数值分析第1章习题
一 选择题(5?5分=25分)
(A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有()和()为有效数字(有效数字)
A. 4和3
B. 3和2
C. 3和4
D. 4和4 解..14159.3==*πx ,1
103142.0?=a 时,1=m ,3102
1...00041.0)(-*?≤=-=a x a E m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。当1103141.0?=a 时,1=m ,
2102
1005.0...00059.0)(-*?=≤=-=a x a E ,m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。
(A)2. 为了减少误差,在计算表达式19992001-时,应该改为
1999
20012+计算,是属于()来避免误差。(避免误差危害原则) A.避免两相近数相减; B.化简步骤,减少运算次数;
C.避免绝对值很小的数做除数;
D.防止大数吃小数 解:由于2001和1999相近,两数相减会使误差大,因此化加法为减法,用的方法是避免误差危害原则。
(B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则(避免误差危害原则)
A.计算123460.60.612345++-
B.计算
25612520000450?- C.计算10.99994- D.
解:A 会有大数吃掉小数的情况C 中两个相近的数相减,D 中两个相近的数相减也会增大误差
(D)4.若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有()位有效数字。(有效数字)
A. 5
B. 4
C. 7
D. 3 解:5102
1)(-?=a E 即m-n= -5,2103400.0-?=a ,m= -2,所以n=3,即有3位有效数字
(A)5.设*x 的近似数为40.32710a =?,如果a 具有3位有效数字,则a 的相对误差限为()(有效数字与相对误差的关系)
A . 35
103- B. 33105- C. 53105- D. 5103
-2 解:因为4
0.32710a =?所以31=a ,因为a 有3位有效数字,所以n=3,由相对误差和有效数字的关系可得a 的相对误差限为 31103510.5--?==
n r a δ 二 填空题:(7?5分=35分)
1.设210256.000256.0,002567.0-?===a x 则a 有2位有效数字,若
210257.000257.0-?==a 则a 有3位有效数字。(有效数字) 解:002567.0=x ,210256.0-?=a 时,2-=m ,
4102
100005.0000007.0)(-?=≤=-=a x a E ,m-n= -4,所以n=2,即有2位有效数字。当210257.0-?=a 时2-=m ,
5102
1000005.0000003.0)(-?=≤=-=a x a E ,m-n= -5,所以n=3,即有3位有效数字。
2.设x *
=2.3149541...,取5位有效数字,则所得的近似值x=2.3150(有效数字) 解:一般四舍五入后得到的近似数,从第一位非零数开始直到最末位,有几位就称该近似数有几位有效数字,所以要取5位有效数字有效数字的话,第6位是5,所以要进位,得到近似数为2.3150.
3.设数据12x x ,的绝对误差分别为0.0005和0.0002,那么12x -x 的绝对误差约为 0.0007 。(误差的四则运算)
特别声明:考试时需带计 算器作辅助计算 1.2015x *=是经四舍五入得到的近似值,则其相对误差* r e ≤-31 104 ?. 2. 01(),(), ,()n l x l x l x 是以01,, ,n x x x 为节点的拉格朗日插值基函数,则 3.设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =,[0123]f =,,,1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式,则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ,则A 的谱半径()A ρ= 1 ,A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ,线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=x Bx f ,迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ数值分析第1章习题
(A)1. 3.142和3.141分别作为π的近似数具有()和()为有效数字(有效数字) A. 4和3 B. 3和2 C. 3和4 D. 4和4 解..14159.3==*πx ,1103142.0?=a 时,1=m ,3102 1...00041.0)(-*?≤ =-=a x a E m-n= -3,所以n=4,即有4位有效数字。当1103141.0?=a 时,1=m , 2102 1005.0...00059.0)(-*?=≤=-=a x a E ,m-n= -2,所以n=3,即有3位有效数字。 (A)2. 为了减少误差,在计算表达式19992001-时,应该改为 199920012+计算,是属于()来避免误差。(避免误差危害原则) A.避免两相近数相减; B.化简步骤,减少运算次数; C.避免绝对值很小的数做除数; D.防止大数吃小数 解:由于2001和1999相近,两数相减会使误差大,因此化加法为减法,用的方法是避免误差危害原则。 (B)3.下列算式中哪一个没有违背避免误差危害原则(避免误差危害原则) A.计算123460.60.612345++- B.计算 25612520000450?- C.计算10.99994- D.计算11x x +- 解:A 会有大数吃掉小数的情况C 中两个相近的数相减,D 中两个相近的数相减也会增大误差 (D)4.若误差限为5105.0-?,那么近似数0.003400有()位有效数字。(有效数字) A. 5 B. 4 C. 7 D. 3 解:51021)(-?= a E 即m-n= -5,2103400.0-?=a ,m= -2,所以n=3,即有3位有效数字 (A)5.设*x 的近似数为40.32710a =?,如果a 具有3位有效数字,则a 的相对误差限为 ()(有效数字与相对误差的关系) A . 35103-g B. 33105-g C. 53105-g D. 5103 g -2 解:因为40.32710a =?所以31=a ,因为a 有3位有效数字,所以n=3,由相对误差和有效数字的关系可得a 的相对误差限为 31103510.5--?== n r a δ
3.1证明:如果求积公式(3.4)对函数f (x )和g (x )都准确成立,则它对于线性组合af(x)+bg(x) (a,b 均为常数)亦准确成立. 因此,求积公式(3.4)具有m 次代数精度的充分必要条件是:它对任一小于等于m 次的多项均能准确成立,但对某个m+1次多项式不能准确成立. ()()不能成立 对与题设矛盾多项式都能准确成立,次多,即对任意的线性组合亦准确成立也能准确成立,则对若对的线性组合亦准确成立对次的多项式准确成立对于任意小于等于不准确成立,对的线性组合亦准确成立对成立次的多项式于等于根据定义可知:对于小次代数精度 机械求积公式具有机械求积公式也成立 对于线性组合同理可得 机械求积公式都成立 对于证明: 1m 1321321320 000 0)1(,,,,,,1,,,,,1,,,,,1),1,0()(2)()()] ()([)()()]()([) ()() ()() ()() ()()(),(1++++=======∴+? ∴?∴==∴?+∴+=+≈+∴≈≈∴≈≈∴∑∑?∑?∑?∑? ∑?∑x m x x x x x x x x x x m x x x x x m j x x f m m x bg x af x bg x af A x bg A x af A dx x bg x af x bg A dx x bg x af A dx x af x g A dx x g x f A dx x f x g x f m m m m m m j n k k k n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k b a n k k k 3.2直接验证中矩形公式具有一次代数精度,而Simpson 公式则具有3次代数精度。
第一章 1、 在下列各对数中,x 是精确值 a 的近似值。 3 .14,7/100)4(143 .0,7/1)2(0031 .0,1000/)3(1 .3,)1(========x a x a x a x a ππ 试估计x 的绝对误差和相对误差。 解:(1)0132.00416 .01.3≈= ≈-= -=a e e x a e r π (2)0011.00143 .0143.07/1≈= ≈-=-=a e e x a e r (3)0127.000004 .00031.01000/≈= ≈-=-=a e e x a e r π (4)001.00143 .03.147/100≈= ≈-=-=a e e x a e r 2. 已知四个数:x 1=26.3,x 2=0.0250, x 3= 134.25,x 4=0.001。试估计各近似数的有效位数和误差限,并估计运算μ1= x 1 x 2 x 3和μ1= x 3 x 4 /x 1的相对误差限。 解:x 1=26.3 n=3 δx 1=0.05 δr x 1=δx 1/∣x 1∣=0.19011×10-2 x 2=0.0250 n=3 δx 2=0.00005 δr x 2=δx 2/∣x 2∣=0.2×10-2 x 3= 134.25 n=5 δx 3=0.005 δr x 3=δx 3/∣x 3∣=0.372×10 -4 x 4=0.001 n=1 δx 4=0.0005 δr x 4=δx 4/∣x 4∣=0.5 由公式:e r (μ)= e (μ)/∣μ∣≦1/∣μ∣Σn i=1∣?f/?x i ∣δx i e r (μ1)≦1/∣μ1∣[x 2 x 3δx 1+ x 1 x 3δx 2 +x 1 x 2δx 3] =0.34468/88.269275 =0.0039049 e r (μ2)≦1/∣μ2∣[x 3 x 4/ x 21δx 1+ x 4/ x 1δx 3 + x 3 / x 1δx 4] =0.501937 3、设精确数a>0,x 是a的近似值,x 的相对误差限是0.2,求㏑x 的相对误差限。 解:设=()u f x , ()()()()() ()||||||||||()||()|| | |()||()||||r r r x e u df x e x df x e x e u u dx u dx u x df x x df x x e x x dx u dx u δ= ≈==≤ ()||10.2 (())| |()||ln ln ln r r r r df x x x x f x x x dx u x x x x δδδδ==??==
第一章典型例题 例3 ln2=0.…,精确到10-3的近似值是多少 解 精确到10-3=,即绝对误差限是=, 故至少要保留小数点后三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31 -=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r M 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.0142332321x x x x x x 回代得解 x 3=-1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X =(1,1,-1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…)
第1次迭代,k =0 X (0)=0,得到X (1)=(1,3,5)T 第2次迭代,k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)=(5,-3,-3)T 第3次迭代,k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2)3(1x x x X (3)=(1,1,1)T 第4次迭代,k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3) 2(2)2(1x x x X (4)=(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组,雅可比迭代法收敛,而高斯-赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A =?? ?? ? ?????-122111221 于是 D =?? ?? ??????100010001 D -1=D ??????????=022001000L ~ ????? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为
习题1 1. 以下各表示的近似数,问具有几位有效数字?并将它舍入成有效数。 (1)*1x =451.023, 1x =451.01; (2)* 2x =-0.045 113, 2x =-0.045 18; (3)* 3x =23.421 3, 3x =23.460 4; (4)* 4x =3 1 , 4x =0.333 3; (5)* 5x =23.496, 5x =23.494; (6)* 6x =96×510, 6x =96.1×510; (7)*7x =0.000 96, 7x =0.96×310-; (8)*8x =-8 700, 8x =-8 700.3。 解:(1) =* 1x 451.023 =1x 451.01 =-1*1x x 0.0131 10 2 1-?≤ ,1x 具有4位有效数字。→1x 451.0 (2) -=*2x 0.045 113 -=2x 0.045 18 =--2* 24 10 21x x 0.045 18045113.0-=0.000 0673 10 2 1-?< 2x 具有2位有效数字,045 .02 -→x (3)=* 3x 23.4213 =3x 23.4604 =-3* 3x x =-4604.234213.23=-4213.234604.231 10 2 10391.0-?≤ 3x 具有3位有效数字,4.233→x (不能写为23.5) (4) = * 4x 3 1 ,=4x 0.3333
=-4* 4x x 4 10 2 1000033.0-?< ,4x 具有4位有效数字,=4x 0.3333 (5) =* 5x 23.496,= 5 x 23.494 =-5 *5 x x =-494.23496.232 10 21002.0-?< 5x 具有4位有效数字, → 5x 23.50 (不能写为23.49) (6) = * 6x 5 1096?7 10 96.0?= =6x 5 10 1.96?7 10 961.0?= =-6*6 x x 7 10 001.0-?7 2 10 102 1--??≤ 6x 具有2位有效数字,57610961096.0?=?=x (7) =*7x 0.00096 3 71096.0-?=x 3 *710 96.0-?=x =-7* 7x x 0 7x 精确 (8) 8700* 8-=x 8x 3.8700-= 8*8 x x -0 10 2 13.0?≤ = 8x 具有4位有效数字,8x 8700-=精确 2.以下各数均为有效数字: (1) 0.1062 + 0.947; (3)2.747?6.83; (2)23.46―12.753; (4)1.473 / 0.064 。 问经过上述运算后,准确结果所在的最小区间分别是什么? 解:(1) 1x =0.1062,2x =0.947,1x +2x =1.0532 )(1x e 4 10 2 1-?≤ ,)(2x e 3 10 2 1-?≤ )()()(2121x e x e x x e +≈+≤ +≤)()(21x e x e 3 4 10 2 110 21--?+ ? =0.00055
数值分析典型习题
特别声明:考试时需带计 算器作辅助计算 1.2015x *=是经四舍五入得到的近似值,则其相对误差* r e ≤ -31 104 ?. 2. 01(),(),,()n l x l x l x L 是以01,,,n x x x L 为节点的拉格朗日插值基函数,则 3.设(0)1(1)3(2)4(3)2f =,f =,f =,f =,[0123]f =,,,1 3 - . 4. 利用Simpson 公式求?2 1 2dx x = 7.3 5. 设求积公式1 0()d (),(1)n k k k f x x A f x n ≈≥∑?=是Gauss 型求积公式,则3 n k k k A x == ∑1 .4 6. 数值微分公式(2)(2) ()i i i f x h f x h f x h +≈ --'的截断误差为 2().O h 7. 设1101A ?? = ??? ,则A 的谱半径()A ρ= 1 ,A 的条件数1cond ()A = 4. 8. 用牛顿下山法求解方程3 03 x x -=根的迭代公式是 2 13 3(1),3n n n n x x x x x λ+-=-- 下山条件是 1()().n n f x f x +< 9.对任意初始向量(0)x 及任意向量f ,线性方程组的迭代公式(1)()(0,1,2,)k k k +=+=L x Bx f ,迭代序列()k x 收敛于方程组的精确解x *的充分必要条件是()1.ρ数值分析最佳习题(含答案)
第一章 绪论 姓名 学号 班级 习题主要考察点:有效数字的计算、计算方法的比较选择、误差和误差限的计算。 1 若误差限为5105.0-?,那么近似数有几位有效数字(有效数字的计算) 解:2*103400.0-?=x ,325*102 1102 1---?=?≤-x x 故具有3位有效数字。 2 14159.3=π具有4位有效数字的近似值是多少(有效数字的计算) 解:10314159.0?= π,欲使其近似值*π具有4位有效数字,必需 41*102 1 -?≤-ππ,3*3102 1102 1--?+≤≤?-πππ,即14209.314109.3*≤≤π 3 已知2031.1=a ,978.0=b 是经过四舍五入后得到的近似值,问b a +, b a ?有几位有效数字(有效数字的计算) 解:3*1021 -?≤-a a ,2*102 1-?≤-b b ,而1811.2=+b a ,1766.1=?b a 2123****102 1 10211021)()(---?≤?+?≤ -+-≤+-+b b a a b a b a 故b a +至少具有2位有效数字。 2123*****102 1 0065.01022031.1102978.0)()(---?≤=?+?≤ -+-≤-b b a a a b b a ab
故b a ?至少具有2位有效数字。 4 设0>x ,x 的相对误差为δ,求x ln 的误差和相对误差(误差的计算) 解:已知δ=-* *x x x ,则误差为 δ=-= -* **ln ln x x x x x 则相对误差为 * * ** * * ln ln 1ln ln ln x x x x x x x x δ = -= - 5测得某圆柱体高度h 的值为cm h 20*=,底面半径r 的值为cm r 5*=, 已知cm h h 2.0||*≤-,cm r r 1.0||*≤-,求圆柱体体积h r v 2π=的绝对误差 限与相对误差限。(误差限的计算) 解:*2******2),(),(h h r r r h r r h v r h v -+-≤-ππ 绝对误差限为 πππ252.051.02052)5,20(),(2=??+????≤-v r h v 相对误差限为 %420 1 20525) 5,20() 5,20(),(2 ==??≤ -ππv v r h v 6 设x 的相对误差为%a ,求n x y =的相对误差。(函数误差的计算) 解:%* *a x x x =-, )%(* **** *na x x x n x x x y y y n n n =-≤-= - 7计算球的体积,为了使体积的相对误差限为%1,问度量半径r 时允许的相对误差限为多大(函数误差的计算)
第四版 数值分析习题 第一章绪论 1.设x>0,x得相对误差为δ,求得误差、 2.设x得相对误差为2%,求得相对误差、 3.下列各数都就是经过四舍五入得到得近似数,即误差限不超过最后一位得半个单位,试指 出它们就是几位有效数字: 4.利用公式(3、3)求下列各近似值得误差限: 其中均为第3题所给得数、 5.计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R时允许得相对误差限就是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到、若取≈27、982(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程得两个根,使它至少具有四位有效数字(≈27、982)、 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形得边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g就是准确得,而对t得测量有±0、1秒得误差,证明当t增加时S得绝对误差增 加,而相对误差却减小、 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到得结果最好? 13.,求f(30)得值、若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果就是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c得误差分别为证明面积得误差满足 第二章插值法 1.根据(2、2)定义得范德蒙行列式,令 证明就是n次多项式,它得根就是,且 、 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)得二次插值多项式、 3. 4., 研究用线性插值求cos x 近似值时得总误差界、
第一章绪论 1.设0x >,x 的相对误差为δ,求ln x 的误差。 解:近似值* x 的相对误差为* **** r e x x e x x δ-= == 而ln x 的误差为()1ln *ln *ln ** e x x x e x =-≈ 进而有(ln *)x εδ≈ 2.设x 的相对误差为2%,求n x 的相对误差。 解:设()n f x x =,则函数的条件数为'() | |() p xf x C f x = 又1 '()n f x nx -= , 1 ||n p x nx C n n -?∴== 又((*))(*)r p r x n C x εε≈? 且(*)r e x 为2 ((*))0.02n r x n ε∴≈ 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字:*1 1.1021x =,*20.031x =, *3385.6x =, * 456.430x =,*57 1.0.x =? 解:*1 1.1021x =是五位有效数字; *20.031x =是二位有效数字; *3385.6x =是四位有效数字; *456.430x =是五位有效数字; *57 1.0.x =?是二位有效数字。 4.利用公式(2.3)求下列各近似值的误差限:(1) * * * 124x x x ++,(2) ***123x x x ,(3) **24/x x . 其中****1234 ,,,x x x x 均为第3题所给的数。 解:
*4 1* 3 2* 13* 3 4* 1 51()1021()1021()1021()1021()102 x x x x x εεεεε-----=?=?=?=?=? *** 124***1244333 (1)()()()() 1111010102221.0510x x x x x x εεεε----++=++=?+?+?=? *** 123*********123231132143 (2)() ()()() 111 1.10210.031100.031385.610 1.1021385.610222 0.215 x x x x x x x x x x x x εεεε---=++=???+???+???≈ ** 24**** 24422 *4 33 5 (3)(/) ()() 11 0.0311056.430102256.43056.430 10x x x x x x x εεε---+≈ ??+??= ?= 5计算球体积要使相对误差限为1,问度量半径R 时允许的相对误差限是多少? 解:球体体积为34 3 V R π= 则何种函数的条件数为 2 3'4343 p R V R R C V R ππ=== (*)(*)3(*)r p r r V C R R εεε∴≈= 又(*)1r V ε=
第一章典型例题 例3…,精确到10-3的近似值是多少? 解 精确到10-3=,即绝对误差限是?=, 故至少要保留小数点后三位才 可以。ln2? 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 解 顺序消元 于是有同解方程组 回代得解 x 3=-1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X =(1,1,-1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 解 建立迭代格式 ??? ????+--=+--=++-=+++5223122)(2)(1)1(3) (3)(1)1(2 )(3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)=0,得到X (1)=(1,3,5)T 第2次迭代,k =1 X (2)=(5,-3,-3)T 第3次迭代,k =2 X (3)=(1,1,1)T 第4次迭代,k =3
X (4)=(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组,雅可比迭代法收敛,而高斯-赛德尔迭 代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A =?? ?? ? ?????-122111221 于是 D =?? ?? ??????100010001 D -1 =D ?? ?? ? ?????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 B 0=?? ?? ? ?????--=??????????-??????????-=+--022101220022101220100010001)U ~L ~(D 1 得到矩阵B 0的特征根03,2,1=λ,根据迭代基本定理4,雅可比迭代法收敛。 高斯-赛德尔迭代矩阵为 G =-U ~ )L ~D (1-+ =-?? ?? ??????----=??????????-??????????---=??????????-??????????-2003202200001002201200110010001002201220110011 解得特征根为?1=0,?2,3=2。由迭代基本定理4知,高斯-赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题: 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组 作第1次消元后的第2,3个方程分别为 。
数值分析典型例题 例1 对下列各数写出具有5位有效数字的近似值。236.478, 0.00234711, 9.000024, 9.0000343 10?. 解:按照定义,以上各数具有5位有效数字的近似值分别为:236.478, 0.0023471, 9.0000, 9.0000310?。 注意: *x =9.000024的5位有效数字是9.0000而不是9,因为9 是1位有效数字。 例2 指出下列各数具有几位有效数字。2.0004, -0.00200, -9000, 9310?, 23 10-?。 解:按照定义,以上各数的有效数字位数分别为5, 3, 4,1,1 例3 已测得某物体行程* s 的近似值s=800m ,所需时间* s 的近似值为t=35s ,若已知m s s s t t 5.0||,05.0||**≤-≤-,试求平均速度v 的绝对误差和相对误差限。 解:因为t s v /=,所以)()(1)()()(2t e t s s e t t e t v s e s v v e -=??+??≈ 从 而 05.00469.035 800 5.0351|)(||||)(|1|)(|22≤≈+?≤+≤t e t s s e t v e 同样v v e v e r )()(≈)()()()(t e s e t e v t t v s e v s s v r r r -=??+??= 所以00205.035 05 .08005.0|)(||)(||)(|≈+≤+≤t e s e v e r r r 因此绝对误差限和相对误差限分别为0.05和0.00205。 例4试建立积分20,,1,05 =+=n dx x x I n n 的递推关系,并研究它的误差 传递。 解:151 --= n n I n I ……………………………………………..…...(1) 5ln 6ln 0-=I ,计算出0I 后可通过(1)依次递推计算出1I ,…,20I 。 但是计算0I 时有误差0e ,由此计算出的1I ,…,20I 也有误差,由(1)可 知近似值之间的递推关系为 151 --= n n I n I ……………………………………………….…..(2) (1)-(2)可得 01)5(5e e e n n n -=-=-,由0I 计算n I 时误差被放大了n 5倍。所以(1)不稳 定。 (1) 可以改写为 n I I n n 51 511+ -=- ……………………………………… (3) 如果能先求出20I ,则依次可以求出19I ,…,0I ,计算20I 时有误差,这样根据(3)计算19I ,…,0I 就有误差,误差传播为 n n n e e ?? ? ??-=-511 ,误差依次减少。 例5 用二分法求解方程012)(23=+--=x x x x f 在区间[0,1]内的1个实根,要求有3为有效数字。 解:因为0)1()0( 西安邮电大学2018级工硕学位课 数值分析第一章作业 1.数值计算方法设计的基本手段是( ). (A) 近似 (B) 插值 (C) 拟合 (D) 迭代 2.为了在有限时间内得到结果,用有限过程取代无限过程所产生的近似解与精确解之间的误差称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 测量误差 (D) 绝对误差 3.由于计算机的字长有限,原始数据在机器内的表示以及进行算术运算所产生的误差统称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 相对误差 (D) 绝对误差 4.数值计算方法研究的核心问题可以概括为( )对计算结果的影响. (A) 算法的稳定性 (B) 算法的收敛性 (C) 算法的复杂性 (D) 近似 5.当N 充分大时,利用下列各式计算121N N dx I x +=+?,等式( )得到的结果最好. (A) arctan(1)arctan()I N N =+- (B) 2arctan(1)I N N =++ (C) 21arctan()1I N N =++ (D) 211I N =+ 6. 计算61), 1.4≈,利用下列哪个公式得到的结果最好?为什么? (B) 3(3- (D) 99-7.计算圆柱体的体积,已知底面半径r 及圆柱高h 的相对误差限均不超过5110-?,则计算所得体积的相对误差限如何估计?. 8.已知近似值0.500x *=的误差限*4()510x ε-≤?,32()21f x x x x =---. ①用秦九韶算法计算()f x *. ②求(())f x ε*,并说明x *及()f x *各有几位有效数字. 9. 分析算法011111,,32,1,2,,k k k y y y y y k +-?==???=-=? 的数值稳定性. 数值分析第一章作业 1.数值计算方法设计的基本手段是( ). (A) 近似 (B) 插值 (C) 拟合 (D) 迭代 2.为了在有限时间内得到结果,用有限过程取代无限过程所产生的近似解与精确解之间的误差称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 测量误差 (D) 绝对误差 3.由于计算机的字长有限,原始数据在机器内的表示以及进行算术运算所产生的误差统称为( ). (A) 舍入误差 (B) 截断误差 (C) 相对误差 (D) 绝对误差 4.数值计算方法研究的核心问题可以概括为( )对计算结果的影响. (A) 算法的稳定性 (B) 算法的收敛性 (C) 算法的复杂性 (D) 近似 5.当充分大时,利用下列各式计算N 121N N dx I x +=+∫,等式( )得到的结果最好. (A) arctan(1)arctan()I N =+?N (B) 2arctan(1)I N N =++ (C) 21arctan(1I N N =++ (D) 211I N =+ 6.计算61)?,取 1.4≈,利用下列哪个公式得到的结果最好?为什么? 3(3? (D) 99? 7.计算球体的体积,已知半径的相对误差限不超过3310?×,则计算所得体积的相对误差限如何估计? 8.设,近似值0x >*x 的相对误差限为δ,试估计*ln x 的误差限. 9.计算圆柱体的体积,已知底面半径及圆柱高的相对误差限均不超过r h δ,则计算所得体积的相对误差限如何估计?. 10.用秦九韶算法求32()431f x x x x =?+?在2x =处的值. 11.已知近似值的误差限1.0000x ?=4()110x ε??=×,21()16 f x x = ,求(())f x ε?,并说明x ?及()f x ?的各有几位有效数字. 12.设为非零常数,已知a 0y 的近似值0y ?,由递推式1n n y ay ?=计算序列{}n y 的近似值,分析该算法的稳定性. 数值分析教案 土建学院 工程力学系 2014年2月 一、课程基本信息 1、课程英文名称:Numerical Analysis 2、课程类别:专业基础课程 3、课程学时:总学时32 4、学分:2 5、先修课程:《高等数学》、《线性代数》、《C 语言》 6、适用专业:工程力学 二、课程的目的与任务: 数值分析是工程力学专业的重要理论基础课程,是现代数学的一个重要分支。其主要任务是介绍进行科学计算的理论方法,即在计算机上对来自科学研究和工程实际中的数学问题进行数值计算和分析的理论和方法。通过本课程的学习,不仅使学生初步掌握数值分析的基本理论知识,而且使学生具备一定的科学计算的能力、分析问题和解决问题的能力,为学习后继课程以及将来从事科学计算、计算机应用和科学研究等工作奠定必要的数学基础。 三、课程的基本要求: 1.掌握数值分析的常用的基本的数值计算方法 2.掌握数值分析的基本理论、分析方法和原理 3.能利用计算机解决科学和工程中的某些数值计算应用问题,增强学生综合运用知识的能力 4.了解科学计算的发展方向和应用前景 四、教学内容、要求及学时分配: (一) 理论教学: 引论(2学时) 第一讲(1-2节) 1.教学内容: 数值分析(计算方法)这门课程的形成背景及主要研究内容、研究方法、主要特点;算法的有关概念及要求;误差的来源、意义、及其有关概念。数值计算中应注意的一些问题。 2.重点难点: 算法设计及其表达法;误差的基本概念。数值计算中应注意的一些问题。3.教学目标: 了解数值分析的基本概念;掌握误差的基本概念:误差、相对误差、误差限、相对误差限、有效数字;理解有效数字与误差的关系。学会选用相对较好的数值计算方法。 第一章思考题 (2012级本科学生作品) 1、什么样的算法被称为不稳定算法?试列举一个例子进行说明。 在算法执行过程中,舍入算法对计算结果影响大的一类算法被称为数值不稳定的一种算法。例如,假设初始数据有一点微小误差,就会对一个算法的数据结构产生很大的影响,造成误差扩散。用计算公式ln 1ln n n =-,构造出的递推算法是一个数值不稳定的算法;而另一公式ln 1(1ln)/n -=-则可以构造出一个数值稳定的算法。 2、我们都知道秦九韶算法能够减少运算次数,高中也学过他的具体过程,请举出一个例子并用秦九韶算法计算。 答;一般的,一元n 次多项式的求值需要经过(1)/2n n +次乘法和n 次加法,而秦九韶算法只需要n 次乘法和n 次加法。具体的不太会了。。 3、为什么要设立相对误差的概念? 答:相对误差是近似值误差与精确值的比值,用来衡量近似值的近似程度。x=10±1,y=1000±5。虽然x 的误差比y 的误差小,但y 的近似程度比x 更好。这单用误差无法表现出来,而相对误差可以解决这个问题。 4、误差在生活中有什么作用? 答:误差的作用不仅仅体现在数学课题研究中,在生活中误差的作用也非常大,比如在建筑行业中,设计图纸时必须要达到一定的精确度才行。 5、有效数字以及计算规则 答:有效数字是指实际上能测量到的数值,在该数值中只有最后一位是可疑数字,其余的均为可靠数字。它的实际意义在于有效数字能反映出测量时的准确程度。例如,用最小刻度为0.1cm 的直尺量出某物体的长度为11.23cm ,显然这个数值的前3位数是准确的,而最后一位数字就不是那么可靠,医|学教育网搜集整理因为它是测试者估计出来的,这个物体的长度可能是11.24cm ,亦可能是11.22cm ,测量的结果有±0.01cm 的误差。我们把这个数值的前面3位可靠数字和最后一位可疑数字称为有效数字。这个数值就是四位有效数字。 在确定有效数字位数时,特别需要指出的是数字“0”来表示实际测量结果时,它便是 数值分析典型例题 Revised as of 23 November 2020 第一章典型例题 例3 ln2=0.…,精确到10-3的近似值是多少 解 精确到10-3=,即绝对误差限是=, 故至少要保留小数点后 三位才可以。ln2 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组 ??? ??1 -=4+2+4=+2+31-=4++2321 321321x x x x x x x x x 解 顺序消元 ?? ?? ??????---???→???????????---????→???????????--=-?+-?+-?+1717005.555.00141 25.025.105.555.001412142141231412]b A [)3()2/1()2/3(231312r r r r r r 于是有同解方程组 ?? ? ??-==--=++17175.555.01 42332321x x x x x x 回代得解 x 3=-1, x 2=1,x 1=1,原线性方程组的解为X =(1,1,-1)T 例2 取初始向量X (0)=(0,0,0)T ,用雅可比迭代法求解线性方程组 ??? ??5 =+2+23=++1=2-2+321 321321x x x x x x x x x 解 建立迭代格式 ???????+--=+--=++-=+++5223122) (2)(1)1(3 ) (3)(1)1(2 ) (3)(2)1(1k k k k k k k k k x x x x x x x x x (k =1,2,3,…) 第1次迭代,k =0 X (0)=0,得到X (1)=(1,3,5)T 第2次迭代,k =1 ???????-=+?-?-=-=+--==+?+?-=3 532123 351515232)2(3) 2(2)2(1x x x X (2)=(5,-3,-3)T 第3次迭代,k =2 ???????=+-?-?-==+---==+-?+-?-=1 5)3(2521 3)3(511)3(2)3(2)2(3) 3(2) 3(1x x x X (3)=(1,1,1)T 第4次迭代,k =3 ???????=+?-?-==+--==+?+?-=1 512121 311111212)2(3)2(2) 2(1x x x X (4)=(1,1,1)T 例4 证明例2的线性方程组,雅可比迭代法收敛,而高斯- 赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为 A =?? ?? ? ?????-122111221 于是 D =??????????100010001 D -1=D ??????????=022001000L ~ ?? ?? ? ?????-=000100220U ~ 雅可比迭代矩阵为 数值分析习题集 (适合课程《数值方法A》和《数值方法B》) 长沙理工大学 第一章绪论 1.设x>0,x的相对误差为δ,求的误差. 2.设x的相对误差为2%,求的相对误差. 3.下列各数都是经过四舍五入得到的近似数,即误差限不超过最后一位的半个单位,试指 出它们是几位有效数字: 4.利用公式求下列各近似值的误差限: 其中均为第3题所给的数. 5.计算球体积要使相对误差限为1%,问度量半径R时允许的相对误差限是多少? 6.设按递推公式 ( n=1,2,…) 计算到.若取≈(五位有效数字),试问计算将有多大误差? 7.求方程的两个根,使它至少具有四位有效数字(≈. 8.当N充分大时,怎样求? 9.正方形的边长大约为100㎝,应怎样测量才能使其面积误差不超过1㎝? 10.设假定g是准确的,而对t的测量有±秒的误差,证明当t增加时S的绝对误差增加,而 相对误差却减小. 11.序列满足递推关系(n=1,2,…),若(三位有效数字),计算到时误差有多大?这个计算过程 稳定吗? 12.计算,取,利用下列等式计算,哪一个得到的结果最好? 13.,求f(30)的值.若开平方用六位函数表,问求对数时误差有多大?若改用另一等价公式 计算,求对数时误差有多大? 14.试用消元法解方程组假定只用三位数计算,问结果是否可靠? 15.已知三角形面积其中c为弧度,,且测量a ,b ,c的误差分别为证明面积的误差满足 第二章插值法 1.根据定义的范德蒙行列式,令 证明是n次多项式,它的根是,且 . 2.当x= 1 , -1 , 2 时, f(x)= 0 , -3 , 4 ,求f(x)的二次插值多项式. 3. 4.给出cos x,0°≤x ≤90°的函数表,步长h =1′=(1/60)°,若函数表具有5位有效数 字,研究用线性插值求cos x 近似值时的总误差界. 5.设,k=0,1,2,3,求. 6.设为互异节点(j=0,1,…,n),求证: i) ii) 7.设且,求证 8.在上给出的等距节点函数表,若用二次插值求的近似值,要使截断误差不超过,问使用函 数表的步长应取多少? 9.若,求及. 10.如果是次多项式,记,证明的阶差分是次多项式,并且为正整数). 11.证明. 12.证明 13.证明 14.若有个不同实根,证明 15.证明阶均差有下列性质: i)若,则; ii)若,则. 16.,求及. 17.证明两点三次埃尔米特插值余项是 并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 18.求一个次数不高于4次的多项式,使它满足并由此求出分段三次埃尔米特插值的误差限. 19.试求出一个最高次数不高于4次的函数多项式,以便使它能够满足以下边界条件,,. 20.设,把分为等分,试构造一个台阶形的零次分段插值函数并证明当时,在上一致收敛到. 21.设,在上取,按等距节点求分段线性插值函数,计算各节点间中点处的与的值,并估计误 差. 22.求在上的分段线性插值函数,并估计误差. 23.求在上的分段埃尔米特插值,并估计误差. i) ii) 25.若,是三次样条函数,证明 i); ii)若,式中为插值节点,且,则. 26.编出计算三次样条函数系数及其在插值节点中点的值的程序框图(可用式的表达式). 第三章函数逼近与计算 1.(a)利用区间变换推出区间为的伯恩斯坦多项式. (b)对在上求1次和三次伯恩斯坦多项式并画出图形,并与相应的马克劳林级数部分和误数值分析第一章作业
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