辽宁省本溪满族自治县高级中学2020-2021学年高二上学期第二次月考理数试题学校:___________姓名:___________班级:___________考号:___________一、单选题1.下列命题是真命题的为( ) A .,0x R x ∀∈>B .,0x R x ∃∈<C .,20x x R ∀∈>D .,20x x R ∃∈<2.下列点在曲线2229x xy y ++=上的是( ) A .()1,3- B .()4,1-C .()2,3-D .()3,2-3.(42x 的展开式中3x 的系数是( )A .6B .12C .24D .484.若,x y 满足不等式组240,20,30,x y x y y --≤⎧⎪+-≥⎨⎪-≤⎩则2z x y =+的最大值为( )A .10B .9C .5D .45.若原点到直线340x y c -+=的距离为1,则c 的值为( ) A .1或4-B .1-或5C .4±D .5±6.“m n >”是“22m n >”的( ) A .充分不必要条件 B .必要不充分条件 C .充分必要条件D .既不充分也不必要条件7.若椭圆()222210x y a b a b+=>>的右焦点为F ,P 是椭圆上一点,若P 到F 的距离的最大值为5,最小值为3,则该椭圆的方程为( )A .2211615x y +=B .22197x y +=C .221169x y +=D .22194x y +=8.设集合{}23A x x =-<<,函数()()()ln 1ln 2f x x x =-+-,在A 中任取一个元素,则函数()f x —定有意义的概率为( ) A .45B .35C .25D .159.已知具有线性相关的两个变量,x y 之间的一组数据如表:且回归方程为 5.7y x a =+,则当4x =时,y 的预测值为( ) A .58.82B .60.18C .61.28D .62.0810.已知P 是椭圆2212x y +=上任一点.O 是坐标原点,则OP 中点的轨迹方程为( )A .2212y x +=B .2221x y +=C .22241x y +=D .2221x y +=11.设命题p :若函数()24x x f x m =⋅-在(),0-∞上是增函数,则2m ≥;若函数()3cos f x x m x =+为R 上的奇函数,则0m =,那么下列命题为真命题的是( )A .p q ∧B .p q ⌝∧⌝C .p q ∧⌝D .p q ⌝∧12.已知圆()()22:114M x y -+-=,直线:60l x y +-=,A 为直线l 上一点,若圆M 上存在两点,B C ,使得60BAC ∠=︒,则点A 的横坐标的取值范闱为( ) A .[]1,5 B .[]2,6C .[]1,1-D .[]4,2-二、填空题13.命题“x ∀∈N ,21x >”的否定为______.14.以椭圆221113x y +=的四个顶点为顶点的四边形面积为__________.15.运行如图所示的程序框图,输出的s =__________.16.设ABC ∆的内角,,A B C 所对边的长分别是,,a b c ,且2,3,2b c A B ===,则cos B 的值为__________.三、解答题17.设p :方程2221457x ym m +=--表示焦点在x 轴上的椭圆;q :方程2302mx x ++=有两个不等的实数根.若“p q ∧”为假命题,“p q ∨”为真命题,求m 的取值范围.18.已知椭圆M 与椭圆22:11612x y N +=有相同的焦点,且椭圆M 过点1,5⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭. (1)求椭圆M 的标准方程;(2)设椭圆M 的焦点为12,F F ,点P 在椭圆M 上,且12PF F △的面积为1,求点P 的坐标.19.某工厂生产的产品A 的直径均位于区间[]110,118内(单位:mm ).若生产一件产品A 的直径位于区间[)[)[)[]110,112,112,114,114,116,116,118内该厂可获利分别为10,30,20,10(单位:元),现从该厂生产的产品A 中随机抽取200件测量它们的直径,得到如图所示的频率分布直方图.(1)求a 的值,并估计该厂生产一件A 产品的平均利润;(2)现用分层抽样法从直径位于区间[)112,116内的产品中随机抽取一个容量为5的样本,从样本中随机抽取两件产品进行检测,求两件产品中至多有一件产品的直径位于区间[)114,116内的槪率.20.已知圆M 与圆22255:33N x y r ⎛⎫⎛⎫-++= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭关于直线y x =对称,且点15,33D ⎛⎫- ⎪⎝⎭在圆M 上.(1)判断圆M 与圆N 的位置关系;(2)设P 为圆M 上任意一点, 551,,1,33A B ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, ,,P A B 三点不共线, PG 为APB ∠的平分线,且交AB 于G .求证: PBG 与APG 的面积之比为定值.21.我校高一年级研究性学习小组共有9名学生,其中有3名男生和6名女生.在研究性学习过程中,要进行两次汇报活动(即开题汇报和结题汇报),每次汇报都从这9名学生中随机选1 人作为代表发言.设每人每次被选中与否均互不影响. (1)求两次汇报活动都由小组成员甲发言的概率;(2)设X 为男生发言次数与女生发言次数之差的绝对值,求X 的分布列和数学期望. 22.已知点11,3⎛⎫⎪⎝⎭是函数()xf x a =(0a >且1a ≠)的图象上一点,等比数列{}n a 的前n 项和为()f n c -,数列{}()0n n b b >的首项为c ,且前n 项和n S满足)12n n S S n --=≥. (1)求数列{}n a 和{}n b 的通项公式; (2)若数列11n n b b +⎧⎫⎨⎬⎩⎭前n 项和为n T ,则满足10002019n T >的最小正整数n 是多少?参考答案1.C 【解析】对于A ,取0x =,则00>不成立,故A 错;对于B ,因0x ≥总成立,故B 错;对于C ,根据指数函数2xy =的性质,有对任意的x ∈R , 20x >总成立,故C 正确,因此D 不正确.选C. 2.B 【解析】由2229x xy y ++=可以得到3x y +=或3x y +=-,依次代入各点,有413-+=-,故点()4,1-在曲线上,选B. 3.C 【解析】(42x +的展开式的通项公式为()444214422r rrr r rr T C x C x---+==,令432r-=解得2r ,故3x 的系数为224224C =,故选C.4.A【解析】可行域如图所示:当动直线20x y z +-=过A 时,z 有最大值.又由2403x y y --=⎧⎨=⎩得7,32A ⎛⎫⎪⎝⎭,所以z 的最大值为723102⨯+=.5.D 【解析】1=,解得5c =±,故选D.6.D 【分析】举反例结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可. 【详解】取1m =-,2n =-,m n >但22<m n ,同样取3m =-,2n =-,22m n >但m n <,故“m n >”是“22m n >”的既不充分也不必要条件. 故选:D 【点睛】本题主要考查了判断既不充分也不必要条件,属于基础题. 7.A 【解析】由题意得:5,3a c a c +=-=,故4,1,a c b ===所以椭圆方程为:2211615x y +=.故选A. 8.D【解析】函数()f x 的定义域为()1,2,故()f x 一定有意义的概率为()211325-=--,选D.9.B 【解析】8084400.6,40.85x y ++===,由ˆa 得计算公式可以得到5.740.8 5.70.637.8ˆ3ay x =-⨯=-⨯=,故当4x =时,y 的预测值为5.7437.3860.18⨯+=,选B.10.C 【解析】设OP 的中点为(),x y ,则()2,2P x y ,又P 在椭圆上,故()()222212x y +=,化简得22241x y +=,选C.点睛:在轨迹问题中,如果所求动点M 的轨迹与已知曲线上的动点P 相关,我们可设出动点M 的坐标,再用M 的坐标去表示P 的坐标,把它代入已知曲线得到M 的轨迹方程(也就是常说的动点转移法),轨迹方程求出后注意检验. 11.A 【解析】()·24x x f x m =-是由2x t =,2y mt t =-复合而成的,因为2x t =在(),0-∞为增函数,而()·24x xf x m =-在(),0-∞上为增函数,所以2y mt t =-在()0,1为增函数,故12m≥,即2m ≥,所以p 正确.又()3cos f x x m x =+为R 上的奇函数,故()()0f x f x -+=,即()()33cos cos 0x m x x m x ++-+-=,整理得2cos 0m x =恒成立,所以0m =,故q 正确,故p q ∧正确,选A.点睛:利用复合命题的真假表进行判断. 12.A 【解析】对已给定的A ,当,AB AC 与圆M 相切时,BAC ∠最大,故60BAC ∠≥︒时,在圆M 上必定存在两点,S T 且60SAT ∠=︒.故考虑相切时AM 的长度,又()241sin 30sin 2R AM BAC =≤=︒⎛⎫∠ ⎪⎝⎭,设(),6A a a -,故()()221516a a -+-≤,所以2560a a -+≤,解得15a ≤≤.选A.点睛:本题中圆上需存在两点,B C 使得60BAC ∠=︒,只要过A 作圆的两条切线,AM AN 时,60MAN ∠≥︒即可,而60MAN ∠≥︒又可以转化为4AM ≤,它可以提供一个关于A 的横坐标的一个不等式,解出其范围即可. 13.x ∃∈N ,21x ≤ 【分析】直接根据全称命题的否定为特称命题,即可得解. 【详解】因为全称命题:P x M ∀∈,()P x ,它的否定0:P x M ⌝∃∈,()0P x ⌝. 所以命题“x ∀∈N ,21x >”的否定为x ∃∈N ,21x ≤. 故答案为:x ∃∈N ,21x ≤. 【点睛】本题考查了全称命题否定,在否定过程中注意否定规则,易错点为>的否定为≤,本题为简单题. 14.【解析】a b ==12222a b ab ⨯⨯==点睛:四个顶点构成的四边形的面积为2ab ,从椭圆的标准方程中找出基本量,a b 就可以得到所求四边形的面积. 15.720 【解析】模拟程序框图的运行过程,如下:1,1;1,2;2,3;6,4;24,5;120,6;720,7s k s k s k s k s k s k s k ==============,符合题意, 跳出循环程序,并输出720s =,故填720.16 【解析】由正弦定理sin sin a b A B =,则22sin cos sin a B B B =,解得222324cos 423a a B a +-==⨯⨯,即4a B ==,故填4. 17.[)()12,00,6,6m ⎛⎫∈-⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭. 【解析】 【详解】试题分析:因为焦点在x 轴上,所以2457m m -->,从而可以求出m 的取值范围.又方程有两个不等的实数根,故其判别式大于零,因此16m <且0m ≠.又“p q ∧”为假,又“p q ∨”为真意味着,p q 一真一假,故分类讨论就可以得到相应的m 的取值范围.解析:p 真:2457m m -->,也就是24120m m -->,故p 真等价于6m <或2m >-.q 真等价于0160m m ≠⎧⎨->⎩,也就是16m <且0m ≠.又“p q ∧”为假,又“p q ∨”为真,故,p q 一真一假, 当p 真q 假时,6m >;当p 假q 真时,126m -≤<且0m ≠,∴[)()12,00,6,6m ⎛⎫∈-⋃⋃+∞ ⎪⎝⎭.点睛:在逻辑联结词中,对于,p q 一真一假这类问题,通常我们去计算p 真或p 假的某一个(看哪一个好算),再去计算q 真或q 假的某一个(看哪一个好算),然后分类讨论就可以得到相应的参数的取值范围.18.(1)2215x y +=.(2)11,22⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.【详解】试题分析:(1)根据题设条件列出关于基本量,,a b c 的方程组,解出,,a b c 即可.(2)中已知焦点三角形的面积,但其底边12F F 已知,故P 的纵坐标可求,再利用P 在椭圆上求出其横坐标即可. 解析:(1)N 的焦点为()()2,0,2,0-,设M 方程为()222210x y a b a b+=>>,焦距为2,则222241415a b a b⎧-=⎪⎨+=⎪⎩,把224a b =+代入221415a b +=,则有2214145b b +=+,整理得42511160b b -+=,故21b =或2165b =(舎),25a =,故椭圆方程为2215x y +=. (2)()()122,0,2,0F F -,设()00,P x y ,则12PF F △面积为01412⨯⨯=y ,则012=±y ,而220015x y += ,所以20154=x,0=x P 点有4个,它们的坐标分别为1111,,,22222222⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---- ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭. 19.(1)0.225a =,20.5元.(2)710P =. 【解析】试题分析:(1)利用频率分布直方图中各矩形的面积和为1,可以得到0.225a =.再计算出各组内直径的频数,就能计算出平均利润.(2)中的问题是一个古典概型,它的基本事件的总数为10,而至多有一件产品的直径位于区间[)114,116的事件的总数是7,从而所求概率为710. 解析:(1)由频率分布直方图得():20.0500.1500.0751a ⨯+++=,所以0.225a =,直径位于区间[)110,112的频数为20020.05020⨯⨯=,位于区间[)112,114的频数为20020.15060⨯⨯=,位于区间[)114,116的频数为20020.22590⨯⨯=,位于区间[]116,118的频数为20020.07530⨯⨯=,∴生产一件A 产品的平均利润为102030602090103020.5200⨯+⨯+⨯+⨯=(元).(2)由频率分布直方图得:直径位于区间[)112,114和[)114,116的频率之比为2:3,∴应从直径位于区间[)112,114的产品中抽取2件产品,记为,A B ,从直径位于区间[)114,116的产品中抽取3件产品,记为,,a b c ,从中随机抽取两件,所有可能的取法有{}{}{}{}{}{}{}{}{}{},,,,,,,,,,,,,,,,,,,A B A a A b A c B a B b B c a b a c b c 共10种,∴两件产品中至多有一件产品的直径位于区间[)114,116内的取法有7种.∴所求概率为710P =. 20.(1)圆M 与圆N 相离(2)2PBGPAPG GB S S GA∆∆==为定值.【解析】试题分析:利用两圆关于直线y x =对称我们可以得到M 圆心坐标,进而得到它们的半径,求得此圆的标准方程,最后利用圆心距与半径和、半径差的关系判断位置关系.(2)中的面积之比就是GA 与GB 的比,利用角平分线的性质可以得到GA PAGB PB=,所以只要证明PAPB是定值即可,这个定值可以通过计算PA 和PB 的长度得到. 解析:(1)55,33N ⎛⎫- ⎪⎝⎭关于直线y x =的对称点为55,33M ⎛⎫- ⎪⎝⎭,所以M 的半径为43r ===,∴M 的方程为225516339x x ⎛⎫⎛⎫++-= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又423MN ==>⨯,故M 与N 相离. (2)设()00,P x y ,则()()222220000051654113933PA x y x x x ⎛⎫⎛⎫=++-=++-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,()()2222200000516516113933PB x y x x x ⎛⎫⎛⎫=-+-=-+-+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭,所以214PA PB ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭,也即是12PA PB=.又GP 为角平分线,所以12PA GA PB GB ==,故2BPG APG GB S S GA ∆∆==为定值.点睛:在圆与圆的位置关系判断中,圆心距与半径和、半径差的关系是核心.另外,碰到角平分线的问题,注意角平分线定理的合理使用. 21.(1)181. (2)见解析. 【解析】试题分析:第一次汇报甲发言与第二次汇报甲发言是相互独立的,故可以计算各次甲发言的概率,它们的乘积就是两次汇报甲发言的概率. 又随机变量的X 的取值为0,2,在计算()0P X =和()2P X =,我们可以利用二项分布来计算.解析:(1)记“两次回报活动都是由小组成员甲发言”为事件A .由题意,得事件A 的概率()1119981P A =⨯=,即两次汇报活动都是由小组成员甲发言的槪率为181.(2)由题意,X 的可能取值为2,0,每次汇报时,男生被选为代表的概率为3193=,女生被选为代表的概率为12133-=.()200202221111521133339P X C C ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+-= ⎪ ⎪⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭;()111211401339P X C ⎛⎫⎛⎫==-=⎪⎪⎝⎭⎝⎭,所以,X 的分布列为:X 的数学期望541020999EX =⨯+⨯=. 点睛:在概率计算的过程中,注意随机变量满足的模型并利用已有的公式进行概率的计算.22.(1)()*123nn a n N ⎛⎫=-⨯∈ ⎪⎝⎭;()*21n b n n N =-∈;(2)53. 【解析】试题分析:题设中给出了等比数列{}n a 的前n 项和,它含有参数c ,我们利用2213a a a =构建关于c 的方程,解出c 就可以得到{}n a 的首项和公比,根据等比数列的通项公式写出其通项. 又{}n b 的前n 项和n S满足()12n n S S n --=≥,通过因式分解可以得到1=,从而是一个等差数列,求得2n S n =进而求出{}n b 的通项,注意111111n n n n b b d b b ++⎛⎫=- ⎪⎝⎭,故可以用裂项相消法求n T ,解关于n 的不等式10002019n T >就可以得到最小正整数n 的值. 解析:(1)∵()113f a ==,∴()13xf x ⎛⎫= ⎪⎝⎭.又()1113a f c c =-=-,()()22219a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦, ()()323227a f c f c =---=-⎡⎤⎡⎤⎣⎦⎣⎦,又数列{}n a 成等比数列,321213a a q a a ===,所以12233a a ==-,故1c =,所以12112333n nn a -⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭.又()12n n S S n --==≥,而0nb >,1=,1=,公差为1的等差数列,()111n n +-⨯=,2n S n =,故1,121,2n n b n n =⎧=⎨-≥⎩,因此*21,n b n n N =-∈.(2)12234211111n n n T b b b b b b b b +=++++1111111112323522121n n ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=-+-++- ⎪ ⎪ ⎪-+⎝⎭⎝⎭⎝⎭11122121n n n ⎛⎫=-=⎪++⎝⎭ 由1000212019n n T n =>+得100019n >,满足10002019n T >的最小正整数n 为53. 点睛:如果数列{}n a 的前n 项和为n S ,那么11,1,2n nn S n a S S n -=⎧=⎨-≥⎩ ,我们常利用这个关系式实现{}n a 与{}n S 之间的转化.在数列的求和中,我们注意观察通项的特征,本题中要求和的数列的通项的分母是等差数列连续两项的乘积,所以我们用裂项求和法来求和.。