高中数学平面向量基本概念练习题

平面向量习题及答案【篇一：平面向量练习题集答案】>典例精析题型一向量的有关概念【例1】下列命题：①向量ab的长度与ba的长度相等；②向量a与向量b平行，则a与b的方向相同或相反；③两个有共同起点的单位向量，其终点必相同；④向量ab与向量cd是共线向量，则a、b、c、d必在同一直线上.其中真命题的序号是.【解析】①对；零向量与任一向量是平行向量，但零向量的方向任意，故②错；③显然错；ab与cd是共线向量，则a、b、c、d可在同一直线上，也可共面但不在同一直线上，故④错.故是真命题的只有①.【点拨】正确理解向量的有关概念是解决本题的关键，注意到特殊情况，否定某个命题只要举出一个反例即可.【变式训练1】下列各式：①|a|＝a?a；②(a?b) ?c＝a? (b?c)；③oa－ob＝ba；④在任意四边形abcd中，m为ad的中点，n为bc的中点，则ab ＋＝2；其中正确的个数为( )a.1b.2c.3d.4【解析】选d.| a|＝a?a正确；(a?b) ?c≠a? (b?c)； oa－ob＝ba 正确；如下图所示，mn=++且mn=++，两式相加可得2mn＝ab＋dc，即命题④正确；因为a，b不共线，且|a|＝|b|＝1，所以a＋b，a－b为菱形的两条对角线，即得(a＋b)⊥(a－b).所以命题①③④⑤正确.题型二与向量线性运算有关的问题【例2】如图，abcd是平行四边形，ac、bd交于点o，点m在线段do上，且=，点n在线段oc上,且=,设=a, =b,试用a、b表示，，1313.【解析】在?abcd中，ac，bd交于点o，111所以＝＝(－)a－b)，222＝2＝2(＋)＝2(a＋b).11又＝，＝， 331所以＝ad＋＝b＋ 31115＝b(a－b)＝a， 3266111＝＋＝＋3 4412＝＝(a＋b)a＋b). 3323所以＝－ 21511＝(a＋b)－＋)＝a. 36626【点拨】向量的线性运算的一个重要作用就是可以将平面内任一向量由平面内两个不共线的向量表示，即平面向量基本定理的应用，在运用向量解决问题时，经常需要进行这样的变形.所以? (＋)＝?0＝0，故填0.题型三向量共线问题【例3】设两个非零向量a与b不共线.(1)若＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，求证：a，b，d三点共线；(2)试确定实数k，使ka＋b和a＋kb共线. 1【解析】(1)证明：因为＝a＋b，＝2a＋8b，＝3(a－b)，所以bd＝bc＋cd＝2a＋8b＋3(a－b)＝5(a＋b)＝5ab，所以ab， bd共线.又因为它们有公共点b，所以a，b，d三点共线.(2)因为ka＋b和a＋kb共线，因为a与b是不共线的两个非零向量，【点拨】(1)向量共线的充要条件中，要注意当两向量共线时，通常只有非零向量才能表示与之共线的其他向量，要注意待定系数法的运用和方程思想.(2)证明三点共线问题，可用向量共线来解决，但应注意向量共线与三点共线的区别与联系，当两向量共线且有公共点时，才能得出三点共线.【变式训练3】已知o是正三角形bac内部一点，+2+3=0，则△oac的面积与△oab的面积之比是（3a. 2c.2 2b. 31d. 3 ）【解析】如图，在三角形abc中， oa＋2ob＋3oc＝0，整理可得oa＋oc＋2(ob＋oc)＝0.1令三角形abc中ac边的中点为e，bc边的中点为f，则点o在点f与点e连线的处，即oe＝2of. 32由于ab＝2ef，oe＝，所以ab＝3oe， 31s△oacoe?h2＝＝.故选b. 3s△oabab?h4总结提高1.向量共线也称向量平行，它与直线平行有区别，直线平行不包括共线(即重合)的情形，而向量平行则包括共线(即重合)的情形.2.判断两非零向量是否平行，实际上就是找出一个实数，使这个实数能够和其中一个向量把另外一个向量表示出来.3.当向量a与b共线同向时，|a＋b|＝|a|＋|b|；当向量a与b共线反向时，|a＋b|＝||a|－|b||；当向量a与b不共线时，|a＋b|＜|a|＋|b|.典例精析题型一平面向量基本定理的应用【例1】如图?abcd中,m,n分别是dc，bc中点.已知am=a,=b,试用a，b表示，ad与ac【解析】易知am＝ad＋dm 1＝＋， 21an＝ab＋bn＝ab2ad， 1???a,??2即? ??1?b.?2?22所以＝b－a)，＝2a－b). 332所以＝＋＝a＋b). 3【点拨】运用平面向量基本定理及线性运算，平面内任何向量都可以用基底来表示.此处方程思想的运用值得仔细领悟.【变式训练1】已知d为△abc的边bc上的中点，△abc所在平面内有一点p，满足＋＋＝0等于( ) 1b. 2c.1 d.2 1a. 3【解析】由于d为bc边上的中点，因此由向量加法的平行四边形法则，易知pb＋pc＝2pd，因此结合pa＋bp＋cp＝0即得pa＝2pd，因此易得p，a，d三点共线且d是pa＝1，即选c.题型二向量的坐标运算【例2】已知a＝(1，1)，b＝(x，1)，u＝a＋2b，v＝2a－b.(1)若u＝3v，求x；(2)若u∥v，求x.【解析】因为a＝(1，1)，b＝(x，1)，所以u＝(1，1)＋2(x，1)＝(1，1)＋(2x，2)＝(2x＋1，3)，v＝2(1，1)－(x，1)＝(2－x，1).(1)u＝3v?(2x＋1，3)＝3(2－x，1)?(2x＋1，3)＝(6－3x，3)，所以2x＋1＝6－3x，解得x＝1.?2x?1??(2?x),?? 3????(2x＋1)－3(2－x)＝0?x＝1.【点拨】对用坐标表示的向量来说，向量相等即坐标相等，这一点在解题中很重要，应引起重视.＋|a141＋b|2的最大值为.值为284.题型三平行(共线)向量的坐标运算【例3】已知△abc的角a，b，c所对的边分别是a，b，c，设向量m＝(a，b)，n＝(sin b，sin a)，p＝(b－2，a－2).(1)若m∥n，求证：△abc为等腰三角形；【解析】(1)证明：因为m∥n，所以asin a＝bsin b.由正弦定理，得a2＝b2，即a＝b.所以△abc为等腰三角形.a(b－2)＋b(a－2)＝0，所以a＋b＝ab.由余弦定理，得4＝a2＋b2－ab＝(a＋b)2－3ab，所以(ab)2－3ab－4＝0.所以ab＝4或ab＝－1(舍去).113所以s△abc＝absin c3. 222【点拨】设m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，则①m∥n?x1y2＝x2y1；②m⊥n?x1x2＋y1y2＝0.【变式训练3】已知a，b，c分别为△abc的三个内角a，b，c的对边，向量m＝(2cosc－1，－2)，n＝(cos c，cos c＋1).若m⊥n，且a＋b＝10，则△abc周长的最小值为( )a.10－3c.10－23b.10＋53d.10＋231【解析】由m⊥n得2cos2c－3cos c－2＝0，解得cos c＝－cos c＝2(舍去)，所以c2＝a2＋b2－2abcos 2【篇二：高中数学平面向量测试题及答案】选择题：1。

6.1平面向量的概念——精选题目练习1．下列命题中，正确命题的个数是( ) ①单位向量都共线； ②长度相等的向量都相等； ③共线的单位向量必相等；④与非零向量a 共线的单位向量是a|a|. A ．3 B ．2 C ．1D ．02．下列说法正确的是( )A ．若a 与b 平行，b 与c 平行，则a 与c 一定平行B ．终点相同的两个向量不共线C ．若|a|>|b|，则a>bD ．单位向量的长度为13．如图，在正六边形ABCDEF 中，点O 为其中心，则下列判断错误的是( )A.AB→＝OC → B.AB →∥DE → C ．|AD→|＝|BE →| D.AD→＝FC → 4．设O 是△ABC 的外心，则AO →，BO →，CO →是( )A ．相等向量B ．模相等的向量C ．平行向量D ．起点相同的向量5．若a 是任一非零向量，b 是单位向量，下列各式：①|a |>|b |；②a ∥b ；③|a |>0；④|b |＝±1；⑤a|a |＝b ，其中正确的有( )A ．①④⑤B ．③C ．①②③⑤D ．②③⑤6．如图，已知正方形ABCD 的边长为2，O 为其中心，则|OA →|＝________．7．如果在一个边长为5的正△ABC 中，一个向量所对应的有向线段为AD →(其中D 在边BC 上运动)，则向量AD→长度的最小值为________． 8．已知A ，B ，C 是不共线的三点，向量m 与向量AB →是平行向量，与BC →是共线向量，则m ＝________．9.在平行四边形ABCD 中，E ，F 分别为边AD ，BC 的中点，如图．(1)在每两点所确定的向量中，写出与向量FC →共线的向量；(2)求证：BE→＝FD →. 10．已知在四边形ABCD 中，AB →∥CD →，求AD →与BC →分别满足什么条件时，四边形ABCD 满足下列情况．(1)四边形ABCD 是等腰梯形； (2)四边形ABCD 是平行四边形．答案：DDDBB 2 532 0⃗ 9.(1)由共线向量满足的条件得与向量FC →共线的向量有：CF →，BC →，CB →，BF →，FB→，ED →，DE →，AE →，EA →，AD →，DA →. 在▱ABCD 中，AD //BC 且.AD =BC 又E ，F 分别为AD ，BC 的中点， 所以ED //BF ，ED =BF所以四边形BFDE 是平行四边形， 所以BE //FD ，BE =FD 所以BE→＝FD →.10.解：(1)|AD →|＝|BC →|，且AD →与BC →不平行．因为AB→∥CD →，所以四边形ABCD 为梯形或平行四边形．若四边形ABCD 为等腰梯形，则|AD→|＝|BC →|，同时两向量不平行．(2)AD→＝BC →(或AD →∥BC →)． 若AD →＝BC →，即四边形的一组对边平行且相等，此时四边形ABCD 为平行四边形．。

第六章平面向量及其应用6.1 平面向量的概念课后篇巩固提升必备知识基础练1.有下列物理量:①质量;②速度;③力;④加速度;⑤路程;⑥功.其中,不是向量的个数是( )A.1B.2C.3D.4,又有方向,所以它们是向量;而质量、路程和功只有大小,没有方向,所以它们不是向量,故不是向量的个数是3.2.在同一平面上,把向量所在直线平行于某一直线的一切向量的起点放在同一点,那么这些向量的终点所构成的图形是( ) A.一条线段 B.一条直线C.圆上一群孤立的点D.一个半径为1的圆,而向量所在直线平行于同一直线,所以随着向量模的变化,向量的终点构成的是一条直线.3.如图所示,在正三角形ABC 中,P ,Q ,R 分别是AB ,BC ,AC 的中点,则与向量PQ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是( )A.PR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗B.AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC⃗⃗⃗⃗⃗ C.RA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CR ⃗⃗⃗⃗⃗ D.PA ⃗⃗⃗⃗⃗ 与QR ⃗⃗⃗⃗⃗,方向相同,因此AR ⃗⃗⃗⃗⃗ 与RC ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是和PQ ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量. 4.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 的形状为 ( )A.正方形B.矩形C.菱形D.等腰梯形BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 知,AB=CD 且AB ∥CD ,即四边形ABCD 为平行四边形.又因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 为菱形.5.(多选题)(2021福建福清期中)下列说法正确的是( )A.若|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |且BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,则四边形ABCD 是菱形B.在平行四边形ABCD 中,一定有AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗C.若a =b ,b =c ,则a =cD.若a ∥b ,b ∥c ,则a ∥cA,由BA ⃗⃗⃗⃗⃗ =CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,知AB=CD 且AB ∥CD ,即四边形ABCD 为平行四边形,又因为|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AD ⃗⃗⃗⃗⃗ |,所以四边形ABCD 为菱形,故A 正确;对于B,在平行四边形ABCD 中,对边平行且相等,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相同,所以AB ⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故B 正确;对于C,由向量相等的定义知,当a =b ,b =c 时,有a =c ,故C 正确;对于D,当b =0时不成立,故D 错误.故选ABC .6.(多选题)设点O 是正方形ABCD 的中心,则下列结论正确的是( ) A.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =OC ⃗⃗⃗⃗⃗ B.BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ C.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线 D.AO ⃗⃗⃗⃗⃗ =BO⃗⃗⃗⃗⃗图,∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与OC⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同,长度相等,∴选项A 正确; ∵BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的方向相反, ∴BO ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,选项B 正确; ∵AB ∥CD ,∴AB⃗⃗⃗⃗⃗ 与CD ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线, ∴选项C 正确; ∵AO ⃗⃗⃗⃗⃗ 与BO ⃗⃗⃗⃗⃗ 方向不同,∴AO ⃗⃗⃗⃗⃗ ≠BO⃗⃗⃗⃗⃗ ,∴选项D 错误. 7.如图,四边形ABCD ,CEFG ,CGHD 都是全等的菱形,HE 与CG 相交于点M ,则下列关系不一定成立的是( )A.|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|EF ⃗⃗⃗⃗⃗ |B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与FH ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线C.BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 与EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线D.DC ⃗⃗⃗⃗⃗ 与EC⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,直线BD 与EH 不一定平行,因此BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 不一定与EH ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,C 项错误. 8.如图所示,4×3的矩形(每个小方格的边长均为1),在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问: (1)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有几个? (2)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有几个? (3)与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有几个?与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量共有5个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身). (2)与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 平行且模为√2的向量共有24个. (3)与向量AB⃗⃗⃗⃗⃗ 方向相同且模为3√2的向量共有2个. 关键能力提升练9.已知a 为单位向量,下列说法正确的是( ) A.a 的长度为一个单位长度 B.a 与0不平行C.与a 共线的单位向量只有一个(不包括a 本身)D.a 与0不是平行向量已知a 为单位向量,∴a 的长度为一个单位长度,故A 正确;a 与0平行,故B 错误;与a 共线的单位向量有无数个,故C 错误;零向量与任何向量都是平行向量,故D 错误. 10.(多选题)如图,在菱形ABCD 中,∠DAB=120°,则以下说法正确的是( )A.与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量只有一个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身) B.与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等的向量有9个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身) C.BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ 的模为DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 模的√3倍 D.CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 不共线项,由相等向量的定义知,与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量只有DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故A 正确;B 项,因为AB=BC=CD=DA=AC ,所以与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 的模相等的向量除AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 外有9个,故B 正确;C 项,在Rt △ADO 中,∠DAO=60°,则DO=√32DA ,所以BD=√3DA ,故C 正确;D 项,因为四边形ABCD 是菱形,所以CB ⃗⃗⃗⃗⃗ 与DA ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线,故D 错误.11.给出下列四个条件:①a =b ;②|a |=|b |;③a 与b 方向相反;④|a |=0或|b |=0.其中能使a ∥b 成立的条件是 .(填序号)a =b ,则a 与b 大小相等且方向相同,所以a ∥b ;若|a |=|b |,则a 与b 的大小相等,而方向不确定,因此不一定有a ∥b ;方向相同或相反的向量都是平行向量,因此若a 与b 方向相反,则有a ∥b ;零向量与任意向量平行,所以若|a |=0或|b |=0,则a ∥b .12.如图,四边形ABCD 和ABDE 都是边长为1的菱形,已知下列说法: ①AE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,AD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CB ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ 都是单位向量; ②AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ∥DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ; ③与AB⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量有3个(不包括AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 本身); ④与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量有3个(不包括AE⃗⃗⃗⃗⃗ 本身); ⑤与向量DC⃗⃗⃗⃗⃗ 大小相等、方向相反的向量为DE ⃗⃗⃗⃗⃗ ,CD ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BA ⃗⃗⃗⃗⃗ . 其中正确的是 .(填序号)由两菱形的边长都为1,故①正确;②正确;③与AB ⃗⃗⃗⃗⃗ 相等的向量是ED ⃗⃗⃗⃗⃗ ,DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,故③错误;④与AE ⃗⃗⃗⃗⃗ 共线的向量是EA ⃗⃗⃗⃗⃗ ,BD ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,DB⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ,故④正确;⑤正确.13.已知在四边形ABCD 中,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ ,且|AB ⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,tan D=√3,判断四边形ABCD 的形状.在四边形ABCD 中,AB⃗⃗⃗⃗⃗ =DC ⃗⃗⃗⃗⃗ , ∴AB DC ,∴四边形ABCD 是平行四边形. ∵tan D=√3,∴∠B=∠D=60°.又|AB⃗⃗⃗⃗⃗ |=|AC ⃗⃗⃗⃗⃗ |,∴△ABC 是等边三角形. ∴AB=BC ,故四边形ABCD 是菱形.学科素养创新练14.如图所示的方格纸由若干个边长为1的小正方形组成,方格纸中有两个定点A ,B ,点C 为小正方形的顶点,且|AC⃗⃗⃗⃗⃗ |=√5.(1)画出所有的向量AC⃗⃗⃗⃗⃗ ;⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值与最小值.(2)求|BC⃗⃗⃗⃗⃗ 如图所示.(2)由(1)所画的图知,⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最小值√12+22=√5;①当点C位于点C1或C2时,|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |取得最大值√42+52=√41.②当点C位于点C5或C6时,|BC⃗⃗⃗⃗⃗ |的最大值为√41,最小值为√5.∴|BC。

第二章 平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB ＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72． 而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝AB ＋BC ＋D C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量． 二、填空题 11．－32． 解析：A ，B ，C 三点共线等价于AB ，BC 共线，AB ＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323． 解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)． 解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)． 又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ． 又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ． 又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。

平面向量的基本概念知识点梳理：1．向量：既有________，又有________的量叫向量．2．向量的几何表示：以A为起点，B为终点的向量记作________．3．向量的有关概念：(1)零向量：长度为__________的向量叫做零向量，记作______．(2)单位向量：长度为______的向量叫做单位向量．(3)相等向量：__________且__________的向量叫做相等向量．(4)相反向量：__________且__________的向量叫做相反向量．(5)平行向量(共线向量)：向__________的________向量叫做平行向量，也叫共线向量．①记法：向量a平行于b，记作________．②规定：零向量与__________平行．同步练习题一、选择题1．下列物理量：①质量；②速度；③位移；④力；⑤加速度；⑥路程；⑦密度；⑧功．其中不是向量的有()A．1个B．2个C．3个D．4个2．下列条件中能得到a＝b的是()A．|a|＝|b| B．a与b的方向相同C．a＝0，b为任意向量D．a＝0且b＝03．下列说法正确的有()①方向相同的向量叫相等向量；②零向量的长度为0；③共线向量是在同一条直线上的向量；④零向量是没有方向的向量；⑤共线向量不一定相等；⑥平行向量方向相同．A．2个B．3个C．4个D．5个4．命题“若a∥b，b∥c，则a∥c”()A．总成立B．当a≠0时成立C．当b≠0时成立D．当c≠0时成立5．下列各命题中，正确的命题为()A．两个有共同起点且共线的向量，其终点必相同B．模为0的向量与任一向量平行C．向量就是有向线段D．|a|＝|b|⇒a＝b6．下列说法正确的是()A ．向量AB →∥CD →就是AB →所在的直线平行于CD →所在的直线B ．长度相等的向量叫做相等向量C ．零向量长度等于0D ．共线向量是在一条直线上的向量二、填空题7．给出以下5个条件：①a ＝b ；②|a |＝|b |；③a 与b 的方向相反；④|a |＝0或|b |＝0；⑤a 与b 都是单位向量．其中能使a ∥b 成立的是________．(填序号)8．在四边形ABCD 中，AB →＝DC →且|AB →|＝|AD →|，则四边形的形状为________．9．下列各种情况中，向量的终点在平面内各构成什么图形．①把所有单位向量移到同一起点；②把平行于某一直线的所有单位向量移到同一起点；③把平行于某一直线的一切向量移到同一起点．①__________；②____________；③____________.10．如图所示，E 、F 分别为△ABC 边AB 、AC 的中点，则与向量EF →共线的向量有________________(将图中符合条件的向量全写出来)．三、解答题11. 在如图的方格纸上，已知向量a ，每个小正方形的边长为1.(1)试以B 为终点画一个向量b ，使b ＝a ；(2)在图中画一个以A 为起点的向量c ，使|c |＝5，并说出向量c 的终点的轨迹是什么？12. 如图所示，△ABC 的三边均不相等，E 、F 、D 分别是AC 、AB 、BC 的中点．(1)写出与EF →共线的向量；(2)写出与EF →的模大小相等的向量；(3)写出与EF →相等的向量．13. 如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA →＝a ，OB →＝b ，OC →＝c .(1)与a 的模相等的向量有多少个？(2)与a 的长度相等，方向相反的向量有哪些？(3)与a 共线的向量有哪些？(4)请一一列出与a ，b ，c 相等的向量．参考答案知识梳理1．大小 方向 2.AB →3．(1)0 0 (2)1 (3)长度相等 方向相同 (4)相同或相反 非零 ①a ∥b ②任一向量同步练习题1．D2．D3．A [②与⑤正确，其余都是错误的．]4．C [当b ＝0时，不成立，因为零向量与任何向量都平行．]5．B [由于模为0的向量是零向量，只有零向量的方向不确定，它与任一向量平行，故选B.]6．C [向量AB →∥CD →包含AB →所在的直线平行于CD →所在的直线和AB →所在的直线与CD →所在的直线重合两种情况；相等向量不仅要求长度相等，还要求方向相同；共线向量也称为平行向量，它们可以是在一条直线上的向量，也可以是所在直线互相平行的向量，所以A 、B 、D 均错．]7．①③④解析 相等向量一定是共线向量，①能使a ∥b ；方向相同或相反的向量一定是共线向量，③能使a ∥b ；零向量与任一向量平行，④成立．8．菱形解析 ∵AB →＝DC →，∴AB 綊DC∴四边形ABCD 是平行四边形，∵|AB →|＝|AD →|，∴四边形ABCD 是菱形．9．单位圆 相距为2的两个点 一条直线10.FE →，BC →，CB →解析 ∵E 、F 分别为△ABC 对应边的中点，∴EF ∥BC ，∴符合条件的向量为FE →，BC →，CB →.11．解 (1)根据相等向量的定义，所作向量与向量a 平行，且长度相等(作图略)．(2)由平面几何知识可知所有这样的向量c 的终点的轨迹是以A 为圆心，半径为5的圆(作图略)．12．解 (1)因为E 、F 分别是AC 、AB 的中点，所以EF 綊12BC .又因为D 是BC 的中点， 所以与EF →共线的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →，BC →，CB →.(2)与EF →模相等的向量有：FE →，BD →，DB →，DC →，CD →.(3)与EF →相等的向量有：DB →与CD →.13．证明 (1)∵AA ′→＝BB ′→，∴|AA ′→|＝|BB ′→|，且AA ′→∥BB ′→.又∵A 不在BB ′→上，∴AA ′∥BB ′.∴四边形AA ′B ′B 是平行四边形．∴|AB →|＝|A ′B ′→|.同理|AC →|＝|A ′C ′→|，|BC →|＝|B ′C ′→|.∴△ABC ≌△A ′B ′C ′.(2)∵四边形AA ′B ′B 是平行四边形，∴AB →∥A ′B ′→，且|AB →|＝|A ′B ′→|.∴AB →＝A ′B ′→.同理可证AC →＝A ′C ′→.14．解 (1)与a 的模相等的向量有23个．(2)与a 的长度相等且方向相反的向量有OD →，BC →，AO →，FE →.(3)与a 共线的向量有EF →，BC →，OD →，FE →，CB →，DO →，AO →，DA →，AD →.(4)与a 相等的向量有EF →，DO →，CB →；与b 相等的向量有DC →，EO →，F A →；与c 相等的向量有FO →，ED →，AB →.。

6.1 平面向量的概念(精练)【题组一向量与数量的区别】1．(2021·江苏·泰兴市第三高级中学高一月考)给出下列量：①角度；①温度；①海拔；①弹力；①风速；①加速度．其中是向量的有( )A．2个B．2个C．4个D．5个【答案】B【解析】根据题意，在①角度、①温度、①海拔、①弹力、①风速、①加速度中，是向量的有①弹力、①风速、①加速度，有3个，故选：B．2．(2021·浙江·高一课时练习)下列各量中是向量的是( )A．时间B．速度C．面积D．长度【答案】B【解析】既有大小，又有方向的量叫做向量；时间、面积、长度只有大小没有方向，因此不是向量．而速度既有大小，又有方向，因此速度是向量．故选：B．3．(2021·全国·高一课时练习)给出下列物理量:①密度；①路程；①速度；①质量；①功；①位移.下列说法正确的是A．①①①是数量，①①①是向量B．①①①是数量，①①①是向量C．①①是数量，①①①①是向量D．①①①①是数量，①①是向量【答案】D【解析】由物理知识可知，密度，路程，质量，功只有大小，没有方向，因此是数量而速度，位移既有大小又有方向，因此是向量.故选：D4．(2021·上海·高一课时练习)下列各量中，哪些是向量(即矢量)，哪些是数量(即标量)？(1)密度(2)体积(3)电阻(4)推进力(5)长度(6)加速度向量：__________；数量：____________.(填写相应编号).【答案】(4)(6) (1)(2)(3)(5)【解析】密度、体积、电阻、长度都是只有大小没有方向的量，是数量；推进力、加速度是既有大小又有方向的量，是向量.故答案为：(4)(6)；(1)(2)(3)(5).【题组二 向量的几何表示】1．(2021·全国·高一课时练习)一位模型赛车手遥控一辆赛车沿正东方向行进1米，逆时针方向转变α度，继续按直线向前行进1米，再逆时针方向转变α度，按直线向前行进1米，按此方法继续操作下去.(1)按1①100比例作图说明当α=45°时，操作几次时赛车的位移为零；(2)按此法操作使赛车能回到出发点，α应满足什么条件？【答案】见解析.【解析】(1)如图所示，操作8次后，赛车的位移为零；(2)要使赛车能回到出发点，只需赛车的位移为零．按(1)的方式作图，则所作图形是内角为180α︒-的正多边形，由多边形的内角和定理可得(180)(2)180n n α︒-=-⋅︒， 解得360nα︒=，且3,*n n N ≥∈．故α应满足的条件为360nα︒=，且3,*n n N≥∈．2．(2021·全国·高一课时练习)如图的方格纸由若干个边长为1的小正方形并在一起组成，方格纸中有两个定点A，B.点C为小正方形的顶点，且5AC=.(1)画出所有的向量AC；(2)求BC的最大值与最小值．【答案】(1)见解析；(2)【解析】(1)画出所有的向量AC，如图所示：(2)由(1)所画的图知，①当点C位于点C1或C2时，|BC|①当点C位于点C5或C6时，|BC|所以|BC|3(2021·全国·高一课时练习)在如图的方格纸(每个小方格的边长为1)上，已知向量a．(1)试以B为起点画一个向量b，使=b a；(2)画一个以C为起点的向量c，使|c|＝2，并说出c的终点的轨迹是什么．【答案】(1)答案见解析；(2)答案见解析．【解析】(1)根据相等向量的定义，所作向量b应与a同向，且长度相等，如下图所示．(2)由平面几何知识可作满足条件的向量c，所有这样的向量c的终点的轨迹是以点C为圆心，2为半径的圆，如下图所示．4．(2021·江苏·高一课时练习)在如图的方格纸上，已知向量a，每个小正方形的边长为1.(1)试以B为起点画一个向量b，使b a=；c=，并说出向量c的终点的轨迹是什么？(2)在图中画一个以A为起点的向量c，使5【答案】(1)作图见解析；(2)向量c的终点的轨迹是以A.【解析】(1)由题意，B为起点画一个向量b，使b a=，如图所示.c=，则向量c的终点表示以A(2)因为5【题组三向量相关概念的辨析】1．(2021·湖南·武广实验高级中学高一期末)下列四个命题正确的是( )A．两个单位向量一定相等B．若a与b不共线，则a与b都是非零向量C．共线的单位向量必相等D．两个相等的向量起点、方向、长度必须都相同【答案】B【解析】两个单位向量一定相等错误，可能方向不同；若a与b不共线，则a与b都是非零向量正确，原因是零向量与任意向量共线；共线的单位向量必相等错误，可能是相反向量；两个相等的向量的起点、方向、长度必须相同错误，原因是向量可以平移．故选：B．2．(2021·全国·高一课时练习)下列关于向量的描述正确的是A ．若向量a ，b 都是单位向量，则a b =B ．若向量a ，b 都是单位向量，则1a b ⋅=C ．任何非零向量都有唯一的与之共线的单位向量D ．平面内起点相同的所有单位向量的终点共圆【答案】D【解析】对于选项A ：向量包括长度和方向，单位向量的长度相同均为1，方向不定，故向量a 和b 不一定相同，故选项A 错误；对于选项B ：因为cos cos a b a b θθ⋅=⋅⋅=，由[]cos 1,1θ∈-知，1a b ⋅=不一定成立，故选项B 错误； 对于选项C ：任意一个非零向量有两个与之共线的单位向量，故选项C 错误；对于选项D ：因为所有单位向量的模为1，且共起点，所以所有单位向量的终点在半径为1的圆周上，故选项D 正确；故选：D.3．(2021·广西·田东中学)下列命题中，正确的个数是( ) ①单位向量都相等；①模相等的两个平行向量是相等向量；①若a →，b →满足a b →→>且a →与b →同向，则a b →→>； ①若两个向量相等，则它们的起点和终点分别重合；①若a →①,b b →→①c →，则b →①c →．A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个 【答案】A【解析】对于①，单位向量的模长相等，但方向不一定相同，故①错误；对于①，模相等的两个平行向量是相等向量或相反向量，故①错误；对于①，向量是有方向的量，不能比较大小，故①错误；对于①，向量是可以自由平移的矢量，当两个向量相等时，它们的起点和终点不一定相同，故①错误；对于①，0b →→=时，若a b b c →→→→∥，∥，则a →与c →不一定平行．综上，以上正确的命题个数是0．故选：A．4．(2021·全国·高一课时练习)下列说法中，正确的个数是( )①时间、摩擦力、重力都是向量；①向量的模是一个正实数；①相等向量一定是平行向量；①向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量( )A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】①时间没有方向，不是向量，摩擦力，重力都是向量，故①错误；①零向量的模为零，故①错；①相等向量的方向相同，模相等，所以一定是平行向量，故①正确；①零向量与任意向量都共线，因此若向量a→与b→不共线，则a→与b→都是非零向量，即①正确.故选：B.5．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中正确的个数是①向量就是有向线段①零向量是没有方向的向量①零向量的方向是任意的①任何向量的模都是正实数A．0B．1C．2D．3【答案】B【解析】有向线段只是向量的一种表示形式，但不能把两者等同起来，故①错；零向量有方向，其方向是任意的，故①错，①正确；零向量的模等于0，故①错.故选：B.6．(2021·江苏·高一)下列各说法:①有向线段就是向量,向量就是有向线段;①向量的大小与方向有关;①任意两个零向量方向相同;①模相等的两个平行向量是相等向量.其中正确的有A．0个B．1个C．2个D．3个【答案】A【解析】有向线段是向量的几何表示,二者并不相同,故①错误;①向量不能比较大小,故①错误;①由零向量方向的任意性知①错误;①向量相等是向量模相等,且方向相同,故①错误.故选：A.7．(2021·全国·高一课时练习)下列说法中，正确的是( )①长度为0的向量都是零向量；①零向量的方向都是相同的；①单位向量都是同方向；①任意向量与零向量都共线．A．①①B．①①C．①①D．①①【答案】D【解析】①长度为0的向量都是零向量，正确；①零向量的方向任意，故错误；①单位向量只是模长都为1的向量，方向不一定相同，故错误；①任意向量与零向量都共线，正确；故选：D8．(2021·全国·高一课时练习)下列命题中正确的个数有( )①向量AB与CD是共线向量，则A、B、C、D四点必在一直线上；①单位向量都相等；①任一向量与它的相反向量不相等；①共线的向量，若起点不同，则终点一定不同．A．0B．1C．2D．3【答案】AAB CD，或A,B，C，D在同条直线上，故①错误；【解析】对于①，若向向量AB与CD是共线向量，则//对于①，因为单位向量的模相等，但是它们的方向不一定相同，所以单位向量不一定相等，故①错误；对于①，相等向量的定义是方向相同模相等的向量为相等向量，而零向量的相反向量是零向量，因为零向量的方向是不确定的，可以是任意方向，所以相等，故①错误；对于①，比如共线的向量AC与BC(A,B,C在一条直线上)起点不同，则终点相同，故①错误.故选：A．【题组四相等向量与平行向量】1．(2021·全国·高一课时练习)下图中与向量a相等的向量是( )A．b，c，e，f B．c，f C．f D．c【答案】D【解析】由相等向量的定义可知：两个向量的长度要相等，方向要相同，结合图形可知c满足条件，故选：D2．(2021·全国·高一课时练习)如图，点O是正六边形ABCDEF的中心，图中与CA共线的向量有( )A．1个B．2个C．3个D．4个【答案】C【解析】由图可知，根据正六边形的性质，与CA共线的有AC，DF，FD，共3个，故选：C.3．(2021·全国·高一课时练习)如图，四边形ABCD和ABDE都是边长为1的菱形，已知下列说法:①AE AB AD CD CB DE，，，，，都是单位向量;①AB①DE DE，①DC①与AB相等的向量有3个;①与AE共线的向量有3个;①与向量DC大小相等、方向相反的向量为DE CD BA，，.其中正确的是____.(填序号)【答案】①①①①【解析】①由两菱形的边长都为1，故①正确;①正确;①与AB 相等的向量是ED DC ，，故①错误;①与AE 共线的向量是EA BD DB ，，，故①正确;①正确.故答案为：①①①①4．(2021·上海·高一课时练习)如图，在长方体1111ABCD A B C D -中，3AB =，2AD =，11AA =，以长方体的八个顶点中两点为起点和终点的向量中．(1)单位向量共有______个；(2)______；(3)与AB 相等的向量有______；(4)1AA 的相反向量有______．【答案】8 1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB 11A B 、DC 、11DC 1A A 、1B B 、1C C 、1D D【解析】(1)由图可知，11111AA BB CC DD ====，所以单位向量有428⨯=个；(2)由图可知，1111A D AD BC BC ====1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB ；(3)由图可知，1111AB DC A B D C ===，所以与AB 相等的向量有：11A B 、DC 、11DC ；(4)由图可知，11111AA BB CC DD ====，所以1AA 的相反向量有：1A A 、1B B 、1C C 、1D D ； 故答案为：8；1AD 、1D A 、1A D 、1DA 、1BC 、1C B 、1B C 、1CB ；11A B 、DC 、11DC ；1A A 、1B B 、1C C 、1D D .5．(2021·全国·高一课时练习)O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形，在如图所示的向量中：(1)分别找出与AO ，BO 相等的向量；(2)找出与AO 共线的向量；(3)找出与AO 模相等的向量；(4)向量AO 与CO 是否相等？【答案】(1)AO BF =，BO AE =；(2)BF ，CO ，DE ；(3)CO ，DO ，BO ，BF ，CF ，CO ，DE ；(4)不相等．【解析】因为O 是正方形ABCD 对角线的交点，四边形OAED ，OCFB 都是正方形， 所以OA AE OD DE OC CF BF BO =======，AB CD BC AD ===；(1)由题中图形可得：AO BF =，BO AE =；(2)由图形可得，与AO 共线的向量有：BF ，CO ，DE ；(3)与AO 模相等的向量有：CO ，DO ，BO ，BF ，CF ，CO ，DE ；(4)向量AO 与CO 不相等，因为它们的方向不相同．6．(2021·全国·高一课时练习)如图所示，O 是正六边形ABCDEF 的中心，且OA ＝a ，OB ＝b ，OC ＝c .(1)与a 的长度相等、方向相反的向量有哪些？(2)与a 共线的向量有哪些？(3)请一一列出与a ，b ，c .相等的向量．【答案】(1)OD ，BC ，AO ，FE .(2)EF ，BC ，OD ，FE ，CB ，DO ，AO ，DA ，AD .(3)与a 相等的向量有EF ，DO ，CB ；与b 相等的向量有DC ，EO ，FA ；与c 相等的向量有FO ，ED ，AB .【解析】(1)因为正六边形中各线段长度都相等，且方向相反的有：OD，BC，AO，FE.(2)由共线向量定理得：EF，BC，OD，FE，CB，DO，AO，DA，AD.与a共线.(3)由相等向量的定义得：与a相等的向量有EF，DO，CB；与b相等的向量有DC，EO，FA；与c 相等的向量有FO，ED，AB.。

6.1 平面向量的概念课后训练巩固提升1.正n边形有n条边,它们对应的向量依次为a1,a2,a3,…,a n,则这n个向量()A.都相等B.都共线C.都不共线D.模都相等解析:因为是正n边形,所以n条边的边长都相等,即这n个向量的模都相等.答案:D2.在△ABC中,AB=AC,D,E分别是AB,AC的中点,则()A共线B共线C相等D相等解析:如图所示,因为D,E分别是AB,AC的中点, 所以由三角形的中位线定理可得DE∥BC.所以共线.答案:B3.(多选题)下列说法正确的是()A.2 022 cm长的有向线段不可能表示单位向量B.若O是直线l上的一点,单位长度已选定,则l上有且只有两个点A,B,使得是单位向量C.方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是平行向量D.一人从点A向东走500 m到达点B,则向量表示这个人从点A到点B的位移解析:一个单位长度取2022cm时,2022cm长的有向线段刚好表示单位向量,故A不正确;因为单位长度已选定,向量的起点为O,所以l上有且只有两个点A,B,使得是单位向量,故B正确;方向为北偏西50°的向量与南偏东50°的向量是一对方向相反的向量,因此是平行向量,故C正确;根据位移的定义,可知向量表示这个人从点A到点B的位移,故D正确.答案:BCD4.若||=||,且,则四边形ABCD的形状为()A.平行四边形B.矩形C.菱形D.等腰梯形解析:由,知AB=CD,且AB∥CD,即四边形ABCD为平行四边形.因为||=||,所以四边形ABCD为菱形.答案:C5.(多选题)如图,四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,则下列结论中一定成立的是()A.||=||B共线C共线D解析:对于A,因为四边形ABCD,CEFG,CGHD是全等的菱形,因此||=||一定成立,故A符合题意;对于B,根据菱形的性质,共线一定成立,故B符合题意;对于C,因为BD与EH不一定平行,所以不一定共线,故C不符合题意;对于D,根据菱形的性质,知方向相同且模相等,因此一定成立,故D符合题意.故选ABD.答案:ABD6.已知A,B,C是不共线的三点,向量m与向量是平行向量,与是共线向量,则m= .解析:因为A,B,C三点不共线,所以不共线,又因为m且m,所以m=0.答案:07.设数轴上有四个点A,B,C,D,其中A,C对应的实数分别是1和3,且为单位向量,则点B 对应的实数为;点D对应的实数为;||= .解析:由相等向量的定义知,点B对应的实数为7;因为||=1,所以点D对应的实数为4或2;||=||=4.答案:74或2 48.如果把平面上一切单位向量归结到共同的起点O,那么这些向量的终点所组成的图形是.解析:单位向量的长度是一个单位,方向任意,若单位向量有共同的始点O,则其终点构成一个单位圆.答案:以点O为圆心的单位圆9.一个4×3的矩形(每个小方格都是单位正方形)如图所示,在起点和终点都在小方格的顶点处的向量中,试问:(1)与相等的向量共有几个?(2)与平行且模为的向量共有几个?(3)与方向相同且模为3的向量共有几个?解:(1)与向量相等的向量共有5个(不包括本身).(2)与向量平行且模为的向量共有24个.(3)与向量方向相同且模为3的向量共有2个.10.一辆汽车从点A出发向西行驶了100千米到达点B,然后又改变方向向西偏北50°方向行驶了200千米到达点C,最后又改变方向,向东行驶了100千米到达点D.(1)作出向量;(2)求||.解:(1)如图所示.(2)由题意,易知方向相反,故共线.因为||=||,所以在四边形ABCD中,AB∥CD且AB=CD,所以四边形ABCD为平行四边形,所以||=||=200千米.。

平面向量习题及答案平面向量习题及答案引言：平面向量是高中数学中的重要内容之一，它在几何、代数和物理等领域中都有广泛的应用。

通过解决平面向量习题，我们可以加深对平面向量的理解，提高解题能力。

本文将介绍几个常见的平面向量习题，并给出详细的解答过程。

一、向量的加法和减法1. 已知向量a=2i+3j，b=4i-5j，求a+b和a-b。

解答：a+b=(2+4)i+(3-5)j=6i-2ja-b=(2-4)i+(3+5)j=-2i+8j2. 已知向量a=3i+2j，b=-i+4j，求2a-3b。

解答：2a-3b=2(3i+2j)-3(-i+4j)=6i+4j+3i-12j=9i-8j二、向量的数量积和向量积1. 已知向量a=2i+3j，b=-i+4j，求a·b和|a×b|。

解答：a·b=(2)(-1)+(3)(4)=-2+12=10|a×b|=|(2)(4)-(3)(-1)|=|8+3|=112. 已知向量a=3i+2j，b=4i-5j，求a×b的模长和方向角。

解答：a×b=(3)(-5)-(2)(4)=-15-8=-23|a×b|=|-23|=23设a×b与x轴正向的夹角为θ，则cosθ=(4)/√(4^2+(-23)^2)=4/√545θ≈84.3°三、向量的共线与垂直1. 已知向量a=2i+3j，b=-4i-6j，判断a和b是否共线。

解答：若a和b共线，则存在实数k，使得a=kb。

2i+3j=k(-4i-6j)2i+3j=-4ki-6kj2=-4k，3=-6k解得k=-1/2所以，a和b共线。

2. 已知向量a=2i+3j，b=-4i-6j，判断a和b是否垂直。

解答：若a和b垂直，则a·b=0。

a·b=(2)(-4)+(3)(-6)=-8-18=-26-26≠0所以，a和b不垂直。

结论：通过解答上述平面向量习题，我们可以巩固向量的加法、减法、数量积、向量积等基本概念和运算规则。

第二章 平面向量一、选择题1．在△ABC 中，AB ＝AC ，D ，E 分别是AB ，AC 的中点，则( )． A ．AB 与AC 共线 B ．DE 与CB 共线 C ．AD 与AE 相等D ．AD 与BD 相等2．下列命题正确的是( )． A ．向量AB 与BA 是两平行向量 B ．若a ，b 都是单位向量，则a ＝bC ．若AB ＝DC ，则A ，B ，C ，D 四点构成平行四边形 D ．两向量相等的充要条件是它们的始点、终点相同3．平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知两点A (3，1)，B (－1，3)，若点C 满足OC ＝α OA ＋β OB ，其中 α，β∈R ，且α＋β＝1，则点C 的轨迹方程为( )．A ．3x ＋2y －11＝0B ．(x －1)2＋(y －1)2＝5C ．2x －y ＝0D ．x ＋2y －5＝0 4．已知a 、b 是非零向量且满足(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，则a 与b 的夹角是( )． A ．6πB ．3π C ．23π D ．56π 5．已知四边形ABCD 是菱形，点P 在对角线AC 上(不包括端点A ，C )，则AP ＝( )． A ．λ(AB ＋AD )，λ∈(0，1) B ．λ(AB ＋BC )，λ∈(0，22) C ．λ(AB －AD )，λ∈(0，1)D ．λ(AB －BC )，λ∈(0，22) 6．△ABC 中，D ，E ，F 分别是AB ，BC ，AC 的中点，则DF ＝( )． A ．EF ＋EDB ．EF －DEC ．EF ＋ADD ．EF ＋AF7．若平面向量a 与b 的夹角为60°，|b |＝4，(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，则向量a 的模为( )．(第1题)A．2 B．4 C．6 D．128．点O是三角形ABC所在平面内的一点，满足OA·OB＝OB·OC＝OC·OA，则点O是△ABC的()．A．三个内角的角平分线的交点B．三条边的垂直平分线的交点C．三条中线的交点D．三条高的交点9．在四边形ABCD中，AB＝a＋2b，BC＝－4a－b，DC＝－5a－3b，其中a，b不共线，则四边形ABCD为()．A．平行四边形B．矩形C．梯形D．菱形10．如图，梯形ABCD中，|AD|＝|BC|，EF∥AB∥CD则相等向量是()．A．AD与BC B．OA与OBC．AC与BD D．EO与OF(第10题)二、填空题11．已知向量OA＝(k，12)，OB＝(4，5)，OC＝(－k，10)，且A，B，C三点共线，则k＝．12．已知向量a＝(x＋3，x2－3x－4)与MN相等，其中M(－1，3)，N(1，3)，则x ＝．13．已知平面上三点A，B，C满足|AB|＝3，|BC|＝4，|CA|＝5，则AB·BC＋BC·CA＋CA·AB的值等于．14．给定两个向量a＝(3，4)，b＝(2，－1)，且(a＋m b)⊥(a－b)，则实数m等于．15．已知A，B，C三点不共线，O是△ABC内的一点，若OA＋OB＋OC＝0，则O 是△ABC的．16．设平面内有四边形ABCD和点O，OA＝a，OB＝b，OC＝c, OD＝d，若a＋c ＝b＋d，则四边形ABCD的形状是．三、解答题17．已知点A(2，3)，B(5，4)，C(7，10)，若点P满足AP＝AB＋λAC(λ∈R)，试求λ为何值时，点P在第三象限内？18．如图，已知△ABC，A(7，8)，B(3，5)，C(4，3)，M，N，D分别是AB，AC，BC的中点，且MN与AD交于F，求DF．(第18题)19．如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AB，BC的中点，求证：AF⊥DE(利用向量证明)．(第19题) 20．已知向量a＝(cos θ，sin θ)，向量b＝(3，－1)，则|2a－b|的最大值．参考答案一、选择题 1．B解析：如图，AB 与AC ，AD 与AE 不平行，AD 与BD 共线反向．2．A解析：两个单位向量可能方向不同，故B 不对．若AB ＝DC ，可能A ，B ，C ，D 四点共线，故C 不对．两向量相等的充要条件是大小相等，方向相同，故D 也不对．3．D解析：提示：设OC ＝(x ，y )，OA ＝(3，1)，OB ＝(－1，3)，α OA ＝(3α，α)，β OB ＝(－β，3β)，又αOA ＋β OB ＝(3α－β，α＋3β)，∴ (x ，y )＝(3α－β，α＋3β)，∴⎩⎨⎧βαβα33＋＝－＝y x ，又α＋β＝1，由此得到答案为D ．4．B解析：∵(a －2b )⊥a ，(b －2a )⊥b ，∴(a －2b )·a ＝a 2－2a ·b ＝0，(b －2a )·b ＝b 2－2a ·b ＝0，∴ a 2＝b 2，即|a |＝|b |．∴|a |2＝2|a ||b |cos θ＝2|a |2cos θ．解得cos θ＝21． ∴ a 与b 的夹角是3π． 5．A解析：由平行四边形法则，AB ＋AD ＝AC ，又AB ＋BC ＝AC ，由 λ的范围和向量数乘的长度，λ∈(0，1)．6．D解析：如图，∵AF ＝DE ， ∴ DF ＝DE ＋EF ＝EF ＋AF ．(第6题)(第1题)7．C解析：由(a ＋2b )·(a －3b )＝－72，得a 2－a ·b －6b 2＝－72． 而|b |＝4，a ·b ＝|a ||b |cos 60°＝2|a |， ∴ |a |2－2|a |－96＝－72，解得|a |＝6． 8．D解析：由 OA ·OB ＝OB ·OC ＝OC ·OA ，得OA ·OB ＝OC ·OA , 即OA ·(OC －OB )＝0，故BC ·OA ＝0，BC ⊥OA ，同理可证AC ⊥OB ， ∴ O 是△ABC 的三条高的交点． 9．C解析：∵AD ＝＋＋C ＝－8a －2b ＝2BC ，∴AD ∥BC 且|AD |≠|BC |． ∴ 四边形ABCD 为梯形． 10．D解析：AD 与BC ，AC 与BD ，OA 与OB 方向都不相同，不是相等向量． 二、填空题 11．－32． 解析：A ，B ，C 三点共线等价于，BC 共线，＝OB －OA ＝(4，5)－(k ，12)＝(4－k ，－7)，BC ＝OC －OB ＝(－k ，10)－(4，5)＝(－k －4，5)，又 A ，B ，C 三点共线，∴ 5(4－k )＝－7(－k －4)，∴ k ＝－32． 12．－1．解析：∵ M (－1，3)，N (1，3)， ∴ MN ＝(2，0)，又a ＝MN ，∴ ⎩⎨⎧0＝4－3－2＝3＋2x x x 解得⎩⎨⎧4＝1＝－1＝－x x x 或∴ x ＝－1． 13．－25．解析：思路1：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴ △ABC 为直角三角形且∠ABC ＝90°，即AB ⊥BC ，∴AB ·BC ＝0， ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝BC ·CA ＋CA ·AB ＝CA ·(BC ＋AB ) ＝－(CA )2 ＝－2CA ＝－25．思路2：∵ AB ＝3，BC ＝4，CA ＝5，∴∠ABC ＝90°， ∴ cos ∠CAB ＝CA AB＝53，cos ∠BCA ＝CABC＝54．根据数积定义，结合图(右图)知AB ·BC ＝0， BC ·CA ＝BC ·CA cos ∠ACE ＝4×5×(－54)＝－16， CA ·AB ＝CA ·AB cos ∠BAD ＝3×5×(－53)＝－9． ∴ AB ·BC ＋BC ·CA ＋CA ·AB ＝0―16―9＝－25． 14．323． 解析：a ＋m b ＝(3＋2m ，4－m )，a －b ＝(1，5)． ∵ (a ＋m b )⊥(a －b )，∴ (a ＋m b )·(a －b )＝(3＋2m )×1＋(4－m )×5＝0 m ＝323． 15．答案：重心．解析：如图，以OA ，OC 为邻边作□AOCF 交AC 于D(第13题)点E ，则OF ＝OA ＋OC ，又 OA ＋OC ＝－OB ，∴ OF ＝2OE ＝－OB ．O 是△ABC 的重心． 16．答案：平行四边形．解析：∵ a ＋c ＝b ＋d ，∴ a －b ＝d －c ，∴BA ＝CD ． ∴ 四边形ABCD 为平行四边形． 三、解答题 17．λ＜－1．解析：设点P 的坐标为(x ，y )，则AP ＝(x ，y )－(2，3)＝(x －2，y －3)． AB ＋λAC ＝(5，4)－(2，3)＋λ［(7，10)－(2，3)］＝(3，１)＋λ(5，7) ＝(3＋5λ，１＋7λ)．∵ AP ＝AB ＋λAC ，∴ (x －2，y －3)＝(3＋5λ，1＋7λ)． ∴ ⎩⎨⎧+=-+=-λλ713532y x 即⎩⎨⎧+=+=λλ7455y x要使点P 在第三象限内，只需⎩⎨⎧<+<+074055λλ 解得 λ＜－1．18．DF ＝(47，2)． 解析：∵ A (7，8)，B (3，5)，C (4，3)， AB ＝(－4，－3)，AC ＝(－3，－5)．又 D 是BC 的中点， ∴ AD ＝21(AB ＋AC )＝21(－4－3，－3－5) ＝21(－7，－8)＝(－27，－4)． 又 M ，N 分别是AB ，AC 的中点， ∴ F 是AD 的中点， ∴ DF ＝－FD ＝－21AD ＝－21(－27，－4)＝(47，2)． (第18题)19．证明：设AB ＝a ，AD ＝b ，则AF ＝a ＋21b ，ED ＝b －21a ． ∴ AF ·ED ＝(a ＋21b )·(b －21a )＝21b 2－21a 2＋43a ·b ． 又AB ⊥AD ，且AB ＝AD ，∴ a 2＝b 2，a ·b ＝0． ∴ AF ·ED ＝0，∴AF ⊥ED ．本题也可以建平面直角坐标系后进行证明．20．分析：思路1：2a －b ＝(2cos θ－3，2sin θ＋1)，∴ |2a －b |2＝(2cos θ－3)2＋(2sin θ＋1)2＝8＋4sin θ－43cos θ． 又4sin θ－43cos θ＝8(sin θcos3π－cos θsin 3π)＝8sin (θ－3π)，最大值为8， ∴ |2a －b |2的最大值为16，∴|2a －b |的最大值为4．思路2：将向量2a ，b 平移，使它们的起点与原点重合，则|2a －b |表示2a ，b 终点间的距离．|2a |＝2，所以2a 的终点是以原点为圆心，2为半径的圆上的动点P ，b 的终点是该圆上的一个定点Q ，由圆的知识可知，|PQ |的最大值为直径的长为4．(第19题)。