6.2.2等差数列前n项和导学案(2)

§6.2　等差数列及其前n 项和最新考纲考情考向分析1.理解等差数列的概念．2.掌握等差数列的通项公式与前n 项和公式．3.能在具体的问题情境中识别数列的等差关系，并能用等差数列的有关知识解决相应的问题．4.了解等差数列与一次函数的关系.以考查等差数列的通项、前n 项和及性质为主，等差数列的证明也是考查的热点．本节内容在高考中既可以以选择、填空的形式进行考查，也可以以解答题的形式进行考查．解答题往往与等比数列、数列求和、不等式等问题综合考查.1．等差数列的定义一般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，通常用字母d 表示． 2．等差数列的通项公式如果等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，那么它的通项公式是a n ＝a 1＋(n －1)d . 3．等差中项由三个数a ，A ，b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列．这时，A 叫做a 与b 的等差中项．4．等差数列的常用性质(1)通项公式的推广：a n ＝a m ＋(n －m )d (n ，m ∈N *)．(2)若{a n }为等差数列，且k ＋l ＝m ＋n (k ，l ，m ，n ∈N *)，则a k ＋a l ＝a m ＋a n . (3)若{a n }是等差数列，公差为d ，则{a 2n }也是等差数列，公差为2d . (4)若{a n }，{b n }是等差数列，则{pa n ＋qb n }也是等差数列．(5)若{a n }是等差数列，公差为d ，则a k ，a k ＋m ，a k ＋2m ，…(k ，m ∈N *)是公差为md 的等差数列．(6)数列S m ，S 2m －S m ，S 3m －S 2m ，…构成等差数列． 5．等差数列的前n 项和公式设等差数列{a n }的公差为d ，其前n 项和S n ＝ 或S n ＝na 1＋d .n (a 1＋a n )2n (n －1)26．等差数列的前n 项和公式与函数的关系 S n ＝n 2＋n .d 2(a 1－d2)数列{a n }是等差数列⇔S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)． 7．等差数列的前n 项和的最值在等差数列{a n }中，a 1>0，d <0，则S n 存在最大值；若a 1<0，d >0，则S n 存在最小值． 知识拓展等差数列的四种判断方法(1)定义法：a n ＋1－a n ＝d (d 是常数)⇔{a n }是等差数列． (2)等差中项法：2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2 (n ∈N *)⇔{a n }是等差数列． (3)通项公式：a n ＝pn ＋q (p ，q 为常数)⇔{a n }是等差数列． (4)前n 项和公式：S n ＝An 2＋Bn (A ，B 为常数)⇔{a n }是等差数列．题组一　思考辨析1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)若一个数列从第二项起每一项与它的前一项的差都是常数，则这个数列是等差数列．(　×　)(2)等差数列{a n }的单调性是由公差d 决定的．(　√　)(3)等差数列的前n 项和公式是常数项为0的二次函数．(　×　) (4)已知等差数列{a n }的通项公式a n ＝3－2n ，则它的公差为－2.(　√　)(5)数列{a n }为等差数列的充要条件是对任意n ∈N *，都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(　√　) (6)已知数列{a n }的通项公式是a n ＝pn ＋q (其中p ，q 为常数)，则数列{a n }一定是等差数列．(　√　) 题组二　教材改编2．[P46A 组T2]设数列{a n }是等差数列，其前n 项和为S n ，若a 6＝2且S 5＝30，则S 8等于( ) A ．31 B ．32 C ．33 D ．34答案　B解析　由已知可得Error!解得Error! ∴S 8＝8a 1＋d ＝32. 8×723．[P39T5]在等差数列{a n }中，若a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝450，则a 2＋a 8＝________.答案　180解析　由等差数列的性质，得a 3＋a 4＋a 5＋a 6＋a 7＝5a 5＝450，∴a 5＝90，∴a 2＋a 8＝2a 5＝180.题组三　易错自纠 4．一个等差数列的首项为，从第10项起开始比1大，则这个等差数列的公差d 的取值范125围是( ) A ．d >B ．d <875325C.<d < D.<d ≤ 875325875325答案　D解析　由题意可得Error!即Error! 所以<d ≤.故选D. 8753255．若等差数列{a n }满足a 7＋a 8＋a 9>0，a 7＋a 10<0，则当n ＝________时，{a n }的前n 项和最大． 答案　8解析　因为数列{a n }是等差数列，且a 7＋a 8＋a 9＝3a 8＞0，所以a 8＞0.又a 7＋a 10＝a 8＋a 9＜0，所以a 9＜0.故当n ＝8时，其前n 项和最大．6．一物体从1 960 m 的高空降落，如果第1秒降落4.90 m ，以后每秒比前一秒多降落9.80 m ，那么经过________秒落到地面． 答案　20解析　设物体经过t 秒降落到地面．物体在降落过程中，每一秒降落的距离构成首项为4.90，公差为9.80的等差数列． 所以4.90t ＋t (t －1)×9.80＝1 960，12即4.90t 2＝1 960，解得t ＝20.题型一　等差数列基本量的运算1．(2017·全国Ⅰ)记S n 为等差数列{a n }的前n 项和．若a 4＋a 5＝24，S 6＝48，则{a n }的公差为( )A ．1B ．2C ．4D ．8 答案　C解析　设{a n }的公差为d ， 由Error!得Error! 解得d ＝4.故选C.2．(2016·全国Ⅰ)已知等差数列{a n }前9项的和为27，a 10＝8，则a 100等于( ) A ．100 B ．99 C ．98 D ．97 答案　C解析　由等差数列性质，知S 9＝＝＝9a 5＝27，得a 5＝3，而a 10＝8，因此公9(a 1＋a 9)29×2a 52差d ＝＝1，a 10－a 510－5∴a 100＝a 10＋90d ＝98，故选C.思维升华 等差数列运算问题的通性通法(1)等差数列运算问题的一般求法是设出首项a 1和公差d ，然后由通项公式或前n 项和公式转化为方程(组)求解．(2)等差数列的通项公式及前n 项和公式，共涉及五个量a 1，a n ，d ，n ，S n ，知其中三个就能求另外两个，体现了用方程的思想解决问题．题型二　等差数列的判定与证明典例 已知数列{a n }中，a 1＝，a n ＝2－(n ≥2，n ∈N *)，数列{b n }满足b n ＝351a n －11a n－1(n ∈N *)．(1)求证：数列{b n }是等差数列；(2)求数列{a n }中的最大项和最小项，并说明理由． (1)证明　因为a n ＝2－(n ≥2，n ∈N *)，1a n －1b n ＝(n ∈N *)， 1a n －1所以b n ＋1－b n ＝－1a n ＋1－11a n －1＝－＝－＝1.1(2－1an )－11a n －1a n a n －11a n －1又b 1＝＝－. 1a 1－152所以数列{b n }是以－为首项，1为公差的等差数列．52(2)解　由(1)知b n ＝n －，则a n ＝1＋＝1＋.721b n 22n －7设f (x )＝1＋，22x －7则f (x )在区间和上为减函数．(－∞，72)(72，＋∞)所以当n ＝3时，a n 取得最小值－1，当n ＝4时，a n 取得最大值3. 引申探究本例中，若将条件变为a 1＝，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，试求数列{a n }的通项公式．35解　由已知可得＝＋1，即－＝1，又a 1＝，a n ＋1n ＋1a n n a n ＋1n ＋1a n n 35∴是以＝为首项，1为公差的等差数列，{a nn}a 1135∴＝＋(n －1)·1＝n －，∴a n ＝n 2－n . a n n 352525思维升华 等差数列的四个判定方法(1)定义法：证明对任意正整数n 都有a n ＋1－a n 等于同一个常数． (2)等差中项法：证明对任意正整数n 都有2a n ＋1＝a n ＋a n ＋2.(3)通项公式法：得出a n ＝pn ＋q 后，再根据定义判定数列{a n }为等差数列．(4)前n 项和公式法：得出S n ＝An 2＋Bn 后，再使用定义法证明数列{a n }为等差数列． 跟踪训练 若数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a n ＋2S n S n －1＝0(n ≥2)，a 1＝.12(1)求证：是等差数列；{1S n}(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明　当n ≥2时，由a n ＋2S n S n －1＝0， 得S n －S n －1＝－2S n S n －1，∴－＝2，1S n 1Sn －1又＝＝2， 1S 11a 1故是首项为2，公差为2的等差数列．{1S n}(2)解　由(1)可得＝2n ，∴S n ＝.1S n 12n 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝－＝12n 12(n －1)n －1－n2n (n －1)＝－.12n (n －1)当n ＝1时，a 1＝不适合上式．12故a n ＝Error!题型三　等差数列性质的应用命题点1　等差数列项的性质典例 已知{a n }，{b n }都是等差数列，若a 1＋b 10＝9，a 3＋b 8＝15，则a 5＋b 6＝________. 答案　21解析　因为{a n }，{b n }都是等差数列，所以2a 3＝a 1＋a 5，2b 8＝b 10＋b 6，所以2(a 3＋b 8)＝(a 1＋b 10)＋(a 5＋b 6)，即2×15＝9＋(a 5＋b 6)，解得a 5＋b 6＝21. 命题点2　等差数列前n 项和的性质典例 (1)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＝9，S 6＝36，则a 7＋a 8＋a 9等于( ) A ．63 B ．45 C ．36 D ．27 答案　B解析　由{a n }是等差数列，得S 3，S 6－S 3，S 9－S 6为等差数列，即2(S 6－S 3)＝S 3＋(S 9－S 6)， 得到S 9－S 6＝2S 6－3S 3＝45，故选B.(2)已知S n 是等差数列{a n }的前n 项和，若a 1＝－2 014，－＝6，则S 2 018＝S 2 0142 014S 2 0082 008________. 答案　6 054解析　由等差数列的性质可得也为等差数列．{S nn}设其公差为d ，则－＝6d ＝6，∴d ＝1.S 2 0142 014S 2 0082 008故＝＋2 017d ＝－2 014＋2 017＝3， S 2 0182 018S 11∴S 2 018＝3×2 018＝6 054. 思维升华 等差数列的性质(1)项的性质：在等差数列{a n }中，m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q . (2)和的性质：在等差数列{a n }中，S n 为其前n 项和，则 ①S 2n ＝n (a 1＋a 2n )＝…＝n (a n ＋a n ＋1)； ②S 2n －1＝(2n －1)a n .跟踪训练 (1)在等差数列{a n }中，已知a 4＋a 8＝16，则该数列前11项和S 11等于( ) A ．58 B ．88 C ．143 D ．176 答案　B解析　S 11＝＝11(a 1＋a 11)211(a 4＋a 8)2＝＝88. 11×162(2)等差数列{a n }与{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，若＝，则等于( )S n T n 3n －22n ＋1a 7b 7A. B. 37271914C. D. 392943答案　A解析　＝＝＝＝a 7b 72a 72b 7a 1＋a 13b 1＋b 13a 1＋a 132×13b 1＋b 132×13S 13T13＝＝.3×13－22×13＋13727等差数列的前n 项和及其最值考点分析　公差不为0的等差数列，求其前n 项和与最值在高考中时常出现，题型有小题，也有大题，难度不大．典例1　(1)在等差数列{a n }中，2(a 1＋a 3＋a 5)＋3(a 7＋a 9)＝54，则此数列前10项的和S 10等于( ) A ．45 B ．60 C ．75D ．90(2)在等差数列{a n }中，S 10＝100，S 100＝10，则S 110＝________. 解析　(1)由题意得a 3＋a 8＝9，所以S 10＝＝＝＝45.10(a 1＋a 10)210(a 3＋a 8)210×92(2)方法一　设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ， 则Error!解得Error! 所以S 110＝110a 1＋d ＝－110. 110×1092方法二　因为S 100－S 10＝＝－90，(a 11＋a 100)×902所以a 11＋a 100＝－2， 所以S 110＝(a 1＋a 110)×1102＝＝－110.(a 11＋a 100)×1102答案　(1)A (2)－110典例2　在等差数列{a n }中，已知a 1＝20，前n 项和为S n ，且S 10＝S 15，求当n 取何值时，S n 取得最大值，并求出它的最大值． 规范解答解　∵a 1＝20，S 10＝S 15， ∴10×20＋d ＝15×20＋d ， 10×9215×142∴d ＝－.53方法一　由a n ＝20＋(n －1)×＝－n ＋，(－53)53653得a 13＝0.即当n ≤12时，a n ＞0，当n ≥14时，a n ＜0. ∴当n ＝12或n ＝13时，S n 取得最大值， 且最大值为S 12＝S 13＝12×20＋×12×112(－53)＝130.方法二　S n ＝20n ＋·n (n －1)2(－53)＝－n 2＋n561256＝－2＋.56(n －252)3 12524∵n ∈N *，∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130. 方法三　由S 10＝S 15，得a 11＋a 12＋a 13＋a 14＋a 15＝0. ∴5a 13＝0，即a 13＝0.∴当n ＝12或n ＝13时，S n 有最大值，且最大值为S 12＝S 13＝130.1．(2018·济南质检)在等差数列{a n }中，若a 2＝4，a 4＝2，则a 6等于( ) A ．－1 B ．0 C ．1 D ．6答案　B解析　因为数列是等差数列，a 2＝4,2a 4＝a 2＋a 6＝4，所以a 6＝0，故选B.2．(2018·日照模拟)由公差为d 的等差数列a 1，a 2，a 3，…组成的新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…是( )A ．公差为d 的等差数列B ．公差为2d 的等差数列C ．公差为3d 的等差数列D ．非等差数列 答案　B解析　设新数列a 1＋a 4，a 2＋a 5，a 3＋a 6，…的第n 项是b n ，则b n ＝a n ＋a n ＋3＝2a 1＋(n －1)d ＋(n ＋2)d ＝2a 1＋(2n ＋1)d ，∴b n ＋1－b n ＝2d ，∴新数列是以2d 为公差的等差数列，故选B. 3．(2017·宁德一模)若数列{a n }为等差数列，S n 为其前n 项和，且a 2＝3a 4－6，则S 9等于( ) A ．54 B ．50 C ．27 D ．25 答案　C解析　数列{a n }为等差数列，设公差为d ，则a 4＝a 2＋2d ，∴a 2＝3(a 2＋2d )－6，∴2a 2＋6d －6＝0，∴a 2＋3d ＝3，即a 5＝3，则S 9＝＝9×a 5＝27.故选C.(a 1＋a 9)×924．(2017·河南百校联盟模拟)等差数列{a n }中，S n 是其前n 项和，a 1＝－9，－＝2，则S 10S 99S 77等于( ) A ．0 B ．－9 C ．10 D ．－10答案　A解析　设公差为d ，∵－＝2，∴d －d ＝2，S 99S 779－127－12∴d ＝2，∵a 1＝－9，∴S 10＝10×(－9)＋×2＝0，故选A. 10×925．(2017·唐山统考)等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 11＝22，则a 3＋a 7＋a 8等于( ) A ．18 B ．12 C ．9 D ．6答案　D解析　由题意得S 11＝＝＝22，即a 1＋5d ＝2，所以a 3＋a 7＋a 8＝a 1＋2d11(a 1＋a 11)211(2a 1＋10d )2＋a 1＋6d ＋a 1＋7d ＝3(a 1＋5d )＝6，故选D.6．(2017·湖南省湘中名校联考)若{a n }是等差数列，首项a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，则使前n 项和S n >0成立的最大正整数n 是( ) A ．2 016 B ．2 017 C ．4 032 D ．4 033答案　C解析　因为a 1>0，a 2 016＋a 2 017>0，a 2 016·a 2 017<0，所以d <0，a 2 016>0，a 2 017<0，所以S 4 032＝＝>0，S 4 033＝＝4 033a 2 017<0，所以使前n4 032(a 1＋a 4 032)2 4 032(a 2 016＋a 2 017)2 4 033(a 1＋a 4 033)2项和S n >0成立的最大正整数n 是4 032，故选C.7．(2017·安徽省安师大附中、马鞍山二中阶段性测试)若等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足a 2＋S 3＝4，a 3＋S 5＝12，则a 4＋S 7的值是________． 答案　24解析　由a 2＋S 3＝4及a 3＋S 5＝12，得Error! 解得Error!∴a 4＋S 7＝8a 1＋24d ＝24.8．等差数列{a n }中的a 4，a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，则a 1 010＝________.14log 答案　－12解析　因为a 4和a 2 016是3x 2－12x ＋4＝0的两根，所以a 4＋a 2 016＝4.又a 4，a 1 010，a 2 016成等差数列，所以2a 1 010＝a 4＋a 2 016，即a 1 010＝2，所以a 1 010＝－. 14log 129．(2017·郑州模拟)《张丘建算经》卷上第22题为：“今有女善织，日益功疾．初日织五尺，今一月日织九匹三丈．”其意思为今有女子善织布，且从第2天起，每天比前一天多织相同量的布．若第一天织5尺布，现在一个月(按30天计)共织390尺布，则该女最后一天织________尺布．答案　21解析　由题意得，织女每天所织的布的尺数依次排列形成一个等差数列，设为{a n }，其中a 1＝5，前30项和为390，于是有＝390，解得a 30＝21，即该织女最后一天织21尺30(5＋a 30)2布．10．设数列{a n }的通项公式为a n ＝2n －10(n ∈N *)，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝________. 答案　130解析　由a n ＝2n －10(n ∈N *)知{a n }是以－8为首项，2为公差的等差数列，又由a n ＝2n －10≥0，得n ≥5，∴当n ≤5时，a n ≤0，当n ＞5时，a n ＞0，∴|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 15|＝－(a 1＋a 2＋a 3＋a 4)＋(a 5＋a 6＋…＋a 15)＝20＋110＝130.11．(2016·全国Ⅱ)等差数列{a n }中，a 3＋a 4＝4，a 5＋a 7＝6.(1)求{a n }的通项公式；(2)设b n ＝[a n ]，求数列{b n }的前10项和，其中[x ]表示不超过x 的最大整数，如[0.9]＝0，[2.6]＝2.解　(1)设数列{a n }的首项为a 1，公差为d ，由题意得Error!解得Error!所以{a n }的通项公式为a n ＝. 2n ＋35(2)由(1)知，b n ＝. [2n ＋35]当n ＝1,2,3时，1≤<2，b n ＝1； 2n ＋35当n ＝4,5时，2≤<3，b n ＝2； 2n ＋35当n ＝6,7,8时，3≤<4，b n ＝3； 2n ＋35当n ＝9,10时，4≤<5，b n ＝4. 2n ＋35所以数列{b n }的前10项和为1×3＋2×2＋3×3＋4×2＝24.12．(2018·贵州质检)已知数列{a n }的各项均为正数，前n 项和为S n ，且满足2S n ＝a ＋n －2n 4(n ∈N *)．(1)求证：数列{a n }为等差数列；(2)求数列{a n }的通项公式．(1)证明　当n ＝1时，有2a 1＝a ＋1－4， 21即a －2a 1－3＝0， 21解得a 1＝3(a 1＝－1舍去)．当n ≥2时，有2S n －1＝a ＋n －5， 2n －1又2S n ＝a ＋n －4， 2n 两式相减得2a n ＝a －a ＋1， 2n 2n －1即a －2a n ＋1＝a ，也即(a n－1)2＝a ， 2n 2n －12n －1因此a n －1＝a n －1或a n －1＝－a n －1.若a n －1＝－a n －1，则a n ＋a n －1＝1.而a 1＝3，所以a 2＝－2，这与数列{a n }的各项均为正数相矛盾， 所以a n －1＝a n －1，即a n －a n －1＝1，因此数列{a n }是首项为3，公差为1的等差数列．(2)解　由(1)知a 1＝3，d ＝1，所以数列{a n }的通项公式a n ＝3＋(n －1)×1＝n ＋2， 即a n ＝n ＋2.13．(2017·郑州一模)设数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝3，且2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，则a 20的值是______．答案 245解析　∵2na n ＝(n －1)a n －1＋(n ＋1)a n ＋1，∴数列{na n }是以a 1＝1为首项，2a 2－a 1＝5为公差的等差数列，∴20a 20＝1＋5×19＝96， 解得a 20＝＝. 962024514．已知数列{a n }中，a 1＝1且＝＋(n ∈N *)，则a 10＝________. 1a n ＋11a n 13答案 14解析　∵＝＋，∴－＝， 1a n ＋11a n 131a n ＋11a n 13∴是以＝1为首项，为公差的等差数列， {1a n }1a 113∴＝＋(10－1)×＝1＋3＝4， 1a 101a 113故a 10＝. 1415．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若S m －1＝－2，S m ＝0，S m ＋1＝3，则m ＝________. 答案　5解析　∵数列{a n }为等差数列，且前n 项和为S n ，∴数列也为等差数列．{S n n }∴＋＝，即＋＝0， S m －1m －1S m ＋1m ＋12S m m －2m －13m ＋1解得m ＝5，经检验符合题意．16．(2017·保定一模)设等差数列{a n }满足a 1＝1，a n >0(n ∈N *)，其前n 项和为S n ，若数列{}也为等差数列，则的最大值是________．S n S n ＋10a 2n 答案　121解析　设数列{a n }的公差为d ，由题意得2＝＋，S 2S 1S 3因为a 1＝1，所以2＝＋， 2a 1＋d a 13a 1＋3d 化简可得d ＝2a 1＝2，所以a n ＝1＋(n －1)×2＝2n －1，S n ＝n ＋×2＝n 2， n (n －1)2所以＝＝2 S n ＋10a 2n (n ＋10)2(2n －1)2(n ＋102n －1)＝2 [12(2n －1)＋2122n －1]＝2. 14(1＋212n －1)又为单调递减数列， {(1＋212n －1)2}所以≤＝112＝121.S n ＋10a 2n S 11a 21。

导学案年级：高一级 科目：数学 主备： 审核：课题： §2.2等差数列的前n 项和 课型：新授课 课时：第2课时 【三维目标】●知识与技能：进一步熟练掌握等差数列的通项公式和前n 项和公式；了解等差数列的一些性质，并会用它们解决一些相关问题；会利用等差数列通项公式与前 项和的公式研究Sn 的最值； ●过程与方法：经历公式应用的过程；●情感态度与价值观：通过有关内容在实际生活中的应用，使学生再一次感受数学源于生活，又服务于生活的实用性，引导学生要善于观察生活，从生活中发现问题，并数学地解决问题。

【学习重点】熟练掌握等差数列的求和公式 【学习难点】灵活应用求和公式解决问题 【教学资源】教师导学过程(导案) 学生学习活动(学案) 【导学过程1:】课前练习1、等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3，求5S .2、等差数列{n a }中，已知31a =，511a =，求n a 和8S . 复习：等差数列的前n 项和公式1：2)(1n n a a n S +=等差数列的前n 项和公式2：2)1(1dn n na S n -+=【学生学习活动1:】 学生独立完成【导学过程2:】典型例题例1已知数列{}n a 的前n 项为212n S n n =+，求这个数列的通项公式. 这个数列是等差数列吗？如果是，它的首项与公差分别是什么？变式：1、已知232n S n n =+，求数列的通项n a .2、（课本P45页练习2）已知数列{}n a 的前n 项为212343n S n n =++，求这个数列的通项公式.小结：数列通项n a 和前n 项和n S 关系为n a =11(1)(2)n n S n S S n -=⎧⎨-≥⎩，由此可由n S 求n a .（强调要验证1a 是否满足已求出的n a ）【学生学习活动2:】学生独立思考，教师适当引导，师生共同归纳总结解题思想方法【导学过程3:】例2 已知等差数列2454377，，，....的前n 项和为n S ，求使得n S 最大的序号n 的值.变式：1.等差数列{n a }中， 4a ＝－15， 公差d ＝3， 求数列{n a }的前n 项和n S 的最小值.2.等差数列{n a }，10a <，912S S =，该数列前多少项的和最小？（《导与练》P23变式训练2-1）小结：等差数列前项和的最大（小）值的求法.（1）利用n a : 当n a >0，d <0，前n 项和有最大值，可由n a ≥0，且1n a +≤0，求得n 的值；当n a <0，d >0，前n 项和有最小值，可由n a ≤0，且1n a +≥0，求得n 的值（2）利用n S ：由21()22n dd S n a n =+-，利用二次函数配方法求得最大（小）值时n 的值.【学生学习活动3:】学生独立思考，教师适当引导，师生共同归纳总结解题思想方法【导学过程4:】知识拓展 1、等差数列{n a }中，n S ，n n S S -2，n n S S 23-，···也成等差数列，公差为d n 22、等差数列奇数项与偶数项的性质如下： 1°若项数为偶数2n ，则S S nd 偶奇－＝；1(2)n n S a n S a +≥奇偶＝；2°若项数为奇数2n ＋1，则1n S S a +奇偶－＝；1n S na +=偶；1(1)n S n a ++奇＝；1S nS n +偶奇＝.【学生学习活动4:】学生了解，拓展知识 附件: 【小结】1. 数列通项n a 和前n 项和n S 关系；2. 等差数列前项和最大（小）值的两种求法.【作业】课本P46习题A4-6，选做B 组4阅读《导与练》P23例2，完成变式训练2-1 完成《课时训练区》P76基础达标4-6【教学后记】:。

综合能力提升
(4)等差数列{an}中,若 a1>0,d<0,则 Sn 存在 最大值
若 a1<0,d>0,则 Sn 存在 最小值
.
5.常用的数学方法与思想
待定系数法、函数与方程思想、数形结合思想.
,
主干知识回顾
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
1.已知在等差数列{an}中,a1=-1,公差 d=2,an-1=15,则 n 的值
Sn=na1+
-
得
n
×2=n2-12n=(n-6)2-36,所以当
n=6 时,Sn 最小.
解法 2:由 a1=-11,a5+a6=-4 得 2a1+9d=-4⇒d=2,从而
an=a1+(n-1)d=-11+2(n-1)=2n-13,
当 1≤n≤6,n∈N*时,an<0,当 n>6,n∈N*时,an>0,所以前 6 项和最小.
a1,an,n
Sn=
a1,d,n
Sn=na1+

(-)

d
主干知识回顾
主干知识回顾
名师考点精讲
综合能力提升
3.等差数列的常用性质
已知{an}是等差数列,Sn 是数列{an}的前 n 项和.
(1)若 m+n=p+q(m,n∈N*),则 am+an=ap+aq.
特别地有 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=…及 m+n=2p 时,有 am+an=2ap.
主干知识回顾
综合能力提升
综合能力提升
名师考点精讲

(2)存在 m≥ 满足条件.

第1课时 等差数列的前n 项和1.数列的前n 项和对于数列{a n }，一般地，我们称□01a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n 为数列{a n }的前n 项和，用□02S n 表示，即S n ＝□03a 1＋a 2＋…＋a n . 2．等差数列{a n }的前n 项和设等差数列{a n }的公差是d ，则S n ＝n (a 1＋a n )2＝□04na 1＋n (n －1)2d . 3．前n 项和S n 与通项a n 的关系a n 与S n 的关系式为□05a n ＝⎩⎨⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2).1．判一判(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)知道等差数列的首项、公差与前n 项和可求项数n .( ) (2)对于数列{a n }，一定有关系式a n ＝S n －S n －1.( )(3)若数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2＋n ＋1，则数列{a n }是等差数列．( ) 答案 (1)√ (2)× (3)× 2．做一做(1)若数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2，则a 3＋a 4＋a 5＝________. (2)等差数列{a n }中，a 1＝6，a 12＝－16，则S 12＝______. (3)等差数列{a n }中，a 1＝2，公差d ＝2，则S 10＝______.(4)(教材改编P 45T 2)已知数列{a n }的通项公式a n ＝－5n ＋2，则其前n 项和S n ＝________.答案 (1)21 (2)－60 (3)110 (4)－5n 2＋n2探究1 等差数列前n 项和公式的运用例1 (1)已知{a n }是等差数列，a 10＝10，其前10项和S 10＝70，求公差d ； (2)已知{a n }为等差数列，公差d ＝2，前n 项和为S n ，a n ＝11，S n ＝35，求a 1，n ；(3)在等差数列{a n }中，已知a 2＋a 5＝19，S 5＝40，求a 10. 解 (1)由等差数列的前n 项和公式可得 S 10＝(a 1＋a 10)×102＝5(a 1＋10)＝70，解得a 1＝4，∴d ＝a 10－a 19＝23.(2)由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧11＝a 1＋2(n －1)，35＝n (a 1＋11)2，解得⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＝－1，n ＝7或⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，n ＝5.(3)由题设可得⎩⎪⎨⎪⎧2a 1＋5d ＝19，5a 1＋5(5－1)2d ＝40，即⎩⎪⎨⎪⎧ 2a 1＋5d ＝19，a 1＋2d ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝2，d ＝3， 故a 10＝2＋3×(10－1)＝29.[条件探究] 本例(2)中，将“d ＝2”改为“a 1＝3”，其他条件不变，求n 和公差d .解解法一：由⎩⎪⎨⎪⎧a n ＝a 1＋(n －1)d ，S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，得⎩⎪⎨⎪⎧11＝3＋(n －1)d ，35＝3n ＋n (n －1)2d ，解得⎩⎪⎨⎪⎧n ＝5，d ＝2.解法二：∵a 1＝3，a n ＝11，S n ＝35，∴35＝n (3＋11)2＝7n ，即n ＝5.又∵11＝3＋(5－1)d ，∴d ＝2. 拓展提升等差数列中的基本计算(1)利用基本量求值．等差数列的通项公式和前n 项和公式中有五个量a 1，d ，n ，a n 和S n ，这五个量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a 1和d 的方程组，解出a 1和d ，便可解决问题，解题时注意整体代换的思想．(2)结合等差数列的性质解题．等差数列的常用性质：若m ＋n ＝p ＋q (m ，n ，p ，q ∈N *)，则a m ＋a n ＝a p ＋a q ，常与求和公式S n ＝n (a 1＋a n )2结合使用．【跟踪训练1】 等差数列{a n }中，a 10＝30，a 20＝50. (1)求通项a n ； (2)若S n ＝242.求n .解 (1)设数列{a n }的首项a 1，公差d ， 则⎩⎪⎨⎪⎧ a 10＝a 1＋9d ＝30，a 20＝a 1＋19d ＝50.∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝12，d ＝2. ∴通项a n ＝a 1＋(n －1)d ＝10＋2n .(2)由S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，a 1＝12，d ＝2， S n ＝242，得方程242＝12n ＋n (n －1)2×2.即n 2＋11n －242＝0，得n ＝11或n ＝－22(舍)． 探究2 数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系例2 已知下面各数列{a n }的前n 项和S n 的公式，求{a n }的通项公式． (1)lg (S n ＋1)＝n ＋1； (2)S n ＝2n 2－3n .解 (1)因为lg (S n ＋1)＝n ＋1. 所以S n ＋1＝10n ＋1，即S n ＝10n ＋1－1 当n ＝1时，a 1＝S 1＝102－1＝99；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(10n ＋1－1)－(10n －1)＝9×10n . 从而数列{a n }的通项公式为：a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧99(n ＝1)，9×10n (n ≥2).(2)当n ＝1时，a 1＝S 1＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(2n 2－3n )－[2(n －1)2－3(n －1)]＝4n －5，由于a 1也适合此等式，∴a n ＝4n －5(n ∈N *)． 拓展提升数列的通项a n 与前n 项和S n 的关系(1)已知S n 求a n ，其方法是a n ＝S n －S n －1(n ≥2)，这里常常因为忽略条件“n ≥2”而出错．(2)在书写{a n }的通项公式时，务必验证n ＝1是否满足a n (n ≥2)的情形．如果不满足，则通项公式只能用a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1(n ＝1)，S n －S n －1(n ≥2)表示．【跟踪训练2】 设数列{a n }的前n 项和为S n ＝n 2－4n ＋1，求通项公式． 解 当n ＝1时，a 1＝S 1＝12－4×1＋1＝－2；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2－4n ＋1)－[(n －1)2－4(n －1)＋1]＝2n －5. 又a 1≠2×1－5，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2，n ＝1，2n －5，n ≥2，n ∈N *.探究3 求数列{|a n |}的前n 项和例3 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝－32n 2＋2052n ，求数列{|a n |}的前n 项和T n .解 a 1＝S 1＝－32×12＋2052×1＝101. 当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋2052n －⎣⎢⎡⎦⎥⎤－32(n －1)2＋2052(n －1) ＝－3n ＋104.∵n ＝1也适合上式， ∴数列通项公式为a n ＝－3n ＋104. 由a n ＝－3n ＋104≥0得n ≤3423， 即当n ≤34时，a n >0；当n ≥35时，a n <0. 解法一：①当n ≤34时， T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝a 1＋a 2＋…＋a n ＝S n ＝－32n 2＋2052n . ②当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 34|＋|a 35|＋…＋|a n | ＝(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 35＋a 36＋…＋a n ) ＝2(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 1＋a 2＋…＋a n ) ＝2S 34－S n＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×342＋2052×34－⎝ ⎛⎭⎪⎫－32n 2＋2052n ＝32n 2－2052n ＋3502.故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34，32n 2－2052n ＋3502，n ≥35.解法二：①同解法一． ②当n ≥35时，T n ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝(a 1＋a 2＋…＋a 34)－(a 35＋a 36＋…＋a n )＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－32×342＋2052×34－ (－3n ＋104－3×35＋104)×(n －34)2＝32n 2－2052n ＋3502，故T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－32n 2＋2052n ，n ≤34，32n 2－2052n ＋3502，n ≥35.拓展提升对等差数列{a n }，求{|a n |}的前n 项和的技巧常先由S n 的最值判断出哪些项为正，哪些项为负或先求出a n ，解a n ≥0的n 的取值范围判断出哪些项为正，哪些项为负．(1)等差数列{a n }的各项都为非负数，这种情形中数列{|a n |}就等于数列{a n }，可以直接求解．(2)若前k 项为负，从k ＋1项开始以后的项非负，则{|a n |}的前n 项和T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－S n ，n ≤k ，S n －2S k ，n >k .(3)若前k 项为正，以后各项非正，则 T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S n ，n ≤k ，2S k －S n ，n >k .(4)也可以分别求出a n ≥0与a n <0的和再相减求出|a n |的和．【跟踪训练3】 已知数列{a n }的通项公式是a n ＝4n －25，求数列{|a n |}的前n 项和．解 ∵a n ＝4n －25，∴a n ＋1＝4(n ＋1)－25，a n ＋1－a n ＝4， a 1＝4×1－25＝－21，∴数列{a n }是以－21为首项，公差为4的等差数列． 由a n ≥0，得4n －25≥0，即n ≥614，∴数列{a n }中前6项均小于零，从第7项起均大于零，∴当n ≤6时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2＋…＋a n )＝－S n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫－21n ＋n (n －1)2×4＝－2n 2＋23n . 当n ≥7时，|a 1|＋|a 2|＋…＋|a n |＝－(a 1＋a 2＋…＋a 6)＋(a 7＋a 8＋…＋a n ) ＝(a 1＋a 2＋…＋a n )－2(a 1＋a 2＋…＋a 6) ＝S n －2S 6＝－21n ＋n (n －1)2×4－2×6(a 1＋a 6)2＝2n 2－23n ＋132. 故数列{|a n |}的前n 项和S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2n 2＋23n (n ≤6)，2n 2－23n ＋132(n ≥7).探究4 等差数列前n 项和公式在实际中的应用例4 某人用分期付款的方式购买一件家电，价格为1150元，购买当天先付150元，以后每月的这一天都交付50元，并加付欠款利息，月利率为1%.若交付150元后的一个月开始算分期付款的第一个月，则分期付款的第10个月该交付多少钱？全部贷款付清后，买这件家电实际花费多少钱？解 设每次交款数额依次为a 1，a 2，…，a 20，则 a 1＝50＋1000×1%＝60(元)， a 2＝50＋(1000－50)×1%＝59.5(元)， …a 10＝50＋(1000－9×50)×1%＝55.5(元)． 即第10个月应付款55.5元．由于{a n }是以60为首项，以－0.5为公差的等差数列， 所以有S 20＝60＋(60－19×0.5)2×20＝1105(元)，即全部付清后实际付款1105＋150＝1255(元)． 拓展提升建立等差数列的模型时，要根据题意找准首项、公差和项数或者首项、末项和项数．【跟踪训练4】 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植树一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一棵树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，此最小值为________米．答案 2000解析 假设开始时将树苗集中放置在第n 棵树坑旁边(其中1≤n ≤20且n ∈N *)，则20名同学往返所走的路程总和为：S ＝20＋40＋…＋[20＋20(n －2)]＋20＋40＋…＋[20＋20(20－n －1)] ＝20(n 2－21n ＋210) ＝20⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫n －2122＋210－2124 因为n ∈N *且1≤n ≤20，所以当n ＝10或11时，S 取最小值，且最小值为2000米．[规律小结]1.等差数列前n 项和公式的推导：设S n ＝a 1＋a 2＋…＋a n ，倒序得S n ＝a n ＋a n－1＋…＋a 2＋a 1.相加得2S n ＝(a 1＋a n )＋(a 2＋a n －1)＋…＋(a n ＋a 1)．由等差数列性质，得2S n ＝n (a 1＋a n )， ∴S n ＝n (a 1＋a n )2.我们不妨将上面的推导方法称为倒序求和法．今后，某些数列求和常常会用到这种方法．2.由等差数列的前n 项和公式及通项公式可知，若已知a 1，d ，n ，a n ，S n 中三个便可求出其余的两个，即“知三求二”，“知三求二”的实质是方程思想，即建立方程组求解．3.在运用等差数列的前n 项和公式来求和时，一般地，若已知首项a 1及末项a n 用公式S n ＝n (a 1＋a n )2较简便；若已知首项a 1及公差d 用公式S n ＝na 1＋n (n －1)2d 较好．4.在运用公式S n ＝n (a 1＋a n )2求和时，要注意性质“m ，n ，p ，q ∈N*且m ＋n ＝p ＋q ⇒a m ＋a n ＝a p ＋a q ”的运用．[走出误区]易错点⊳忽视等差数列前n 项和公式的基本特征而致错[典例] 已知两个等差数列{a n }和{b n }的前n 项和分别为S n 和T n ，且对一切正整数n 都有S n T n ＝5n ＋32n ＋7，试求a 9b 9的值．[错解档案] 设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，k ≠0， 则a 9＝S 9－S 8＝(5×9＋3)k －(5×8＋3)k ＝5k ， b 9＝T 9－T 8＝(2×9＋7)k －(2×8＋7)k ＝2k ， 所以a 9b 9＝52.[误区警示] 此解答错在根据条件S n T n ＝5n ＋32n ＋7，设S n ＝(5n ＋3)k ，T n ＝(2n ＋7)k ，这是把等差数列前n 项和误认为是关于n 的一次函数，没有准确把握前n 项和公式的特点．[规范解答] 解法一：因为{a n }和{b n }是公差不为0的等差数列， 故设S n ＝n (5n ＋3)k ，T n ＝n (2n ＋7)k ，k ≠0，则 a 9＝S 9－S 8＝9×(5×9＋3)k －8×(5×8＋3)k ＝88k ， b 9＝T 9－T 8＝9×(2×9＋7)k －8×(2×8＋7)k ＝41k ， 所以a 9b 9＝8841.解法二：从等差数列前n 项和公式S n ＝n (a 1＋a n )2出发求解．∵S n ＝n (a 1＋a n )2，T n ＝n (b 1＋b n )2，∴S n T n ＝a 1＋a nb 1＋b n. 令n ＝17，由等差数列的性质知， a 1＋a 17b 1＋b 17＝2a 92b 9＝a 9b 9.∴a 9b 9＝S 17T 17＝8841. [名师点津] 等差数列的前n 项和S n ＝d 2n 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫a 1－d 2n ，当d ≠0时，可以看成关于n 的二次函数式，且常数项为零，当d ＝0时，S n ＝na 1，但是本题不属于这种情况⎝ ⎛⎭⎪⎪⎫否则S n T n ＝na 1nb 1＝a 1b 1与S n T n ＝5n ＋32n ＋7矛盾.1．设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，已知a 2＝3，a 6＝11，则S 7等于( ) A ．13 B ．35 C ．49 D ．63 答案 C解析 S 7＝7(a 1＋a 7)2＝7(a 2＋a 6)2＝49.2．在等差数列{a n }中，S 10＝120，那么a 1＋a 10的值是( ) A ．12 B ．24 C ．36 D ．48 答案 B解析 由S 10＝10(a 1＋a 10)2，得a 1＋a 10＝S 105＝1205＝24.3．《九章算术》是我国古代内容极为丰富的数学名著，书中有如下问题：“今有女子善织，日益功疾，初日织五尺，今一月织九匹三丈(1匹＝40尺，一丈＝10尺)，问日益几何？”其意思为：“有一女子擅长织布，每天比前一天更加用功，织布的速度也越来越快，从第二天起，每天比前一天多织相同量的布，第一天织5尺，一月织了九匹三丈，问每天增加多少尺布？”若一个月按30天算，则每天增加量为()A.12尺 B.815尺 C.1629尺 D.1631尺答案C解析由题意可得：每天织布的量组成了等差数列{a n}，a1＝5，S30＝9×40＋30＝390，设公差为d，则30×5＋30×292d＝390，解得d＝16 29.故选C.4．若数列{a n}是等差数列，且a2＝5，a6＝37，则该数列的前10项和为________．答案330解析解法一：∵a2＝5，a6＝37，∴d＝a6－a26－2＝8.又a2＝a1＋d，∴a1＝－3，∴S10＝10×(－3)＋10×(10－1)2×8＝－30＋360＝330.解法二：∵a2＝5，a6＝37，∴d＝a6－a26－2＝8.又a 2＝a 1＋d ，∴a 1＝－3，∴a 10＝a 1＋9d ＝69，∴S 10＝10(a 1＋a 10)2＝330. 5．在等差数列{a n }中，(1)已知S 8＝48，S 12＝168，求a 1和d ；(2)已知a 6＝10，S 5＝5，求a 8和S 8；(3)已知a 3＋a 15＝40，求S 17.解 (1)∵S 8＝8a 1＋28d ＝48，S 12＝12a 1＋66d ＝168，解得a 1＝－8，d ＝4.(2)∵a 6＝10＝a 1＋5d ，S 5＝5a 1＋10d ＝5，解得d ＝3，a 1＝－5.∴a 8＝16，S 8＝44.(3)∵a 1＋a 17＝a 3＋a 15＝40，∴S 17＝17(a 1＋a 17)2＝340.A 级：基础巩固练一、选择题1．等差数列{a n }中，S 10＝4S 5，则a 1d等于( ) A.12 B ．2 C.14 D ．4答案 A解析 由题意得：10a 1＋12×10×9d ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫5a 1＋12×5×4d ，∴10a 1＋45d ＝20a 1＋40d ，∴10a 1＝5d ，∴a 1d ＝12.2．等差数列{a n }的通项公式a n ＝1－2n ，其前n 项和为S n ，则数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项和为( )A ．－45B ．－50C ．－55D ．－66答案 D解析 等差数列{a n }的前n 项和S n ＝n (a 1＋a n )2，∴S n n ＝a 1＋a n 2＝(1－2)＋(1－2n )2＝－n .∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n 的前11项的和为－(1＋2＋3＋…＋11)＝－66. 3．在等差数列{a n }和{b n }中，a 1＝25，b 1＝15，a 100＋b 100＝139，则数列{a n ＋b n }的前100项的和为( )A ．0B ．4475C ．8950D ．10000答案 C解析 设c n ＝a n ＋b n ，则c 1＝a 1＋b 1＝40，c 100＝a 100＋b 100＝139，{c n }是等差数列，∴前100项和S 100＝100(c 1＋c 100)2＝100×(40＋139)2＝8950. 4．若一个等差数列{a n }的前3项和为34，最后3项的和为146，且所有项的和为390，则这个数列有( )A ．13项B ．12项C ．11项D ．10项答案 A解析 a 1＋a 2＋a 3＋a n －2＋a n －1＋a n ＝34＋146＝180，所以3(a 1＋a n )＝180，即a 1＋a n ＝60.由S n ＝390，知n (a 1＋a n )2＝390， 所以n ×602＝390，解得n ＝13.二、填空题5．《孙子算经》是我国古代的数学名著，书中有如下问题：“今有五等诸侯，共分橘子六十颗，人别加三颗．问：五人各得几何？”其意思为“有5个人分60个橘子，他们分得的橘子数成公差为3的等差数列，问5人各得多少橘子．”这个问题中，得到橘子最多的人所得的橘子个数是________．答案 18解析 设第一个人分到的橘子个数为a 1，由题意得：S 5＝5a 1＋5×42×3＝60，解得a 1＝6.则a 5＝a 1＋(5－1)×3＝6＋12＝18.∴得到橘子最多的人所得的橘子个数是18.故为18.6．数列{a n }满足：a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3(n ∈N *)，则数列{a n }的通项公式a n ＝________.答案 3n解析 a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＋(2n －1)·a n ＝(n －1)·3n ＋1＋3，当n ≥2时，把n 换成n －1得，a 1＋3a 2＋5a 3＋…＋(2n －3)·a n －1＝(n －2)·3n ＋3，两式相减得(2n －1)·a n ＝(n －1)3n ＋1－(n －2)3n ，即(2n －1)·a n ＝(2n －1)3n ，当n ＝1时，a 1＝3，符合上式，∴a n ＝3n .7．若数列{a n }的前n 项和是S n ＝n 2－4n ＋2，则|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝________. 答案 66解析 当n ＝1时，a 1＝S 1＝1－4＋2＝－1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2－4n ＋2－[(n －1)2－4(n －1)＋2]＝2n －5，所以前两项是负数，且a 2＝－1.故|a 1|＋|a 2|＋…＋|a 10|＝S 10＋2(|a 1|＋|a 2|)＝102－4×10＋2＋2×(1＋1)＝66.三、解答题8．已知等差数列{a n }满足：a 3＝7，a 5＋a 7＝26，{a n }的前n 项和为S n .(1)求a n 及S n ；(2)令b n ＝1a 2n －1(n ∈N ＋)，求数列{b n }的前n 项和T n . 解 (1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d .∵a 3＝7，a 5＋a 7＝26，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝7，2a 1＋10d ＝26.解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝3，d ＝2.∴a n ＝3＋2(n －1)＝2n ＋1，S n ＝3n ＋n (n －1)2×2＝n 2＋2n .即a n ＝2n ＋1，S n ＝n 2＋2n .(2)由(1)知a n ＝2n ＋1，∴b n ＝1a 2n －1＝1(2n ＋1)2－1＝14×1n (n ＋1)＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1. ∴T n ＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋12－13＋…＋1n －1n ＋1＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－1n ＋1＝n 4(n ＋1)， 即数列{b n }的前n 项和T n ＝n 4(n ＋1).9．设f (x )＝4x 4x ＋2，若S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017，求S 的值． 解 ∵f (x )＝4x 4x ＋2，∴f (1－x )＝41－x 41－x ＋2＝22＋4x. ∴f (x )＋f (1－x )＝4x 4x ＋2＋22＋4x ＝1. S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017，① S ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20152017＋…＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017，② ①＋②，得2S ＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫22017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20152017＋…＋⎣⎢⎡⎦⎥⎤f ⎝ ⎛⎭⎪⎫20162017＋f ⎝ ⎛⎭⎪⎫12017＝2016. ∴S ＝20162＝1008.10．已知公差大于零的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足：a 3·a 4＝117，a 2＋a 5＝22.(1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若数列{b n }是等差数列，且b n ＝S n n ＋c，求非零常数c . 解 (1){a n }为等差数列，∵a 3＋a 4＝a 2＋a 5＝22，又a 3·a 4＝117，∴a 3，a 4是方程x 2－22x ＋117＝0的两个根，又公差d >0，∴a 3<a 4，∴a 3＝9，a 4＝13.∴⎩⎪⎨⎪⎧ a 1＋2d ＝9，a 1＋3d ＝13，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝4，∴a n ＝4n －3. (2)由(1)知，S n ＝n ·1＋n (n －1)2·4＝2n 2－n ，∴b n ＝S n n ＋c ＝2n 2－n n ＋c， ∴b 1＝11＋c ，b 2＝62＋c ，b 3＝153＋c ，∵{b n}是等差数列，∴2b2＝b1＋b3，∴2c2＋c＝0，∴c＝－12(c＝0舍去)．经验证，b n＝2n符合题意．B级：能力提升练1．现有200根相同的钢管，把它们堆成正三角形垛，要使剩余的钢管尽可能少，那么剩余钢管的根数为()A．9 B．10 C．19 D．29答案B解析钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列，最上面一层钢管数为1，逐层增加1个．∴钢管总数为：1＋2＋3＋…＋n＝n(n＋1)2.当n＝19时，S19＝190；当n＝20时，S20＝210>200.∴n＝19时，剩余钢管根数最少，为10根．2．已知一次函数f(x)＝x＋8－2n.(1)设函数y＝f(x)的图象与y轴交点的纵坐标构成数列{a n}，求证：数列{a n}是等差数列；(2)设函数y＝f(x)的图象与y轴的交点到x轴的距离构成数列{b n}，求数列{b n}的前n项和S n.解(1)证明：由题意，得a n＝8－2n.∵a n＋1－a n＝8－2(n＋1)－8＋2n＝－2，∴数列{a n}为等差数列．(2)由题意，得b n＝|8－2n|.∵b1＝6，b2＝4，b3＝2，b4＝0，b5＝2，∴此数列前4项是首项为6，公差为－2的等差数列，从第5项起是以2为首项，2为公差的等差数列．∴当n≤4时，S n ＝6n ＋n (n －1)2×(－2)＝－n 2＋7n . 当n ≥5时，S n ＝S 4＋(n －4)×2＋(n －5)(n －4)2×2 ＝12＋n 2－7n ＋12＝n 2－7n ＋24.∴S n ＝⎩⎪⎨⎪⎧ －n 2＋7n (n ≤4，n ∈N *)，n 2－7n ＋24(n ≥5，n ∈N *).。