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第3章 静态电磁场及其边值问题的解（一）思考题
3.1 电位是如何定义的？中的负号的意义是什么？
答：由静电场基本方程▽×E＝0和矢量恒等式可知，电场强度E可表示为
标量函数φ的梯度，即
式中的标量函数φ称为静电场的电位函数，简称电位；
式中负号表示场强方向与该点电位梯度的方向相反。
3.2 “如果空间某一点的电位为零，则该点的电场强度也为零”，这种说法正确吗？
为什么？
答：不正确。因为电场强度大小是该点电位的变化率。
3.3 “如果空间某一点的电场强度为零，则该点的电位为零”，这种说法正确吗？为
什么？
答：不正确。此时该点电位可能是任一个不为零的常数。
3.4 求解电位函数的泊松方程或拉普拉斯方程时，边界条件有何意义？
答：边界条件起到给方程定解的作用。
3.5 电容是如何定义的？写出计算电容的基本步骤。
答：两导体系统的电容为任一导体上的总电荷与两导体之间的电位差之比，即
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其基本计算步骤：
①根据导体的几何形状，选取合适坐标系；②假定两导体上分别带电荷＋q和－q；
③根据假定电荷求出E；
④由求得电位差；
⑤求出比值
3.6 多导体系统的部分电容是如何定义的？试以考虑地面影响时的平行双导线为例，
说明部分电容与等效电容的含义。
答：多导体系统的部分电容是指多导体系统中一个导体在其余导体的影响下，与另一
个导体构成的电容。
计及大地影响的平行双线传输线，如图3-1-1所示，它有三个部分电容C11、C12和
C22，导线1、2间的等效电容为；导线1和大地间的等效电容为
；导线2和大地间的等效电容为
图3-1-1
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3.7 计算静电场能量的公式和之间有何联系？在什
么条件下二者是一致的？
一：1.7什么是矢量场的通量？通量的值为正，负或0分别表示什么意义？
矢量场F穿出闭合曲面S的通量为：
当 大于0时，表示穿出闭合曲面S的通量多于进入的通量，此时闭合曲面S内必有发出矢量线的源，称为正通量源。
当 小于0时， 小于
有汇集矢量线的源，称为负通量源。
当 等于0时 等于 、
闭合曲面内正通量源和负通量源的代数和为0，或闭合面内无通量源。
1.8什么是散度定理?它的意义是什么？
矢量分析中的一个重要定理：
称为散度定理。意义：矢量场F的散度 在体积V上的体积分等于矢量场F在限定该体积的闭合积分，是矢量的散度的体积与该矢量的闭合曲面积分之间的一个变换关系。
1.9什么是矢量场的环流？环流的值为正，负，或0分别表示什么意义？
矢量场F沿场中的一条闭合回路C的曲线积分， 称为矢量场F沿
的环流。
大于0或 小于0，表示场中产生该矢量的源，常称为旋涡源。 等于0，表示场中没有产生该矢量场的源。
1.10什么是斯托克斯定理？它的意义是什么？该定理能用于闭合曲面吗？
在矢量场F所在的空间中，对于任一以曲面C为周界的曲面S，存在如下重要关系
这就是是斯托克斯定理 矢量场的旋度 在曲面S上的面积分等于矢量场F在限定曲面的闭合曲面积分，是矢量旋度的曲面积分与该矢量沿闭合曲面积分之间的一个变换关系。能用于闭合曲面.
1,11 如果矢量场F能够表示为一个矢量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性?
=0,即F为无散场。
1.12如果矢量场F能够表示为一个标量函数的旋度，这个矢量场具有什么特性?
=0即为无旋场
1.13 只有直矢量线的矢量场一定是无旋场，这种说法对吗？为什么？
不对。电力线可弯，但无旋。
第六章 时变电磁场
有一导体滑片在两根平行的轨道上滑动，整个装置位于正弦时变磁场之中，如题图所示。滑片的位置由确定，轨道终端接有电阻，试求电流i.
解 穿过导体回路abcda的磁通为
故感应电流为
一根半径为a的长圆柱形介质棒放入均匀磁场中与z轴平行。设棒以角速度绕轴作等速旋转，求介质内的极化强度、体积内和表面上单位长度的极化电荷。
解 介质棒内距轴线距离为r处的感应电场为
故介质棒内的极化强度为
极化电荷体密度为
极化电荷面密度为
则介质体积内和表面上同单位长度的极化电荷分别为
平行双线传输线与一矩形回路共面，如题图所示。设、、，求回路中的感应电动势。
解 由题给定的电流方向可知，双线中的电流产生的磁感应强度的方向，在回路中都是垂直于纸面向内的。故回路中的感应电动势为
式中
故
则
有一个环形线圈，导线的长度为l，分别通过以直流电源供应电压U0和时变电源供应电压U（t）。讨论这两种情况下导线内的电场强度E。
解 设导线材料的电导率为，横截面积为S，则导线的电阻为
而环形线圈的电感为L，故电压方程为
当U=U0时，电流i也为直流，。故
此时导线内的切向电场为
当U=U（t）时，，故
即
求解此微分方程就可得到。
一圆柱形电容器，内导体半径为a，外导体内半径为b，长为l。设外加电压为，试计算电容器极板间的总位移电流，证明它等于电容器的传导电流。
解 当外加电压的频率不是很高时，圆柱形电容器两极板间的电场分布与外加直流电压时的电场分布可视为相同（准静态电场），即
故电容器两极板间的位移电流密度为
则
式中，是长为l的圆柱形电容器的电容。
流过电容器的传导电流为
可见
由麦克斯韦方程组出发，导出点电荷的电场强度公式和泊松方程。
解 点电荷q产生的电场满足麦克斯韦方程
和
由得
据散度定理，上式即为
利用球对称性，得
故得点电荷的电场表示式
由于，可取，则得
即得泊松方程
第 1 页 共 39 页 程稼夫电磁学篇第一章《静电场》课后习题
1-1设两个小球所带净电荷为q，距离为l，由库仑定律：
由题目，设小球质量m，铜的摩尔质量M，则有：
算得
1-2 取一小段电荷，其对应的圆心角为dθ：
这一小段电荷受力平衡，列竖直方向平衡方程，设张力增量为T：
解得
1-3（1）设地月距离R，电场力和万有引力抵消：
解得：
（2）地球分到，月球分到，电场力和万有引力抵消：
解得：
1-4 第 2 页 共 39 页
设向上位移为x，则有：
结合牛顿第二定律以及略去高次项有：
1-5由于电荷受二力而平衡，故三个电荷共线且q3在q1和q2之间：
先由库仑定律写出静电力标量式：
有几何关系：
联立解得
由库仑定律矢量式得：
解得
1-6（1）对一个正电荷，受力平衡：
解得，显然不可能同时满足负电荷的平衡 第 3 页 共 39 页 （2）对一个负电荷，合外力提供向心力：
解得
1-7（1）设P限制在沿X轴夹角为θ的，过原点的直线上运动（θ∈[0,π)），沿着光滑直线位移x，势能：
对势能求导得到受力：
小量近似，略去高阶量：
当q＞0时，；当q＜0时，
（2）由上知
1-8设q位移x，势能：
对势能求导得到受力：
小量展开有： ，知
1-9（1）对q受力平衡，设其横坐标的值为l0： ，解得
设它在平衡位置移动一个小位移x，有： 第 4 页 共 39 页 小量展开化简有：
受力指向平衡位置，微小谐振周期
（2）
1-10
1-11
先证明，如图所示，带相同线电荷密度λ的圆弧2和直线1在OO处产生的电场强度相等.取和θ.有：
显然两个电场强度相等，由于每一对微元都相等，所以总体产生的电场相等.
利用这一引理，可知题文中三角形在内心处产生的电场等价于三角形内切圆环在内心处产生的电场.由对称性，这一电场强度大小为0.
1-12（1） 第 5 页 共 39 页
