2016-2017学年辽宁省抚顺市高一下学期期末考试数学试题(解析版)
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顺市2016－2017下学期高一期末考试
数学试卷
本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分，满分150分，考试时间为120分钟。
第I卷（60分）
选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
1. 的值是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】根据诱导公式可得，故选C.
2. 一段圆弧的长度等于其圆内接正三角形的边长,则其圆心角的弧度数为( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】如图，
等边三角形是半径为的圆的内接三角形，则线段所对的圆心角，作，垂足为，在 中，，，
∴，，∴，由弧长公式，得．
故选 C.
3. 2014年3月，为了调查教师对第十二届全国人民代表大会第二次会议的了解程度，抚顺市拟采用分层抽样的方法从三所不同的中学抽取60名教师进行调查。已知学校中分别有180、270、90名教师，则从学校中应抽取的人数为（ ） 第页 2 A. 10 B. 12 C. 18 D. 24
【答案】A
【解析】根据分层抽样的特征，从学校中应抽取的人数为，故选A.
点睛：本题主要考查了分层抽样方法及其应用，分层抽样中各层抽取个数依据各层个体数之比来分配，这是分层抽样的最主要的特点，首先各确定分层抽样的个数，分层后，各层的抽取一定要考虑到个体数目，选取不同的抽样方法，但一定要注意按比例抽取，牢记分层抽样的特点和方法是解答的关键，着重考查了学生的分析问题和解答问题的能力．
4. 已知变量与正相关，且由观测数据算得样本平均数，则由该观测的数据算得的线性回归方程可能是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：将逐一代入检验可知答案B满足，故应选B.
考点：线性回归方程及过定点的性质．
5. 某中学高三年级从甲、乙两个班级各选出8名学生参加数学竞赛，他们取得的成绩（满分100分）的茎叶图如图所示，其中甲班学生成绩的平均分是86，乙班学生成绩的中位数是83，则的值为( ）
A. 9 B. 10 C. 11 D. 13
【答案】D
【解析】试题分析：由题意可得,解得;
,解得．．故D正确．
考点：平均数,中位数．
6. 某学校为了解高一年级l203 名学生对某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为40 的样本，考虑用系统抽样，则分段的间隔k为 ( ) 第页 3 A. 40 B. 30.1 C. 30 D. 12
【答案】C
【解析】了解名学生对学校某项教改试验的意见，打算从中抽取一个容量为的样本，∵除以不是整数，∴先随机的去掉个人，再除以，得到每一段有个人，则分段的间隔为，故选C.
7. 阅读如图所示的程序框图，输出结果s 的值为
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】由流程图可知：该程序的功能为计算
，故选A.
8. 从1,2,3,4中任取2个不同的数,则取出的2个数之差的绝对值为2的概率是( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】试题分析：任取两个数可能出现的情况为（1,2）、（1,3）、（1,4）、（2,3）、（2,4）、（3,4）；
符合条件的情况为（1,3）、（2,4），故.
考点：古典概型概率
9. 若|a|＝2sin 15°，|b|＝4cos 15°，向量a与b的夹角为30°，则a·b的值是 （ ） 第页 4 A. B. C. 2 D.
【答案】B
【解析】
10. 已知则的值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】因为，，所以，，
又因为，，所以，，
故，故选B.
11. 已知函数的最大值为3，的图像在轴上的截距为2，其相邻两对称轴间的距离为1，则 （ ）
A. 0 B. 100 C. 150 D. 200
【答案】D
【解析】解：由题意，所以。
12. ∆ABC的外接圆的圆心为O，半径为1，若 ，且 ，则向量 在向量
方向上的射影的数量为（ ）
A. B. C. 3 D.
【答案】A 第页 5 ... ... ... ...
点睛：本题考查向量加法的几何意义，向量投影的计算，得出是以为直角的直角三角形是关键；利用向量加法的几何意义 得出是以为直角的直角三角形．由题意画出图形，借助图形求出向量在向量方向上的投影.
第II卷（非选择题）
二．填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.
13. 已知向量＝(2,1)，＝(x，－2)，若，则=_______.
【答案】(-2，-1)
【解析】由得：，即，则，故答案为.
14. 用秦九韶算法计算f(x)＝x6－12x5＋60x4－160x3＋240x2－192x＋64当x＝2时的值时，的值为_____．
【答案】80
15. 在边长为2的正三角形ABC内任取一点P，则使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率是________． 第页 6 【答案】
【解析】试题分析：以三个顶点为圆心，以1为半径作圆，把三角形分为四部分，中间部分到三个顶点的距离均大于1，三个角部分面积为：，正三角形ABC面积为：，使点P到三个顶点的距离至少有一个小于1的概率为．
考点：几何概型．
【方法点睛】几何概型是一种特殊的概率模型，解决几何概型的求概率问题，关键是要构造出随机事件的几何图形．利用图形的几何度量求随机事件的概率，通常包括与长度有关的几何概型、与角有关的几何概型、面积型几何概型、体积型几何概型等．如何转化为数学模型来求解是一个难点．
16. 三角形ABC是锐角三角形，若角θ终边上一点P的坐标为(sin A－cos B，cos A－sin B)，则＋＋的值是________.
【答案】-1
【解析】因为为锐角三角形，所以，所以，所以，同理，即点位于第四象限，所以＋＋，故答案为.
三．解答题:本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17. 已知角为第三象限角，,若，求的值.
【答案】
【解析】试题分析：利用诱导公式化简可得，同时，故而可得最后结果.
试题解析： ，
，从而 ，
又 为第三象限角，则 ，
即 的值为 .
18. 我国是世界上严重缺水的国家之一，城市缺水问题较为突出.某市为了节约生活用水，计划在本市试行居民生活用水定额管理(即确定一个居民月均用水量标准
0〜3.5，用水量不超过a的部分按照平价收费，超过a的部分按照议价收费).为了较为合理地确定出这个标准，通过抽样获得了 100位居民某年的月均用水量(单位:t)，制作了频率分布直方图. (1)由于某种原因频率分布直方图部分数据丢失，请在图中将其补充完整； 第页 7 (2)用样本估计总体，如果希望80%的居民每月的用水量不超出标准0〜3.5，则月均用水量的最低标准定为多少吨，请说明理由；
(3）从频率分布直方图中估计该100位居民月均用水量的平均数（同一组中的数据用该区间的中点值代表).
【答案】(1)答案见解析；(2)2.5吨，理由见解析；(3) .
【解析】试题分析：(Ⅰ)根据题意确定出用户的，补全频率分布直方图即可；(Ⅱ)月均用水量的最低标准应定为吨，理由为：样本中月均用水量不低于吨的居民有位，占样本总体的，根据样本估计总体作出解释即可；(Ⅲ)找出居民用水量的众数，中位数，求出平均数即可.
试题解析：(Ⅰ)
(Ⅱ)月均用水量的最低标准应定为2.5吨.样本中月均用水量不低于2.5吨的居民有20位，占样本总体的 ，由样本估计总体，要保证80%的居民每月的用水量不超出标准，月均用水量的最低标准应定为2.5吨.
(Ⅲ)这100为居民的月均用水量的平均数为：
.
第页 8
19. 已知以点为圆心的圆与直线相切，过点的动直线与圆相交于两点.
（1）求圆的方程； （2）当时，求直线的方程.
【答案】(1) ；(2) 或 .
【解析】试题分析：（1）利用圆心到直线的距离公式求圆的半径，从而求解圆的方程；（2）根据相交弦长公式，求出圆心到直线的距离，设出直线方程，再根据点到直线的距离公式确定直线方程.
试题解析：（1）；（2）或.
试题解析：（1）由题意知到直线的距离为圆半径
圆的方程为
（2）设线段的中点为，连结，则由垂径定理可知，且，在中由勾股定理易知
当动直线的斜率不存在时，直线的方程为时，显然满足题意；..
当动直线的斜率存在时，设动直线的方程为：
由到动直线的距离为1得
或为所求方程.
点睛：本题考查圆的标准方程及直线与圆的相交弦长问题，考查学生分析解决问题的能力，属于中档题；当直线与圆相交时，弦长的一半，圆心到直线的距离以及圆的半径构成直角三角形，利用勾股定理得参数，当所求直线只有一个结果时，一定要注意斜率不存在的情形.
20. 一个包装箱内有6件产品，其中4件正品，2件次品。现随机抽出两件产品，
求恰好有一件次品的概率。（2）求都是正品的概率。 第页 9 【答案】(1) ；(2) .
【解析】试题分析：（1）所有的取法共有种，而恰好有一件次品的取法有种，由此求得恰好有一件次品的概率；（2）所有的取法共有种，而取出的件产品都是正品的取法有种，由此求得取出的件产品都是正品的概率.
试题解析：将六件产品编号，ABCD(正品),ef（次品）,从6件产品中选2件，其包含的基本事件为：（AB）（AC）（AD）（Ae）（Af）（BC）（BD）（Be）（Bf）（CD）（Ce）（Cf）（De）（Df）（ef）.共有15种，
（1）设恰好有一件次品为事件A，事件A中基本事件数为：8，则P（A）＝
（2）设都是正品为事件B，事件B中基本事件数为：6，则P（B）＝
21. 已知向量，记函数.求：
（I）函数的最小值及取得最小值时的集合；
（II）函数的单调递增区间.
【答案】(Ⅰ) 时最小值 ；(Ⅱ) 。
【解析】试题分析：（1）根据平面向量的坐标运算得，再结合二倍角的余弦公式和辅助角公式化简，得到，最后根据正弦函数最值的结论，可得f（x）的最小值及取最小值时x的集合；（2）根据（1）化简得的表达式，列出不等式（k∈Z），解此不等式再将它变成区间，即可得到函数f （x）的单调递增区间
试题解析：（Ⅰ）由题意：，
所以，
因此，
当，即 时,取得最小值.
此时，最小值=
（Ⅱ）由题意：
