分类讨论思想方法
在解答某些数学问题时，有时会遇到多种情况，需要对各种情况加以分类，并逐类求解，然后综合得解，这就是分类讨论法。分类讨论是一种逻辑方法，是一种重要的数学思想，同时也是一种重要的解题策略，它体现了化整为零、积零为整的思想与归类整理的方法。有关分类讨论思想的数学问题具有明显的逻辑性、综合性、探索性，能训练人的思维条理性和概括性，所以在高考试题中占有重要的位置。
引起分类讨论的原因主要是以下几个方面：
①问题所涉及到的数学概念是分类进行定义的。如|a|的定义分a>0、a＝0、a<0三种情况。这种分类讨论题型可以称为概念型。
②问题中涉及到的数学定理、公式和运算性质、法则有范围或者条件限制，或者是分类给出的。如等比数列的前n项和的公式，分q＝1和q≠1两种情况。这种分类讨论题型可以称为性质型。
③解含有参数的题目时，必须根据参数的不同取值范围进行讨论。如解不等式ax>2时分a>0、a＝0和a<0三种情况讨论。这称为含参型。
另外，某些不确定的数量、不确定的图形的形状或位置、不确定的结论等，都主要通过分类讨论，保证其完整性，使之具有确定性。
进行分类讨论时，我们要遵循的原则是：分类的对象是确定的，标准是统一的，不遗漏、不重复，科学地划分，分清主次，不越级讨论。其中最重要的一条是“不漏不重”。
解答分类讨论问题时，我们的基本方法和步骤是：首先要确定讨论对象以及所讨论对象的全体的范围；其次确定分类标准，正确进行合理分类，即标准统一、不漏不重、分类互斥（没有重复）；再对所分类逐步进行讨论，分级进行，获取阶段性结果；最后进行归纳小结，综合得出结论。
Ⅰ、再现性题组：
1．集合A＝{x||x|≤4,x∈R}，B＝{x||x－3|≤a，x∈R}，若A⊇B，那么a的范围是_____。
A. 0≤a≤1
B. a≤1
C. a<1
D. 02.若a>0且a≠1，p＝log
a (a3＋a＋1)，q＝log
a
(a2＋a＋1)，则p、q的大小关系是
_____。
A. p＝q
B. pC. p>q
D.当a>1时，p>q；当03.函数y＝sin
|sin|
x
x
＋
cos
|cos|
x
x
＋
tgx
tgx
||
＋
||
ctgx
ctgx
的值域是_________。
4.若θ∈(0, π
2
)，则lim
n→∞
cos sin
cos sin
n n
n n
θθ
θ＋θ
-
的值为_____。
A. 1或－1
B. 0或－1
C. 0或1
D. 0或1或－1
5.函数y＝x＋1
x
的值域是_____。
A. [2,+∞)
B. (-∞,-2]∪[2,+∞)
C. (-∞,+∞)
D. [-2,2]
6.正三棱柱的侧面展开图是边长分别为2和4的矩形，则它的体积为_____。
A. 8
9
3 B.
4
9
3 C.
2
9
3 D.
4
9
3或
8
9
3
7.过点P(2,3)，且在坐标轴上的截距相等的直线方程是_____。
A. 3x－2y＝0
B. x＋y－5＝0
C. 3x－2y＝0或x＋y－5＝0
D.不能确定
【简解】1小题：对参数a 分a>0、a ＝0、a<0三种情况讨论，选B ；
2小题：对底数a 分a>1、03小题：分x 在第一、二、三、四象限等四种情况，答案{4,-2,0}；
4小题：分θ＝π4、0<θ<π4、π4<θ<π2
三种情况，选D ； 5小题：分x>0、x<0两种情况，选B ；
6小题：分侧面矩形长、宽分别为2和4、或4和2两种情况，选D ；
7小题：分截距等于零、不等于零两种情况，选C 。
Ⅱ、示范性题组：
例1. 设00且a ≠1，比较|log a (1－x)|与|log a (1＋x)|的大小。
【分析】 比较对数大小，运用对数函数的单调性，而单调性与底数a 有关，所以对底数a 分两类情况进行讨论。
【解】 ∵ 01
① 当00，log a (1＋x)<0，所以
|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝log a (1－x)－[－log a (1＋x)]＝log a (1－x 2
)>0; ② 当a>1时，log a (1－x)<0，log a (1＋x)>0，所以
|log a (1－x)|－|log a (1＋x)|＝－log a (1－x) －log a (1＋x)＝－log a (1－x 2)>0；
由①、②可知，|log a (1－x)|>|log a (1＋x)|。
【注】本题要求对对数函数y ＝log a x 的单调性的两种情况十分熟悉，即当a>1时其是增函数，当0例2. 已知集合A 和集合B 各含有12个元素，A ∩B 含有4个元素，试求同时满足下面两个条件的集合C 的个数： ①. C ⊂A ∪B 且C 中含有3个元素； ②. C ∩A ≠φ 。
【分析】 由已知并结合集合的概念，C 中的元素分两类：①属于A 元素；②不属于A 而属于B 的元素。并由含A 中元素的个数1、2、3,而将取法分三种。
【解】 C 121·C 82＋C 122·C 81＋C 123·C 80＝1084
【注】本题是排列组合中“包含与排除”的基本问题，正确地解题的前提是合理科学的分类，达到分类完整及每类互斥的要求，还有一个关键是要确定C 中元素如何取法。另一种解题思路是直接使用“排除法”，即C 203－C 83＝1084。
