§6.2等差数列及其前n项和

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方法技巧
方法1 等差数列的判定与证明的方法
1.证明一个数列{an}为等差数列的基本方法有两种: (1)利用等差数列的定义证明,即证明an+1-an=d(d为同一个常数,n∈N*); (2)利用等差中项证明,即证明an+2+an=2an+1(n∈N*). 2.解选择题、填空题时,可用通项公式法或前n项和法直接判断. (1)通项公式法:若数列{an}的通项公式是关于n的一次函数,即an=An+B (A≠0),则{an}是等差数列; (2)前n项和法:若数列{an}的前n项和Sn是Sn=An2+Bn的形式(A,B是常数), 则{an}为等差数列.
2.等差数列的前n项和公式与函数的关系
Sn= d2 n2+

a1

d 2

n.
非零数列{an}是等差数列的充要条件是其前n项和Sn=f(n)是关于n的二
次函数或一次函数且不含常数项,即Sn=An2+Bn(A2+B2≠0).
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3.在等差数列{an}中,若a1>0,d<0,则Sn存在最大值;若a1<0,d>0,则Sn存在最
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考向突破 考向 等差数列性质的应用
例2 (2019届黑龙江南岗区模拟,14)等差数列{an}、{bn}满足:对任意n
∈N*,都有 an = 2n 3 ,则 a7 + a5 =
.
bn 4n 9 b3 b9 b4 b8
解析 由等差数列的性质可得b3+b9=b4+b8=2b6,a7+a5=2a6.

15)
=n2-14n.
令bn=2n-15≤0,解得n≤7.

班级__________ 姓名_____________ 学号___________ 得分__________(满分100分，测试时间50分钟）一、填空题：请把答案直接填写在答题卡相应的位置．．．．．．．．上（共10题，每小题6分，共计60分)．1．【2016高考新课标1卷】已知等差数列{}na 前9项的和为27，108a=，则100a=【答案】98【解析】由已知,1193627,98a d a d +=⎧⎨+=⎩所以110011,1,9919998,a d a a d =-==+=-+=2．【2016年高考北京理数】 已知{}na 为等差数列，nS 为其前n 项和，若16a=,350a a +=，则6=S _______。

【答案】63．【2016高考江苏卷】已知{}na 是等差数列，{S }n 是其前n 项和.若21253,S =10a a +=-,则9a 的值是 ▲ .【答案】20. 【解析】由510S=得32a=，因此2922(2d)33,23620.d d a -+-=-⇒==+⨯=4．若等差数列{}n a 满足212n aa n -+=,则其前n 项和n S = ．【答案】2n【解析】()()121222n n nn a a n a a Sn -++=== 5．在等差数列}{na 中，121=+a a ，943=+a a，则56a a +=．【答案】17【解析】因为}{na 是等差数列,又121=+a a,943=+a a ，所以3412122221492a a a d a d a a d d d +=+++=++=+=⇒=，所以5612441817a a a d a d d +=+++=+=．6．在等差数列{}na 中，0na>，其前n 项和为n S ，若22a =，4212S S -=,则1a =．【答案】1 【解析】4243112122512SS a a a d -=∴+=∴+=，212a a d =+=,解方程组得11a =7．将一个骰子连续抛掷三次，它落地时向上的点数依次成等差数列的概率为 ． 【答案】1128．若等差数列{}na 满足7897100,0aa a a a ++>+<，则当n = 时，数列{}na 的前n项和最大． 【答案】8【解析】由等差数列的性质得，7898710898930,0,0,0a a a a a a a a a a ++=>+=+<∴><，且89aa <所以等差数列{}na 的前8项和都大于0，从第9项开始都小于0,则当8n =时，数列{}n a 的前n 项和最大.9．已知{}na 是公差为d 的等差数列，{}nb 是公比为q 的等比数列。

抓住3个考点
突破4个考向
揭秘3年高考
即当 n≤12 时，an＞0，n≥14 时，an＜0. ∴当 n＝12 或 13 时， Sn 取得最大值， 且最大值为 S12＝S13 12×11 5 ＝12×20＋ ×－3＝130. 2 5 法二 同法一求得 d＝－ . 3
nn－1 5 5 2 125 － ＝－ n ＋ n ∴Sn＝20n＋ · 2 6 6 3 252 3 125 5 ＝－ n－ 2 ＋ . 6 24 ∵n∈N*，∴当 n＝12 或 13 时，Sn 有最大值， 且最大值为 S12＝S13＝130.
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解
(1)当 n＝1 时，8a1＝a2 1＋4a1＋3，a1＝1 或 a1＝3.
当 n≥2 时，8Sn－1＝a2 n－1＋4an－1＋3， 1 2 则 an＝Sn－Sn－1＝ (an＋4an－a2 n－1－4an－1)， 8 从而(an＋an－1)(an－an－1－4)＝0.
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(2)假设存在符合条件的 a. 由(1)知，an＝4n－3，bn＝5n－1， 从而 an－logabn＝4n－3－loga5n
－1
＝4n－3－(n－1)loga5＝(4－loga5)n－3＋loga5. 由题意，得 4－loga5＝0，所以 a＝ 5. 所以满足条件的 a 存在，即 a＝ 5. 4 4
＋78⇒(a1＋a20)＋(a2＋a19)＋(a3＋a18)＝54⇒a1＋a20＝18⇒ a1＋a20 18 S20＝ ×20＝ ×20＝180. 2 2
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(2)令 Sn＝7n2＋45n，则 an＝14n＋38，Tn＝n2＋3n， 则 bn＝2n＋2， an 14n＋38 7n＋19 7 1 31 则 ＝ ＝ ＝ ＋ × ，由 2n＋1∈N*， b2n 4n＋2 2n＋1 2 2 2n＋1 则 2n＋1＝31，n＝15.

【课题】 6.2.3 等差数列的前n 项和公式【教学目标】知识目标：理解等差数列通项公式及前n 项和公式．项和公式． 能力目标：通过学习前n 项和公式项和公式,,培养学生处理数据的能力．培养学生处理数据的能力．【教学重点】等差数列的前n 项和的公式．项和的公式．【教学难点】等差数列前n 项和公式的推导．项和公式的推导．【教学设计】本节的主要内容是等差数列的前n 项和公式项和公式,,等差数列应用举例等差数列应用举例..重点是等差数列的前n 项和公式；难点是前n 项和公式的推导以及知识的简单实际应用．项和公式的推导以及知识的简单实际应用．等差数列前n 项和公式的推导方法很重要项和公式的推导方法很重要,,所用方法叫逆序相加法，应该让学生理解并学会应用．等差数列中的五个量1a 、d 、n 、n a 、n S 中,知道其中三个知道其中三个,,可以求出其余两个可以求出其余两个,,例5和例6是针对不同情况是针对不同情况,,分别介绍相应算法．分别介绍相应算法．例7将末项看作是首项的思想是非常重要的将末项看作是首项的思想是非常重要的,,以这类习题作为载体以这类习题作为载体,,对培养学生的创新精神是十分重要的．精神是十分重要的．【教学备品】教学课件．教学课件．【课时安排】1课时．课时．((40分钟分钟) )【教学过程】教 学 过 程教师 行为 学生 行为 教学 意图 时间*揭示课题6．2 等差数列．等差数列． *创设情境 兴趣导入【趣味数学问题】 数学家高斯在上小学的时候就显示出极高的天赋．据传说，老师在数学课上出了一道题目：“把1到100的整数写下从小故事过 程行为 行为 意图 间来，然后把它们加起来!”对于这些十岁左右的孩子，这个题目是比较难的．但是高斯很快就得到了正确的答案，此时其他的学生正在忙碌地将数字一个个加起来，额头都流出了汗水．字一个个加起来，额头都流出了汗水．小高斯是怎样计算出来的呢?他观察这100个数个数1, 2, 3, 4, 5, …，96, 97, 98, 99, 100. 并将它们分成50对，依次计算各对的和：对，依次计算各对的和：1+100=101 2+99=101 3+98=101 4+97=101 5+96=101 …… 50+51=101 所以，前100个正整数的和为个正整数的和为101´50=5050. 质疑质疑引导引导 分析分析思考思考参与参与 分析分析讲起引起引起 学生学生 兴趣兴趣*动脑思考 探索新知从小到大排列的前100个正整数，组成了首项为1，第100项为100，公差为1的等差数列．小高斯的计算表明，这个数列的前100项和为项和为()21001001´+． 现在我们按照高斯的想法来研究等差数列的前n 项和．项和． 将等差数列{}n a 前n 项的和记作n S ．即．即12321n n n n S a a a a a a --=++++++ ． （1） 也可以写作也可以写作 12321n n n n S a a a a a a --=++++++ ． （2）总结总结 归纳归纳思考思考 归纳归纳带领带领 学生学生 总结总结 问题问题 得到得到 等差过 程行为 行为 意图 间由于由于nn aa a a +=+11，()()2111n n n a a a d a d a a -+=++-=+，()()n n n aa d a d a aa +=-++=+-112322， …… (1)式与（2）式两边分别相加，得）式两边分别相加，得()12n n S n a a =+，由此得出等差数列{}n a 的前n 项和公式为项和公式为 （6.3）即等差数列的前n 项和等于首末两项之和与项数乘积的一半．半．知道了等差数列{}n a 中的1a 、n 和n a ，利用公式（6.3）可以直接计算nS ．将等差数列的通项公式()d n a a n 11-+=代入公式（6.3），得，得知道了等差数列{}n a 中的1a 、n 和d ，利用公式（6.4）可以直接计算n S ．()12n n n a a S +=．仔细仔细分析分析 讲解讲解 关键关键 词语词语理解理解 记忆记忆数列求和公式公式 引导启发学生思考求解求解（6.4）()112n n n S na d -=+过 程行为 行为 意图 间【想一想】在等差数列{}n a 中，知道了1a 、d 、n 、n a 、n S 五个量中的三个量，就可以求出其余的两个量．针对不同情况，应该分别采用什么样的计算方法？*巩固知识 典型例题例5 已知等差数列{}n a 中，18a =-,20106a =, 求20S ． 解 由已知条件得由已知条件得 ()202081069802S ´-+==． 例6 等差数列等差数列 ,3,1,5,9,13----… 的前多少项的和等于50？解 设数列的前n 项和是50，由于，由于 ,4)1(3,131=--=-=d a 故 (1)50134,2n n n -=-+× 即 0501522=--n n ， 解得解得 (25,1021-==n n 舍去）， 所以，该数列的前10项的和等于50． 【想一想】例6中为什么将负数舍去？说明说明 强调强调引领引领 讲解讲解 说明说明引领引领 分析分析 强调强调 含义含义说明说明 观察观察思考思考 主动主动 求解求解 观察观察思考思考 求解求解 领会领会思考思考 求解求解通过例题进一步领会注意注意观察观察 学生学生 是否是否 理解理解 知识知识 点反复反复 强调强调过 程行为 行为 意图 间30 *运用知识 强化练习 练习 6.2.31. 求等差数列1,4,7,10,…的前100项的和．项的和．2. 在等差数列{n a }中,4a =6,269=a ,求20S ． 启发启发 引导引导 提问提问 巡视巡视 指导指导 思考思考 了解了解动手动手 求解求解可以可以 交给交给 学生学生 自我自我 发现发现 归纳归纳*理论升华 整体建构 思考并回答下面的问题：思考并回答下面的问题：等差数列的前n 项和公式是什么？项和公式是什么？ 结论：()12n nn a a S +=，()112n n n S na d -=+．质疑质疑 归纳强调强调回答回答理解理解强化强化以小组讨论师生共同归纳的形式强调重点突破难点难点*归纳小结 强化思想本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？本次课学了哪些内容？重点和难点各是什么？ 引导引导回忆回忆*自我反思 目标检测本次课采用了怎样的学习方法？你是如何进行学习的？你的学习效果如何提问提问反思反思培养学生总结反思学习过程的能力*继续探索 活动探究(1)读书部分：教材读书部分：教材(2)书面作业书面作业::《练与考》第5页说明说明 记录记录 分层次要求。