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20能力训练 分类讨论思想

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2009中考尖子训练营（二十）

-----------数学思想方法——分类讨论思想
【考向分析】
分类讨论思想是重要的数学思想之一，在具体解题时，对一个较为复的问题往往要
采取分类的方法，以达到化难为易的目的，这种方法是较为高级的数学思想方法，能将
一个较为复杂的问题转化成较为简单的问题是重要的数学能力之一，在中考的综合题中，
分类讨论思想所起的作用不容忽视.
【典型例题】
例1 如图（1）所示,OA，OB是⊙O的两条半径，且OA⊥OB，点C是OB延长线上任意
一点，过点C作CD切⊙O于点D，连接AD交OC于点E，（1）求证CD=CE；

（2）若将图（1）中的半径OB所在直线向上平移交OA于F，交⊙O于B/，其他条件不
变，（如图（2）所示，那么上述结论CD=CE还成立吗？为什么？
（3）若将图（1）中的半径OB所在直一向上平行移动到⊙O外的CF，点E是DA的延长
线与CF的交点，其他条件不变（如图（3）所示，那么上述结论CD=CE还成立吗？为什
么？

· A O E B C D （1） ·
A
O
E
B/

C
D
（2）

F
·

A

O

E

C
D
（3）

F
G
F

C
.

’.
例2 RtABC中，90ACB，M为AB中点，将线段BM绕点B顺时针旋转90°，
得到线段BP，连CP、AP，CP交于AB于O（如图1）
（1）当AC=BC时，求证：OPB∽PAB；
（2）若BC=2，AC=b，当b为多长时，ACB与ABP相似？
（3）图1中，将点A沿直线AC向下运动（其余条件不变），则RtABC、PAB、
PBC
都会变化，如图2所示，如果点A一直运动到BC下方，如图3所示，请在图3中按题意
把图画完整。若CB=2，设AC=x，BCP的面积为1y，PAB的面积为2y，试问1y、
2

y

是否都为定值？若是，求出这个定值；若不是，求出其关于x的函数关系式。
A

C
O
B

P
M

图1
A

B
C

图3
A

C
B

M

图2
P

·
.

’.
例3 如图所示，ABCD为菱形，ABC，有一个半径为r的⊙O，圆心O在菱形的内
部，且到B点的距离为a，当圆心O在菱形内部运动时，⊙O的半径r和圆心O到B点的
距离a都发生变化.
（1）当满足什么条件时，圆心O在菱形内部运动时⊙O与菱形的两边BA，BC（或BA，BC
的延长线）都相切？
（2）当圆心O在菱形内部运动时，请你求出满足什么条件时⊙O与菱形的两边BA，BC（或
BA，BC的延长线）都相交相离的所有情况.

【随堂训练】
1．如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=2，点A的坐标为(1，0)，以CD为直径，在矩形ABCD
内作半圆，点M为圆心．设过A、B两点抛物线的解析式为y=ax2+bx+c，顶点为点N．
(1)求过A、C两点直线的解析式；
(2)当点N在半圆M内时，求a的取值范围；
(3)过点A作⊙M的切线交BC于点F，E为切点，当以点A、F,B为顶点的三角形与以C、
N、M为顶点的三角形相似时，求点N的坐标．

A
B
C
D
.

’.
2．如图（1）所示，已知AB是⊙O的一条弦，点C为AB的中点，CD是⊙O的直径，过C
点的直线l交⊙O于点F，交弦AB于点E.（1）CEB与FDC是否相等？
（2）你在下面两个备用图中分别画出l在不同位置时，使（1）的结论仍然成立的图形，
标上相应字母，选其中一个图形给予证明.

3．如图1，ABC中，90ACB，把ABC绕C点顺时针旋转到CBA11的位置，
旋转角(0＜＜90）, 11BA交直线CA于点D。
（1）M是AB的中点，经过旋转，CBA11的边CB1恰好经过M点（图2），求证：BCBA//11；
（2）若AC=6，BC=8，经过旋转，CDA1是否可能为等腰三角形？若可能求出CD的值，
若不可能请说明理由。

·
O

C
A
B

D
F
E
· O ·
O

备用图 备用图

A
C
B
图3
图2

1
A
A
1
B
D

C
B
M

1
A
A

1
B
D

C
B
图1
.
’.
【作业】
日期 姓名 完成时间 成绩

1．如果分式2312xxx的值为零，那么x等于（ ）.
A．-1 B．1 C．-1或1 D．1或2
2．已知初数a，b满足027,02722bbaa，则abba（ ）.

A．2 B．245 C．2或245 D．以上都不对
3．若直线bxy4与两坐标轴围成的三角形面积是5，则b的值为（ ）.
A．52 B．102 C．102 D．102
4．⊙O的半径为2，点P是⊙O外一点，OP长为3，那么以P为圆心，且与⊙O相切的圆
的半径是 .
5．若一个三角形三边长均满足方程0862xx，则此三角形的周长是 .
6．已知两相交的半径分别为5cm和4cm，公共弦长为6cm，则这两圆的圆心距是 。
7．在平面直角坐标系内,已知点A(2,1),O为坐标原点.请你在坐标轴上确定点P,使得
ΔAOP成为等腰三角形.在给出的坐标系中把所有这样的点P都找出来,画上实心点,并在
旁边标上P1,P2,……,Pk,(有k个就标到PK为止,不必写出画法)

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提高分类讨论能力的几个途径

提高分类讨论能力的几个途径

提高分类讨论能力的几个途径作者：张勇来源：《新课程·教育学术》2009年第05期分类讨论是一种重要的数学思想,也是一种重要的数学方法.多年来,分类讨论思想一直是各地中考中的重点考查内容,许多地方还把对这一内容的考查渗透到大的综合题甚至压轴题中.因此,增强分类讨论意识,提高分类讨论能力是数学学习的重要任务.如何提高分类讨论能力,我们可以从以下几个方面进行培养:一、要认真推敲关键词一个问题是不是需要分类讨论,它一般不会明确地告诉我们,而总是隐含在问题的表述当中,或者是文字形式,或者是图形形式,或者是表格形式,这就需要我们对这些表述进行认真的分析和研究,尤其要对问题中的关键语句、重要符号或者所给的数据进行认真推敲,注意把它们与我们平时的表述习惯或者表述方法进行比较,寻找两者之间的差异,以确定所给的问题是不是需要进行分类讨论.比如,在表示两个三角形相似的时候,我们平常都是用“△ABC∽△DEF”来表示,如果在一个问题中用“△ABC与以D、E、F三点为顶点的三角形相似”,这时,两个三角形之间对应关系就变得不确定了,就需要分类讨论.例1.(2004西宁)如图,正方形ABCD的边长是2,BE=CE,线段MN的两端在CD、AD上滑动,当DM=_____时,△ABE与以D、M、N为顶点的三角形相似.再比如,在平常的解题中,我们遇到的函数问题绝大部分是单一的函数关系,但是,如果问题中没有确定两个变量之间是属于什么关系,我们就需要对所给的条件进行认真的观察和分析,以挖掘出其中隐含的函数关系.例2.(2006扬州)某企业生产的一批产品上市后40天内全部售完,下表为市场的日销售量y(万件)与时间t(t为整数,单位:天)的部分对应值.请你用所学过的一次函数、二次函数和反比例函数中确定哪种函数能表示y与t的变化规律,写出y与t的函数关系式及自变量的取值范围.通过描点的方法或者对数据进行直观观察,我们可以发现,这里的函数关系不能用单一的函数解析式来表示.因此,就需要对问题进行分类讨论.参考答案:当0≤t≤30时,y=2t,当31≤t≤40时,y=-6t+240二、要强化分类标准意识分类讨论中的关键问题是按照什么样的标准对问题进行分类.在解决分类问题时,我们要强化确定分类标准意识,也就是当遇到一个分类讨论的问题,我们首先要对它确定一个明确的分类标准.在确定分类标准时,要做到分类标准要统一,而且要做到不能重复也不能遗漏,这其实也是分类讨论中的难点.另外我们还要注意根据问题类型灵活选择和确定合理的分类标准,比如,一条已知的线段,在梯形中,它可以是梯形的腰,也可以是梯形的底,而在平行四边形,它就可以是平行四边形的一条边,也可以是平行四边形的对角线.如已知一个点在抛物线上,这个点可以在对称轴上,也可以在对称轴的左边,也可以在对称轴的右边.形?若存在,求出点的坐标;若不存在,请说明理由.在第二个问题中,没有明确哪条边是梯形的底,哪条边是梯形的腰,因此,就要对问题进行分类讨论,分类的办法是当AC、AB、BC三条线段分别为梯形的底时,求出相应的点D的坐标.三、要学会编制分类问题提高分类讨论的能力,除了加强对分类问题的专门训练以外,还要学会自己编制分类问题,当然,这对许多人而言比较困难,简单易行的方法是对现有的问题进行改编,把原来只有单一解的问题通过改变条件或方式,使其变为需要用分类讨论来解决的问题.如把“已知一个点在圆内”改为“已知一个点在平面内”,把“线段”改为“射线”或“直线”,把用符号“≌”表示两个三角形全等改为用文字表示两个三角形全等.例4.已知点P是⊙O内一点,若已知点P到⊙O上的点的最大距离为a,最小距离为b,求这个圆的半径是多少?答⑴求a的值,点B的坐标;⑵若点P是线段OA上的一点,且∠APD=∠OAB,求点P的坐标.⑶若点P是x轴上一点,以P、A、D为顶点作平行四边形,该平行四边形的另一顶点在y轴上,写出点P的坐标(直接写出答案)原第⑵中的答案是单一的,其原因条件中的“点P是线段OA上的一点”限制了问题的解,如果把第⑵问改成以下作者单位:江苏省海安新生初级中学。

专题2 分类讨论思想

专题2 分类讨论思想


A．a≤－2 C．1≤a＜98 或 a≤－2
B．a＜98 D．－2≤a＜98
【解析】分 a＞0，a＜0 两种情况讨论．∵抛物线 y＝ ax2－x＋1(a≠0)与线段 AB 有两个不同的交点，∴令12 x＋12 ＝ax2－x＋1，则 2ax2－3x＋1＝0，∴Δ＝9－8a ＞0，∴a＜98 ，①当 a＜0 时，aa＋－11＋＋11≤≤01，， 解得：a≤ －2，∴a≤－2，②当 a＞0 时，aa＋－11＋＋11≥≥01，， 解得： a≥1，∴1≤a＜98 ，综上所述：1≤a＜98 或 a≤－2.
综上所述，最多安排成人和少年12人带队，有三个方 案：成人10人，少年2人；成人11人，少年1人；成人9 人，少年3人；其中成人10人，少年2人时购票费用最 少．
4．甲乙两地相距50千米．星期天上午8：00小聪同学
在父亲陪同下骑山地车从甲地前往乙地.2小时后，小明
的父亲骑摩托车沿同一路线也从甲地前往乙地，他们
C．1或3 D．4或6
3．已知实数a，b，c满足a＋b＝ab＝c，有下列结论：
①若c≠0，则
1 a
＋1b ＝1；
②若a＝3，则b＋c＝9；
③若a＝b＝c，则abc＝0；
④若a，b，c中只有两个数相等，则a＋b＋c＝8. 其中正确的是 ①③④ (把所有正确结论的序号都 选上).
类型三 由数学运算要求引起的讨论
(2)已知 y1＝kx1 和 y2＝k2x＋b 在同一坐标系中的 图象如图所示，若 max{kx1 ，k2x＋b}＝kx1 ，结合 图象，直接写出 x 的取值范围； (3)试用分类讨论的方法，求 max{x＋2，x2－4} 的值.
解：(1)max{ 11 ，3}＝ 11 ；
(2)∵max{kx1 ，k2x＋b}＝kx1 ，∴kx1 ≥k2x＋b，∴ 从图象可知：x 的取值范围为－3≤x＜0 或 x≥2；
2-3分类讨论思想

2-3分类讨论思想

[答案] a≤ 2
类型二 由图形位置或形状引起的分类讨论 几类常见的由图形的位置或形状变化引起的分类讨论 (1)二次函数对称轴的变化；(2)函数问题中区间的变化；(3) 函数图象形状的变化；(4)直线由斜率引起的位置变化；(5)圆锥曲 线由焦点引起的位置变化或由离心率引起的形状变化；(6)立体几 何中点、线、面的位置变化等．
[答案] －2，0，23
2．(2014·浙江卷)设函数 f(x)＝x－2＋x2x，，xx≥<00，， 若 f(f(a))≤2， 则实数 a 的取值范围是________．
[解析] f(x)的图象如图，由图象知，满足 f(f(a))≤2 时，得 f(a)≥－2，而满足 f(a)≥－2 时，得 a≤ 2.
(2)分类讨论时要根据题设条件确定讨论的级别，再确定每级 讨论的对象与标准，每级讨论中所分类别应做到与前面所述不重 不漏，最后将讨论结果归类合并．其中级别与级别之间有严格的 先后顺序、类别和类别之间没有先后；最后整合时要注意是取交 集、并集．还是既不取交集也不取并集只是分条列出．
第
二 部
思想方法专题部分
分
第三讲
分类讨论思想
——————————思想方法概述————————— 1．分类讨论思想的含义 分类讨论思想就是当问题所给的对象不能进行统一研究
时，需要把研究对象按某个标准分类，然后对每一类分别研究 得出结论，最后综合各类结果得到整个问题的解答．实质上， 分类讨论是“化整为零，各个击破，再积零为整”的解题策 略．
[解] (1)f′(x)＝1－aex，
当 a≤0 时，f′(x)>0，函数 f(x)是(－∞，＋∞)上的单调递增
函数；
当 a>0 时，由 f′(x)>0 得 x<－ln a，所以函数 f(x)是(－∞，
分类讨论思想专题

分类讨论思想专题


（3）分式方程有非负数解（过三关）
①整式方程有解 ②最简公分母 0 ③解 0
（三）有关函数的分类
2．已知点 P(2 x,3x 6) ，且点 P 到两坐标轴的距离相等，则点 P 的坐标为 ( )
A． (6,6)
B． (3, 3)
C． (6, 6) 或 (3,3)
D． (6,6) 或 (3, 3)
数，再根据解集确定 m 的取值范围．
【解答】解：解不等式组
x m 0 13 2x 1
得：
m
x
6
，
所有整数解的和是 15，15 6 5 4 ，
x 6 ，5，4，因此不等式组的整数解为①6，5，4，
或②6，5，4，3，2，1，0， 1， 2 ， 3，
易忽略： 第二种情况 相反数
3 x 4或- 4 x 3 ；
闯关 游戏
【点评】本题考查了分式方程的增根，明确分式方程何时有增根及方程有解与无解的条 件是解题的关键．
18．已知关于 x 的分式方程 +
＝．
（1）若方程的增根为 x＝2，求 m 的值； （2）若方程有增根，求 m 的值； ▲（3）若方程无解，求 m 的值． （4）若方程解为非负数，求 m 的取值范围．
先根据底面周长得到底面半径，再根据圆柱的体积公式计算即可求解．
变式训练：长方形两边长分别为5和 4，如果绕边长旋转一周，
则所得几何体的体积是_________ ．
则该函数的最大值为
．
19.甲、乙两家草莓采摘园的草莓品质相同，销售价格也相同．“五一期间”，两家均推出了 优惠方案，甲采摘园的优惠方案是：游客进园需购买 60 元的门票，采摘的草莓六折优惠； 乙采摘园的优惠方案是：游客进园不需购买门票，采摘园的草莓超过一定数量后，超过部