全国名校中考复习数学综合练习题(含答案)

【刷题】初中数学（全国通用）中考专项复习（图形的性质）试题题库05（50题含解析）一、填空题1．（2020·温岭模拟）七巧板是我国祖先的一项卓越创造，被誉为“东方魔板”．由边长为4 √2的正方形ABCD可以制作一副如图1所示的七巧板，现将这副七巧板在正方形EFGH内拼成如图2所示的“拼搏兔”造型（其中点Q、R分别与图2中的点E、G重合，点P在边EH上），则“拼搏兔”所在正方形EFGH的边长是 ．2．（2023·东洲模拟）有4根细木棒，长度分别为2cm、3cm、4cm、5cm，从中任选3根，恰好能搭成一个三角形的概率是 ．3．（2017·阜宁模拟）如图是一个正方体展开图，把展开图折叠成正方体后，“我”字一面相对面上的字是 ．4．（2023·徐汇模拟）如图，已知⊙O的内接正方形ABCD，点F是´CD的中点，AF与边DC交于点E，那么EFAE=¿ ．5．（2023·徐汇模拟）如图，在直角坐标系中，已知点A(8，0)、点B(0，6)，⊙A的半径为5，点C是⊙A上的动点，点P是线段BC的中点，那么OP长的取值范围是 ．6．（2023·松江模拟）一个多边形的每一个外角都是72°，则这个多边形是正 边形．7．（2023·松江模拟）已知相交两圆的半径长分别为R和r，如果两圆的圆心距为6，且R=2r，试写出一个符合条件的r的值： ．8．（2023·天河模拟）如图，Rt△ABC中，AB=AC=3，点O在AC上，且AO=1，D为BC上任意一点，若将AD绕A点逆时针旋转90°得到AE，连接OE，则在D点运动过程中，线段OE的最小值为．9．（2022·周村模拟）借助如图所示的“三等分角仪”等三等分某些度数的角，这个“三等分角仪”由两根有槽的棒OA，OB组成，两根棒在O点相连并可绕O转动，C点固定，OC=CD=DE，点D，E可在槽中滑动．若∠BDE=75°，则∠CDE=¿ °．10．（2022·阳泉模拟）如图，含30°角的直角三角板的直角顶点C落在直尺下边沿上，60°角的顶点A落在直尺上边沿，直角边CD与直尺上边沿交于点B．若∠1＝33°，则∠2＝ ．11．（2022·大理模拟）在平行四边形ABCD中，AB=8，AE平分∠BAD交BC于点E，DF平分∠ADC交BC于点F，且EF=2，则AD的长为 ．12．（2022·大理模拟）如图，直线a∥b，且直线a，b被直线c所截，若∠1=30°，则∠2=¿ °．13．（2022·玉溪模拟）如图，已知AB∥CD，若∠1=37°40′，则∠D的度数为 ．14．如图，已知⊙O的半径为5cm，弦AB长为8cm，则此弦中点E到这条弦所对弧的中点F的距离是 cm.15．如图，设定点A（1，﹣ √3 ），点P是二次函数 y=12（x+5）2+√3 图象上的动点，将点P绕着点A顺时针旋转60°，得到一个新的点P′.已知点B（2，0）、C（3，0）.（1）若点P为（-5，√3），求旋转后得到的点P′的坐标为 .（2）求△BCP′的面积最小值为 .二、选择题16．（2019九下·邓州模拟）如图是正方体的表面展开图，则与“前”字相对的字是（ ）A．认B．真C．复D．习17．（2018·南湖模拟）如图，已知E，F分别为正方形ABCD的边AB，BC的中点，AF与DE交于点M，O为BD的中点，则下列结论：①∠AME=90°；②∠BAF=EDB∠；③∠BMO=90°；④MD=2AM=4EM；⑤AM= 23 MF.其中正确结论的是（ ）A．①③④B．②④⑤C．①③④⑤D．①③⑤18．（2019·松桃模拟）已知菱形的边长和一条对角线的长均为2cm，则菱形的面积为（ ） A．3cm2B．4cm2C．√3cm2D．2 √3 cm2 19．（2020·莲湖模拟）如图，在半径为 √13 的 ⊙O 中，弦 AB 与 CD 交于点E，∠DEB=75° ， AB=6，AE=1 ，则CD的长是（ ）A．2√6B．2√10C．2√11D．4√3 20．（2021·惠山模拟）如图，⊙O是△ABC的外接圆，∠A＝50°，则∠BOC的度数为（ ）A．40°B．50°C．80°D．100°21．（2021·苏州模拟）若顺次连接四边形ABCD各边的中点所得四边形是菱形，则四边形ABCD一定是（ ）A．菱形B．对角线互相垂直的四边形C．矩形D．对角线相等的四边形22．（2023·徐汇模拟）如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD=3，BC=9，AB=6，CD=4，分别以AB、CD为直径作圆，这两圆的位置关系是（ ）A．内切B．外切C．相交D．外离23．（2023·松江模拟）如图，点G是△ABC的重心，四边形AEGD与△ABC面积的比值是（ ）A．12B．13C．14D．2524．（2023·石家庄模拟）阅读下面的材料：甲、乙两人后续证明的部分思路如下：甲：如图1，先证明△ADE≌△CFE，再推理得出四边形DBCF是平行四边形．乙：如图2，连接DC，AF．先后证明四边形ADCF，DBCF分别是平行四边形．下列判断正确的是（ ）A．甲思路正确，乙思路不符合题意B．甲思路错误，乙思路正确C．甲、乙两人思路都正确D．甲、乙两人思路都错误25．（2023·高明模拟）如图，以点A为圆心，任意长为半径画弧，分别交AB，AC于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于12MN的长为半径画弧，两弧交于点P，连接AP并延长交BC于点D，若AB=AC=10，AD=8，则BC的长度为（ ）A ．6B ．8C ．12D ．1626．（2023·东莞模拟）如图所示，正方形ABCD 中，对角线AC 、BD 相交于点O ，AE 平分∠BAC ，分别交BC 、BD 于E 、F ，下列结论：①△ABF ACE ∽△；②BD=AD+BE ；③BE CE =23；④若△ABF 的面积为1，则正方形ABCD 的面积为3+2√2．其中正确的结论的个数是（ ）A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个27．（2023·安徽模拟）如图，在Rt △ABC 中，CE 、CD 分别为斜边AB 上的中线、高线，若AB =10，sin B =35，则下列结论错误的是（ ）A ．∠B =∠BCEB ．S △CDE =8425C ．AD ：DE ：BE =18：7：25D ．BC 2−A C 2≠2DE ⋅AB28．（2023·黄山模拟）在⊙O 中，P 为其内一点，过点P 的最长的弦为8cm ，最短的弦长为4cm ，则OP 为．（ ）A ．2√3cmB ．√3cmC ．3cmD ．2cm29．（2023·合肥模拟）如图，点P 是⊙O 外的一点，PA 、PC 是⊙O 的切线，切点分别为A ，C ，AB是⊙O的直径，连接BC，PO，PO交弦AC于点D．下列结论中错误的是（ ）A．PO∥BCB．PD=2ODC．若∠ABC=2∠CPO，则△PAC是等边三角形D．若△PAC是等边三角形，则∠ABC=2∠CPO30．（2022·石景山模拟）如图是某个几何体的展开图，该几何体是（ ）A．长方体B．正方体C．三棱柱D．圆柱31．（2022·丽江模拟）如图，AB CD，∠GFD＝32°，EG＝EF，则∠EFG的度数等于（ ）A．64°B．32°C．62°D．96°32．（2022·沈阳模拟）如图，AB是⊙O的切线，切点为点A，连接OB交⊙O于点C，过点A作AD∥OB交⊙O于点D，连接CD，若∠B=32°，则∠OCD的度数为（ ）A．32°B．29°C．28°D．26°∥，两个直角三角板如图摆放，若∠CBD＝10°，则∠1＝（ ）33．（2023·长丰模拟）直线BD EFA．75°B．80°C．85°D．95°∥，则∠1的度数是（ ）34．（2022·庆云模拟）一副三角板按如图所示的位置摆放，若BC DEA．65°B．70°C．75°D．80°35．如图，在等边三角形ABC中，AB=8，点P是BC边上的动点，点P关于直线AB、AC的对称点分别为M、N，作 MD⊥BC ，垂足为D，作 NE⊥BC ，垂足为E，则DE的长为（ ）A．10B．8√3C．11D．1236．将一直角三角尺与两边平行的纸条按如图所示放置，下列结论：①∠1=2∠；②∠3=4∠；③∠2+4=90°∠；④∠4+5=180°.∠正确的个数是（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4三、综合题37．（2020·晋中模拟）如图，在四边形ABCD 中，对角线AC 、BD 交于点O ，AB ∥DC ，AB ＝BC ，BD 平分∠ABC ，过点C 作CE ⊥AB 交AB 的延长线于点E ，连接OE ．（1）求证：四边形ABCD 是菱形；（2）若AB ＝2 √5 ，BD ＝4，求OE 的长．38．（2023·徐汇模拟）已知：如图1，四边形ABCD 中，AB =AD =CD ，∠B =∠C <90°．（1）求证：四边形ABCD 是等腰梯形；（2）边CD 的垂直平分线EF 交CD 于点E ，交对角线AC 于点P ，交射线AB 于点F ．①当AF =AP 时，设AD 长为x ，试用x 表示AC 的长；②当BF =DE 时，求AD BC的值．39．（2023·徐汇模拟）小明家的花洒的实景图及其侧面示意图分别如图1、图2所示，花洒安装在离地面高度160厘米的A 处，花洒AD 的长度为20厘米．（1）已知花洒与墙面所成的角∠BAD =120°，求当花洒喷射出的水流CD 与花洒AD 成90°的角时，水流喷射到地面的位置点C 与墙面的距离．（结果保留根号）（2）某店铺代理销售这种花洒，上个月的销售额为2400元，这个月由于店铺举行促销活动，每个花洒的价格比上个月便宜20元，因此比上个月多卖出8个的同时销售额也上涨了400元，求这个此款花洒的原价是多少元？40．（2023·徐汇模拟）如图，已知⊙O 是△ABC 的外接圆，连接AO 并延长交边BC 于点D ，连接OC ，且D C 2=OD ⋅AD ．（1）求证：AC =BC ；（2）当AB =AD 时，过点A 作边BC 的平行线，交⊙O 于点E ，连接OE 交AC 于点F ．请画出相应的图形，并证明：AD ⋅AE =BC ⋅EF ．41．（2023·徐汇模拟）如图，AD 、AE 分别是△ABC 边BC 上的高和中线，已知BC =8，tan B =13，∠C =45°．（1）求AD 的长；（2）求sin ∠BAE 的值．42．（2023·庐江模拟）（1）如图1，过等边△ABC的顶点A作AC的垂线l，点P为l上点（不与点A重合），连接CP，将线段CP绕点C逆时针方向旋转60°得到线段CQ，连接QB．①求证：AP=BQ；②连接PB并延长交直线CQ于点D．若PD⊥CQ，AC=√2，求PB的长；（2）如图2，在△ABC中，∠ACB=45°，将边AB绕点A顺时针旋转90°得到线段AD，连接CD，若AC=1，BC=3，求CD长．43．（2023·大庆模拟）如图，已知一次函数y1=32x−3的图象与反比例函数y2=kx第一象限内的图象相交于点A(4，n)，与x轴相交于点B．（1）求n和k的值；（2）如图，以AB为边作菱形ABCD，使点C在x轴正半轴上，点D在第一象限，双曲线交CD 于点E，连接AE、BE，求S△ABE．44．（2023·庐江模拟）如图，AB是⊙O的直径，C是´BD的中点，CE⊥AB于点E，BD交CE于点F．（1）求证：CF=BF；（2）若BE=OE=2，求弧AD的长度．45．（2022·遂川模拟）（1）计算：¿；（2）如图，已知AB=AC=AD，且AD∥BC．求证：∠C=2∠D．46．如图，直线 y=k1x+b 与反比例函数 y=k2x的图象交于A (1，6)，B (a，3)两点.（1）求 k1 、 k2 的值？（2）直接写出 k1x+b−k2x>0 时x的取值范围？（3）如图，等腰梯形OBCD中，BC//OD，OB=CD，OD边在x轴上，过点C作CE OD⊥于点E，CE和反比例函数的图象交于点P，当梯形OBCD的面积为12时，请判断PC和PE的大小关系，并说明理由.47．如图所示，已知A、B两点坐标分别为（30，0）和（0，30），动点P从A点开始在折线AO—OB—BA上以每秒3个长度单位的速度运动，动直线EF从x轴开始以每秒1个长度单位的速度向上平行移动（即EF x ∥轴），并且分别与y 轴、直线AB 交于E 、F 点.连结FP ，设动点P 与动直线EF 同时出发，运动时间为t 秒.当直线EF 经过点B 时，点P 与直线EF 停止运动.（1）连接PE ，t 为何值时，四边形APEF 为平行四边形？（2）t 为何值时，直线EF 经过点P ？（3）设经过点F 的反比例函数为 y =k x，与AB 的另一个交点为G ；①当t 为何值时，k 有最大值，最大值为多少？②请探索从直线EF 第一次经过点P 起，顺次连接PEGF 所得多边形的面积S 是否存在最大值，若有请求出最大值及相应t 的值，并简要说明理由；若不存在，请说明理由.48．如图，若△ABC 内一点P 满足∠PAC ＝∠PBA ＝∠PCB ，则点P 为△ABC 的布洛卡点.（1）如图，在Rt ABC △中，∠ACB ＝90°，AC=BC ，P 为△ABC 的布洛卡点，且满足∠PAC ＝∠PBA ＝∠PCB.①求∠APB 的度数；②若AC= √10 ，求线段CP 的长.（2）在等腰三角形ABC 中，AD BC ⊥交BC 边于点D ， AB AD = 54，P 为△ABC 的布洛卡点，求P A PC的值. 49．如图，在平面直角坐标系中，抛物线L ：y =a x 2+bx +3(a≠0)与x 轴交于点A(−1，0)，B(3，0)，与y轴交于点C.（1）求抛物线L的解析式；（2）已知第一象限内抛物线上一点P，其纵坐标为3，连接BC.将原抛物线L沿射线BC方向平移3√2个单位，得到新的抛物线，点P的对应点为点D，点E为的对称轴上任意一点，在上确定一点F，使得以点C，D，E，F为顶点的四边形是平行四边形，求出所有符合条件的点F的坐标. 50．如图，四边形ABCD内接于⊙O，AD为直径，点C作CE⊥AB于点E，连接AC.（1）求证：∠CAD=∠ECB：（2）若⊙O的半径为5，CE是⊙O的切线，AE=6.4，求EC的长.答案解析部分1．【答案】4 √5【解析】【解答】解：如图2中，连接EG，作GM EN⊥交EN的延长线于M．在Rt EMG△中，∵GM＝4，EM＝2+2+4+4＝12，∴EG＝ √E M2+G M2 ＝ √122+42 ＝4 √10，∴EH EG√2 4 √5，故答案为：4 √5．【分析】连接EG，作GM EN⊥交EN的延长线于M，在Rt EMG△中，利用勾股定理算出EG，进而根据正方形的性质及等腰直角三角形的性质即可得出EH的长.2．【答案】3 4【解析】【解答】解：根据题意，从有4根细木棒中任取3根，有2、3、4；3、4、5；2、3、5；2、4、5，共4种取法，而能搭成一个三角形的有2、3、4；3、4、5；2，4，5三种；故其概率为：3 4．【分析】根据题意，用列举法列举出从有4根细木棒中任取3根所有的取法，从而得出所有等可能的结果共有4中，其中根据三角形三边的关系得出能搭成三角形的共有3种，根据概率公式即可得出答案。

中考数学真题《计算综合》专项测试卷(附答案)学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________1．（2024·北京海淀·二模）计算：020242sin 45|3|8-︒+-【答案】42【分析】本题主要考查实数的混合运算 掌握零次幂 特殊角的三角函数值的计算 二次根式的性质化简 绝对值的性质化简等知识是解题的关键．【详解】解：020242sin 4538-︒+-21232=-++42=2．（2024·北京海淀·二模）解不等式组：532342(1)x x x x +⎧<⎪⎨⎪->+⎩【答案】6x >【分析】本题考查了解一元一次不等式组 熟练掌握不等式组的解法是解题关键． 先分别求出两个不等式的解集 再找出它们的公共部分 即为不等式组的解集． 【详解】解：由532x x +< 解不等式可得1x > 由342(1)x x ->+解不等式可得6x >综上可得 不等式组的解集为6x >．3．（2024·北京海淀·二模）已知2230m n --= 求代数式2()2()m n n m n +-+的值．【答案】3【分析】本题主要考查了已知式子的值求代数式的值 根据2230m n --=可得出223m n -= 代数式2()2()m n n m n +-+提因式得到()()2m n m n n ++- 再用平方差公式即可得出22m n - 即可得到答案．【详解】解：2230m n --= 即223m n -= 2()2()m n n m n +-+()()2m n m n n =++- ()()m n m n =+-22m n =-3=4．（2024·北京东城·()13112tan6022-⎛⎫+--- ⎪⎭︒⎝．36【分析】本题考查了实数的混合运算 利用二次根式的性质 特殊角的三角函数值 负整数指数幂 乘方的意义进行化简 再计算加减即可 掌握运算法则是解此题的关键．()13112tan6022-⎛⎫+--- ⎪⎭︒⎝()()23328=---36=．5．（2024·北京东城·二模）解不等式组：()2154,611.3x x x x ⎧+<-⎪⎨+≥-⎪⎩【答案】2x >【分析】本题主要考查解一元一次不等式组 根据不等式的性质求出不等式的解集 根据找不等式组解集的规律找出不等式组的解集即可．【详解】解：()21546113x x x x ⎧+<-⎪⎨+≥-⎪⎩①② 解不等式① 得 2x > 解不等式① 得 43x ≥-所以 不等式组的解集为：2x >6．（2024·北京朝阳·二模）计算：113tan3027233-⎛⎫︒+- ⎪⎝⎭【答案】3【分析】本题考查特殊角的三角函数值 负整数指数幂 二次根式化简以及去绝对值 正确计算是解答本题的关键．先计算特殊角的三角函数值 负整数指数幂 化简二次根式以及去绝对值 再计算加减即可．【详解】解：113tan3027233-⎛⎫︒+- ⎪⎝⎭333333=+-333323=-3=．7．（2024·北京朝阳·二模）解不等式345(2)x x +<+ 并写出它的所有负整数解．【答案】不等式的解集是3x >- 其中所有负整数解为2- 1-【分析】此题考查一元一次不等式的整数解 解题关键在于掌握运算法则． 先解出不等式的解集 再求其负整数解． 【详解】解：34510x x +<+． 移项得 35104x x -<-． 合并同类项得 26x -<． 系数化为1得 3x >-．所以原不等式的所有负整数解为2- 1-．8．（2024·北京门头沟·()213220212sin 602π-⎛⎫-+++ ⎪⎝⎭°．【答案】5【分析】本题考查了含特殊角的三角函数值的实数的混合运算 根据相应的运算法则计算即可．()213220212sin 602π-⎛⎫-++︒+ ⎪⎝⎭23134=5=．9．（2024·北京门头沟·二模）解分式方程26111x x x -=+-【答案】5x =-【分析】本题考查了解分式方程 正确掌握解分式方程的法则及步骤是解题的关键．将分式方程去分母化为整式方程 解整式方程求出解并检验即可． 【详解】解：26111x x x -=+- 方程两边乘以(1)(1)x x +-得：(1)6(1)(1)--=+-x x x x 去括号：2261x x x --=- 移项：2216x x x --=-+ 合并同类项：5x -= 系数化1：5x =-．经检验：5x =-是原方程的解． ∴原方程的解是5x =-．10．（2024·北京门头沟·二模）已知：0x y -= 求()2222x yx y x xy y -⋅+++的值．【答案】2x y x y -+ 12- 【分析】本题考查分式化简求值问题 先通分 计算括号里的 再除法转化成乘法 计算括号外的 最后把x y =的值代入计算即可．【详解】解：()2222x yx y x xy y -⋅+++()()22x yx y x y -=⋅++2x yx y-=+ ①0x y -= ①x y = ①原式212x x x x -==-+． 11．（2024·北京昌平·1182sin 45122-⎛⎫-︒+ ⎪⎝⎭.【答案】2+1【分析】本题考查了二次根式 绝对值 负指数幂 特殊角的三角函数值的运算 熟悉运算法则是解题的关键．根据二次根式 绝对值 负指数幂 特殊角的三角函数值的运算 化简计算即可．【详解】解：原式222221=- 222221=221=．12．（2024·北京昌平·二模）解不等式组：38312x x x x -≥⎧⎪⎨->⎪⎩①②．【答案】4x ≥【分析】本题考查解一元一次不等式组．先解出每个不等式的解集 即可得到不等式组的解集．【详解】解：38312x x x x -≥⎧⎪⎨->⎪⎩①②．解不等式①得 4x ≥ 解不等式①得 1x >所以这个不等式的解集为4x ≥．13．（2024·北京昌平·二模）已知220x x +-= 求代数式212111x x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭的值．【答案】1【分析】本题考查的是分数的混合运算．将212111x x ⎛⎫+÷ ⎪--⎝⎭化简为22x x+ 再整体代入 求值． 【详解】解：原式211211x x x +-=÷--(1)(1)12x x x x +-=⋅-22x x += 220x x +-= 22x x ∴+=∴原式1=.14．（2024·北京顺义·二模）计算：13tan 302|1|12.︒--+-【答案】132【分析】本题考查实数的运算 熟练掌握特殊角的三角函数值 负整指数幂的运算法则是解题的关键．先把特殊角的三角函数值代入 并运用负整指数幂的运算法则计算和求绝对值 化简二次根式 再计算乘法 最后计算加减即可．【详解】解：13tan302112--+-3131232=+-13231232=+-132=15．（2024·北京顺义·二模）解不等式：2123x x -≥ 并求它的正整数解．【答案】2x ≤ 正整数解是2 1．【分析】此题考查了一元一次不等式的整数解 正确解不等式 求出解集是解答本题的关键 解不等式的基本步骤：去分母 去括号 移项 合并同类项 系数化为1 解不等式应根据不等式的基本性质．首先解不等式 然后确定不等式的解集中的正整数值即可． 【详解】解：342x x ≥-2x -≥-2x ≤正整数解是2 1．16．（2024·北京房山·二模）计算：()0π34sin60212--+-︒【答案】3【分析】本题主要考查了特殊角三角函数值和实数的混合运算 熟练掌握运算法则和特殊角三角函数值是解答本题的关键．先求出特殊角的三角函数值 幂的运算并对绝对值 二次根式化简 再进行计算即可．【详解】()0π34sin60212--+-︒31423=-++3=．17．（2024·北京房山·二模）解不等式组：12822x x x x +⎧<⎪⎨⎪->+⎩．【答案】1x <【分析】本题考查了解一元一次不等式组 熟练掌握知识点是解题的关键． 先解每一个一元一次不等式 再取解集的公共部分即可．【详解】解：原不等式组为12822x x x x +⎧<⎪⎨⎪->+⎩①② 解不等式① 得1x < 解不等式① 得2x < ∴原不等式组的解集为1x <．18．（2024·北京房山·二模）已知2210x x +-= 求代数式()()223x x x ++-的值．【答案】5【分析】本题考查了代数式求值 完全平方公式 整式的乘法 解决本题的关键是利用整体的思想求解．先将代数式展开得到224x x ++ 再将2210x x +-=化简为221x x += 整体代入求值即可． 【详解】解：()()223x x x ++- 22443x x x x =+++-224x x =++．2210x x +-= 221x x ∴+=∴原式2245x x =++=．19．（2024·北京·二模）计算：0(π2024)4sin 60512-+︒+-【答案】6【分析】本题考查实数的运算 熟练掌握相关运算法则是解题的关键．利用特殊锐角三角函数值 二次根式的性质 零整数指数幂 绝对值的性质计算即可 【详解】解：0(π2024)4sin 60512-+︒+-314523=+-6=．20．（2024·北京·二模）解不等式组：2123x x x x -≤⎧⎪⎨+>⎪⎩【答案】31-<≤x【分析】本题考查的是解一元一次不等式组 熟知“同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．分别求出每一个不等式的解集 根据口诀：同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小无解了确定不等式组的解集．【详解】解：原不等式组为2123x x x x -≤⎧⎪⎨+>⎪⎩①②解不等式① 得1x ≤ 解不等式① 得3x >-①原不等式组的解集为31-<≤x ．21．（2024·北京·二模）已知340m n +-= 求代数式2226+69m nm mn n ++的值．【答案】12【分析】本题考查了分式的化简求值 熟练掌握因式分解是解题的关键．先算对分子分母进行因式分解 再约分 然后根据340m n +-=可以得到34m n +=然后代入化简后的式子即可． 【详解】解：2226+69m nm mn n ++22(3)(3)m n m n +=+23m n=+． ①340m n +-= ①34m n +=①原式21 42==．22．（2024·北京大兴·311232sin602-⎛⎫+--︒⎪⎝⎭．35【分析】本题考查了实数的运算分别根据二次根式化简负整数指数幂的运算法则化简绝对值特殊角的三角函数值计算出各数再进行合并计算即可熟知二次根式化简负整数指数幂的运算法则化简绝对值特殊角的三角函数值是解题的关键．【详解】解：原式3 3832=+-353 =35=．23．（2024·北京大兴·二模）解不等式组：()213 412x xxx⎧-<+⎪⎨+>⎪⎩【答案】152x -<<【分析】本题考查解一元一次不等式组 分别解出每个不等式的解集 然后确定不等式组的解集 熟练掌握不等式组的解法是解题的关键． 【详解】解：()213412x x x x ⎧-<+⎪⎨+>⎪⎩①② 解不等式① 得5x < 解不等式① 得12x >-①原不等式组的解集为：152x -<<．24．（2024·北京大兴·二模）已知50x y --= 求代数式2222x y x yy x x ⎛⎫+--÷ ⎪⎝⎭的值．【答案】10【分析】本题考查分式的化简求值 熟练掌握分式的混合运算法则是解题关键．先根据分式减法法则计算括号内的式子 再根据分式除法法则化简得出最简结果 把50x y --=变形后整体代入即可得答案．【详解】解：2222x y x yy x x ⎛⎫+--÷ ⎪⎝⎭ 2222x y xy xx x x y ⎛⎫+=-⋅⎪-⎝⎭ 2222x y xy x x x y⎛⎫+-=⋅⎪-⎝⎭()22x y xxx y-=⋅- ()2x y =-．①50x y --= ①5x y -=①原式()2=10x y =-．25．（2024·北京石景山·()0276tan3012024︒--+．3【分析】本题主要考查了实数的运算 求特殊角三角函数值 27=33 3tan 30︒=11-= 02024=1 再计算即可.【详解】解：原式333611=+ 333=326．（2024·北京石景山·二模）解不等式组：3452924x x xx -<+⎧⎪⎨-<⎪⎩【答案】31x -<<【分析】本题考查的是解一元一次不等式组 分别求出各不等式的解集 再求出其公共解集即可．熟知“同大取大 同小取小 大小小大中间找 大大小小找不到”的原则是解答此题的关键．【详解】解：原不等式组为3452924x x xx -<+⎧⎪⎨-<⎪⎩①② 解不等式① 得3x >-． 解不等式① 得1x <．∴原不等式组的解集为31x -<<．27．（2024·北京丰台·． 【答案】解：原式=22+3-2-2×22=22+3-2-2=2+1． 28．（2024·北京丰台·二模）解不等式组：【答案】解：解不等式① 得2<x解不等式① 得21->x∴不等式组的解集为221<<-x ．29．（2024·北京丰台·二模）已知22360a a --= 求代数式(12)(12)3(12)a a a a +---的值． 【答案】解：原式=221436a a a --+=2123a a +-．①22360a a --= ①2236a a -=．①原式=16+=7．30．（2024·北京西城·二模）计算：4cos45°−√18+|−√2|−(π+3)0．118|3|2sin 452（）°-+---22345，．x x x x +⎧<⎪⎨⎪-<+⎩【答案】31．（2024·北京西城·二模）解不等式组{3x−2＜x+4x≥2x−35并写出它的所有整数解．【答案】32．（2024·北京西城·二模）已知x2+x﹣3＝0 求代数式(1+3x−1)⋅3x2+4x+4的值．【答案】33．（2024•顺义区二模）如果1m n+=那么代数式22(1)m m nm n n--⋅-的值为()A．1-B．1C．2-D．2【答案】A【考点】分式的化简求值【分析】将所求式子化简然后将m n+的值代入计算即可．【解答】解：1m n +=∴22(1)m m n m n n--⋅- ()()m n m m n m n m n n--+-=⋅-()()n m n m n m n n-+-=⋅- ()m n =-+1=-故选：A ．34．（2024•朝阳区二模）已知2220x x +-=，则代数式22(1)(1)(1)2x x x x +++-+的值为( ) A ．4B ．2C ．1D ．0【答案】A【考点】整式的混合运算—化简求值【分析】先根据完全平方公式和平方差公式进行计算 再合并同类项 求出222x x += 最后代入求出答案即可．【解答】解：22(1)(1)(1)2x x x x +++-+ 2222112x x x x =+++-+ 242x x =+ 2220x x +-= 222x x ∴+=∴原式22(2)224x x =+=⨯=．故选：A ．35．（2024•东城区二模）在下列各式中 从左到右计算结果正确的是( ) A 862B ．22(1)1x x -=- C 2(2)2--D ．12111x x x -+=++ 【答案】D【考点】二次根式的加减法 完全平方公式 二次根式的性质与化简 分式的加减法【分析】直接利用二次根式的加减运算法则 完全平方公式 二次根式的性质 分式的加减运算法则分别化简 进而得出答案．【解答】解：A 86 故此选项不合题意B ．22(1)21x x x -=-+ 故此选项不合题意C 2(2)2- 故此选项不合题意D ．12111x x x -+=++ 故此选项符合题意． 故选：D ．36．（2024•石景山区二模）若2310x x -+=，则代数式(2)(2)(6)x x x x +-+-的值为 ．【答案】6-．【考点】整式的混合运算—化简求值【分析】先根据平方差公式和单项式乘多项式法则进行计算 再合并同类项 求出231x x -=- 最后代入求出答案即可．【解答】解：(2)(2)(6)x x x x +-+- 2246x x x =-+- 2264x x =-- 2310x x -+= 231x x ∴-=-∴原式22(3)42(1)4246x x =--=⨯--=--=-．故答案为：6-．37．（2024•东城区二模）若250m m +-=，则代数式22111()10m m m m--÷的值为 ．【答案】2．【考点】分式的化简求值【分析】先利用异分母分式加减法法则计算括号里 再算括号外 然后把25m m +=代入化简后的式子进行计算即可解答．【解答】解：22111()10m m m m--÷第 21 页 共 21 页 2110(1)(1)m m m m m -=⋅+- 10(1)m m =+ 210m m=+ 250m m +-= 25m m ∴+= ∴当25m m +=时 原式1025== 故答案为：2．。

【刷题】初中数学（全国通用）中考专项复习（数与式）试题题库03（50题含解析）一、填空题1．（2021·苏州模拟）8的立方根是．2．（2023·苏州模拟）因式分解=．3．（2019·浙江模拟）=．4．（2021·凤山模拟）的倒数是.5．的平方根是．6．（2023·杨浦模拟）《孙子算经》中记载：“凡大数之法，万万曰亿，万万亿曰兆．”说明了大数之间的关系：1亿＝1万×1万，1兆＝1万×1万×1亿，那么2兆＝．（用科学记数法表示）7．（2022·旌阳模拟）已知a，b，c是△ABC的三边的长，且满足2a2+b2+c2-2a（b+c）=0，则△ABC 的形状为三角形.8．（2022·陕西模拟）“数学是将科学现象升华到科学本质认识的重要工具”，比如在化学中，甲烷的化学式是，乙烷的化学式是，丙烷的化学式是，设碳原子的数目为为正整数n（n为正整数），则它们的化学式都可用式子来表示．9．（2022·新都模拟）估算：若，且，为连续的正整数，则，．10．（2022·广元模拟）如图，直线过正方形的顶点，点到直线的距离分别是和，且满足：，则正方形的面积是．11．（2022·陕西模拟）计算的结果是．12．（2021·福建模拟）.13．（2021·闵行模拟）对于任意三角形，如果存在一个菱形，使得这个菱形的一条边与三角形的一条边重合，且三角形的这条边所对的顶点在菱形的这条边的对边上，那么称这个菱形为该三角形的“最优覆盖菱形”．问题：如图，在中，，，且的面积为m，如果存在“最优覆盖菱形”为菱形，那么m的取值范围是．14．（2021·闵行模拟）的倒数是．二、选择题15．（2020·武威模拟）中国是一个干旱缺水严重的国家，淡水资源总量约为28000亿立方米，约占全球水资源的6%．将28000用科学记数法表示为（）A．28×103B．2.8×104C．2.8×105D．0.28×106 16．（2020·新乡模拟）根据国家气象局统计，全球平均每年发生雷电次数约为16000000次，将16000000用科学记数法表示为（）A．1.6×108B．1.6×107C．16×106D．1.6×10617．（2023·滨海模拟）估计的值在（）A．4和5之间B．5和6之间C．6和7之间D．7和8之间18．（2018·金华模拟）的相反数是A．3B．C．D．19．（2023·文山模拟）的相反数是（）A．B．2C．D．20．（2023·深圳模拟）下列运算错误的是（）A．B．C．D．21．（2023·深圳模拟）下列各数中，绝对值最大的是（）A．B．0C．3D．22．（2023·黄山模拟）据统计，2023年我国人口数约为14亿4730万，其中4730万用科学记数法表示为（）A．B．C．D．23．下列互为倒数的是（）A．3和B．-2和2C．3和D．-2和24．（2023·东莞模拟）在，，，，这五个数中，无理数的个数为（）A．2B．3C．4D．5 25．（2023·临淄模拟）下列各式运算正确的是（）．A．B．C．D．26．（2023·绥中模拟）下列各数，是无理数的是（）A．B．0.1010010001C．D．27．（2022·瑞安模拟）截至今年2月份，温州全市接种新冠疫苗已超21000000剂次.数据21000000用科学记数法表示为（）A．210×105B．21×106C．2.1×107D．0.21×10828．（2022·瑞安模拟）计算的结果是（）A．B．C．D．29．（2022·旌阳模拟）下列各数中，最小的数是（）A．2B．0C．D．30．（2022·旌阳模拟）已知某种细胞的直径约为cm，请问这个数原来的数是（）A．21300B．2130000C．0.0213D．0.00021331．（2022·旌阳模拟）如图，，，，……是分别以，，，……为直角顶点，一条直角边在轴正半轴上的等腰直角三角形，其斜边的中点，，，……，均在反比例函数的图象上，则的值为（）A．B．C．D．32．（2022·新都模拟）的绝对值是（）A．B．C．2022D．33．（2022·陕西模拟）下列各数中，不是无理数的是（）A．B．C．D．34．（2021·福建模拟）下列算式运算结果为的是（）A．B．C．D．35．（2021·福建模拟）据报道，研究人员通过研究获得了纯化灭活新冠病毒疫苗，该疫苗在低温电镜下呈椭圆形颗粒，最小直径约为，已经，则用科学记数法表示为（）A．B．C．D．36．（2021·福建模拟）定义：当关于的一元二次方程满足时，称此方程为“合理”方程.若“合理”方程有两个相等的实数根，则下列等式正确的是（）A．B．C．D．37．（2021·闵行模拟）下列运算中，运算结果正确的是（）A．B．C．D．三、计算题38．（2023·闵行模拟）计算：39．（2022·瑞安模拟）（1）计算：.（2）化简：.40．（2022·旌阳模拟）计算：.41．（2022·新都模拟）（1）计算：（2）先化简，再求值：，其中.42．（2021·福建模拟）先化简，再求值：，其中.43．计算：（1）；（2）（2+）2（+3）．四、解答题44．（2023·曹县模拟）先化简，再求值，其中．45．（2022·成都模拟）先化简，再求值：，其中x是方程x2+x-4=0的根．46．先化简再求值：，再从-2，-1，0，1，2中选择一个合适的数作为x的值代入求值．47．（2022·新都模拟）先化简，再求值：，其中．五、综合题48．（2022·新都模拟）（1）计算：．（2）求不等式组的非负整数解．49．上数学课时，王老师在讲完乘法公式（a+b）2=a2+2ab+b2的多种运用后，要求同学们运用所学知识解答：求代数式x2+4x+5的最小值？同学们经过交流、讨论，最后总结出如下解答方法；解：x2+4x+5=x2+4x+4+1=（x+2）2+1，∵（x+2）2≥0，∴当x=-2时，（x+2）2的值最小，最小值是0，∴（x+2）2+1≥1，∴当(x+2)2=0时，(x+2)2+1的值最小，最小值是1，∴x2+4x+5的最小值是1。

中考数学复习《综合实践题》经典题型及测试题（含答案）题型解读此类题考查形式多样，但都与实际问题结合，且解决实际问题时一般会用到前面的结论，解题时要多结合前面的问题，大胆猜想．综合性较强，入手简单，但要得满分较难，此类题型是今后中考命题的方向，应引起重视．1.如图①，△ABC 和△DEF 中，AB ＝AC ，DE ＝DF ，∠A ＝∠D. (1)求证：BC AB ＝EFDE；(2)由(1)中的结论可知，等腰三角形ABC 中，当顶角∠A 的大小确定时，它的对边(即底边BC)与邻边(即腰AB 或AC)的比值也就确定，我们把这个比值记作T(A)，即T(A)＝∠A的对边（底边）∠A的邻边（腰）＝BCAB .如T(60°)＝1.①理解巩固：T(90°)＝________，T (120°)＝________，若α是等腰三角形的顶角，则T(α)的取值范围是________；②学以致用：如图②，圆锥的母线长为9，底面直径PQ ＝8，一只蚂蚁从点P 沿着圆锥的侧面爬行到点Q ，求蚂蚁爬行的最短路径长(精确到0.1)．(参考数据：T(160°)≈1.97，T (80°)≈1.29，T (40°)≈0.68)2. (1)如图①，已知△ABC，以AB、AC为边分别向△ABC外作等边△ABD和等边△ACE，连接BE、CD，请你完成图形(尺规作图，不写作法，保留作图痕迹)，并证明：BE＝CD；(2)如图②，已知△ABC，以AB、AC为边分别向外作正方形ABFD和正方形ACGE，连接BE、CD，猜想BE与CD有什么数量关系？并说明理由；(3)运用(1)，(2)解答中所积累的经验和知识，完成下题：如图③，要测量池塘两岸相对的两点B、E的距离，已经测得∠ABC＝45°，∠CAE＝90°，AB＝BC＝100米，AC＝AE，求BE的长(结果保留根号)．3.问题：如图①，点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上，∠EAF＝45°，试判断BE、EF、FD之间的数量关系．【发现证明】小聪把△ABE绕点A逆时针旋转90°至△ADG，从而发现EF＝BE＋FD，请你利用图①证明上述结论．【类比引申】如图②，四边形ABCD中，∠BAD≠90°，AB＝AD，∠B＋∠D＝180°，点E、F分别在边BC、CD上，则当∠EAF与∠BAD满足__________关系时，仍有EF＝BE＋FD.【探究应用】如图③，在某公园的同一水平面上，四条道路围成四边形ABCD.已知AB＝AD＝80米，∠B＝60°，∠ADC ＝120°，∠BAD＝150°，道路BC、CD上分别有景点E、F，且A E⊥AD，DF＝40(3－1)米，现要在E、F 之间修一条笔直的道路，求这条道路EF的长．(结果取整数，参考数据：2≈1.41，3≈1.73)4.理解：数学兴趣小组在探究如何求tan 15°的值，经过思考、讨论、交流，得到以下思路： 思路一 如图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点D ，使BD ＝BA ，连接AD.图① 设AC ＝1，则BD ＝BA ＝2，BC ＝ 3.tan D ＝tan 15°＝12＋3＝2－3（2＋3）（2－3）＝2－ 3. 思路二 利用科普书上的和．(．差．)．角正切公式．．．．．：tan (α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β. 假设α＝60°，β＝45°代入差角正切公式：tan 15°＝tan (60°－45°)＝tan 60°－tan 45°1＋tan 60°tan 45°＝3－11＋3＝2－ 3.思路三 在顶角为30°的等腰三角形中，作腰上的高也可以… 思路四 …请解决下列问题(上述思路仅供参考)． (1)类比：求出tan 75°的值；(2)应用：如图②，某电视塔建在一座小山上，山高BC 为30米，在地平面上有一点A ，则得A 、C 两点间距离为60米，从A 测得电视塔的视角(∠CAD)为45°，求这座电视塔CD 的高度；(3)拓展：如图③，直线y ＝12x －1与双曲线y ＝4x 交于A 、B 两点，与y 轴交于点C ，将直线AB 绕点C 旋转45°后，是否仍与双曲线相交？若能，求出交点P 的坐标；若不能，请说明理由．图②图③备用图5.【操作发现】在计算器上输入一个正数，不断地按“ ”键求算术平方根，运算结果越来越接近1或都等于1.【提出问题】输入一个实数，不断地进行“乘以常数k ，再加上常数b”的运算，有什么规律？ 【分析问题】我们可用框图表示这种运算过程：也可用图象描述：如图①，在x 轴上表示出x 1，先在直线y ＝kx ＋b 上确定点(x 1，y 1)，再在直线y ＝x 上确定纵坐标为y 1的点(x 2，y 1)，然后在x 轴上确定对应的数x 2，…，依次类推． 【解决问题】研究输入实数x 1时，随着运算次数n 的不断增加，运算结果x n 怎样变化． (1)若k ＝2，b ＝－4，得到什么结论？可以输入特殊的数如3，4，5进行观察研究； (2)若k>1，又得到什么结论？请说明理由；(3)①若k ＝－23，b ＝2，已在x 轴上表示出x 1(如图②所示)，请在x 轴上表示x 2，x 3，x 4，并写出研究结论；②若输入实数x 1时，运算结果x n 互不相等，且越来越接近常数m ，直接写出k 的取值范围及m 的值(用含k ，b 的代数式表示)．6.问题提出(1)如图①，已知△ABC.请画出△ABC关于直线AC对称的三角形．问题探究(2)如图②，在矩形ABCD中，AB＝4，AD＝6，AE＝4，AF＝2.是否在边BC、CD上分别存在点G、H，使得四边形EFGH的周长最小？若存在，求出它周长的最小值；若不存在，请说明理由．问题解决(3)如图③，有一矩形板材ABCD，AB＝3米，AD＝6米．现想从此板材中裁出一个面积尽可能大的四边形EFGH部件，使∠EFG＝90°，EF＝FG＝5米，∠EHG＝45°.经研究，只有当点E、F、G分别在边AD、AB、BC上，且AF＜BF，并满足点H在矩形ABCD内部或边上时，才有可能裁出符合要求的部件．试问能否裁得符合要求的面积尽可能大的四边形EFGH部件？若能，求出裁得的四边形EFGH部件的面积；若不能，请说明理由．1. (1)证明：∵AB＝AC，DE＝DF，∴ABDE＝ACDF，又∵∠A ＝∠D ，∴△ABC ∽△DEF ，∴BC EF ＝ABDE ，∴BC AB ＝EF DE. (2)解：①2，3，0<T (α)<2.【解法提示】①如解图①，在Rt △ABC 中，∠A ＝90°，∠B ＝∠C ＝45°， ∴设AB ＝AC ＝x ，由勾股定理得BC ＝2x ， ∴T(90°)＝BC AB ＝2x x＝2；第1题解图①第1题解图②如解图②，在△ABC 中，∠A ＝120°，AB ＝AC ， 过点A 作AD ⊥BC ， ∴∠BAD ＝60°，BD ＝12BC ，设AD ＝y ，在Rt △ABD 中，∠BAD ＝60°， ∴BD ＝AD·tan 60°＝3y ，AB ＝2AD ＝2y ， ∴BC ＝2BD ＝23y ， ∴T(120°)＝23y2y＝3； ∵∠A<180°，当∠A ＝180°时，此时AB ＝AC ＝12BC 即T(A)＝BC AB ＝BC 12BC ＝2，∵要构成三角形，∴T(A)<2， ∵T(A)＞0，∴0<T (α)<2.第1题解图②如解图，设圆锥的底面半径为r ，母线长为l ，∵圆锥的底面圆周长＝圆锥展开图扇形的弧长，即2πr ＝n πl180，∴rl＝n360，∵r＝4，l＝9，∴n＝160.∵T(80°)≈1.29，∴蚂蚁爬行的最短距离＝T(80°)×l≈1.29×9≈11.6.2. 解：(1)作图如解图①，第2题解图①证明：∵△ABD和△ACE为等边三角形，则AB＝AD，AE＝AC，∠DAB＝∠EAC＝60°，又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝CD.(2)BE＝CD.理由如下：∵四边形ABFD和四边形ACGE为正方形，∴AB＝AD，AC＝AE，∠DAB＝∠EAC＝90°，又∵∠DAC＝∠DAB＋∠BAC＝∠EAC＋∠BAC＝∠BAE，∴△DAC≌△BAE(SAS)，∴BE＝CD.(3)如解图②，以AB为边，作等腰直角三角形ABD，∠BAD＝90°，第2题解图②则AD＝AB＝100米，∠ABD＝45°，∴BD＝100 2 米，连接CD，则由(2)可得，BE＝CD，∵∠ABC＝45°，∴∠DBC＝90°，在Rt△DBC中，BC＝100米，BD＝100 2 米，由勾股定理得CD＝1002＋（1002）2＝100 3 米，则BE＝CD＝100 3 米．3. 【发现证明】证明：如解图①，将△ABE绕点A逆时针旋转90°到△ADG，则AB与AD重合，第3题解图①∴∠BAE ＝∠DAG ，∠B ＝∠ADG ，BE ＝GD ， AE ＝AG ，∴∠GAF ＝∠DAF ＋∠GAD ＝∠BAE ＋∠DAF ＝45°， 在正方形ABCD 中，∠B ＝∠ADC ＝90°， ∴∠ADG ＋∠ADF ＝180°，即G 、D 、F 在一条直线上， ∵∠EAF ＝45°，在△EAF 和△GAF 中，AE ＝AG ，∠EAF ＝∠GAF ＝45°，AF ＝AF ， ∴△EAF ≌△GAF(SAS )， ∴EF ＝GF ，∴EF ＝FG ＝FD ＋DG ＝FD ＋BE. 【类比引申】∠EAF ＝12∠BAD.【解法提示】如解图②，延长CB 至M ，使BM ＝DF ，连接AM ， ∵∠ABC ＋∠D ＝180°，∠ABC ＋∠ABM ＝180°， ∴∠D ＝∠ABM ， 在△ABM 和△ADF 中， ⎩⎪⎨⎪⎧AB ＝AD ∠ABM ＝∠D BM ＝DF，第3题解图②∴△ABM ≌△ADF(SAS )，∴AF ＝AM ，∠DAF ＝∠BAM ， ∵∠BAD ＝2∠EAF ， ∴∠DAF ＋∠BAE ＝∠EAF ＝12∠BAD ， ∴∠EAB ＋∠BAM ＝∠EAM ＝∠EAF ， 在△FAE 和△MAE 中，⎩⎪⎨⎪⎧AE ＝AE ∠FAE ＝∠MAE AF ＝AM， ∴△FAE ≌△MAE(SAS )， ∴EF ＝EM ，又∵EM ＝BE ＋BM ＝BE ＋DF ， ∴EF ＝BE ＋DF.【探究应用】解：如解图③，连接AF ，延长BA 、CD 交于点O ， ∵∠BAD ＝150°，∠ADC ＝120°， ∴∠OAD ＝30°，∠ODA ＝60°， ∴△OAD 是直角三角形． ∵AD ＝80，∴AO ＝403，OD ＝40，∵OF ＝OD ＋DF ＝40＋40(3－1)＝403， ∴AO ＝OF ，第3题解图③∴∠OAF ＝45°， ∵∠OAD ＝30°， ∴∠DAF ＝15°， ∵∠EAD ＝90°，∴∠EAF ＝∠EAD －∠DAF ＝75°＝12∠BAD ，又∠B ＋∠ADC ＝180°，由(2)知EF ＝BE ＋DF.∠BAE ＝∠BAD －∠EAD ＝150°－90°＝60°＝∠B ， ∴△ABE 为等边三角形， ∴BE ＝AB ＝80，∴EF ＝BE ＋DF ＝80＋40(3－1)≈109(米)． 4. 解：(1)如解图①，在Rt △ABC 中，∠C ＝90°，∠ABC ＝30°，延长CB 至点D ，使BD ＝BA ，连接AD.第4题解图①设AC ＝1，则BD ＝BA ＝2，BC ＝3，tan ∠DAC ＝tan 75°＝DC AC ＝BD ＋BC AC ＝2＋31＝2＋ 3.【一题多解】tan 75°＝tan (45°＋30°)＝tan 45°＋tan 30°1－tan 45°·tan 30°＝1＋331－33＝3＋33－3＝2＋ 3.第4题解图②(2)如解图②，在Rt △ABC 中，AB ＝AC 2－BC 2＝602－302＝303， sin ∠BAC ＝BC AC ＝3060＝12，即∠BAC ＝30°，∵∠DAC ＝45°，∴∠DAB ＝45°＋30°＝75°.在Rt △ABD 中，tan ∠DAB ＝DBAB ＝2＋3，∴DB ＝AB·tan ∠DAB ＝303·(2＋3)＝603＋90， ∴DC ＝DB －BC ＝603＋90－30＝ 603＋60.(米)答：这座电视塔CD 的高度为(603＋60)米.第4题解图③(3)直线AB 能与双曲线相交， 点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)，理由如下：若直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，与双曲线相交于点P 1、P 2，如解图③，过点C 作CD ∥x 轴，过点P 1作P 1E ⊥CD 于点E ，过点A 作AF ⊥CD 于点F.解方程组⎩⎨⎧y ＝12x －1y ＝4x，得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4y ＝1，或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－2y ＝－2， ∴点A(4，1)，点B(－2，－2)．对于y ＝12x －1，当x ＝0时，y ＝－1，则C(0，－1)，OC ＝1，∴CF ＝4，AF ＝1－(－1)＝2， ∴tan ∠ACF ＝AF CF ＝24＝12， ∴tan ∠P 1CE ＝tan (∠ACP 1＋∠ACF)＝tan (45°＋∠ACF)＝tan 45°＋tan ∠ACF 1－tan 45°·tan ∠ACF＝1＋121－12＝3，即P 1ECE ＝3.设点P 的坐标为(a ，b)， 则有⎩⎪⎨⎪⎧ab ＝4b ＋1a ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1b ＝－4，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝43b ＝3， ∴点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)；(ii )若直线AB 绕点C 顺时针旋转45°后，与x 轴相交于点G ，如解图④. 由(i )可知∠ACP ＝45°，P(43，3)，则CP ⊥CG .过点P 作PH ⊥y 轴于H ， 则∠GOC ＝∠CHP ＝90°，∠GCO ＝90°－∠HCP ＝∠CPH ，第4题解图④∴△GOC ∽△CHP ， ∴GO CH ＝OCHP. ∵CH ＝3－(－1)＝4，PH ＝43，OC ＝1，∴GO 4＝143＝34， ∴GO ＝3，G(－3，0)．设直线CG 的解析式为y ＝kx ＋b ，则有⎩⎪⎨⎪⎧－3k ＋b ＝0b ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧k ＝－13b ＝－1，∴直线CG 的解析式为y ＝－13x －1.联立⎩⎨⎧y ＝－13x －1y ＝4x，消去y ，得4x ＝－13x －1，整理得x 2＋3x ＋12＝0，∵b 2－4ac ＝32－4×1×12＝－39<0， ∴方程没有实数根，∴直线绕点C 顺时针旋转45°，与双曲线无交点．(综上所述，直线AB 绕点C 逆时针旋转45°后，能与双曲线相交，交点P 的坐标为(－1，－4)或(43，3)．5. 解：(1)若k ＝2, b ＝－4，①x 1＝3时，x 2＝2×3－4＝2，x 3＝2×2－4＝0，x 4＝2×0－4＝－4，x 5＝2×(－4)－4＝－12； ②x 1＝4时，x 2＝2×4－4＝4，x 3＝2×4－4＝4，x 4＝2×4－4＝4，x 5＝2×4－4＝4； ③x 1＝5时，x 2＝2×5－4＝6，x 3＝2×6－4＝8，x 4＝2×8－4＝12，x 5＝2×12－4＝20， 由上面的特殊值可得，y ＝2x －4与y ＝x 交点的横坐标为4， 所以当输入的值x>4时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大； 当输入的值x ＝4时，x n 的值不变；当输入的值x<4时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小．(2)当k>1时，y ＝kx ＋b 与y ＝x 的交点坐标横坐标为x ＝－bk －1，所以当输入的值x>－bk －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而增大；当输入的值x ＝－bk －1时，x n 的值不变；当输入的值x<－bk －1时，x n 的值会随着运算次数的增大而减小．理由如下：直线y ＝kx ＋b 与直线y ＝x 的交点坐标为(b 1－k ，b 1－k )，当x ＞b 1－k时，对于同一个x 的值，kx ＋b ＞x ，∴y 1＞x 1，∵y 1＝x 2，∴x 1＜x 2，同理x 2＜x 3＜…＜x n ，∴当x 1＞b1－k 时，随着运算次数n的增加，x n 越来越大，同理，当x 1＜b 1－k 时，随着运算次数n 的增加，x n 越来越小，当x ＝b1－k 时，随着运算次数n 的增加，x n 保持不变．(3)①画如解图，第5题解图结论：通过画图可得，x n 的值越来越靠近两个函数图象交点的横坐标即65；②|k|<1且k ≠0时，m ＝－bk －1.即－1＜k ＜1且k ≠0， 【解法提示】两个函数图象的交点的横坐标满足kx ＋b ＝x ，解得x ＝－bk －1，且k ≠0，由(1)得|k|＜1.6. (1)【思路分析】要作对称图形，先要考虑对称的性质，即对应点关于对称轴对称，只需作出点B 关于直线AC 的对称点D ，连接AD ，CD 即可．第6题解图①解：如解图①，△ADC 即为所求作三角形．【作法提示】(1)过点B 作直线AC 的垂线，垂足为点O ；(2)在垂线上截取OD ＝OB ，连接AD ，CD ，则△ADC 即为所要求作的三角形．(2)【思路分析】四边形EFGH 的周长＝EF ＋FG ＋GH ＋HE ，由题意可知AF 和AE 的长均为定值，利用勾股定理可求得EF 的长为定值，所以要求四边形周长的最小值，只需令FG ＋GH ＋HE 最小即可，利用作对称线段将所求线段和转化到三角形中进行求解，进而利用直角三角形三边关系求出线段和最小值．第6题解图②解：存在．理由如下：如解图②，作点E 关于CD 的对称点E′，作点F 关于BC 的对称点F′，连接E′F′，交BC 于点G ，交CD 于点H ，连接FG 、EH ，则F ′G ＝FG ，E ′H ＝EH ，所以此时四边形EFGH 的周长最小．这是因为：在BC 上任取一点G′，在CD 上任取一点H′，则FG′＋G′H′＋H′E ＝F′G′＋G′H′＋H ′E ′≥E ′F ′.由题意得：BF′＝BF ＝AF ＝2，DE ′＝DE ＝2，∠A ＝90°， ∴AF ′＝6，AE ′＝8.∴E ′F ′＝10，EF ＝2 5.∴四边形EFGH 周长的最小值为EF ＋FG ＋GH ＋HE ＝EF ＋E ′F ′＝25＋10.∴在BC、CD上分别存在满足条件的点G、H，使四边形EFGH的周长最小，最小值是25＋10.(3)【思路分析】要使四边形EFGH面积最大，因为E、F、G的位置确定，即△EFG的面积是固定的，只要求以EG为底边的△EGH最大面积即可，且∠EHG为45°，作△EFG关于EG的对称图形，以点F 的对称点O为圆心，作以EG为弦的圆，根据圆的基本性质，即EG的中垂线与圆的交点即为所求的点H′，然后再由对称的性质和勾股定理求解即可．解：能裁得．∵∠EFG＝∠A＝90°，∴∠2＋∠AFE＝∠1＋∠AFE＝90°，∴∠1＝∠2，∵EF＝FG＝5，∴△AEF≌△BFG(AAS)，∴AF＝BG，AE＝BF.设AF＝x，则AE＝BF＝3－x，∴x2＋(3－x)2＝(5)2解得x1＝1或x2＝2，∵AF＜BF，∴x2＝2舍去，∴AF＝BG＝1，AE＝BF＝2，∴DE＝4，CG＝5.如解图③，连接EG，作△EFG关于EG的对称图形△EOG，则四边形EFGO为正方形，∠EOG＝90°.以点O为圆心，OE长为半径作⊙O，则∠EHG＝45°的点H在⊙O上．连接FO，并延长交⊙O于点H，则点H在EG中垂线上．第6题解图③连接EH、GH，则∠EHG＝45°.此时，四边形EFGH就是想要裁得的四边形EFGH中面积最大的．连接CE，则CE＝CG＝DE2＋CD2＝5.∴点C在线段EG的中垂线上，连接HC，∴点F、O、H、C在一条直线上，又∵EG＝EF2＋FG2＝10，∴FO＝EG＝10.又∵CF＝BF2＋BC2＝210，∴OC＝10.又∵OH＝OE＝FG＝5，∴OH＜OC，∴点H 在矩形ABCD 的内部，∴可以在矩形板材ABCD 中，裁得符合条件的面积最大的四边形EFGH 部件，这个部件的面积即S 四边形EFGH＝12EG·FH ＝12×10×(10＋5)＝(5＋522)m 2. ∴所裁得的四边形部件EFGH 是符合条件的面积最大的部件，这个部件的面积为(5＋522) m 2.难点突破本题的难点在于第(3)问点H 位置的确定，题中已知点E 、F 、G 的位置，即解决本题的实质是求以EG 为底边的△EGH 的面积最大时点H 的位置，由于∠EHG ＝45°，想到作直角△EFG 关于EG 的对称图形，则以点F 的对称点为圆心、EG 为弦的圆在矩形ABCD 内的点H 满足题意，根据圆的基本性质，则点H 为EG 的中垂线与所作圆的交点．。