江西省南昌市2017-2018学年高二下学期期中考试数学(文科)试题Word版含答案

江西省南昌市2017-2018学年高二下学期期中考试

数学（文科）试题

一、选择题

1．已知xfxfxxfx)2()2(lim,1)(0则的值是（ ）

A. 41 B. 41 C. 2 D. －2

2．下面说法正确的是（ ）

A．若0fx不存在，则曲线yfx在点00,xfx处没有切线

B．若曲线yfx在点00,xfx处有切线，则0fx必存在

C．若0fx不存在，则曲线yfx在点00,xfx处的切线斜率不存在

D．若曲线yfx在点00,xfx处没有切线，则0fx有可能存在

3．过抛物线216yx的焦点作直线交抛物线于1122,,,AxyBxy两点，如果126xx，那么AB（ ）

A．8 B．10 C．14 D．16

4．下列求导运算正确的是( )

A．2'31)3(xxx B．2ln1)(log'2xx

C．exx3'log3)3( D．xxxxsin2)cos('2

5．如图所示，函数yfx的图象在点P处的切线方程是5yx，则33ff （ ）

A.12 B．1 C．2 D．0

6．函数3223125fxxxx在0,3上最大值和最小值分别是 （ ）

A．5,-15 B．5,-4 C．-4,-15 D．5,-16

7．过双曲线221169xy左焦点1F的弦AB长为6，则△2ABF（2F为右焦点）的周长是（ ） A．12 B．14 C．22 D．28

8．设双曲线22221yxab（0a，0b）的上、下焦点分别为1F，2F，若在双曲线C的下支上存在一点P，使得12||4||PFPF，则双曲线C的离心率的取值范围为（ ）

A．4[,)3 B．4(1,]3 C．5[,)3 D．5(1,]3

9．已知直线1yx与椭圆222210xyabab相交于,AB两点，若椭圆的离心率为22，焦距为2，则线段AB的长是（

）

A．223 B．423 C．2 D．2

10．椭圆221259xy的焦点为1F、2F，P为椭圆上一点，已知12PFPF，则△12FPF的面积为（

）

A．9 B．12 C．10 D．8

11．已知点P在抛物线24yx上，那么点P到点2,1Q的距离与点P到抛物线焦点距离之和取得最小值时，点P的坐标为（ ）

A．1,2 B．1,2 C．1,14 D．1,14

12．已知fx是函数fx(0xxR且)的导函数，当0x时，0xfxfx，记0.2220.22220.2log5,,20.2log5fffabc，则（ ）

A．abc B．bac C．cab D．cba

二、填空题

13．方程22113xymm表示焦点在y轴上的椭圆，则m的取值范围是 ．

14．已知曲线sincosyaxx在0x处的切线方程为10xy，则实数a的值为 .

15．设函数f (x)在(0,＋∞)内可导，且f (ex)＝x＋ex，则1f＝__________．

16．已知函数2()1fxmxmx，对于任意的1,3x，()5fxm恒成立，则m的取值范围是 ．

三、解答题 17．求适合下列条件的椭圆的标准方程：

（1）两个焦点的坐标分别是0,5，0,5，椭圆上一点P到两焦点的距离之和为26；

（2）焦点在坐标轴上，且经过3,2A和23,1B两点．

18．用长为90cm，宽为48cm的长方形铁皮做一个无盖的容器，先在四角分别截去一个小正方形，然后把四边翻转90°角，再焊接而成（如图），问该容器的高为多少时，容器的容积最大？最大容积是多少？

19．已知曲线1:Cytx经过点2,1P，求：

（1）曲线在点P处的切线的方程；

（2）过点0,0O的曲线C的切线方程．

20．（本小题满分12分）已知椭圆)0(12222babyax上任意一点到两焦点21,FF距离之和为24，离心率为23．

（1）求椭圆的标准方程；

（2）若直线l的斜率为12，直线l与椭圆C交于BA,两点．点)1,2(P为椭圆上一点，求△PAB的面积的最大值．

21．已知函数1()ln(1)1xfxaxx（0x，a为正实数）.

（Ⅰ）若1a，求曲线()yfx在点(1,(1))f处的切线方程；

（Ⅱ）求函数()fx的单调区间；

（Ⅲ）若函数()fx的最小值为1，求a的取值范围.

22．设抛物线的顶点在坐标原点，焦点F在y轴上，过点F的直线交抛物线于,AB两点，线段AB的长度为8， AB的中点到x轴的距离为3.

（1）求抛物线的标准方程；

（2）设直线m在y轴上的截距为6，且抛物线交于,PQ两点，连结QF并延长交抛物线的准线于点R，当直线PR恰与抛物线相切时，求直线m的方程. 江西省南昌市2017-2018学年高二下学期期中考试

数学（文科）试题参考答案

1．B 2．C 3．C 4．B 5．B 6．A 7．D

8．D 9．B 10． A 11．C 12．C

13．（1,2）

14．1 15．2 16．76m 17．（1）221169144yx （2）221155xy

18．当高为10，最大容积为19600．

19．（1）30xy （2）4yx

【解析】（1）将2,1P代入1ytx中得1t，∴11yx.∴1111xxxyxx

11111xxxxxxxx，∴201lim1xyyxx，

∴曲线在点P处切线的斜率为221112xky，

∴曲线在点P处的切线方程为112,yx即30xy.

（2）点0,0O不在曲线C上，设过点O的曲线C的切线与曲线C相切于点00,Mxy，则切线斜率020011ykxx，由于0011yx，∴012x，∴切点为1,22M，切线斜率4k，切线方程为

1242yx，即4yx.考点：导数的几何意义.

20．（1）12822yx，（2）2

【解析】

试题分析：（1）由椭圆定义，椭圆上任意一点到两焦点距离之和为常数a224，得22a，离心率623cace，于是2b，从而可得椭圆的标准方程；（2）设直线l的方程为 mxy21，把其与椭圆的方程联立，求出弦长212214)(411xxxxAB，即为

△PAB的底，由点线距离公式求出△PAB的高52411mmd，然后用基本不等式求最值．

试题解析：（1）由条件得：22223242cbaacea，解得2,6,22bca，所以椭圆的方程为12822yx

（2）设l的方程为mxy21，点),,(),,(2211yxByxA由1282122yxmxy消去y得042222mmxx．

令0168422mm，解得2m，由韦达定理得42,222121mxxmxx．

则由弦长公式得22121211()45(4)4ABxxxxm．又点P到直线l的距离52411mmd，

∴224)4()4(552212122222mmmmmmdABSPAB，

当且仅当22m，即2m时取得最大值．∴△PAB面积的最大值为2．

考点：待定系数法求椭圆的标准方程；韦达定理、弦长公式及利用基本不等式求最值．

21．解：（Ⅰ）当1a时，1()ln(1)1xfxxx，

则212()1(1)fxxx. ………………………………………………… 2分

所以(1)0f.又(1)ln2f，因此所求的切线方程为ln2y. ………… 4分

（Ⅱ）22222()1(1)(1)(1)aaxafxaxxaxx. ………………………… 5分

（1）当20a，即2a时，因为0x，所以()0fx，所以函数()fx在0,上单调递增. ………………………………………………………………… 6分

（2）当20a，即02a时，令()0fx，则220axa（0x），

所以2axa. 因此，当2[0,)axa时，()0fx，当2(,)axa时，()0fx.

所以函数()fx的单调递增区间为2(,)aa，函数()fx的单调递减区间为2[0,)aa. ……………… 10分

（Ⅲ）当2a时，函数()fx在0,上单调递增，则()fx的最小值为(0)1f，满足题意. ………………………………………… 11分

当02a时，由（Ⅱ）知函数()fx的单调递增区间为2(,)aa，函数()fx的单调递减区间为2[0,)aa，则()fx的最小值为2()afa，而(0)1f，不合题意.所以a的取值范围是2,.………

13分

22．（1）24xy; （2）162yx.

【解析】【试题分析】（1）依据题设条件，直接运用抛物线的定义分析求解；（2）依据题设建立直线方程，再与抛物线方程联立，借助坐标之间的关系，建立方程求解：

（1）设所求抛物线方程为211222(0),,,,xpypAxyBxy，

则128ABAFBFyyp，又1232yy，所以2p.即该抛物线的标准方程为24xy.

（2）由题意，直线m的斜率存在，不妨设直线:6mykx， 3344,,,PxyQxy，

由26{4ykxxy消y得24240xkx，即34344{·24xxkxx（*）

抛物线在点233,4xPx处的切线方程为233342xxyxx，令1y，得23342xxx，所以2334,12xRx，