数值分析典型例题

数值分析典型例题 1 / 13 第一章典型例题 例3 2=0.69314718…，精确到10－3的近似值是多少？ 解 精确到10－3＝0.001，即绝对误差限是＝0.0005, 故至少要保留小数点后三位才可以。20.693 第二章典型例题 例1 用顺序消去法解线性方程组







xxxxxxxxx

解 顺序消元 



1717005.555.0014125.025.105.555.001412142141231412]bA[)3()2/1()2/3(231312rrrrrr



于是有同解方程组







17175.555.0142332321xxxxxx

回代得解 x3=－1, x2=11=1,原线性方程组的解为X＝(1,1,－1)

T

例2 取初始向量X(0)=(0,0,0)T,用雅可比迭代法求解线性方程组







xxxxxxxxx

解 建立迭代格式 数值分析典型例题

2 / 13 





5223122)(2)(1)1(3)(3)(1)1(2)(3)(2)1(1kkkkkkkkkxxxxxxxxx

(1,2,3,…)

第1次迭代0 X(0)＝0，得到X(1)＝(1,3,5)

T

第2次迭代，1







3532123351515232)2(3)2(2)2(1xxx

X(2)＝(5,－3,－3)

T

第3次迭代，2







15)3(25213)3(511)3(2)3(2)2(3)3(2)3(1xxx

X(3)＝(1,1,1)

T

第4次迭代，3







1512121311111212)2(3)2(2)2(1xxx

X(4)＝(1,1,1)

T

例4 证明例2的线性方程组，雅可比迭代法收敛，而高斯－赛德尔迭代法发散。 证明 例2中线性方程组的系数矩阵为

A＝





122111221 数值分析典型例题 3 / 13 于是 D＝100010001 D－1＝D 022001000L~ 



000100220

U~

雅可比迭代矩阵为 B0＝





022101220022101220100010001)U~L~(D1

0))1(22[2)]1(2)2([2221102221122BI30

得到矩阵B0的特征根03,2,1，根据迭代基本定理4，雅可比迭代法收敛。 高斯－赛德尔迭代矩阵为 G＝－

U~)L~D(1

＝－2003202200001002201200110010001002201220110011

0)2(20032022I2G

解得特征根为1=0，2,3=2。由迭代基本定理4知，高斯－赛德尔迭代发散。 例5 填空选择题： 1. 用高斯列主元消去法解线性方程组







xxxxxxxx

作第1次消元后的第2，3个方程分别数值分析典型例题 4 / 13 为 。 答案：



5.35.125.15.03232xxxx

解答 选a21=2为主元，作行互换，第1个方程变为：2x1+2x2+3x3=3，消元得到

5.35.125.15.03232xxxx

是应填写的内容。 3.用高斯－赛德尔迭代法解线性方程组







xxxxxxxxx

的迭代格式中)1(2kx＝ (0,1,2,…) 答案：)(3)1(13kkxx

解答：高斯－赛德尔迭代法就是充分利用已经得到的结果，求x2的值时应该用上x1的新值。 第三章典型例题 例1 已知函数(x)的观察数据为 －2 0 4 5 5 1 －3 1 试构造拉格朗日插值多项式 (x)，并计算f(－1)的近似值。 [只给4对数据，求得的多项式不超过3次] 解 先构造基函数

))(())()(())(()(xxxxxxxl 数值分析典型例题 5 / 13 ))()(())())((())()(()(xxxxxxxl

))(())()((

)()()(xxxxxx

xl

35)4()2()45)(05)(25()4()2()(3xxxxxxxl

所求三次多项式为 P3(x)=

nkkkxly0)(

＝))((xxx＋))()((xxx－))(()(xxx＋

)()(xxx ＝xxx f(－1)P3(－1)＝





例3 设nxxxx,...,,,是1个互异的插值节点，),...,,,)((nkxlk是拉格朗日插值基函数，证明： (1) nkkxl)( (2) ),...,,,()(nmxxxlmnkmkk



证明 (1) (x)0l0(x)1l1(x)+…(x)=

nkkkxly0)(

)()()(),()!()()()(xRxPxfxnfxRnnnnn





当f(x)1时， 1＝)()!()()()()()(xnfxlxRxPnnkkknn





由于)()(xfn，故有nkkxl)(

(2) 对于f(x)0,1,2,…，对固定(0mn), 作拉格朗日插值数值分析典型例题 6 / 13 多项式，有 )()!()()()()()(xnfxlxxRxPxnnnkkmknnm



当n>m－1时，f(1) (x)=0，(x)=0，所以

mnkkm

kxxlx)(

注意：对于次数不超过n的多项式axaxaxaxQnnnnn..)(, 利用上结果，有

axaxaxaxQnnnnn..)( =

nkknkkknknkknnkn

kknxlaxxlaxxlaxxla)()(...)()(

=

nkkknnkknknnknkxlxQaaxxaxaxl00011)()(]...)[(

上式nkkknxlxQ0)()(正是(x)的拉格朗日插值多项式。可见，(x)的拉格朗日插值多项式就是它自身，即次数不超过n的多项式在1个互异节点处的拉格朗日插值多项式就是它自身。 例5 已知数据如表的第2，3列，试用直线拟合这组数据。 解 计算列入表中。5。a01满足的法方程组是 k kx

1 1 4 1 4 2 2 4.5 4 9 3 3 6 9 18