第13讲 几何不等式 深圳中学 周峻民

一道IMO试题的证明及其推广周峻民;郑慧娟【摘要】题目证明:(2m)!(2n)!/m!n!(m+n!)是整数.(第14届IMO试题)该试题是第14届国际数学奥林匹克(IMO)竞赛的第3题,简记为IMO.14.3.它的背景是2个数论函数的应用:方次数函数potpn和下取整函数[x].1 知识背景方次数函数potpn:表示素数p在正整数n的素因数分解中的次数(若素数p不是n的素因数,则次数记为0).如20=22.5,则pot220=2,pot320=0,pot520=1.下取整函数[x]:表示不超过实数x的最大整数(即x的整数部分).如[1.2] =1,[3] =3.这2个数论函数在数论中非常有用,由定义可得到下列简单的性质:性质1 potp(mn)=potpm+ potpn.【期刊名称】《中学教研：数学版》【年(卷),期】2011(000)012【总页数】3页(P41-43)【作者】周峻民;郑慧娟【作者单位】深圳中学广东深圳 518001;广州大学附属中学广东广州 510050【正文语种】中文题目证明:是整数．该试题是第14届国际数学奥林匹克(IMO)竞赛的第3题,简记为IMO.14.3.它的背景是2个数论函数的应用:方次数函数potpn和下取整函数⎣x」．方次数函数potpn：表示素数p在正整数n的素因数分解中的次数(若素数p不是n的素因数,则次数记为0)．如20=22·5，则pot220=2，pot320=0，pot520=1．下取整函数⎣x」：表示不超过实数x的最大整数(即x的整数部分)．如⎣1.2」=1，⎣3」=3．这2个数论函数在数论中非常有用，由定义可得到下列简单的性质：性质1 potp(mn)=potpm+potpn.性质2 b/a是整数的充要条件是：对任意素数p，有potpb-potpa≥0．性质3 ⎣x」+⎣y」≤⎣x+y」≤⎣x」+⎣y」+1.性质4 当n是整数时，⎣n+x」=n+⎣x」．将这2个数论函数联系到一起，得到以下性质：性质⎣n/pi」．证明由性质1知由性质2知是整数的充要条件是：对任意素数p，由性质5，该问题可转化为证明：对任意素数p，到这一步，思路有点卡住了，因为这5个“无限求和”是大问题．能否把这5个“无限求和”合并呢？合并之后，如果每一项的值非负，那么它们的和也是非负的.于是，希望得到：对任意素数p和任意正整数i，必有由于式(1)中素数p是任意的，正整数i也是任意的，因此更一般地，如果可以做到：对任意实数x,y，必有那么问题就迎刃而解了．式(2)中x,y是任意实数，范围有点大，下面尝试把x,y的范围变小．设x=⎣x」+a，y=⎣y」+b，其中a,b∈[0,1)．由性质4知代入可得再次简化得：对任意实数a,b∈[0,1)，必有把区间[0,1)分成和下面在这2个区间上对a,b进行逐一验证：(1)当时，2a,2b,a+b∈[0,1)，故⎣2a」=⎣2b」=⎣a+b」=0,即式(3)成立.(2)当时，2a∈[0,1),2b∈[1,2),故⎣2a」=0，⎣2b」=1.而无法直接得到⎣a+b」的值，这里需要用到性质3：⎣a+b」≤⎣a」+⎣b」+1=1，得到⎣a+b」≤⎣2a」+⎣2b」，从而式(3)成立.(3)当时，与情况(2)同理可得式(3)成立.(4)当时，2a,2b,a+b∈[1,2)，故⎣2a」=⎣2b」=⎣a+b」=1,式(3)成立．综上所述，对任意实数a,b∈[0,1)，式(3)恒成立，命题得证．由试题的证明过程可知，IMO.14.3的背景就是式(2)，而式(2)又可简化为式(3)，由此可编制出相同背景的试题．推广1 证明:是整数．推广2 证明:是整数．推广3 证明:是整数．上面3个推广和IMO.14.3“形状”相似，解法也相似，留给感兴趣的读者．推广4 证明:是整数．乍一看，推广4与IMO.14.3“形状”相似，但是仔细观察可发现2n-2<n+(n-1)，无法证明对任意实数x，必有⎣2x-2」≥⎣x」+⎣x-1」成立．证明设P=，Q=，则对任意实数x，必有类似于IMO.14.3的证明方法，可得P，Q是整数．由nP=(n-1)Q知n|(n-1)Q，而(n,n-1)=1，故n|Q，即=是整数．推广4可用排列组合方法证明是整数，这里是用数论方法给出的一个新证明．进一步，可得到更一般的结果：推广5 设(m,n)=1，证明：是整数．推广6 设(m,n)=1，证明：是m+n的倍数．推广7 设p是素数，0<k<p，证明：是p的倍数．推广5～7与推广4的证法类似.下面2个推广与推广4的证法不一样，留给感兴趣的读者．推广8 证明：是偶数．推广9 证明：m!n!整除(mn)!．【相关文献】[1] 柯召，孙琦.数论讲义[M].北京：高等教育出版社，2001.[2] 潘承洞，潘承彪.初等数论[M].北京：北京大学出版社，2003.[3] 柳柏濂，吴康.竞赛数学的原理和方法[M].广州：广东高等教育出版社，2003.。

浅谈证明不等式的方法作者：钟劲松来源：《中学数学杂志(高中版)》2015年第01期1构图法的历史构图法，即构造几何图形，利用几何图形的性质来帮助说明不等式.构图法出现已经有很长的历史，可以追溯到十二世纪的古代中国，希腊和印度.一些数学家认为构图法不是一种严格的证明，构图法对于实际证明毫无价值，证明有且只有一种方式——推理，构图证明是不能够接受的.但还有一部分数学家认为，数学不仅是逻辑的，还是图形的，作为数学教育工作者，必须把培养学生的想象能力作为重要的能力之一.数学教育家波利亚指出画图帮助理解题意，被认为是经典的教育学建议.爱因斯坦和庞加莱都认为，我们应该利用好我们的直觉；美国数学家加德纳指出，许多情形下，一个平淡的证明加上一个几何类似图形，使得证明更加简单和漂亮，定理的准确性立见.所有的这些，都说明了构图法对帮助证明的重要性.2几个不等式的构图说明高中数学选修模块45《不等式选讲》中的不等式主要有：基本不等式，绝对值不等式，平均值不等式，柯西不等式，排序不等式，贝努利不等式.中学阶段很多不等式的证明可以利用构图法来理解，下面列举几个不等式的构图.2.1不等式a+b2≥ab（a，b为正数）的构图不等式表明：两个正数的算术平均数a+b2不小于它们的几何平均数ab，即a+b2≥ab（a，b为正数），教材中一般构造如下的几何图形来加强理解.图1图2如图1所示，在正方形ABCD中，有S△ABC+S△AFM-S矩形ABEF≥0，即a2+b2≥a·b，所以a+b2≥ab.基本不等式的另一种构图，如图2所示，把半径不等的两圆水平放置，且都与直线AB相切，两圆外切，有OF=a+b2，OE=a-b2.在直角三角形OEF中，利用勾股定理可知EF=ab，因为OF>EF，所以a+b2≥ab.图1～2都说明了不等式a+b2≥ab的几何意义，并且能直观地感知当且仅当“a=b”时“=”成立.2.2不等式2aba+b如图3所示，M为圆A外一点，MA与圆A分别相交于P、Q两点，MG，MR分别为圆A的切线和割线，PM=a，QM=b，a>b>0，则有HM2.3不等式xr-1>r（x-1）的构图当n为正整数，x>-1时，（1+x）n≥1+nx成立，称为贝努利不等式（Bernoulli inequality），其证明方法通常有数学归纳法和利用二项式定理进行放缩.但形如xr-1>r（x-1）的不等式，不能采用类似于证明贝努利不等式的方法进行证明，可采用构图法帮助证明.构造如图4所示的图形，在同一坐标系中分别作出函数y=xr-1和y=r（x-1）的图象，函数y=xr-1为经过（1，0）点的凸函数，函数y=r（x-1）的图象是斜率为r，经过点（1，0）的直线，且直线y=r（x-1）与y=xr-1的图象相切，切点为（1，0）.因此，当r>1，x>0，x≠1时，不等式xr-1>r（x-1）恒成立.2.4不等式ab构图来帮助证明分布在数学中的各个方面，如代数，几何，三角，微积分和动态几何，不等式，数列，排列、组合等等.数学上许多的定理和概念，都可以用优美、简洁的图形来表示.老师们应该在平时教学中多注意总结，设计更多的图来帮助学生直观地理解数学知识，学好数学，让数学变得更为直观.。

·竞赛专题几何不等式深圳中学 周峻民一、知识与方法几何不等式，顾名思义是研究几何图形中有关元素的数量不等关系，较多的涉及到三角形或多边形的边长、面积等方面的不等式．处理方法一般分为纯几何方法和转化为代数方法、三角方法加以解决，可寻找解题规律，但没有固定的解题模式，要善于抓住主要矛盾解决问题。

其知识往往涉及到平面几何的重要定理、公式，代数（三角）的基本等式和不等式以及相关知识。

1．将几何问题转为代数问题（1）利用三角形三边关系化为代数式：若三角形三边长为,,a b c ，则b c a +>，c a b +>，a b c +>，由此，可设2y z a +=，2z x b +=，2x yc +=，即x a b c =-++ 0>，0y a b c =-+>，0z a b c =+->，将含有边长,,a b c 的不等式（三角形几个重要元素，如，外接圆半径R 、内切圆半径r 、面积、中线、高线、角平分线等）化为含有正数,,x y z 的代数不等式.（2）利用正弦定理：2sin ,2sin ,2sin ,a R A b R B c R C ===将含有边长,,a b c 的不等式化为三角函数不等式.在化为三角函数不等式时应注意以下等式的应用：222cos cos cos 2cos cos cos 1A B C A B C +++=；2222224442(sin sin sin sin sin sin )sin sin sin B C C A A B A B C ++--- 22264sin sin sin A B C =；tan tan tan tan tan tan A B C A B C ++=； cot cot cot cot cot cot 1B C C A A B ++= 等等。

2．几何方法利用纯粹的平面几何知识来证明几何不等式：（1）抓住几何图形的特征，挖掘几何图形中最基本的几何不等关系．事实上，一些最基本的几何不等关系在有关几何不等式的论证中异常活跃，常常成为解决问题的钥匙； （2）与面积有关的几何不等式也占有重要地位．其内容丰富，涉及面宽，富于智巧．证明这类不等式大都需要利用面积的等积变换、面积公式及面积比的有关定理等知识．下面给出几个重要的几何不等式：·Ptolemy （托勒密）不等式若ABCD 为四边形，则AB CD AD BC AC BD ⋅+⋅≤⋅，等号成立当且仅当ABCD 四点共圆．·Erdös-Mordell （埃尔多斯-莫德尔）不等式设P 是ABC ∆内的任意一点，P 到三边BC ，CA ，AB 的距离分别是,,PD p PE q PF r ===，并记,,PA x PB y PC z ===，则()2x y z p q r++≥++，等号成立当且仅当ABC ∆是正三角形且P 为此三角形的中心．·Weitzenberk （外森比克）不等式设ABC ∆的边长和面积分别为c b a ,,和S ，则S c b a 34222≥++，当且仅当ABC ∆为正三角形时等号成立．·Euler （欧拉）不等式设ABC ∆的外接圆与内切圆的半径分别为R 、r ，则2R r ≥，当且仅当ABC ∆为正三角形时等号成立．·Fermat （费马）问题在ABC ∆中，使PA+PB+PC 为最小的平面上的P 点称为费马点．当120BAC ∠≥︒时，A 点为费马点；当每个内角均小于120︒时，则与三边张角为120︒的P 点为费马点．·三角嵌入不等式设,,x y z R ∈，(21)A B C k π++=+，k Z ∈，则C xy B zx A yz z y x cos 2cos 2cos 2222++≥++．二、范例选讲例题1． 设P 是ABC ∆内的一点，求证：,,PAB PBC PCA ∠∠∠中至少有一个小于或等于30︒．BCBC证明1：连接AP 、BP 、CP ，并延长交对边于D 、E 、F ，则1PBC PCA PABABC ABC ABCS S S PD PE PF AD BE CF S S S ∆∆∆∆∆∆++=++=． 设,,PAB PBC PCA αβγ∠=∠=∠=，则sin sin sin PF PD PE PD PE PFy PA PB PC PA PB PCαβγ≤⋅⋅=⋅⋅=． 令123,,PD PE PFx x x AD BE CF ===，那么1231x x x ++=，且PD PE PF y PA PB PC =⋅⋅312123111x x x x x x =⋅⋅---312233112x x x x xx x x x =⋅⋅+++18≤=，当且仅当12313x x x ===时取等号，所以1sin sin sin 8αβγ≤，由此推出sin ,sin ,sin αβγ中至少有一个不大于12． 不失一般性，设1sin 2α≤，则30α≤︒或150α≥︒．当150α≥︒时，,30βγ<︒，命题也成立．当1sin sin sin 8αβγ=时，点P 既是ABC ∆的重心，又是ABC ∆的垂心，此时ABC∆是正三角形．证明2：（反证法）设30,,120PAB PBC PCA ︒<∠∠∠<︒，则sin sin30PDPAB PA=∠>︒，即2PD PA >；同理2PE PB >，2PF PC >．于是有()2PD PEPF PA PB PC ++>++，这与Erdös-Mordell 不等式矛盾．例题2． 求证：任何面积等于1的凸四边形的周长及两条对角线之和不小于4+ 证明：设四边形ABCD 是任一面积为1的凸四边形（如图1），于是有()11sin 2eg gf fh he α=+++()12eg gf fh he ≤+++()()12e f g h =++2122e f g h +++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，即对角线之和为e f g h +++≥另一方面，有111122sin sin sin sin 2222ABCD S ab A bc B cd C da D ==+++四边形()12ab bc cd da ≤+++()()12a c b d =++2122a b c d +++⎛⎫≤ ⎪⎝⎭，则4a b c d +++≥． 综上所述，命题成立．例题3． 已知ABC ∆，设I 是它的内心，C B A ∠∠∠,,的内角平分线分别交其对边于,,A B C '''，求证：18427AI BI CI AA BB CC ⋅⋅<≤'''⋅⋅． 证明：令c AB b CA a BC ===,,． 由角平分线定理，易得IA A B A C a IA c b b c '''===+，∴AA a b c IA b c '++=+，∴IA b cAA a b c+='++，易得121<+++<++++=c b a c b c b c b c b ，∴1,12IA b c AA a b c +⎛⎫=∈ ⎪'++⎝⎭． 同理，1,12IB a c BB a b c +⎛⎫=∈ ⎪'++⎝⎭，1,12IC a b CC a b c +⎛⎫=∈ ⎪'++⎝⎭，则2IA IB IC AA BB CC '''++='''． 以下分三种处理方法完成剩下的证明． （法一）令123111,,222IA IB IC t t t AA BB CC =+=+=+'''，则12312311,,,1,22t t t t t t ⎛⎫∈++= ⎪⎝⎭，∴31231231111118222222327t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎪+++≤= ⎪⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ⎪⎝⎭，∴()()12312312233112311111112228424t t t t t t t t t t t t t t t ⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++=+++++++> ⎪⎪⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，∴18427AI BI CI AA BB CC ⋅⋅<≤'''⋅⋅． （法二）令,,IA IB IC x y z AA BB CC ==='''，则2=++z y x ，且1,,,12x y z ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭， ∴38327x y z xyz ++⎛⎫≤= ⎪⎝⎭，211139(2)2222416xyz x x z z z z z ⎡⎤⎛⎫⎛⎫=-->--=--+⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 又112z <<，21392416z ⎡⎤⎛⎫--+⎢⎥ ⎪⎝⎭⎢⎥⎣⎦在区间端点取到最小值，∴2213913911241624164xyz z ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫>--+>--+=⎢⎥⎢⎥ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦．（法三）令m k c k n b n m a +=+=+=,,，则2222()2()2()AI BI CI m n k m n k m n kAA BB CC m n k m n k m n k ⋅⋅++++++=⋅⋅'''⋅⋅++++++ 41)(8))(()()(333>+++++++++++++=k n m mnk k n m nk mk mn k n m k n m ．例题4． 设四边形ABCD 是一个有内切圆的凸四边形，它的每个内角和外角都不小于60︒，证明：333333133AB AD BC CD AB AD -≤-≤-，并求等号何时成立． 证明：由余弦定理，2222222cos 2cos BD AD AB AD AB ABD CD BC CD BC C⎧=+-⋅⋅⎨=+-⋅⋅⎩． 由已知条件，60,120A C ︒≤∠∠≤︒，故11cos ,cos ,22A C ⎡⎤∈-⎢⎥⎣⎦，于是有()2223BD AB AD AB AD -++⋅()()22216cos AB AD AB AD A =+-⋅+()2224AB AD AB AD ≥+-⋅()220AB AD =-≥，即()2213AB AD AB AD ++⋅2BD ≤222cos CD BC CD BC C =+-⋅⋅22CD BC CD BC ≤++⋅．再由四边形ABCD 是一个有内切圆的凸四边形，可知AD BC AB CD +=+，所以AB AD CD BC -=-．结合上式，就有333313AB AD BC CD -≤-，等号成立当且仅当1cos 2A =，AB AD =，1cos 2C =-或者0AB AD CD BC -=-=，即AB AD =且CD BC =．同理可证另一个不等式成立，等号成立的条件同上．例题5． 设ABC ∆的内切圆与三边AB ，BC ，CA 分别相切于点P ，Q ，R ．证明：BC 6CA ABPQ QR RP++≥．证明1：设,,a BC b CA c AB ===，,,p QR q RP r PQ ===，则只需证明6a b cT r p q=++≥． 设2a b cs ++=，根据BQ BP s b ==-，应用余弦定理可得()()2221cos r s b B =--()2222212a c b s b ac ⎛⎫+-=-- ⎪⎝⎭()()222s b b a c ac⎡⎤---⎣⎦=()()()24s b s a s c ac---=，故r =；同理可得p =q =．由均值不等式，T =≥= 另一方面，由于,,a b c 是构成三角形的三边长，所以()()()()()()()()()2222222220,0,0,c a b a b c a b c a a b c b c a b c a b b c a c a b c a b c ⎧<+-+-=--≤⎪⎪<+-+-=--≤⎨⎪<+-+-=--≤⎪⎩以上三式相乘，即得()()()222222b c a c a b a b c a b c +-+-+-≤（此处可以考虑用均值不等式证明），所以6T =≥．证明2：设,,AP AR x BP BQ y CR CQ z ======，r 为ABC ∆的内切圆半径，则r =O 是ABC ∆的内切圆的圆心，在四边形APOR 中，PR AO⊥，所以2AO RP AP PO ⋅=⋅2RP xr =，所以B1RP ==． 由柯西不等式，(12AB x y RP=+=1112⎛≥+⎝1=+1BC PQ ≥1CA QR ≥．以上三式相加，即得BC CA AB PQQR RP ++3≥+336≥+=．例题6． 设P 是ABC ∆内的一个点，S R Q ,,分别是C B A ,,与P 的连线与对边的交点，求证：ABC QRS S S ∆∆≤41．（QRS ∆是塞瓦三角形） 证明1：令γβα===RACRQC BQ SB AS ,,，由塞瓦定理1=αβγ，则)1)(1(++=⋅⋅=∆∆γααAC AB AR AS S S ABC ASR ；同理)1)(1(++=⋅⋅=∆∆αββAB BC BS BQ S S ABC BSQ ，)1)(1(++=⋅⋅=∆∆βγγAB BC CR CQ S S ABC CQR ． 只要证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++43， 即43)1)(1()1)(1()1)(1(≥++++++++βγγαββγαα， 只要证0)()(6≤++-++-γβαγαβγαβ，只要证0)]()111[(6≤+++++-γβαγβα，显然6)()111(≥+++++γβαγβα，当12αβγ===时取等号，此时P 是ABC ∆的重心．证明2：设z S y S x S PAB PBC PAC ===∆∆∆,,，则zx QB QC y z RC RA x y SA SB ===,,，))((y z y x xz AC AB AR AS S S ABC ASR ++=⋅⋅=∆∆；同理))((x z x y yz AB BC BS BQ S S ABC BSQ ++=⋅⋅=∆∆，))((z y z x xyAB BC CR CQ S S ABCCQR ++=⋅⋅=∆∆，只要证明ABC CQR BSQ ASR S S S S ∆∆∆∆≥++43， 即43))(())(())((≥++++++++z y z x xy x z x y yz y z y x xz ，通分整理得3()()()()()()4xz x z yz y z xy x y x y y z z x +++++≥+++， 即22223()()()()()()4x y z y z x z x y x y y z z x +++++≥+++364xyz ≥⋅=， 只要证xyz y x z z y x z x y 6)()()(222≥+++++， 事实上)()()(222y x z z y x z x y +++++)()(222222zx yz xy x z z y y x +++++=xyz xyz xyz zx yz xy x z z y y x 6333332223222=+=⋅⋅+⋅⋅≥，当且仅当z y x ==时取等号，此时P 是ABC ∆的重心． 证明3：令,,AS BQ CRAB BC CAαβγ===，且)1,0(,,∈γβα，则1,1,1BS CQ ARAB BC CAαβγ=-=-=-，由塞瓦定理得)1)(1)(1(γβααβγ---=，整理得()12αβγαββγγααβγ++-++=-， )1(γα-=⋅⋅=∆∆ACAB ARAS S S ABC ASR ； 同理)1(αβ-=⋅⋅=∆∆AB BC BSBQ S S ABC BSQ ，)1(βγ-=⋅⋅=∆∆ABBC CR CQ S S ABC CQR ， 只要证43)1()1()1(≥-+-+-βγαβγα， 事实上(1)(1)(1)αγβαγβ-+-+-()αβγαββγγα=++-++12αβγ=-1=-114=-⋅43411=-≥，当且仅当21===γβα时取等号，此时S R Q ,,是中点，P 是ABC ∆的重心．例题7． 设六边形ABCDEF 是凸六边形，且AB BC CD ==，DE EF FA ==，60BCD EFA ∠=∠=︒．设G 和H 是这个六边形内部的两点，使得120AGB DHE ∠=∠=︒．试证：AG GB GH DH HE CF ++++≥．证明：以直线BE 为对称轴，作C 和F 关于该直线的对称点C '和F '，则ABC '∆和DEF '∆都是正三角形，G 和H 分别在这两个三角形的外接圆上．根据Ptolemy 定理得C G AB AG C B GB C A '''⋅=⋅+⋅，因而C G AG GB '=+；同理，HF DH HE '=+．于是AG GB GH DH HE ++++C G GH HF ''=++C F CF ''≥=，等号成立当且仅当线段CF 和C F ''以直线BE 为对称轴．例题8． 已知四边形1234A A A A 既有外接圆又有内切圆，内切圆与边12A A ，23A A ，34A A ，41A A 分别切于1234,,,B B B B ．证明：222223341241122334418A A A A A A A A B B B B B B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫+++≥ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭．证明：设四边形1234A A A A 的内切圆半径为r ，记1232A A A α∠=，2342AA A β∠=，3412A A A γ∠=，4122A A A θ∠=。

第 13 讲平行线的性质及其应用考点·方法·破译1．掌握平行线的性质，正确理解平行线的判断与性质定理之间的差别和联系；2．初步认识命题，命题的组成，真假命题、定理；3．灵巧运用平行线的判断和性质解决角的计算与证明，确立两直线的地点关系，感觉转变思想在解决数学识题中的灵巧应用.经典·考题·赏析【例１】如图，四边形ABCD中，AB∥CD， BC∥AD，∠A＝38°，求∠ C的度数.【解法指导】两条直线平行，同位角相等；D C AB两条直线平行，内错角相等；两条直线平行，同旁内角互补.平行线的性质是推导角关系的重要依照之一，一定正确辨别图形的特点，看清截线，辨别角的关系式重点.【解】：∵ AB∥CD BC∥AD∴∠ A＋∠ B＝180°∠B＋∠ C＝180°(两条直线平行，同旁内角互补 )∴∠ A＝∠ C∵∠ A＝38°∴∠ C＝38°【变式题组】01．如图，已知AD∥BC，点E在BD的延伸线上，若∠ADE＝155°，则∠ DBC的度数为（）A．155°B．50°C．45°D．25°E F C3 21 Al1D 2 αB C 1 l2A BDE（第 1 题图）（第 2 题图）（第 3 题图）02．（安徽）如图，直线l1 ∥ l ,∠1＝55°，∠2＝65°，则∠3为2（）A．50°B．55°C．60°D．65°03．如图，已知FC∥AB∥DE，∠α：∠D：∠B＝2: 3: 4, 试求∠α、∠D、∠ B的度数.【例２】如图，已知AB∥CD∥EF，GC⊥CF，∠ B＝60°，∠ EFC ＝45°，求∠BCG的度数 .【解法指导】平行线的性质与对顶角、邻补角、垂直和角均分线相联合，可求各样地点的角的度数，但注意看清角的地点 .【解】∵AB∥CD∥EF∴∠ B＝∠ BCD∠F＝∠A BGC D E FFCD(两条直线平行，内错角相等)又∵∠ B＝60°∠EFC＝45°∴∠BCD＝60°∠FCD＝45°又∵ GC⊥CF∴∠ GCF＝90°（垂直定理）∴∠ GCD＝90°－45°＝45°∴∠ BCG＝60°－45°＝15°【变式题组】01．如图，已知AF∥BC, 且AF均分∠EAB，∠B＝48°，则∠C的的度数＝ _______________E AA B MF CD O EB C B C A P ND（第 2 题图）（第 3 题图）（第 1 题图）2.如图 , 已知∠ABC＋∠ACB＝120°，BO、CO分别∠ABC、∠ACB，DE过点 O与 BC平行，则∠ BOC＝___________03．如图，已知AB∥MP∥CD, MN均分∠AMD，∠A＝40°，∠D＝50°，求∠ NMP的度数.【例３】如图，已知∠1＝∠ 2，∠C＝∠D．求证：∠A＝∠F. E FD【解法指导】23 因果转变，综合运用 . 1ACB逆向思想：要证明∠ A＝∠ F，即要证明 DF∥AC．要证明 DF∥AC,即要证明∠ D＋∠ DBC＝180°，即：∠ C＋∠ DBC＝180°；要证明∠ C＋∠ DBC＝180°即要证明DB∥EC．要证明DB∥EC即要证明∠ 1＝∠ 3.证明：∵∠ 1＝∠ 2，∠ 2＝∠ 3（对顶角相等）因此∠1＝∠ 3 ∴DB∥EC（同位角相等?两直线平行）∴∠ DBC＋∠ C＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∵∠ C＝∠ D ∴∠ DBC＋∠ D＝180° ∴DF∥AC（同旁内角，互补两直线平行）∴∠A＝∠ F（两直线平行，内错角相等）【变式题组】C01．如图，已知AC∥FG，∠ 1＝∠ 2，求证：DE∥1FG D FA3 B2E G（第 1 题图）A02．如图，已知∠ 1＋∠ 2＝180°，∠ 3＝∠B．求证：∠D AED＝∠E ACB31F 2B C（第 2 题图）03．如图，两平面镜α、β的夹角θ，入射光芒AO平行于β入射到α上，经两次反射后的出射光芒O′B 平行α BO于α，则角θ等于 _________.θβO/【例４】如图，已知 EG⊥BC，AD⊥BC，∠1＝∠3.E求证： AD均分∠ BAC．A 【解法指导】抓住题中给出的条件的目的，认真剖析 1 3条件给我们带来的结论，关于不可以直接直接得出结论D CB G的条件，要正确掌握住这些条件的企图. （题目中的：∠1＝∠ 3）证明：∵ EG⊥BC，AD⊥BC∴∠ EGC＝∠ ADC＝90°（垂直定义）∴ EG∥AD（同位角相等，两条直线平行）∵∠ 1＝∠ 3∴∠ 3＝∠ BAD（两条直线平行，内错角相等）∴A D均分∠ BAC（角均分线定义）【变式题组】01．如图，若AE⊥BC于E，∠ 1＝∠ 2，求证：DC⊥DBC．A12B E C广东省深圳市罗湖区华英学校人教版七年级数学培优讲义(无答案)-第13讲平行线的性质及其应用02．如图，在△ABC中，CE⊥AB于E, DF⊥AB于F,AC∥ED，CE均分A∠ACB．求证：∠ EDF＝∠ BDF.EFBD C3．已知如图，AB∥CD，∠B＝40°，CN是∠BCE的均分线 .CM⊥CN，求：∠ BCM的度数. ANME C【例５】已知，如图，AB∥ EF，求证：∠ ABC＋∠ BCF＋∠ CFE＝360°【解法指导】从考虑 360°这个特别角下手睁开联想，剖析类比，联想周角 . 结构两个“平角”或结构两组“互补”的角 .A BD1C2EF过点 C作 CD∥AB即把已知条件 AB∥EF联系起来，这是重点.【证明】：过点 C作 CD∥AB ∵CD∥AB ∴∠1＋∠ ABC＝180°( 两直线平行，同旁内角互补)又∵ AB∥EF，∴ CD∥EF（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ 2＋∠CFE＝180° ( 两直线平行，同旁内角互补 )∴∠ ABC＋∠ 1＋∠ 2＋∠ CFE＝180°＋180°＝360°即∠ ABC＋∠ BCF＋∠ CFE＝360°【变式题组】01．如图，已知，AB∥CD，分别研究下边四个图形中∠APC和∠ PAB、∠P CD的关系，请你从所得四个关系中选出随意一个，说明你研究的结论的正确性 .结论：⑴ ____________________________⑵____________________________⑶____________________________⑷____________________________PB A B A B ABPAP PD C⑴ D C ⑵D C ⑶D C ⑷【例６】如图，已知， AB∥CD，则∠α、∠β、∠γ、∠ψ之间的关系是∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝180° A α B 【解法指导】基本图形 B 1 βHAα E3P ∠ P＝α＋β Fγ 4βψC D C D擅长从复杂的图形中找到基本图形，运用基本图形的规律翻开思路.【解】过点 E 作 EH∥AB．过点 F 作 FG∥AB．∵AB∥EH∴∠α＝∠ 1（两直线平行，内错角相等）又∵FG∥AB ∴EH∥ FG（平行于同一条直线的两直线平行）∴∠2＝∠ 3又∵ AB∥CD∴ FG∥CD （平行于同一条直线的两直线平行）∴∠ ψ＋∠ 4＝180°（两直线平行，同旁内角互补）∴∠α＋∠γ＋∠ψ－∠β＝∠1＋∠3＋∠4－ψ－∠1－∠2＝∠ 4＋ψ＝180°【变式题组】 AαBCγ D01．如图，AB∥EF，∠C＝90°，则∠α、∠β、∠γ的关系是（）A．∠β＝∠ α＋∠ γB．∠β＋∠α＋∠γ＝180°C．∠α＋∠ β－∠γ＝90°D．∠β＋∠γ－∠α＝90°02．如图，已知，AB∥CD，∠ABE和∠CDE的均分线订交于点F，∠EA B＝140°，求∠BFD的度数 .EFC D【例７】如图，平移三角形 ABC，设点 A 挪动到点 A/，画出平移后的三角形 A/ B/ C/.【解法指导】抓住平移作图的“四部曲”——定，找，移，连.A′⑴定：确立平移的方向和距离. lAB′⑵找：找出图形的重点点.C′⑶移：过重点点作平行且相等的线段，获得重点点 BC的对应点 .⑷连 :按原图形按序连结对应点./// 【解】①连结AA②过点B作AA的平行线l③在l截取BB/ /B 对应点，用相同的方法作出点/＝AA,则点 B 就是的C的对应点 C. 连结 A/ B/，B/ C/，C/ A/ 就获得平移后的三角形 A/ B/ C/.【变式题组】01．如图，把四边形ABCD按箭头所指的方向平移21cm，作出平移后的图形 .ADBC02．如图 , 已知三角形ABC中，∠C＝90°, BC＝4，AC＝4，现将△ABC 沿 CB方向平移到△ A/ B/ C/的地点，若平移距离为3, 求△ABC与A A// / / C C/ B B/ △A B C的重叠部分的面积.03．本来是重叠的两个直角三角形，将此中一个三角形沿着BC方向平移 BE的距离，就获得此图形，求暗影部分的面积. （单位：厘米）A D83B 5 EC F操练稳固反应提升 A 北01．如图，由A测B得方向是（）30°西B 东A．南偏东30°B．南偏东60°南C．北偏西30°D．北偏西60°02．命题：①对顶角相等；②相等的角是对顶角；③垂直于同一条直线的两直线平行；④平行于同一条直线的两直线垂直. 此中的真命题的有（）A．1个B．2个C．3个D．4个03．一个学员在广场上练习驾驶汽车，两次拐弯后，行驶的方向与原来的方向相同，两次拐弯的角度可能是（）A．第一次向左拐30°，第二次向右拐30°B．第一次向右拐50°，第二次向左拐130°C．第一次向左拐50°，第二次向右拐130°D．第一次向左拐60°，第二次向左拐120°04．以下命题中，正确的选项是（）A．对顶角相等B．同位角相等C．内错角相等D．同旁内角互补05．学习了平行线后，小敏想出过直线外一点画这条直线的平行线的新方法，是经过折一张半透明的纸获得的[ 如图⑴—⑷ ]P.P.P.P.⑴⑵⑶⑷从图中可知，小敏画平行线的依照有（）①两直线平行，同位角相等；②两直线平行，内错角相等；③同位角相等，两直线平行；④内错角相等，两直线平行.A．①②B．②③C．③④D．①④06．在A、B 两座工厂之间要修筑一条笔挺的公路，从 A 地测得B 地的走向是南偏东52°. 现A、B两地要同时动工，若干天后，公路正确对接，则B地所修公路的走向应当是（）A．北偏东52°B．南偏东52°C．西偏北52°D．北偏西 38°07．以下几种运动中属于平移的有（）①水平运输带上的砖的运动；②笔挺的高诉公路上行驶的汽车的运动（忽视车轮的转动）；③起落机上下做机械运动；④足球场上足球的运动 .A．1种B．2种C．3种D．4种08．如图，网格中的房屋图案正利处于网格右下角的地点. 平移这个图案，使它正好位于左上角的地点（不可以出格）09．察看图，哪个图是由图⑴平移而获得的（）10．如图，AD∥BC，AB∥CD，AE⊥BC，现将△ABE进行平移 . 平移方向为射线 AD的方向.平移距离为线段 BC的长，则平移获得的三角形是图中（）图的暗影部分 .D A D A DA DB E AC B E B C BE C C B E D C E11．判断以下命题是真命题仍是假命题，假如是假命题，举出一个反例.⑴对顶角是相等的角；⑵相等的角是对顶角；⑶两个锐角的和是钝角；⑷同旁内角互补，两直线平行.12．把以下命题改写成“假如那么”的形式，并指出命题的真假 .⑴互补的角是邻补角；⑵两个锐角的和是锐角；⑶直角都相等 .13．如图，在湖畔修一条公路. 假如第一个拐弯处∠A＝120°，第二个拐弯处∠ B＝150°，第三个拐弯处∠ C，这时道路 CE恰巧和道路 AD平行，问∠ C是多少度？并说明原因.湖E120°150°C BD14．如图，一条河流两岸是平行的，当小船行驶到河中E点时，与两岸码头 B、D成64°角.当小船行驶到河中 F 点时，看 B 点和 D 点的视野 FB、FD恰巧有∠1＝∠2，∠3＝∠4的关系.你能说出此时点 F 与码头 B、D所形成的角∠ BFD的度数吗？AB12F E34C D15．如图，AB∥CD，∠ 1＝∠ 2，试说明∠E和∠F的关系 .BA13EF42C P D培优升级·奥赛检测01．如图，等边△ABC各边都被分红五均分，这样在△ ABC内能与△ DEF达成重合的小三角形共有25 个，那么在△ABC内由△AD FEB CDEF平移获得的三角形共有（）个02．如图，一足球运动员在球场上点 A 处看到足球从 B 点沿着 BO方向匀速滚来，运动员立刻从 A 处以匀速直线奔跑前往拦截足球.. A若足球转动的速度与该运动员奔跑的速度相同，请标出运动员的平移方向及最快能截住足球的地点. （运动员奔跑于足球转动视..为点的平移）O B03．如图，长方体的长AB＝4cm，宽 D C BC＝3cm，高 AA＝2cm.将 AC平 B1AC1 移到 A1C1的地点上时，平移的距D1A1 B1离是 ___________,平移的方向是 ___________.04．如图是图形的操作过程（五个矩形水平方向的边长均为a，竖直方向的边长为 b）；将线段 A1A2向右平移1个单位获得 B1B2，获得关闭图形 A1A2B2B1[即暗影部分如图⑴];将折现 A1A2 A3向右平移1个单位获得 B1B2B3，获得关闭图形 A1A2 A3B3B2B1[即暗影部分如图⑵];⑴在图⑶中，请你近似地画出一条有两个折点的直线，相同的向右平移 1 个单位，进而获得 1 个关闭图形，并画出暗影.⑵请你分别写出上述三个暗影部分的面积S1＝________, S2＝________, S3＝________.⑶联想与研究：如图⑷，在一矩形草地上，有一条曲折的柏油小路（小道在任何地方的水平宽度都是 1 个单位），请你猜想空白部分草地面积是多少？A1 B1 A1 B1 A1 B1A2 B2草地A2B2A3 B3 草地A2 B2⑵A3 B3⑶⑷A4 B4⑴⑸05．一位模型赛车手遥控一辆赛车，先行进一半，而后原地逆时针旋转α°（ 0°＜α°＜ 180°），被称为一次操作，若5次后发现赛车回到出发点，则α°角为（）A．720°B．108°或144°C．144°D．720°或144°06．两条直线a、b相互平行，直线 a 上按序有10个点 A1、A2、、A10，直线 b 上按序有10个点 B1、B2、、 B9，将 a 上每一点与 b 上每一点相连可得线段. 若没有三条线段订交于同一点，则这些选段的交点个数是（）A．90B．1620C．6480D．200607．如图，已知AB∥CD，∠B＝100°，EF均分∠BEC，EG⊥EF.求∠BEG和∠ DEG.AB100°G FD E C08．如图，AB∥CD，∠BAE＝30°，∠DCE＝60°，EF、EG三均分∠A BAEC．问：EF与 EG中有没有与 ABFE平行的直线？为何？GC D09．如图，已知直线CB∥OA，∠ C＝∠ OAB＝100°， E、F 在 CB上，且知足∠ FOB＝∠ AOB，OE均分∠ COF.⑴求∠ EOB的度数；⑵若平行挪动AB，那么∠ OBC：∠ OFC的值能否随之发生变化？若变化，找出变化规律；若不变，求出这个比值 .⑶在平行挪动 AB 的过程中，能否存在某种状况，使∠OEC＝∠C FE B OBA？若存在，求出其度数；若不存在，说明原因.O A10．平面上有 5 条直线，此中随意两条都不平行，那么在这 5 条直线两两订交所成的角中，起码有一个角不超出36°, 请说明原因 .11．如图，正方形ABCD的边长为5,把它的对角线 AC分红 n 段，以A B每一小段为对角线作小正方形，这 n 个小正方形的周长之和为多少？D C12．如图将面积为a2的小正方形和面积为 b2的大正方形放在一同，用添加法怎样求出暗影部分面积？AFBEDC。