大一高数不定积分4(3)普通班

例3 在 (−∞,+∞) 上，已知函数 f ( x) = 2 x 。
问下面圆括号中填什么函数，使等式成立：
(
)′ = 2 x
根据前面的定义， F ( x ) = x 2 是 f ( x ) = 2 x 的一个原函数。
(原函数）x 2 ↔ 2 x (导数）
2 同理， x 2 + 2 ， x 2 − 2 也都是 F ( x) = x 的原函数。
14
例2
求不定积分
∫ 1 + x 2 dx
2
x4
解
x4 1+ x
2
=
x4 −1+1 1+ x
2
=
( x 2 + 1)( x 2 − 1) + 1 1+ x2
= x −1+ 原式 =
1 1+ x2
∫
1 2 x −1+ dx = 2 1+ x
∫x
2
dx − dx +
∫
∫1+ x2
3
例4
在区间 [0, T ] 上，已知函数 v = gt （ g 是常数） 。
问下面圆括号中填什么函数，使等式成立：
(
)′ = gt
根据前面的定义， S (t ) = 数。
对于同一运动过程，
1 2 gt 是 v(t ) = gt 的一个原函 2
速度函数是路程函数的导数
（反之）
路程函数是速度函数的原函数，
（1） 0dx = c
由
′ xα +1 = xα α + 1
下面两式，也应该作为公式记住：
∫
1 dx = − + c ， x x2

大一高数大题知识点总结1. 一元二次方程一元二次方程是高数中经常出现的题型。

其一般形式为：$ax^2+bx+c=0$，其中$a$,$b$,$c$是已知常数，而$x$是未知数。

解题方法：- 因式分解法：将方程因式分解为两个一次因式的乘积，然后令每个因式等于零，解得方程的解。

- 完全平方式：将方程配方，通过平方根的性质解得方程的解。

- 直接用公式法：利用一元二次方程的求根公式，$x=\frac{-b\pm\sqrt{b^2-4ac}}{2a}$，可以直接求得方程的解。

2. 函数与极限函数是一种对两个集合之间的元素的对应关系。

在高数中，常常关注函数的性质以及函数在某一点的极限。

- 函数的性质：- 定义域：函数能够取值的输入的集合。

- 值域：函数能够取得的输出的集合。

- 单调性：函数随着自变量的增大（或减小）而随之增大（或减小）。

- 奇偶性：函数具有奇偶对称性的性质。

- 极限的计算：- 左极限：$x\rightarrow a^-$代表自变量$x$逼近$a$时从左侧逼近，即$x$小于$a$。

- 右极限：$x\rightarrow a^+$代表自变量$x$逼近$a$时从右侧逼近，即$x$大于$a$。

- 无穷大极限：当$x$趋向于无穷大时，极限的行为。

3. 导数与微分导数是描述函数变化率的工具，可以用于求解函数的最值以及研究曲线的性质。

- 导数的定义：- 函数$f(x)$在点$x=a$处的导数定义为：$f'(a)=\lim_{h\to0}\frac{f(a+h)-f(a)}{h}$，如果该极限存在。

- 导数表示函数在某一点的瞬时变化率。

- 导数的性质：- 函数在极值点处的导数为0。

- 利用导数可以求取函数的最值。

- 导数可以表示函数的曲线在某一点的切线斜率。

4. 不定积分与定积分积分是求解函数的反导函数问题，有两种形式：不定积分和定积分。

- 不定积分：- 不定积分表示对函数求解反导数的过程，得到的结果称为不定积分或原函数。

x

cos x sin x 2 C x
说明: 此题若先求出
再求积分反而复杂.
2 sin x 2 cos x cos x d x x f ( x) dx 2 x x
本节小结
分部积分公式
u v dx u v uv dx u v v du
例4 求 e x sin x dx . （课本例7）
解: 令
v e x , 则 v ex
x x e e sin x ∴ 原式 cos x dx
再令
x
v e x , 则 v ex
e sin x e x cos x e x sin x dx
故 原式 =
2. 求不定积分 解： 方法1 (先分部 , 再换元)
d (e x 1)
令 则
方法2 (先换元,再分部)
令 则
故
3. 求 I sin ( ln x) dx 解: 令 则 x et , d x et d t
I e t sin t d t
et sin t et cos t d t
为三角函数 , 但两次所设类型 说明: 也可设 必须一致 .
解题技巧: 把被积函数视为两个函数之积 , 按 “ 反对幂指三” 的 反: 反三角函数 顺序, 前者为 后者为 例5（补充题）求 解: 令
v 1 , 则
vx
原式 = x arccos x
x 1 x 2
对: 对数函数 幂: 幂函数 指: 指数函数 三: 三角函数
et (sin t cos t ) I
1 t I e (sin t cos t ) C 2 1 x [sin(ln x) cos(ln x)] C 2

大一下高数期末知识点总结高等数学是大学理工科专业中的一门重要基础课程，对于理解和掌握其他专业课程具有至关重要的作用。

下面将对大一下学期高等数学的主要知识点进行总结。

一、极限与连续1. 极限的定义及基本性质- 数列极限的定义- 函数极限的定义- 极限的四则运算法则2. 确定极限的方法- 代入法- 夹逼准则- 单调有界准则- 极限的唯一性3. 连续函数- 连续函数的定义- 连续函数的基本性质- 连续函数的四则运算法则二、导数与微分1. 导数的概念- 导数的定义- 右导数与左导数- 导数与函数图像的关系2. 基本求导公式- 幂函数求导法则- 反函数求导法则- 乘积法则与商法则- 复合函数求导法则3. 高阶导数与高阶导数的求法 - 高阶导数的概念- 高阶导数的求法- Leibniz公式4. 函数的微分与线性化- 微分的定义- 微分的应用- 线性化的概念及应用三、不定积分1. 不定积分的概念与性质- 不定积分的定义- 不定积分的线性性质- 不定积分的换元法则2. 基本初等函数的不定积分- 幂函数的不定积分- 三角函数的不定积分- 指数函数与对数函数的不定积分3. 特殊函数的不定积分- 有理函数的不定积分- 特殊三角函数的不定积分- 分部积分法四、定积分与其应用1. 定积分的概念与性质- 定积分的定义- 定积分的性质- 定积分的换元法则2. 定积分的计算方法- 几何意义与微元法- 换元法- 分部积分法3. 积分学基本定理- 积分的存在性定理- 牛顿-莱布尼茨公式- 反常积分的收敛性五、微分方程1. 一阶常微分方程- 可分离变量的一阶方程 - 齐次方程与非齐次方程 - 线性方程与伯努利方程2. 二阶线性常微分方程- 齐次线性方程的解- 常系数非齐次线性方程的特解- 高阶线性常微分方程总结：高等数学是一门抽象而严谨的学科，其中的知识点需要通过理论学习和大量的练习才能掌握。

以上只是大一下学期高等数学的主要知识点总结，希望能为同学们的学习提供一定的参考。