(3) 用待定系数法求一次函数解析式 教学目标 1．知识与技能 会用待定系数法求解一次函数的解析式．体会二元一次方程组的实际应用． 了解两个条件确定一个一次函数；一个条件确定一个正比例函数. 2．过程与方法 经历探索求一次函数解析式的过程，感悟数学中的数与形的结合． 3．情感、态度与价值观 培养抽象的数学思维和与人合作的学习习惯，形成良好的学习态度． 重、难点与关键 1．重点：待定系数法求一次函数解析式． 2．难点：灵活运用有关知识解决相关问题. 3．关键：熟练应用二元一次方程组的代入法、?加减法解一次函数中的待定系数． 教学方法 采用“问题解决”的方法，让学生在问题解决中感受一次函数的内涵． 教学过程 一、创设情景，提出问题 1.复习：画出函数y=2x, 的图象 2引入新课：在上节课中我们学习了再给定一次函数表达式的前提下，可以说出它的图象的特征及有关性质；反之，如果给你函数的图象，你能不能求出函数的表达式呢？这就是这节课我们要研究的问题。 332y x =-+图1 图2 y=2x 332 y x =-+ 二．提出问题，形成思路 1.求下图中直线的函数表达式。 图1 图2 分析与思考:(1)题是经过原点的一条直线，因此是正比例函数，可设它的表达式为y=kx ,将点（1,2）代人表达式得2=k,从而确定该函数的表达式为y=2x. （2）题设直线的表达式为y=kx+b,因为此直线经过点（0,3），（2,0），因此将这两个点的坐标代人，可得关于k、b的二元一次方程组，从而确定了k、b的值，确定了表达式.(写出解答过程) 2.反思小结：确定正比例函数的表达式需要一个条件，确定一次函数的表达式需要两个条件。 初步应用，感悟新知 【例1】 1.已知一次函数的图象经过点（-1，1）和点（1，-5）， 求（1）这个一次函数的解析式； （2）当x=5时，函数y的值. 【思路点拨】求一次函数y=kx+b的解析式，关键是求出k、b的值，从已知条件可以列出关于k、b的二元一次方程组，并求出k、b． 【教师活动】分析例题，讲解方法． 【学生活动】联系已学习的二元一次方程组，以此为工具，解决问题，参与教师讲例，主动思考． 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b． 依题意得：解得 这个一次函数的解析式为y=-3x-2． 像这样先设出一次函数的解析式，再根据条件确定解析式中未知数的系数，从而具体写出这个式子的方法，叫做待定系数法。 第四章一次函数 1、函数自变量的取值： ①整式取全体实数，②分式则分母不为0，③二次根式则根号下的数≥0. 2、一次函数、正比例函数图像的主要特征： 一次函数y=kx+b的图像是经过点（0，b）、（，0）的直线； 正比例函数y=kx的图像是经过原点（0，0）的直线。 3、用待定系数法确定函数解析式的一般步骤： （1）根据已知条件写出含有待定系数的函数关系式； （2）将x、y的几对值或图象上的几个点的坐标代入上述函数关系式中 得到以待定系数为未知数的方程； （3）解方程得出未知系数的值； （4）将求出的待定系数代回所求的函数关系式中得出所求函数的解析式. 4、一次函数与一元一次方程的关系： 任何一个一元一次方程都可转化为：kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式 而一次函数解析式形式正是y=kx+b（k、b为常数，k≠0）．当函数值为0时，?即kx+b=0就与一元一次方程完全相同． 结论：由于任何一元一次方程都可转化为kx+b=0（k、b为常数，k≠0）的形式． 所以解一元一次方程可以转化为：当一次函数值为0时，求相应的自变量的值． 从图象上看，这相当于已知直线y=kx+b确定它与x轴交点的横坐标值． 5、一次函数y＝kx＋b(k≠0)的图象平移的方法：b的值加减即可（加是向上移，减则下移）。 6、同一平面内两直线的位置关系： y=k1+b1,与y=k2+b2 7、坐标轴上点的特征： x轴上的点纵坐标为0即（a，0）； y轴上的点横坐标为0.即（0，b） 第五章数据的频数分布 1、定义：频数与频率关系频率=（）， 2、性质：各小组的频数之和等于总数，各小组的频率之和等于1。 2、频数分布直方图：会读图，计算并将直方图补充完整。 补充辅助线作法 人说几何很困难，难点就在辅助线。辅助线，是虚线， 画图注意勿改变。如何添加辅助线？把握定理和概念。 还要刻苦加钻研，找出规律凭经验。图中有角平分线，可向两边作垂线。 线段垂直平分线，常向两端把线连。角平分线平行线，等腰三角形来添。 角平分线加垂线，三线合一试试看。三角形中两中点，连接则成中位线。 三角形中有中线，延长中线等中线。平行四边形出现，对称中心等分点。 要证线段倍与半，延长缩短可试验。 2.2.3 待定系数法 课时过关·能力提升 1反比例函数的图象经过点(-2,3),则其还经过点() A.(-2,-3) B.(3,2) C.(3,-2) D.(-3,-2) 解析设反比例函数为f(x)= (k≠0), 则3=,k=-6,即f(x)=, 故其还经过点(3,-2). 答案C 2二次函数y=x2+ax+b,若a+b=0,则它的图象必经过点() A.(-1,-1) B.(1,-1) C.(1,1) D.(-1,1) 解析当x=1时,y=12+a×1+b=a+b+1=1,因此图象一定经过定点(1,1). 答案C 3已知二次函数f(x)=ax2+bx+c(a≠0)的图象的顶点坐标为(2,-1),与y轴的交点为(0,11),则() A.a=1,b=-4,c=11 B.a=3,b=12,c=11 C.a=3,b=-6,c=11 D.a=3,b=-12,c=11 解析由已知可设二次函数f(x)=a(x-2)2-1(a≠0). 因为点(0,11)在二次函数f(x)=a(x-2)2-1的图象上, 所以11=4a-1,解得a=3. 所以f(x)=3(x-2)2-1=3x2-12x+11. 故a=3,b=-12,c=11. 答案D 4已知x3+2x2-5x-6=(x+a)(x+b)(x+c),则a,b,c的值分别为() A.1,2,3 B.1,-2,-3 C.1,-2,3 D.1,2,-3 解析∵(x+a)(x+b)(x+c)=x3+(a+b+c)x2+(ab+bc+ca)x+abc=x3+2x2-5x-6, ∴ 解得a=1,b=-2,c=3. 答案C 5设函数f(x)=若f(-1)=f(0),f(-2)=-2,则关于x的方程f(x)=x的解的个数为 () A.1 B.2 C.3 D.4 解析由f(-1)=f(0),f(-2)=-2, 可得 解得 故f(x)= 令f(x)=x,解得x=2或x=-2. 答案B 6抛物线y=ax2+bx+c与x轴相交于点A与点B,与y轴相交于点C,如果OB=OC=OA,那么b的值为() A.-2 B.-1 C.- D. 解析由图象可知c>0,且B(c,0),A(-2c,0). 设f(x)=a(x-c)(x+2c), 则a(x-c)(x+2c)=ax2+bx+c, 即ax2+acx-2ac2=ax2+bx+c. 故即ac=-,b=-. 答案C 7已知一次函数的图象经过(5,-2)和(3,4),则这个函数的解析式为. 解析设一次函数为y=kx+b(k≠0), 则有解得 三．待定系数因式分解（整体思想） 1．分解因式：2235294x xy y x y +-++- 2．分解因式432435x x x x -+++ 3．若a 是自然数，且4324153027a a a a -+-+的值是一个质数，求这个质数。 4．分解因式 432227447x x x x ---+ 5．分解因式：4322x x x +++ 6．22282143x xy y x y +-++- 7．当m 为何值时，2223x xy y my +-+-能分解成两个整系数一次因式之积？ 8．把多项式43244521x x x x -+-+写成一个多项式的完全平方式。 9． 22823x xy y --可以化为具有整系数的两个多项式的平方差。 10．已知多项式2223286x xy y x y +--+-的值恒等于两个因式()()22x y A x y B ++-+乘积的值，那么A+B 等于多少？ 11．若3233x x x k +-+有一个因式是1x +，求k 的值。 12．已知324715ax bx x +--被31x +和23x -整除，求,a b 的值，并将该多项式分解因式。 13．设32324x x xy kx y +---可分解为一次与二次因式之积，则k 为多少？ 14．若代数式(1)(2)(3)x x x x p ++++恰好能分解为两个二次整式的乘积。（其中二次项系数均为1，且一次项系数相同），求P 的最大值。 15．设()p x 是一个关于x 的二次多项式，且327561(1)()x x x m x p x a -+--=-+，其中,m a 是与x 无关的常数，求()p x 的表达式。 16．多项式m y x y xy x +-++-5112101222可以分解为两个一次因式的积，求m 的值。 17．已知225x x ++是42x ax b ++的一个因式，求a b +的值。 18．如果22754324x xy ay x y ++-+-可分解为两个一次因式之积，求a 的值。 19． 多项式2256x axy by x y ++-++的一个因式是2x y +-。求a b +的值。 19.3.3待定系数法确定函数的解析式 教学目标 1、待定系数法求一次函数的解析式。 2、学会利用一次函数解析式、性质、图象解决简单的实际问题。 情感目标 1、充分让学生合作探究，培养学生自主学习的能力。 2、理论联系实际，让学生充分体验数学知识与生活实际的联系，从而激励 学生热爱生活，热爱学习。 教学重点 让学生能在不同的条件下运用待定系数法求出一次函数的解析式，从而解决生活中的实际问题。 教学过程 一、旧知识回顾 让学生举出两个一次函数解析式，并说出如何画出这两个函数图象的画法：两点法 二、探索新知 1、师：我们知道已知两点可以确定一条直线，那么已知两点的坐标能否求出直线的解析式呢？ 热身准备： 已知正比例函数y= kx,(k≠0)的图象经过点（-2，4）. 求这个正比例函数的解析式． 例1已知:一次函数的图象经过点（3，5）与（-4，-9）,求出一次函数的解析式. 先由教师分析图象上的点的坐标与解析式之间的关系，让学生明确：图象上的点的坐标就是满足其解析式的一组对应值,即x=3时y=5,当x=-4时,y=-9。题目没有直接给出一次函数y=kx+b中，所以先要设出，一次函 数y=kx+b中有两个未定系数k,b.因为有两个未知数所以需找到两组对应值代入y=kx+b中，建立方程组，才能求出k、b的值。 解：设这个一次函数的解析式为y=kx+b 把x=3,y=5；x=-4,y=-9分别代入上式得 3k+b=5 -4k+b=-9 解这个方程组得 k=2 b=-1 所以这个一次函数的解析式是y=2x-1。 2、教师引出待定系数法的概念。 这种先设待求函数关系式（其中含有未知的常数系数）再根据条件列出方程或方程组，求出自变量的系数，和常数b的值，从而得到所求结果的方法，叫做待定系数法。 总结解题步骤：设（函数解析式）、列（方程或方程组）、解（方程或方程组）、写（写出函数解析式） 3、分类：求一次函数解析式常见的三种题型 （1）利用点的坐标求函数关系式 已知y是x的一次函数，当x=-1时y=3，当x =2 时y=-3，求y关于x 的一次函数解析式．求这个一次函数的解析式． （2）利用表格数据求出函数解析式 小明根据某个一次函数关系式填写了右表，其中有一格不慎被墨汁遮住了, 想想看，该空格里原来填的数是多少？ 待定系数法分解因式（附答案）待定系数法作为最常用的解题方法，可以运用于因式分解、确定方程系数、解决应用问题等各种场合。其指导作用贯穿于初中、高中甚至于大学的许多课程之中，认真学好并掌握待定系数法，必将大有裨益。 内容综述 将一个多项式表示成另一种含有待定系数的新的形式，这样就得到一个恒等式。然后根据恒等式的性质得出系数应满足的方程或方程组，其后通过解方程或方程组便可求出待定的系数，或找出某些系数所满足的关系式，这种解决问题的方法叫做待定系数法。 本讲主要介绍待定系数法在因式分解中的作用。同学们要仔细体会解题的技巧。 要点解析 这一部分中，通过一系列题目的因式分解过程，同学们要学会用待定系数法进行因式分解时的方法，步骤，技巧等。 例1 分解因式 思路1 因为 所以设原式的分解式是然后展开，利用多项式的恒等，求出m, n,的值。 解法1因为所以可设 比较系数，得 由①、②解得把代入③式也成立。 ∴ 思路2 前面同思路1，然后给x,y取特殊值，求出m,n 的值。 解法2 因为所以可设 因为该式是恒等式，所以它对所有使式子有意义的x,y都成立，那么无妨令得 令得 解①、②得或 把它们分别代入恒等式检验，得 ∴ 说明：本题解法中方程的个数多于未知数的个数，必须把求得的值代入多余的方程逐一检验。若有的解对某个方程或所设的等式不成立，则需将此解舍去；若得方程组无解，则说明原式不能分解成所设形成的因式。 例2 分解因式 思路本题是关于x的四次多项式，可考虑用待定系数法将其分解为两个二次式之积。 解设 由恒等式性质有： 由①、③解得代入②中，②式成立。 ∴ 说明若设原式 由待定系数法解题知关于a与b的方程组无解，故设原式 例3在关于x的二次三项式中，当时，其值为0；当时，其值为0；当 时，其值为10，求这个二次三项式。 20.已知点A（ 1，）、B 、O（0,0），试说明A、O、B三点在同一条直线上。 22.为缓解用电紧张矛盾，某电力公司特制定了新的用电收费标准，每月用电量x（度）与应付电费y（元）的关系如图所示．分别求出当0≤x≤50和x＞50时，y与x的函数关系式； 23.已知一个正比例函数和一个一次函数，它们的图象都经过点P（-2，1），且一次函数图象与y轴交于点Q（0，3）。 （1）求出这两个函数的解析式； （2）在同一个坐标系内，分别画出这两个函数的图象。 24..若一次函数的图象与直线y=-3x+2交y轴于同一点，且过点(2,-6)，求此函数解析式25、某一次函数的图像与直线y=6-x交于点A(5,k),且与直线y=2x-3无交点，求此函数的解析式. 26、已知直线y=kx+b在y轴上的截距为－2，且过点（－2,3）. （1）求函数y的解析式；（2）求直线与x轴交点坐标；（3）x取何值时，y＞0； 27、直线x-2y+1=0 在y轴上的截距为______． 28.一次函数y=kx+b(k≠0)的自变量的取值范围是-3≤x≤6相应函数值的范围是-5≤y≤-2,求这个函数的解析式. 29. 一次函数y=kx+b的图象过点(-2,5)，并且与y轴相交于点P，直线y=-1/2x+3与y轴相交于点Q，点Q与点P关于x轴对称，求这个一次函数解析式 30、正比例函数y=k1x与一次函数y=k2x+b的图象如图所示，它们的交点A的坐标为（3,4），并且OB＝5 （1）求△OAB的面积 （2）求这两个函数的解析式 3)3 ,1 (- - 6.一次函数y=kx+b中，kb>0,且y随x的增大而减小，则它的图象大致为（） 8.下面是y=k1x+k2与y=k2x在同一直角坐标系中的大致图象,其中正确的是( )待定系数法练习题
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