上海高中数学向量练习题2

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教师姓名 李老师 学生姓名 年 级 初三 上课时间 2014/05/18 10:00-12:00

学 科 中考数学 课题名称 平面向量的线性运算(向量的分解_分向量)

教学目标 理解平面向量的分解规则（即分向量），掌握平面内任一向量都可以用两个不平行向量来表示的方法。

教学重难点 重点：掌握如何通过三角形法则和平行四边形法则将平面内任一向量用两个不平行向量表示。主要包含以下几点：1.向量加、减法的定义、运算（交换律、结合律）及其几何意义；2.实数与向量积的意义及运算律；3.通过三角形法则和平行四边形法则将平面内任一向量分解成两个不平行的向量；4.零向量、相等向量、相反向量、单位向量、共线向量（平行向量）、共起点向量、共终点向量的概念及理解；5.两个向量共线的等价条件及其运用；6.向量的模的概念及运用.

难点：理解平面向量的分解的唯一性

 知识精解

1、向量的加法：

如图3，已知非零向量A.b，在平面内任取一点A，作AB=a，BC=b，则向量AC叫做a与b的和，记作a+b，即a+b=AB+BC=AC。

2、向量加法的三角形法则：

首尾相接：第二个向量要以第一个向量的终点为起点，然后由第一个向量的起点指向第二个向量的终点的向量即为和向量，如上图3。（向量减法的三角形法则类似）

3、向量加法的平行四边形法则：

如图4，以同一点O为起点的两个已知向量a、b为邻边作平行四边形，则以O为起点的对角线OC就是a与b的和。我们把这种作两个向量和的方法叫做向量加法的平行四边形法则。（向量减法的平行四边形法则类似）

4、向量的减法：

2 5、相关概念：

（1）零向量：

性质：A、零向量的相反向量是零向量；B、零向量与任意向量都平行

（2）单位向量：规定长度为1的向量

（3）相等向量：

（4）相反向量：方向相反，长度相等

（5）共起点向量：

（6）共终点向量：

（7）共线向量（平行向量）：如果a（a≠0）与b共线，那么有且只有一个实数λ，使得b=λa。

6、实数与向量的积：

实数λ与向量a的积是一个向量，这种运算叫做向量的数乘，记作λa，它的长度与方向规定如下：

(1)|λa|=|λ||a|；

(2)当λ＞0时，λa的方向与a的方向相同；当λ＜0时，λa的方向与a的方向相反。

实数与向量的积的运算律：设λ、μ为实数，那么

(1)λ(μa)=(λμ)a;

(2)(λ+μ)a=λa+μa;

(3)λ(a+b)=λa+λb.

7、向量的模：向量的长度

8、向量的分解：

（用到的知识点包括平行四边形法则和三角形法则，实数与向量的积，共线向量，模）

例1.已知向量OA，OB和p，q

求作：（1）向量p分别在OA，OB方向上的分向量。

（2）向量q分别在OA，OB方向上的分向量。

PqOAB

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例2.已知：平行四边形ABCD，点E,F在边AB上，AE=EF=FB.点P是边AD的中点，直线EG，FH都与AD平行，分别交DC于点G，H。直线PQ与AB平行，分别交EG，FH，BC与点O，M，Q，设AE=a,AP=b。分别求AC，OC，BG关于a，b的分解式。

MOGHEFQPABDC

例3、在三角形ABC中，已知AB=a，BC=b，G是重心，请写出AG关于a，b的分解式。

9、运算法则：

（1）交换律：

如图5，作AB=a，AD=b，以AB.AD为邻边作ABCD，则BC=b，DC=a。

因为AC=AB+AD=a+b，AC=AD+DC=b+a，所以a+b=b+a。

（2）结合律：

如图6，因为AD=AC+CD=(AB+BC)+CD=(a+b)+c，

AD=AB+BD=AB+(BC+CD)=a+(b+c)，所以(a+b)+c=a+(b+c)。

GEDABC

4  经典例题

1、化简：

(1)BC+AB

(2)DB+CD+BC

(3)AB+DF+CD+BC+FA

2、已知正方形ABCD的边长为1，AB=a，AC=c，BC=b，则|a+b+c|为( )。

A.0 B.3 C.2 D.22

3、设a=(AB+CD)+(BC+DA)，b是任一非零向量，则下列结论中正确的为( )。

①a∥b；②a+b=a；③a+b=b；④|a+b|＜|a|+|b|；⑤|a+b|=|a|+|b|。

A.①② B.①③ C.①③⑤ D.③④⑤

4、如图7，D、E、F分别是△ABC的边AB、BC、CA的中点，则AF-DB等于( )。

A.FD B.FC C.FE D.BE

5、下列式子中不能化简为AD的是( )。

A.(AB+CD)+BC B.(AD+MB)+(BC+CM)

C.BMADMB D.OC-OA+CD

6、设两非零向量e1、e2不共线，且ke1+e2与e1+ke2共线，则k的值为( )。

A.1 B.-1 C.±1 D.0

7、如图17所示，已知正方体ABCD—A1B1C1D1，设AB=a，AD=b，1AA=c，则1AC=________。(用a、b 、c表示)

5 8、平行四边形ABCD中，对角线BDAC、交于点O，设cBCaBA,

（1）用ca、的线性组合表示BD；

（2）用ca、的线性组合表示AO

9、在梯形ABCD中，4:1:,//OBODBCAD，设cOCbOB,

（1）用cb、的线性组合表示求BC；

（2）用cb、的线性组合表示求AD

 课堂练习

1、已知△ABC的重心为G，O为坐标原点，OA=a，OB=b，OC=c，求证：OG=31(a+b+c)

2、在△ABC，AE=51AB，EF∥BC，EF交AC于F，设AB=a，AC=b，则BF用a、b表示的形式是BF=________。

3、下面给出四个命题：

① 对于实数m和向量a、b恒有：mbmabam)(

② 对于实数m、n和向量a，恒有namaanm)(

③ 若)(Rmmbma，则有ba BCOAD第24题图AOCBD第25题图

6 ④ 若)0,,(aRnmnama，则nm

其中正确命题的个数是（ ）

（A）1 （B）2 （C）3 （D）4

4、若a与b的方向相反，且ab，则a+b的方向与a的方向 ；

此时ab ab．

5、已知D、E、F分别是△ABC的边BC、CA、AB的中点，且BCa，CAb，ABc，则下列各式：①1122EFcb；②12BEab；③1122CFab；④ADBECF0 ．其中正确的等式的序号为（ ）

6、在ABCD中，,,3ABaADbANNC，M为BC的中点，则MN_______。（用ab、表示）

7、如图，在⊿ABC中，NM、分别是BCAC、的中点，BMAN、交于点G，

设cACaAB，

（１）分别用向量a、c表示;,MNAM

（２）用向量ca、的线性组合表示.AN

 课后作业

1、已知：在任意四边形ABCD中，E、F分别是AD、DC的中点．

求证：)(21BCABEF

2、已知ABC，D、E、F分别是AB，BC，CA的中点，设ABa,ACb,则DEDF是（ ）

(A)ba21； (B) ba21； (C) ba21； (D) ba21．

3、若向量x、y满足23,32xyaxyb,a、b为已知向量,则x=______,y=______．

4、cbacba2332＝ ．

5、当向量a与单位向量e方向相反，长度为2时，____;a ABCNMG第19题图

7 6、若cbacba32,(零向量c)，则ba__（填“平行于”或“不平行于”）

7、对非零向量a与b，下列命题中假命题是

A. 若ba，则ba B. 若ba，则ba

C. 若ba，则ba D. 若ba ，则ba

8、如图，已知向量a、b、c，那么下列结论正确的是

（A）abc； （B）bca； （C）abc； （D）acb．

9、若向量b与单位向量e的方向相同，且1||||2be，则b＝________．（用e表示）

一、选择题（每小题4分，满分24分）

1、 下列命题：

① 对角线相等的四边形是矩形；②圆是轴对称图形，直径是它的对称轴；③同角的余角相等；④全等三角形对应边上的中线相等。

其中正确命题的个数是（）

A.1个 B.2个 C.3个 D.4个

2、下列各二次根式中，与2√3是同类根式的是（）

A. √32 B. √18 C. √24 D.- √12/5

4、投一枚硬币两次，第一次正面朝上，第二次正面朝下的概率是（ ）

A、1/2 B、1/3 C、2/3 D、1/4

5、

a b c（第5题图） B A C

D

A B C D

O