2018版高中数学人教B版必修二学案：2.2.2 第3课时 直线的一般式方程

第3课时 直线的一般式方程

[学习目标] 1.掌握直线的一般式方程.2.了解关于x、y的二元一次方程Ax＋By＋C＝0(A、B不同时为0)都表示直线，且直线方程都可以化为Ax＋By＋C＝0的形式.3.会进行直线方程不同形式的转化.

[知识链接]

1.过点A(x0，y0)分别垂直于x轴，y轴的直线方程为x＝x0，y＝y0.

2.直线的点斜式方程：y－y0＝k(x－x0).

直线的两点式方程：y－y1y2－y1＝x－x1x2－x1(x1≠x2，y1≠y2).

[预习导引]

1.在平面直角坐标系中，对于任何一条直线，都有一个表示这条直线的关于x，y的二元一次方程；任何关于x，y的二元一次方程都表示一条直线.方程Ax＋By＋C＝0(其中A、B不同时为0)叫做直线方程的一般式.

2.对于直线Ax＋By＋C＝0，当B≠0时，其斜率为－AB，在y轴上的截距为－CB；当B＝0时，在x轴上的截距为－CA；当AB≠0时，在两轴上的截距分别为－CA，－CB.

3.直线一般式方程的结构特征

(1)方程是关于x，y的二元一次方程.

(2)方程中等号的左侧自左向右一般按x，y，常数的先后顺序排列.

(3)x的系数一般不为分数和负数.

(4)虽然直线方程的一般式有三个参数，但只需两个独立的条件即可求得直线的方程.

要点一 直线的一般式与其他形式的转化

例1 (1)下列直线中，斜率为－43，且不经过第一象限的是( )

A.3x＋4y＋7＝0 B.4x＋3y＋7＝0

C.4x＋3y－42＝0 D.3x＋4y－42＝0

(2)直线3x－5y＋9＝0在x轴上的截距等于( )

A.3 B.－5

C.95 D.－33

答案 (1)B (2)D

解析 (1)将一般式化为斜截式，斜率为－43的有：B、C两项.

又y＝－43x＋14过点(0,14)即直线过第一象限，

所以只有B项正确.

(2)令y＝0则x＝－33.

规律方法 (1)一般式化为斜截式的步骤：

①移项得By＝－Ax－C；

②当B≠0时，得斜截式：y＝－ABx－CB.

(2)一般式化为截距式的步骤：

方法一：

①把常数项移到方程右边，得Ax＋By＝－C；

②当C≠0时，方程两边同除以－C，得Ax－C＋By－C＝1；

③化为截距式：x－CA＋y－CB＝1.

方法二：

①令x＝0求直线在y轴上的截距b；

②令y＝0求直线在x轴上的截距a；

③代入截距式方程xa＋yb＝1.

由于直线方程的斜截式和截距式是唯一的，而两点式和点斜式不唯一，因此，通常情况下，一般式不化为两点式和点斜式.

跟踪演练1 已知直线l经过点A(－5,6)和点B(－4,8)，求直线l的一般式方程和截距式方程，并画出图形.

解 因为直线l经过点A(－5,6)，B(－4,8)，

所以由两点式，得y－68－6＝x＋5－4＋5，

整理得2x－y＋16＝0，化为截距式得x－8＋y16＝1，

所以直线l的一般式方程为2x－y＋16＝0，截距式方程为x－8＋y16＝1.

图形如图所示：

要点二 直线方程的应用

例2 已知直线l的方程为3x＋4y－12＝0，求满足下列条件的直线l′的方程：

(1)过点(－1,3)，且与l平行；

(2)过点(－1,3)，且与l垂直.

解 方法一 l的方程可化为y＝－34x＋3，

∴l的斜率为－34.

(1)∵l′与l平行，∴l′的斜率为－34.

又∵l′过点(－1,3)，由点斜式知方程为y－3＝－34(x＋1)，

即3x＋4y－9＝0.

(2)∵l′与l垂直，∴l′的斜率为43，又l′过点(－1,3)，

由点斜式可得方程为y－3＝43(x＋1)，

即4x－3y＋13＝0.

方法二 (1)由l′与l平行，可设l′的方程为3x＋4y＋m＝0.将点(－1,3)代入上式得m＝－9.

∴所求直线的方程为3x＋4y－9＝0.

(2)由l′与l垂直，可设l′的方程为4x－3y＋n＝0.

将(－1,3)代入上式得n＝13.

∴所求直线的方程为4x－3y＋13＝0.

规律方法 一般地，直线Ax＋By＋C＝0中系数A、B确定直线的斜率，因此，与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0，与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.这是经常采用的解题技巧.

跟踪演练2 已知A(2,2)和直线l：3x＋4y－20＝0.

求：(1)过点A和直线l平行的直线方程；

(2)过点A和直线l垂直的直线方程.

解 (1)将与直线l平行的方程设为3x＋4y＋C1＝0，

又过点A(2,2)，

所以3×2＋4×2＋C1＝0，所以C1＝－14.

所求直线方程为3x＋4y－14＝0.

(2)将与l垂直的直线方程设为4x－3y＋C2＝0，

又过点A(2,2)，

所以4×2－3×2＋C2＝0，所以C2＝－2，

所以直线方程为4x－3y－2＝0.

要点三 由含参一般式方程求参数的值或取值范围

例3 (1)若方程(m2＋5m＋6)x＋(m2＋3m)y＋1＝0表示一条直线，则实数m满足________.

答案 m≠－3

解析 若方程不能表示直线，则m2＋5m＋6＝0且m2＋3m＝0.

解方程组 m2＋5m＋6＝0，m2＋3m＝0，得m＝－3，

所以m≠－3时，方程表示一条直线.

(2)当实数m为何值时，直线(2m2＋m－3)x＋(m2－m)y＝4m－1.

①倾斜角为45°；②在x轴上的截距为1.

解 ①因为已知直线的倾斜角为45°，

所以此直线的斜率是1，所以－2m2＋m－3m2－m＝1，

所以 m2－m≠0，2m2＋m－3＝－m2－m，

解得 m≠0且m≠1，m＝－1或m＝1.所以m＝－1.

②因为已知直线在x轴上的截距为1，

令y＝0得x＝4m－12m2＋m－3，

所以4m－12m2＋m－3＝1，所以 2m2＋m－3≠0，4m－1＝2m2＋m－3，

解得 m≠1且m≠－32，m＝－12或m＝2.所以m＝－12或m＝2.

规律方法 已知含参的直线的一般式方程求参数的值或范围的步骤

跟踪演练3 已知直线l：kx－y＋1＋2k＝0(k∈R).

(1)证明：直线l过定点；

(2)若直线不经过第四象限，求k的取值范围.

(1)证明 直线l的方程是k(x＋2)＋(1－y)＝0，

令 x＋2＝0，1－y＝0，解得 x＝－2，y＝1，

∴无论k取何值，直线总经过定点(－2,1).

(2)解 由方程知，当k≠0时直线在x轴上的截距为－1＋2kk，在y轴上的截距为1＋2k，要使直线不经过第四象限，则必须有 －1＋2kk≤－2，1＋2k≥1，解之得k>0；

当k＝0时，直线为y＝1，符合题意，故k≥0.

故k的取值范围为{k|k≥0}.

1.若方程Ax＋By＋C＝0表示直线，则A、B应满足的条件为( )

A.A≠0 B.B≠0

C.A·B≠0 D.A2＋B2≠0

答案 D

解析 方程Ax＋By＋C＝0表示直线的条件为A、B不能同时为0，即A2＋B2≠0.

2.已知ab<0，bc<0，则直线ax＋by＝c通过( )

A.第一、二、三象限 B.第一、二、四象限

C.第一、三、四象限 D.第二、三、四象限

答案 C

解析 由ax＋by＝c，得y＝－abx＋cb，

∵ab<0，

∴直线的斜率k＝－ab>0，

直线在y轴上的截距cb<0.

由此可知直线通过第一、三、四象限.

3.在直角坐标系中，直线x＋3y－3＝0的倾斜角是( )

A.30° B.60°

C.150° D.120°

答案 C

解析 直线斜率k＝－33，所以倾斜角为150°，故选C.

4.已知直线(a－2)x＋ay－1＝0与直线2x＋3y＋5＝0平行，则a的值为( )

A.－6 B.6

C.－45 D.45

答案 B

解析 由(a－2)×3－a×2＝0得a＝6，且当a＝6时两直线平行，故选B.

1.根据两直线的一般式方程判定两直线平行的方法

(1)判定斜率是否存在，若存在，化成斜截式后，则k1＝k2且b1≠b2；若都不存在，则还要判定不重合.

(2)可直接采用如下方法：

一般地，设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0.l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0，或A1C2－A2C1≠0.

这种判定方法避开了斜率存在和不存在两种情况的讨论，可以减小因考虑不周而造成失误的可能性.

2.根据两直线的一般式方程判定两直线垂直的方法

(1)若一个斜率为零，另一个不存在，则垂直；若两个都存在斜率，化成斜截式后，则k1k2＝－1.

(2)一般地，设l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0，l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0.

第二种方法可避免讨论，减小失误.