三个数的算术---几何平均不等式

∴E2＝1k62 ·sin2θ·cos4θ＝3k22 (2sin2θ)·cos2θ·cos2θ ≤3k22 ·(2sin2θ＋co3s2θ＋cos2θ)3＝1k028， 当且仅当 2sin2θ＝cos2θ 时取等号， 即 tan2θ＝12，tan θ＝ 22时，等号成立． ∴h＝2tan θ＝ 2，即 h＝ 2时，E 最大． 因此选择灯的高度为 2米时，才能使桌子边缘处最亮．
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2，
∴y2≤12(2x2＋1－3x2＋1－x2)3＝247.
当且仅当 2x2＝1－x2，
即 x＝ 33时等号成立．
∴y≤2
9
3，∴y
的最大值为2 9
3 .
1．解答本题时，有的同学会做出如下拼凑： y＝x(1－x2)＝x(1－x)(1＋x)＝12·x(2－2x)·(1＋x)≤12 (x＋2－23x＋1＋x)3＝12. 虽然其中的拼凑过程保证了三个数的和为定值，但忽略了取 “＝”号的条件，显然 x＝2－2x＝1＋x 无解，即无法取“＝”号，也 就是说，这种拼凑法是不正确的． 2．解决此类问题时，要注意多积累一些拼凑方法的题型及数 学结构，同时也要注意算术－几何平均不等式的使用条件，三个 缺一不可．
用平均不等式求解实际问题 例 3 如图所示，在一张半径是 2 米的 圆桌的正中央上空挂一盏电灯．大家知道， 灯挂得太高了，桌子边缘处的亮度就小； 挂得太低，桌子的边缘处仍然是不亮的．
由物理学知识，桌子边缘一点处的照亮度 E 和电灯射到 桌子边缘的光线与桌子的夹角 θ 的正弦成正比，而和这一点 到光源的距离 r 的平方成反比．
变式训练
若 2a＞b＞0，试求 a＋
4
的最小值．
（2a－b）·b
【解】 a＋2a－4b·b＝2a－2b＋b＋2a－4b·b ＝2a－ 2 b＋b2＋2a－4b·b

3
证明：因为x>0，y>0，所以1＋x＋y2≥3 xy2 >0，1＋
3
3
3
x2＋y≥3 xy2>0，故(1＋x＋y2)(1＋x2＋y)≥3 xy2·3 x2y＝
9xy.当且仅当x＝y＝1时取等号．
类型3 利用平均不等式解决实际问题 [典例3] 如图所示，把一块边长为a的正方形铁皮 的各角切去大小相同的小正方形，再把它沿着虚线折起 做成一个无盖的铁盒，问切去的正方形边长是多少时， 盒子的体积最大？
4．若a，b，c都是正数且a＋b＋c＝6，则abc的最大
值为( )
A．2
B．27
C．8
D．3
解析：因为a＞0，b＞0，c＞0，a＋b＋c＝6，
所以abc≤a＋3b＋c3＝633＝8，
当且仅当a＝b＝c＝2时“＝”成立．
答案：C
5．若0<x<1，则函数y＝x4(1－x2)的最大值是
________，此时x＝________．
＝3－2x，即x＝43时，等号成立，
所以ymax＝217. (2)因为x>1，所以x－1>0， y＝x＋（x－4 1）2＝12(x－1)＋12(x－1)＋（x－4 1）2＋1≥
3
3
12（x－1）·12（x－1）·（x－4 1）2
＋1＝4，当且仅当
1 2
(x－1)＝12(x－1)＝（x－4 1）2，即x＝3时，等号成立．
a＋3b＋c＝－1，3
3
abc＝
3，故(1)不正确．
(2)由定理3，知等号成立的条件是a＝b＝c.故(2)不
正确．
(3)由定理3知(3)正确． (4)必须a1，a2，…，an都是正数，命题才成立． 答案：(1)× (2)× (3)√ (4)×

即 x=
3
3时,y 取最小值 2 ×
2
33
3
= 2 9.
错解 2:∵x>0,
3
1 2
∴y=x2 + + ≥3·
1 2

3
3
2 · · = 3 2,y 的最小值为 3 2.
题型一
题型二
题型三
题型四
3

错因分析:错解 1 中不能保证两正数 x2与 的积为定值,此
3
时 2 3为变量,不能说当 x=
2
题型一
题型二
题型三
题型四
解:∵y=x(1-x2),
1
2
2
2
2
2
2
2
∴y =x (1-x ) =2x (1-x )(1-x )·.
2
∵2x2+(1-x2)+(1-x2)=2,
1 22 +1-2 +1-2
2
∴y ≤2
3
3
=
4
.
27
3
当且仅当 2x2=1-x2,即 x= 3 时,等号成立.
2 3
3.三个正数的算术-几何平均不等式
学习目标：
1.了解三个正数的算术-几何平均不等式.
2.会应用三个正数的算术-几何平均不等式解决简单问题.
1.三个正数或三个以上正数的算术-几何平均不等式的应用条件
剖析:“一正”:不论是三个数或者 n 个数的算术-几何平均不等式,
3
都要求是正数,否则不等式是不成立的.如 a+b+c≥3 abc, 取a=b=3
≤32 ·
3
3
=
2

,

长的时，盒子的容积最大．
利用垂直判定定理来判断三角形的形状，及时掌握直线垂直判断的运用
练习：
A、0B、1C、D、
A、4B、
C、6D、非上述答案
巩固本节课所学过的知识。
学生独立完成，教师检查反馈。
小结：
这节课我们讨论了利用平均值定理求某些函数的最值问题。现在，我们又多了一种求正变量在定积或定和条件下的函数最值的方法。这是平均值定理的一个重要应用也是本章的重点内容，应用定理时需注意“一正二定三相等”这三个条件缺一不可，不可直接利用定理时，要善于转化，这里关键是掌握好转化的条件，通过运用有关变形的具体方法，以达到化归的目的。
。
利用练习强化对判断定理的认识。
学生思考，教师引导。
例题：
例１求函数的最小值．
下面解法是否正确？为什么？
解法１：由知，则
当且仅当
解法2：由知，则
引导学生利用平行判定定理来判断四边形的形状，及时掌握直线平行判断的运用。
（正解）解法3：由知，则
小结：以上是解题过程中最容易出现的几种错误，结合这些错误，在使用均值不等式求最值时必须强调三个条件：
当且仅当 时，等号成立。
这个等式表述为：三个正数的算术—几何平均不等式
注：
１、若三个正数的积是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的和有最小值。
2、若三个正数的和是一个常数，那么当且仅当这三个正数相等时，它们的积有最大值。
事实上，基本不等式可以推广到一般的情形：
即：n个正数的算术—几何平均不等式：
例2如下图，把一块边长是a的正方形铁片的各角切去大小相同的小正方形，再把它的边沿着虚线折转成一个无盖方底的盒子,问切去的正方形边长是多少时，才能使盒子的容积最大？

桦甸市第四中学 新课讲解
定理3 若a, b.c R , 那么 a b c 3 abc, 3
当且仅当a b c时，等号成立。
表述:三个正数的算术平均不小于它们的几何平均.
桦甸市第四中学 新课讲解
推广 如果 a1, a2 , , an R , n 1且n N* 则：
解：设剪去的小正方形的边长为x
x
则其容积为 : V x(a 2 x)2 ,(0 x a ) 2
V 1 4x (a 2x)(a 2x) 4
1 [4x (a 2x) (a 2x)]3 2a3
4
3
27
当且仅当4 x

a

2x,
x

a 6
时,Vmax
22
x x 1 x
4( 2 2
)3
4
3
27
当 x 2
1
x,即x

2 时, 3
ymax

4. 27
构造三个数相加等于定值.
桦甸市第四中学
桦甸市第四中学
例３将一块边长为a的正方形铁皮,剪去四个角(四个
全等的正方形),作成一个无盖的铁盒,要使其容积最 大,剪去的小正方形的边长为多少?最大容积是多少?
所以
（x+y+z）3 27

xyz，
即（x+y+z）3 27xyz
当且仅当x y z时等号成立
桦甸市第四中学
例２ 当0 x 1时,求函数y x2 (1 x)的最大值.
解 0 x 1, 1 x 0,
:
y x2(1 x) 4 x x (1 x)

的内接圆柱体的高 h 为何值时，圆柱的体积最大？
并求出这个最大的体积． 解 设圆柱体的底面半径为r，如图，
H－h r 由相似三角形的性质可得 ＝ ， H R R ∴r＝ (H h)． H
πR 2 ∴V 圆柱＝πr h＝ 2 (H h) h(0＜h＜H)． H
2
2
根据三个正数的基本不等式可得
4πR2 H－h H－h 4πR2H3 4 2 V 圆柱＝ 2 · · · h≤ 2 ＝ πR H. H 2 2 H 3 27
3
x yz 证明：因为 3
3
x yz，所以
（x + y+ z） xyz， 27
3
即（x y z） 27 x yz
3
例2: ( 1 ) 当 0 < x < 1时，求函数 y = x2( 1 – x ) 的最大值 解: 0 x 1, 1 x 0,
x x y x (1 x) 4 (1 x) 2 2 构造三个数相 x x 1 x 加等于定值 . 4 3 2 2 4( ) 3 27 x 2 4 当 1 x, x 时, ymax . 2 3 27
3 xx 1 3 1 x x 1 解析 y＝x＋ 2＝ ＋ ＋ 2≥3 ·· 2 ＝ . 2 2 2x 2 2x 2 2 2x
1 2 3 4
x 1 当且仅当 ＝ 2，即 x＝1 时等号成立． 2 2x
H－h 1 4 2 当且仅当 ＝h，即 h＝ H 时，V 圆柱最大＝ πR H. 2 3 27
课堂练习：
3 4 4 2 2 A．y＝x ＋2x＋x3≥3 x · 2x· 3＝6，∴ymin＝6 x
1 2 3 4
1．已知x为正数，下列求最值的过程正确的是( C )

高为 h，表面积为 S. 则 V＝πr2h， ∴h＝πVr2. ∴S＝2πr2＋2πrh＝2πr2＋2rV ＝2πr2＋Vr ＋Vr ≥3 3 2πV2.
即当 2πr2＝Vr ，
3 r＝
2Vπ时表面积最小．此时 h＝2r.
3 即饮料盒的底面半径为 r＝
2Vπ，
高为 2 3 2Vπ时，用料最省．
本课时经常考查算术-几何平均不等式在求最值中的应
n 当且仅当 a1＝a2＝…＝an 时，等号成立．
[问题思考]
1．满足不等式a＋3b＋c≥3 abc成立的 a，b，c 的范 围是什么？
提示：a，b，c 的范围为 a≥0，b≥0，c≥0．
2．应用三个正数的算术－几何平均不等式，求最 值应注意什么？
提示：三个正数的和为定值，积有最大值；积为 定值，和有最小值．当且仅当三个正数相等时取得．
三个正数的算术-几何平均不等式定理，是根据不等式 的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该定 理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只是 在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具备 “一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形 后再使用定理证明．
连续多次使用平均不等式定理时要注意前后等号成立 的条件是否保持一致．
已知 x∈R＋，求函数 y＝x(1－x2)的最大值．
[精讲详析] 本题考查三个正数的算术-几何平 均不等式在求最值中的应用．解答本题要根据需要拼 凑出利用其算术-几何平均不等式的条件，然后再求 解．
∵y＝x(1－x2)， ∴y2＝x2(1－x2)2 ＝2x2(1－x2)(1－x2)·12.
∵2x2＋(1－x2)＋(1－x2)＝2， ∴y2≤122x2＋1－3x2＋1－x23＝247. 当且仅当 2x2＝1－x2＝1－x2，

当且仅当a=b=c时，等号成立.
所以 (
1 1 1 2 )(a b c) 27. 2 2 2 a b c
用平均不等式解应用题
【典型例题】
1.设三角形三边长为3,4,5,P是三角形内的一点，则P到这个
三角形三边距离乘积的最大值是_______. 2.制造容积为 立方米的无盖圆柱形桶,用来做底面的金属板
【拓展提升】
1.用不等式解决实际问题的方法与技巧 应用不等式解决实际问题时，关键是如何把等量关系、不等 量关系转化为不等式的问题来解决，也就是建立数学模型是 解应用题的关键，最后利用不等式的知识来解.
2.利用平均不等式解决应用题的一般步骤 (1)理解题意，设变量，设变量时一般要把所求最大值或最小 值的变量定为函数. (2)建立相应的函数关系式，把实际问题抽象为求函数的最大 值或最小值问题. (3)在定义域内，求出函数的最值. (4)验证相等条件，得出结论.
【证明】1.因为a,b,c∈R+,
所以(a+b)+(b+c)+(a+c)
3 3 (a b)(b c)(a c)，
所以 a b c 3 3 (a b)(b c)(a c).
又 1 1 1 33 1 1 1 ,
ac ab bc ac 1 1 1 9 所以 (a b c)( ) . ab bc ac 2 ab bc
2.由y=sin θcos2θ得，y2=sin2θcos4θ
1 2sin 2 cos 2 cos 2 2 1 2sin 2 cos 2 cos 2 3 4 ( ) , 2 3 27
2 3 . 9
当且仅当2sin2θ=cos2θ，即 sin 3 时取等号，此时

“一正二定三相等”同时具备时，函数方可取得最值．其中定
值条件决定着平均不等式应用的可行性，获得定值需要一定 的技巧，如：配系数、拆项、分离常数、平方变形等． (3)当不具备使用平均不等式定理的条件时，求函数的最 值可考虑利用函数的单调性．
[通一类] 1．已知x∈R＋，求函数y＝x2· (1－x)的最大值．
解：y＝x2(1－x)＝x· x(1－x) 1 ＝x· (2－2x)× x· 2 1x＋x＋2－2x3 1 8 4 ≤ ＝2×27＝27. 2 3 2 当且仅当 x＝2－2x，即 x＝ 时取等号． 3 4 此时，ymax＝ . 27
[研一题]
[例 2] 设 a、b、c∈R＋，求证：
[悟一法] 三个正数的算术—几何平均不等式定理，是根据不等
式的意义、性质和比较法证出的，因此，凡是可以利用该
定理证明的不等式，一般都可以直接应用比较法证明，只 是在具备条件时，直接应用该定理会更简便．若不直接具 备“一正二定三相等”的条件，要注意经过适当的恒等变形 后再使用定理证明．
连续多次使用平均不等式定理时要注意前后等号成立
中的应用.2012年昆明模拟以解答题的形式考查了算术—
几何平均值不等式在证明不等式中的应用，是高考模拟命
题的一个新亮点．
[考题印证]
(2012· 昆明模拟)已知 a，b，c 均为正数，证明：a2＋b2＋ 1 1 12 c ＋(a＋b＋c ) ≥6 3，并确定 a，b，c 为何值时，等号成立．
2
[命题立意]
1 1 12 1 1 故 a ＋b ＋c ＋(a＋b＋ c) ≥ab＋bc＋ac＋3ab＋3bc＋
2 2 2
1 3ac≥6 3. 所以原不等式成立．
③
当且仅当 a＝b＝c 时，①式和②式等号成立，当且仅 当 a＝b＝c，(ab)2＝(bc)2＝(ac)2＝3 时，③式等号成立． 即当且仅当 a＝b＝c＝3 时，原不等式等号成立．