1 专题检测(三) 数列、推理与证明
(本卷满分150分，考试用时120分钟)
一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共计60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)
1．已知等差数列{an}中，a7＋a9＝16，a4＝1，则a12的值是
A．15 B．30
C．31 D．64
解析 由等差数列的性质得a7＋a9＝a4＋a12，
因为a7＋a9＝16，a4＝1，
所以a12＝15.故选A.
答案 A
2．在数列{an}中，a1＝－2，an＋1＝1＋an1－an，则a2 010等于
A．－2 B．－13
C．－12 D．3
解析 由条件可得：a1＝－2，a2＝－13，a3＝－12，a4＝3，a5＝－2，a6＝－13，…，所以数列{an}是以4为周期的周期数列，所以a2 010＝a2＝－13.故选B.
答案 B
3．等差数列{an}的前n项和为Sn，已知a1＝13，S3＝S11，当Sn最大时，n的值是
A．5 B．6
C．7 D．8
解析 由S3＝S11，得a4＋a5＋…＋a11＝0，根据等差数列的性质 ，可得a7＋a8＝0，根据首项等于13可推知这个数列递减，从而得到a7＞0，a8＜0，故n＝7时Sn最大．故选C.
答案 C
4．设Sn是等差数列{an}的前n项和，若S3S6＝13，则S6S12等于
A.310 B.13
C.18 D.19
解析 由等差数列的求和公式，可得S3S6＝3a1＋3d6a1＋15d＝13，可得a1＝2d且d≠0，所以S6S12＝ 2 6a1＋15d12a1＋66d＝27d90d＝310，故选A.
答案 A
5．已知等比数列{an}的前n项和Sn＝t·5n－2－15，则实数t的值为
A．4 B．5
推理与证明
（十八）推理与证明
1．合情推理与演绎推理
（1）了解合情推理的含义，能利用归纳和类比等进行简单的推理，了解合情推理在数学发现中的作用.
（2）了解演绎推理的重要性，掌握演绎推理的基本模式，并能运用它们进行一些简单推理.
（3）了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.
2．直接证明与间接证明
（1）了解直接证明的两种基本方法——分析法和综合法；了解分析法和综合法的思考过程、特点.
（2）了解间接证明的一种基本方法——反证法；了解反证法的思考过程、特点.
3．数学归纳法
了解数学归纳法的原理，能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.
一、推理
1．推理
（1）定义：根据一个或几个已知的判断来确定一个新的判断的思维过程就是推理．推理一般包含两个部
分：一是前提，是指已知的事实(或假设)；二是结论，是由已知判断推出的新的判断，即推理的形式为“前
提结论”.
（2
）分类：推理合情推理
演绎推理．
2．合情推理
（1）定义：根据已有的事实，经过观察、分析、比较、联想，再进行归纳类比，然后提出猜想的推理叫
做合情推理.
（2）特点：
①合情推理的结论是猜想，不一定正确；
②合情推理是发现结论的推理.（3）分类：合情推理
归纳推理
类比推理．
（4）归纳推理和类比推理的定义、特征及步骤
名
称归纳推理类比推理
定
义根据某类事物的部分对象具有某些特征，
推出该类事物的全部对象都具有这些特
征的推理，或者由个别事实概括出一般结
论的推理，叫做归纳推理由两类对象具有某些类似特征和其中一类对象
的某些已知特征，推出另一类对象也具有这些特
征的推理，叫做类比推理
特
征由部分到整体、由个别到一般的推理由特殊到特殊的推理
步
骤①通过观察部分对象发现某些相同性质
②从已知的一个明确表达的一般性命题
（猜想）中推出相似性或一致性①找出两类事物之间的相同性质
②用一类事物的性质去推测另一类事物的性质，
得出一个明确的命题(猜想)
3．演绎推理
（1）定义：从一般性的原理出发，推出某个特殊情况下的结论，我们把这种推理称为演绎推理，简言之，
一、2014届高三数学 二轮复习 简易逻辑、推理与证明
推理与证明 合情推理与
演绎推理 合情推理 √
归纳和类比 √
演绎推理 √
直接证明与
间接证明 综合法 √
分析法 √
反证法 √
数学归纳法 数学归纳法 √
在高考中这两部分约占总试卷的23分左右，考点12个。多以选择和证明题为主。
学习目标：
1、进一步体会逻辑用语、合情推理在数学中的作用，掌握基本方法并能运用；
2、 进一步理解证明的基本方法——综合法、分析法、反证法、数学归纳法（理）及其思考过程与特点
二、典型例题
1.【2011年理3文5】下面四个条件中，使ba成立的充分而不必要的条件是
（A）1ba （B）1ba （C）22ba （D）33ba
2. 下列命题中，真命题是（ ）
A. 0,00xeRx B．22,xRxx
C. 1的充要条件是0baba D．的充分条件1是1,1abba
3. 已知命题122121:,,--0pxxRfxfxxx，则p是
A．122121,,--0xxRfxfxxx
B．122121,,--0xxRfxfxxx
C．122121,,--<0xxRfxfxxx
D．122121,,--<0xxRfxfxxx 常用
逻辑
用语 “若p，则q”形式的命题及其逆命题、否命题与逆否命题 √
四种命题的相互关系 √
充要条件 √
简单的逻辑联结词 √
全称量词与存在量词 √ 4. 已知命题1＋2＋22＋„＋2n－1＝2n－1及其证明：
(1)当n＝1时，左边＝1，右边＝21－1＝1，所以等式成立；
(2)假设n＝k时等式成立，即1＋2＋22＋„＋2k－1＝2k－1成立，则当n＝k＋1时，1＋2＋22＋„＋2k－1＋2k＝1－2k＋11－2＝2k＋1－1，所以n＝k＋1时等式也成立．
学必求其心得，业必贵于专精
- 1 - 2.3 数学归纳法
1．数学归纳法的内容如下:一个错误!与正整数有关的命题，如果(1）错误!当n取第一个值n0（例如n0＝1或n0＝2等）时结论正确,(2）错误!假设当n＝k（k∈N*，且k≥n0)时结论正确,能够证明当n＝k＋1时结论也正确,那么可以断定错误!这个命题对n∈N＊且n≥n0的所有正整数都成立．
2．数学归纳法的步骤中，第一步的作用是错误!递推的基础，第二步的作用是错误!递推的依据．
3．数学归纳法实质上是错误!演绎推理法的一种，它是一种错误!严格的证明方法，它只能错误!证明结论,不能发现结论，并且只能证明错误!与正整数相关的命题．
4．常把归纳法和数学归纳法结合起来,形成错误!归纳—猜想-证明的思想方法，既可以错误!发现结论，又能错误!给出严格的证明，组成一套完整的数学研究的思想方法．
5．用数学归纳法证明命题时，两步错误!缺一不可，并且在第二步的推理证明中必须用错误!归纳假设，否则不是数学归纳法．
学必求其心得，业必贵于专精
- 2 - 对数学归纳法本质的理解
数学归纳法可能与同学们以前所接触的证明方法差别很大，为了达到“知其然,知其所以然”的效果，可对比以下问题理解数学归纳法的实质．
(1）有n个骨牌排成如图所示的一排,现推倒第一张骨牌，会有什么现象?
（2）要使骨牌全部倒下，骨牌的摆放有什么要求？(骨牌的间距不大于骨牌的高度）
（3)这样做的原因是什么？这样摆放可以达到什么样的效果?(前一张骨牌倒下，适当的间距导致后一张骨牌也倒下）
（4）如果推倒的不是第一张骨牌，而是其他位置上的某一张骨牌，能使所有的骨牌倒下吗？
(5）能够成功地推倒排成一排的骨牌的条件是什么？(通过观察和学必求其心得，业必贵于专精
- 3 - 思考，可以得到的结论是:①第一张骨牌被推倒；②若某一张骨牌倒下，则其后面的一张骨牌必定倒下）
错误!错误!错误!错误!错误!错误!…
