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一元二次方程题型分类总结

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一元二次方程题型分类总结 知识梳理 一、知识结构：

一元二次方程韦达定理根的判别解与解法

考点类型一 概念 (1)定义：①只含有一个未知数．．．．．．．．，并且②未知数的最高次数是．．．．．．．．．2．，这样的③整式方程．．．．

就是一元二次方程。 (2)一般表达式：)0(02acbxax

⑶难点：如何理解 “未知数的最高次数是2”： ①该项系数不为“0”； ②未知数指数为“2”； ③若存在某项指数为待定系数，或系数也有待定，则需建立方程或不等式加以讨论。

典型例题： 例1、下列方程中是关于x的一元二次方程的是（ ） A 12132xx B 02112xx

C 02cbxax D 1222xxx 变式：当k 时，关于x的方程3222xxkx是一元二次方程。 例2、方程0132mxxmm是关于x的一元二次方程，则m的值为 。 针对练习：

★1、方程782x的一次项系数是 ，常数项是 。 ★2、若方程021mxm是关于x的一元一次方程， ⑴求m的值；⑵写出关于x的一元一次方程。 ★★3、若方程112•xmxm是关于x的一元二次方程，则m的取值范围是 。 ★★★4、若方程nxm+xn-2x2=0是一元二次方程，则下列不可能的是（ ） =n=2 =3,n=1 =2,m=1 =n=1

考点类型二 方程的解

⑴概念：使方程两边相等的未知数的值，就是方程的解。 ⑵应用：利用根的概念求代数式的值； 典型例题： 例1、已知322yy的值为2，则1242yy的值为 。 例2、关于x的一元二次方程04222axxa的一个根为0，则a的值为 。 例3、已知关于x的一元二次方程002acbxax的系数满足bca，则此方程 必有一根为 。

例4、已知ba,是方程042mxx的两个根，cb,是方程0582myy的两个根， 则m的值为 。

针对练习：

★1、已知方程0102kxx的一根是2，则k为 ，另一根是 。 ★2、已知关于x的方程022kxx的一个解与方程311xx的解相同。 ⑴求k的值； ⑵方程的另一个解。

★3、已知m是方程012xx的一个根，则代数式mm2 。 ★★4、已知a是0132xx的根，则aa622 。 ★★5、方程02acxcbxba的一个根为（ ） A 1 B 1 C cb D a ★★★6、若•yx则yx324,0352 。 考点类型三 解法 ⑴方法：①直接开方法；②因式分解法；③配方法；④公式法 ⑵关键点：降次 类型一、直接开方法：mxmmx,02 ※※对于max2，22nbxmax等形式均适用直接开方法 典型例题： 例1、解方程：;08212x 216252x=0; ;09132x

例2、若2221619xx，则x的值为 。 针对练习：下列方程无解的是（ ） A.12322xx B.022x C.xx132 D.092x

类型二、因式分解法:021xxxx21,xxxx或 ※方程特点：左边可以分解为两个一次因式的积，右边为“0”， ※方程形式：如22nbxmax，cxaxbxax ， 0222aaxx 典型例题： 例1、3532xxx的根为（ ） A 25x B 3x C 3,2521xx D 52x 例2、若044342yxyx，则4x+y的值为 。 变式1：2222222,06b则ababa 。 变式2：若032yxyx，则x+y的值为 。 变式3：若142yxyx，282xxyy，则x+y的值为 。 例3、方程062xx的解为（ ） A.2321，xx B.2321，xx C.3321，xx D.2221，xx 例4、解方程： 04321322xx 例5、已知023222yxyx,则yxyx的值为 。

变式：已知023222yxyx,且0,0yx,则yxyx的值为 。 针对练习： ★1、下列说法中： ①方程02qpxx的二根为1x，2x，则))((212xxxxqpxx

② )4)(2(862xxxx. ③)3)(2(6522aababa ④ ))()((22yxyxyxyx ⑤方程07)13(2x可变形为0)713)(713(xx 正确的有（ ） 个 个 个 个

★2、以71与71为根的一元二次方程是（）

A．0622xx B．0622xx C．0622yy D．0622yy ★★3、⑴写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为倒数： ⑵写出一个一元二次方程，要求二次项系数不为1，且两根互为相反数：

★★4、若实数x、y满足023yxyx，则x+y的值为（ ） A、-1或-2 B、-1或2 C、1或-2 D、1或2 5、方程：2122xx的解是 。

★★★6、已知06622yxyx，且0x，0y，求yxyx362的值。 ★★★7、方程012000199819992xx的较大根为r，方程01200820072xx的较小根为s，则s-r的值为 。 类型三、配方法002acbxax222442aacbabx ※在解方程中，多不用配方法；但常利用配方思想求解代数式 的值或极值之类的问题。

典型例题：

例1、 试用配方法说明322xx的值恒大于0。

例2、 已知x、y为实数，求代数式74222yxyx的最小值。

例3、 已知，x、yyxyx0136422为实数，求yx的值。 例4、 分解因式：31242xx

针对练习： ★★1、试用配方法说明47102xx的值恒小于0。 ★★2、已知041122xxxx，则xx1 . ★★★3、若912322xxt，则t的最大值为 ，最小值为 。 ★★★4、如果4122411bacba,那么cba32的值为 。

类型四、公式法 ⑴条件：04,02acba且

⑵公式： aacbbx242,04,02acba且 典型例题： 例1、选择适当方法解下列方程： ⑴.6132x ⑵.863xx ⑶0142xx

⑷01432xx ⑸5211313xxxx 例2、在实数范围内分解因式： （1）3222xx； （2）1842xx. ⑶22542yxyx

说明：①对于二次三项式cbxax2的因式分解，如果在有理数范围内不能分解， 一般情况要用求根公式，这种方法首先令cbxax2=0，求出两根，再写成 cbxax2=))((21xxxxa.

②分解结果是否把二次项系数乘进括号内，取决于能否把括号内的分母化去. 类型五、 “降次思想”的应用 ⑴求代数式的值； ⑵解二元二次方程组。 典型例题：

例1、 已知0232xx，求代数式11123xxx的值。

例2、如果012xx，那么代数式7223xx的值。 例3、已知a是一元二次方程0132xx的一根，求1152223aaaa的值。

例4、用两种不同的方法解方程组 )2(.065)1(,6222yxyxyx

说明：解二元二次方程组的具体思维方法有两种：①先消元，再降次；②先降次，再消元。但都体现了一种共同的数学思想——化归思想，即把新问题转化归结为我们已知的问题. 考点类型四 根的判别式b2-4ac 根的判别式的作用： ①定根的个数； ②求待定系数的值； ③应用于其它。

典型例题：

例1、若关于x的方程0122xkx有两个不相等的实数根，则k的取值范围是 。 例2、关于x的方程0212mmxxm有实数根，则m的取值范围是( ) A.10且mm B.0m C.1m D.1m 例3、已知关于x的方程0222kxkx (1)求证：无论k取何值时，方程总有实数根； (2)若等腰ABC的一边长为1，另两边长恰好是方程的两个根，求ABC的周长。

例4、已知二次三项式2)6(92mxmx是一个完全平方式，试求m的值.

例5、m为何值时，方程组.3,6222ymxyx有两个不同的实数解有两个相同的实数解

针对练习： ★1、当k 时，关于x的二次三项式92kxx是完全平方式。 ★2、当k取何值时，多项式kxx2432是一个完全平方式这个完全平方式是什

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一元二次方程解决问题 全类型总结

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一元二次方程解决问题直击全类型知识点1传播问题1．某种电脑病毒传播非常快，如果一台电脑被感染，经过两轮感染后会有81台电脑被感染，每轮感染中平均一台电脑会感染几台电脑？设每轮感染中平均一台电脑会感染x台电脑，则x满足的方程是( )A．1＋x2＝81 B．(1＋x)2＝81C．1＋x＋x2＝81 D．1＋x＋(1＋x)2＝812．(大同一中期末)有一人患了流感，经过两轮传染后共有100人患了流感，每轮传染中平均一个人传染的人数x满足的方程为( )A．1＋x＋x(1＋x)＝100 B．x(1＋x)＝100C．1＋x＋x2＝100 D．x2＝1003．某种植物的主干长出若干数目的支干，每个支干又长出同样数目的小分支，主干、支干、小分支的总数是111.求每个支干长出多少个小分支？知识点2握手问题4．新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其他成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为( )A．7 B．8 C．9 D．105．某市体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？学习以下解答过程，并完成填空．6．一条直线上有n个点，共形成了45条线段，求n的值．知识点3数字问题7．一个两位数，个位数字比十位数字少1，且个位数字与十位数字的乘积等于72，则这个两位数是．8．若两个连续整数的积是56，则它们的和是．9．一个两位数，个位数字比十位数字大3，且个位数字的平方刚好等于这个两位数，求这个两位数是多少？知识点4平均变化率问题8．一种药品原价每盒25元，经过两次降价后每盒16元．设两次降价的百分率都为x，则x满足( )A．16(1＋2x)＝25 B．25(1－2x)＝16C．16(1＋x)2＝25 D．25(1－x)2＝169．共享单车为市民出行带来了方便，某单车公司第一个月投放1 000辆单车，计划第三个月投放单车数量比第一个月多440辆．设该公司第二、三两个月投放单车数量的月平均增长率为x，则所列方程正确的为( )A．1 000(1＋x)2＝1 000＋440 B．1 000(1＋x)2＝440C．440(1＋x)2＝1 000 D．1 000(1＋2x)＝1 000＋44010．巴中市某楼盘准备以每平方米5 000元的均价对外销售，由于有关部门关于房地产的新政策出台后，部分购房者持币观望，房地产开发商为了加快资金周转，对价格经过两次下调后，决定以每平方米4 050元的均价开盘销售．若两次下调的百分率相同，求平均每次下调的百分率．11．某商场今年2月份的营业额为400万元，3月份的营业额比2月份增加10%，5月份的营业额达到633.6万元．求3月份到5月份营业额的月平均增长率．知识点5市场经济问题12．某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系．每盆植3株时，平均每株盈利4元；若每盆增加1株，平均每株盈利减少0.5元．要使每盆的盈利达到15元，每盆应多植多少株？设每盆多植x株，则可以列出的方程是( )A．(3＋x)(4－0.5x)＝15 B．(x＋3)(4＋0.5x)＝15C．(x＋4)(3－0.5x)＝15 D．(x＋1)(4－0.5x)＝1513．新世纪百货大楼“宝乐”牌童装平均每天可售出20件，每件盈利40元．为了迎接“六一”儿童节，商场决定采取适当的降价措施．经调査，如果每件童装降价1元，那么平均每天就可多售出2件．要想平均每天销售这种童装盈利1 200元，则每件童装应降价多少元？设每件童装应降价x元，可列方程为．14．某商店从厂家以21元/件的价格购进一批商品，该商店可以自行定价，若每件商品售价为a元，则可卖(350－10a)件，但物价局限定每件加价不能超过进价的20%.商店计划要赚400元，需要卖出多少件商品？每件商品的售价为多少元？知识点6一般图形的问题15．绿苑小区在规划设计时，准备在两幢楼房之间设置一块面积为900平方米的矩形绿地，并且长比宽多10米．设绿地的宽为x米，根据题意，可列方程为( ) A．x(x－10)＝900 B．x(x＋10)＝900C．10(x＋10)＝900 D．2[x＋(x＋10)]＝90016．从一块正方形的木板上锯掉2 m宽的长方形木条，剩下的面积是48 m2，则原来这块木板的面积是( )A．100 m2 B．64 m2 C．121 m2D．144 m217．一个直角三角形的两条直角边相差5 cm，面积是7 cm2，则它的两条直角边长分别为18．一块矩形菜地的面积是120 m2，如果它的长减少2 m，那么菜地就变成正方形，则原菜地的长是m.19．一个矩形周长为56厘米．(1)当矩形面积为180平方厘米时，长、宽分别为多少？(2)能围成面积为200平方厘米的矩形吗？请说明理由．知识点7边框与甬道问题20．公园有一块正方形的空地，后来从这块空地上划出部分区域栽种鲜花(如图)，原空地一边减少了1 m，另一边减少了2 m，剩余空地的面积为18 m2，求原正方形空地的边长，设原正方形空地的边长为x m，则可列方程为( )A．(x＋1)(x＋2)＝18 B．x2－3x＋16＝0C．(x－1)(x－2)＝18 D．x2＋3x＋16＝021．如图，在长为100米，宽为80米的矩形场地上修建两条宽度相等且互相垂直的道路，剩余部分进行绿化，要使绿化面积为7 644平方米，则道路的宽应为多少米？设道路的宽为x米，则可列方程为( )A．100×80－100x－80x＝7 644 B．(100－x)(80－x)＋x2＝7 644C．(100－x)(80－x)＝7 644 D．100x＋80x＝35622．如图所示，相框长为10 cm，宽为6 cm，内有宽度相同的边缘木板，里面用来夹相片的面积为32 cm2，则相框的边缘宽为多少厘米？中档题1．某航空公司有若干个飞机场，每两个飞机场之间都开辟一条航线，一共开辟了10条航线，则这个航空公司共有飞机场( )A．4个B．5个C．6个D．7个2．在一次商品交易会上，参加交易会的每两家公司之间都要签订一份合同，会议结束后统计共签订了78份合同，问有多少家公司出席了这次交易会？3．如图是某月的日历表，在此日历表上可以用一个矩形圈出3×3个位置相邻的9个数(如6，7，8，13，14，15，20，21，22)．若圈出的9个数中，最大数与最小数的积为192，则这9个数的和是多少？4．有一人患了流感，经过两轮传染后共有64人患了流感．(1)求每轮传染中平均一个人传染了几个人？(2)如果不及时控制，第三轮将又有多少人被传染？5．某机械厂七月份生产零件50万个，第三季度生产零件196万个，如果每月的增长率x 相同，那么( )A ．50(1＋x 2)＝196B ．50＋50(1＋x 2)＝196C ．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝196D ．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝1966．股票每天的涨、跌幅均不能超过10%，即当涨了原价的10%后，便不能再涨，叫做涨停；当跌了原价的10%后，便不能再跌，叫做跌停．已知一只股票某天跌停，之后两天时间又涨回到原价，若这两天此股票股价的平均增长率为x ，则x 满足的方程是( )A ．(1＋x)2＝1110 B ．(1＋x)2＝109 C ．1＋2x ＝1110 D ．1＋2x ＝1097．据报道，某省农作物秸秆的资源巨大，但合理利用量十分有限，2015年的利用率只有30%，大部分秸秆被直接焚烧了，假定该省每年产出的农作物秸秆总量不变，且合理利用量的增长率相同，要使2017年的利用率提高到60%，求每年的增长率．(取2≈1.41)8．某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个．已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20 000元？9．一学校为了绿化校园环境，向某园林公司购买一批树苗，园林公司规定：如果购买树苗不超过60棵，每棵售价120元；如果购买树苗超过60棵，每增加1棵，所出售的这批树苗每棵售价均降低0.5元，但每棵树苗最低售价不得少于100元，该校最终向园林公司支付树苗款8 800元，请问该校共购买了多少棵树苗？10．如图，要利用一面墙(墙长为25米)建羊圈，用100米的围栏围成总面积为400平方米的三个大小相同的矩形羊圈，求羊圈的边长AB，BC各为多少米？11．如图，某小区计划在一块长为32 m，宽为20 m的矩形空地上修建三条同样宽的道路，剩余的空地上种植草坪，使草坪的面积为570 m2.若设道路的宽为x m，则下面所列方程正确的是( )A ．(32－2x)(20－x)＝570B ．32x ＋2×20x ＝32×20－570C ．(32－x)(20－x)＝32×20－570D ．32x ＋2×20x －2x 2＝57012．如图，在长为70 m ，宽为40 m 的长方形花园中，欲修宽度相等的观赏路(阴影部分所示)，要使观赏路面积占总面积的18，则路宽x 应满足的方程是( )A ．(40－x)(70－x)＝2 450B ．(40－x)(70－x)＝350C ．(40－2x)(70－3x)＝2 450D ．(40－2x)(70－3x)＝35013．在一幅长50 cm ，宽30 cm 的风景画的四周镶一条金色纸边，制成一幅矩形挂图，如图所示．如果要使整个矩形挂图的面积是1 800 cm 2，设金色纸边的宽为x cm ，那么x 满足的方程为 ．14．某村计划建造如图所示的矩形蔬菜温室，要求长与宽的比为2∶1.在温室内，沿前侧内墙保留3 m 宽的空地，其他三侧内墙各保留1 m 宽的通道．当矩形温室的长与宽各为多少时，蔬菜种植区域的面积是288 m 2?综合提高1．(1)6位新同学参加夏令营，大家彼此握手，互相介绍自己，这6位同学共握手多少次？小莉是这样思考的：每一位同学要与其他5位同学握手5次，6位同学握手5×6＝30次，但每两位同学握手2次，因此这6位同学共握手15次．依此类推，12位同学彼此握手，共握手次；(2)我们经常会遇到与上面类似的问题，如：2条直线相交，最多只有1个交点；3条直线相交，最多有3个交点；…；求20条直线相交，最多有多少个交点？(3)在上述问题中，分别把人、线看成是研究对象，两人握手、两线相交是研究对象间的一种关系，要求的握手总次数、最多交点数就是求所有对象间的不同关系总数．它们都是满足一种相同的模型．请结合你学过的数学知识和生活经验，编制一个符合上述模型的问题；(4)请运用解决上述问题的思想方法，探究一个多边形的对角线的条数可能为20条吗？一个多边形的对角线的条数可能为28条吗？2．收发微信红包已成为各类人群进行交流联系、增强感情的一部分，下面是甜甜和她的双胞胎妹妹在六一儿童节期间的对话．请问：(1)2015年到2017年甜甜和她妹妹在六一收到红包的年增长率是多少？(2)2017年六一甜甜和她妹妹各收到了多少钱的微信红包？3．已知，如图，在△ABC中，∠B＝90°，AB＝5 cm，BC＝7 cm.点P从点A开始沿AB边向点B以1 cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2 cm/s的速度移动．(1)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4 cm2?(2)如果点P，Q分别从点A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于5 cm?(3)在问题(1)中，△PBQ的面积能否等于7 cm2？说明理由．。

一元二次方程的实际应用题型总结

一元二次方程的实际应用题型总结

一元二次方程的实际应用题型总结【一】一元二次方程的定义与解【题型一】应用一元二次方程的定义，求字母的值例1、当a 为何值时，关于x 的方程（a -1）x |a|+1+2x -7=0是一元二次方程？【题型二】一元二次方程解的应用例1、关于x 的一元二次方程（a -1）x 2+x+|a|-1=0的一个根是0，则实数a 的值为（ ）A ．-1B ．0C ．-1D ．-1或1例2、已知多项式ax 2-bx+c ，当x=1时，它的值是0；当x=-2时，它的值是1（1）试求a+b 的值（2）直接写出关于x 的一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根【题型三】一元二次方程拓展开放型题例1、已知关于x 的方程（k 2-1）x 2-（k+1）x -2=0（1）当k 取何值时，此方程为一元一次方程？并求出此方程的根（2）当k 取何值时，此方程为一元二次方程？写出这个一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项。

巩 固 练 习1、下列方程中，是一元二次方程的为（ ）A. x 2= -1B. 2x （x -1）+1=2x 2C. x 2+3x=2xD. ax 2+bx+c -0 2、已知关于x 的方程mx 2+(m -1)x -1=2x 2-x ，当m 取什么值时，这个方程是一元二次方程？3、若关于x 的一元二次方程（a -2）x 2+ 是一元二次方程，则a 的取值范围是4、把方程 (x -1)2-3x （x -2）=2（x+2）+1化成一般形式，并写出它的二次项系数、一次项系数和常数项5、若a 是方程x 2-3x+1=0的一个根，求2a 2-5a -2+231a +的值6、若关于x 的方程ax 2+bx+c=0（a≠0）中，abc 满足a+b+c=0和a -b+c=0，则方程的根是（ ）A. 1，0B. -1，0C. 1，-1D. 1，27、已知x=1是一元二次方程ax 2+bx -40=0的一个解，且a≠b ，求2222a b a b--的值【二】一元二次方程的解法一、直接开平方法1、下列方程能用直接开平方法求解的是（ ）A. 5x 2+2=0B. 4x 2-2x -1=0C. 12(x -2)2=4 D. 3x 2+4=2 2、若关于x 的一元二次方程5x 2-k=0有实数根，则k 的取值范围是_________3、已知(a 2+b 2-1)2=9，则a 2+b 2=_________4、已知一元二次方程ax 2+bx+c=0的一个根是1，且a ，b 满足等式4，求方程13y 2-2c=0的根5、用开平方法解下列方程（1）2 9(x 1)25-= （2）()26x 181-= （3）(x -1)2=(3x -4)2二、配方法1、（1）x 2--____)2 （2）3x 2+12x+____=3(x+____)2 （3）12x 2-5x+____=12(x -____)2 2、若x 2+ax+9是关于x 的完全平方式，则常数a 的值是__________3、多项式4x 2+1加上一个单项式后，成为一个整式的完全平方，那么加上的这个单项式可以是4、一元二次方程x 2-px+1=0配方后为(x -q)2=15，那么一元二次方程x 2-px -1=0配方后为（ ）A. (x -4)2=17B. (x+4)2=15C. (x+4)2=17D. (x -4)2=17或(x+4)2=175、若x 为任意实数，则x 2+4x+7的最小值为__________★★★★当x=_______时，代数式3x 2-2x+1有最_______（填大或小）值为_______6、用配方法证明：关于x 的方程(m 2-12m+37)x 2+3mx+1=0，无论m 为何值，此方程都是一元二次方程。

一元二次方程的应用题分类练习(超全)

一元二次方程的应用题分类练习(超全)

一元二次方程的应用类型一：增长率☞考点说明：平均增长率是指在上一个时间点的基础上增加的量占上一个时间点总量的百分之几，在利用平均增长率处理一元二次方程问题时，要注意单位“1”的变化.【易】1.某农机厂4月份生产零件50万个，第二季度共生产零件182万个．设该厂5,6月份平均每月的增长率为x，那么x满足的方程是()A．50(1＋x)2＝182B．50＋50(1＋x)＋50(1＋x)2＝182C．50(1＋2x)＝182D．50＋50(1＋x)＋50(1＋2x)＝182【易】2.某商店今年1月份的销售额是2万元，3月份的销售额是4.5万元，从1月份到3月份，该店销售额平均每月的增长率是（）A．20%B．25%C．50%D．62.5%【易】3.某工厂计划用两个月把产量提高21%，如果每月比上月提高的百分数相同，求这个百分数．若设每月提高的百分数为x，原产量为a，可列方程为a（1+x）2=a（1+21%），那么解此方程后依题意作答，正确的是（）A．这个百分数为2.1%或10%B．x1=2.1，x2=0.1C．x1=﹣2.1，x2=0.1D．这个百分数为10%【易】4.红光机械厂九月份生产零件50万个，十一月份生产零件72万个，设该机械厂九、十月份生产零件数量的月平均增长率为x，则可列方程为（）A．50（1+x）2=72B．50（1﹣x）2=72C．72（1﹣x）2=50D．50×2（1+x）=72【中】5.据统计，某小区2011年底拥有私家车125辆，2013年底私家车的拥有量达到180辆．(1)若该小区2011年底到2014年底私家车拥有量的年平均增长率相同，则该小区到2014年底私家车将达到多少辆？(2)为了缓解停车矛盾，该小区决定投资3万元再建若干个停车位，据测算，建造费用分别为室内车位1000元/个，露天车位200元/个．考虑到实际因素，计划露天车位的数量不少于室内车位的2倍，但不超过室内车位的2.5倍，则该小区最多可建两种车位各多少个？试写出所有可能的方案．类型二：降低率☞考点说明：平均降低率是指在上一个时间点的基础上减少的量占上一个时间点总量的百分之几，在利用平均降低率处理一元二次方程问题时，要注意单位“1”的变化.【易】1.兰州市政府为解决老百姓看病难的问题，决定下调药品的价格，某种药品经过两次降价，由每盒72元调至56元．若每次平均降价的百分率为x，由题意可列方程为______．【易】2.某厂改进工艺降低了某种产品的成本，两个月内从每件产品250元，降低到了每件160元，平均每月降低率为（）A．15%B．20%C．5%D．25%【易】3.某药品原价每盒25元，两次降价后，每盒降为16元，则平均每次降价的百分率是（）A．10%B．20%C．25%D．40%【易】4.某制药厂两年前生产1吨某种药品的成本是100万元，随着生产技术的进步，现在生产1吨这种药品的成本为81万元．设这种药品成本的年平均下降率为x，则x为（）A．3%B．6%C．8%D．10%一元二次方程的应用——数字问题类型一：位值原理的应用☞考点说明：常见的数字问题有两类：一类是应用位值原理表示数字的大小，并列出方程；另一类只需要用到数字之间的关系，比较直观.【易】1.有一个三位数，它的个位数字比十位数字大3，十位数字比百位数字小2，三个数字的平方和的9倍比这个三位数小20，求这个三位数．【易】2.已知某两位数，个位数字与十位数字之和为12，个位数字与十位数字之积为32，求这个两位数.类型二：数字关系的直接应用☞考点说明：若在数字问题中不涉及到各个数位上的数字的特征，而只已知某几个数之间的关系时，一般不需要用到位值原理，此时只需要直接设未知数表示出各个数字之间的关系即可.【易】1.两连续偶数的积是120，求这两个数．【中】2.五个连续整数，前三个数的平方和等于后两个数的平方和，求这五个整数．一元二次方程的应用——几何问题类型一：面积公式的直接应用☞考点说明：在处理面积问题时常会用到一些典型图形的面积公式.【易】1.某学校准备修建一个面积为200m2的矩形花圃，它的长比宽多10m，设花圃的宽为xm，则可列方程为()A．x(x－10)＝200B．2x＋2(x－10)＝200C．x(x＋10)＝200D．2x＋2(x＋10)＝200【易】2.如图(1)，在宽为20m，长为32m的矩形耕地上修建同样宽的三条道路(横向与纵向垂直)，把耕地分成若干小矩形块，作为小麦试验田，假设试验田面积为570m2，求道路宽为多少？设宽为xm，从图(2)的思考方式出发列出的方程是__________．【易】3.如图，在一块长为22m.宽为17m的矩形地面上，要修建同样宽的两条互相垂直的道路(两条道路各与矩形一边平行)，剩余部分种上草坪，使草坪面积为300m2.若设道路宽为xm，则根据题意可列方程为________．A．17B．26C．30D．13【易】5.从正方形铁片上截去2cm宽的一条长方形，余下的面积是48cm2，则原来的正方形铁片的面积是()A．8cm B．64cm C．8cm2D．64cm2【易】6.要用一根铁丝围成一个面积为120cm2的长方形，并使长比宽多2cm，则长方形的长是______cm.【易】7.如图，一个长为10m的梯子斜靠在墙上，梯子的顶端距地面的垂直距离为8m．如果梯子的顶端下滑1m，那么梯子的底端滑动__________m.【易】8.若一直角三角形的三条边长为三个连续偶数，且面积为24cm2，则此三角形的三条边长分别为__________．【易】9.把一块长与宽之比为2∶1的铁皮的四角各剪去一个边长为10cm的小正方形，折起四边，可以做成一个无盖的盒子．如果这个盒子的容积是1500cm3，那么铁皮的长和宽各是多少？若设铁皮的宽为x cm，则正确的方程是()A．(2x－20)(x－20)＝1500B．(2x－10)(x－20)＝1500C．10(2x－20)(x－20)＝1500D．10(x－10)(x－20)＝1500【易】10.如图，某农场有一块长40m，宽32m的矩形种植地，为方便管理，准备沿平行于两边的方向纵、横各修建一条等宽的小路，要使种植面积为1140m2，求小路的宽．设小路的宽为x，则可列方程为（）A．（40﹣2x）（32﹣x）=1140B．（40﹣x）（32﹣x）=1140C．（40﹣x）（32﹣2x）=1140D．（40﹣2x）（32﹣2x）=1140【中】11.一幅长20cm、宽12cm的图案，如图，其中有一横两竖的彩条，横、竖彩条的宽度比为3：2．若图案中三条彩条所占面积是图案面积的，求横、竖彩条的宽度．类型二：动点问题☞考点说明：动点问题是与几何相关的类型题中的难点问题，一般需要列出动点运动相关的表达式，在根据方程的解法解出所需的值即可.【难】1.已知：如图，△ABC是边长3cm的等边三角形，动点P、Q同时从A、B两点出发，分别沿AB、BC方向匀速移动，它们的速度都是1cm/s，当点P到达点B时，P、Q两点停止运动．设点P的运动时间为t（s），解答问题：当t为何值时，△PBQ是直角三角形？【难】2.已知：如图所示，在△ABC中，∠B=90°，AB=5cm，BC=7cm，点P从点A开始沿AB边向点B以1cm/s的速度移动，点Q从点B开始沿BC边向点C以2cm/s的速度移动．（1）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，△PBQ的面积等于4cm2？（2）如果P，Q分别从A，B同时出发，那么几秒后，PQ的长度等于2cm？（3）在（1）中，△PQB的面积能否等于7cm2？说明理由．【难】3.如图，已知A、B、C、D为长方形的四个顶点，AB=16cm，AD=6cm，动点P、Q 分别从点A、C同时出发，点P以3cm/s的速度沿AB至BC移动，一直到点C为止，点Q 以2cm/s的速度向点D移动．问：（1）P、Q两点从出发开始几秒时，四边形PBCQ的面积是33平方厘米？（2）P、Q两点从出发开始几秒时，AP+DQ等于长方形ABCD周长的？一元二次方程的应用——销售问题☞考点说明：最重要的是两种利润公式的应用及折扣公式（即降价公式）的应用.【易】1.某商场礼品柜台春节期间购进大量贺年卡，一种贺年卡平均每天可售出500张，每张盈利0.3元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．调查发现，如果这种贺年卡的售价每降低0.1元，那么平均每天可多售出100张．商场要想平均每天盈利120元，则每张贺年卡应降价__________元．【易】2.某商品原价200元，连续两次降价a%后，售价为148元，下列所列方程正确的是() A．200(1＋a%)2＝148B．200(1－a%)2＝148C．200(1－2a%)＝148D．200(1－a2%)＝148【易】3.某商店出售一种商品，若每件10元，则每天可销售50件，售价每降低1元，可多买6件，要使该商品每天的销售额（总售价）为504元，设每件降低x元，则可列方程为（）A．（50+x）（10﹣x）=504B．50（10﹣x）=504C．（10﹣x）（50+6x）=504D．（10﹣6x）（50+x）=504【易】4.某服装店原计划按每套200元的价格销售一批保暖内衣，但上市后销售不佳，为减少库存积压，两次连续降价打折处理，最后价格调整为每套128元．若两次降价折扣率相同，则每次降价率为（）A．8%B．18%C．20%D．25%【中】5.某超市将进价为40元的商品按50元出售，每天可卖500件．如果这种商品每涨价1元，那么其销售量就减少10件．超市若靠卖这种商品每天赚得8000元的利润，应把这种商品的售价定为每件多少元？【中】6.某商场销售一批名牌衬衫，平均每天可售出20件，每件盈利40元，为了扩大销售，增加盈利，尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，如果每件衬衫每降价1元，商场平均每天可多售出2件，若商场平均每天要盈利1200元，每件衬衫应降价多少元？【中】7.山西特产专卖店销售核桃，其进价为每千克40元，按每千克60元出售，平均每天可售出100千克，后来经过市场调查发现，单价每降低2元，则平均每天的销售可增加20千克，若该专卖店销售这种核桃要想平均每天获利2240元，请回答：(1)每千克核桃应降价多少元？(2)在平均每天获利不变的情况下，为尽可能让利于顾客，赢得市场，该店应按原售价的几折出售？【中】8.某玩具厂生产一种玩具，按照控制固定成本降价促销的原则，使生产的玩具能够及时售出，据市场调查：每个玩具按480元销售时，每天可销售160个；若销售单价每降低1元，每天可多售出2个，已知每个玩具的固定成本为360元，问这种玩具的销售单价为多少元时，厂家每天可获利润20000元？一元二次方程的应用——握手问题类型一：握手类问题☞考点说明：握手问题是一类问题，要注意其本质特点的分析，其典型特点是总体中的其中一个个体与其他的个体都有一次活动.【易】1.新年里，一个小组有若干人，若每人给小组的其它成员赠送一张贺年卡，则全组送贺卡共72张，此小组人数为（）A．7B．8C．9D．10【易】2.新年来临之际，某班同学向班上其他同学互赠新年贺卡，全班共互赠贺卡2980张，设全班有x名学生，那么根据题意可列方程（）A．x（x﹣1）=2980B．x（x﹣1）=2980C．x（x﹣1）=2980D．x（x+1）=2980【易】3.一个QQ群里有若干个好友，每个好友都分别给群里其他好友发送了一条消息，这样共有870条消息，求该群共有多少个好友．类型二：比赛问题中的“握手”模型☞考点说明：比赛中的循环赛是典型的“握手问题”.【易】1.某市工会组织了一次篮球比赛，赛制为单循环形式(每两队之间都赛一场)，共进行了45场比赛．这次参赛队的数目为()A．12B．11C．9D．10【易】2.某市要组织一次排球邀请赛，参赛的每两个队之间都要比赛一场．根据场地和时间等条件，赛程计划安排7天，每天安排4场比赛，比赛组织者应邀请多少个队参赛？【易】3.周口体育局要组织一次篮球赛，赛制为单循环形式（每两队之间都赛一场），计划安排28场比赛，应邀请多少支球队参加比赛？一元二次方程的应用——传播问题☞考点说明：病毒传播的特点是每次增长的基数都在发生变化.【易】1.某种植物的主干长出若干数目的枝干，每个枝干又长出同样数目的小分支，主干、枝干和小分支的总数是91．设每个枝干长出x个小分支，则x满足的关系式为（）A．x+x2=91B．1+x2=91C．1+x+x2=91D．1+x（x﹣1）=91【易】2.有一个人患了流感，经过两轮传染后共有121人患了流感，每轮传染中平均一个人传染了几个人？如果按照这样的传染速度，经过三轮传染后共有多少人患流感？【中】3.2014年西非埃博拉病毒疫情是自2014年2月开始爆发于西非的大规模病毒疫情，截至2014年12月02日，世界卫生组织关于埃博拉疫情报告称，几内亚、利比里亚、塞拉利昂、马里、美国以及已结束疫情的尼日利亚、塞内加尔与西班牙累计出现埃博拉确诊、疑似和可能感染病例17290例，其中6128人死亡．感染人数已经超过一万，死亡人数上升趋势正在减缓，在病毒传播中，每轮平均1人会感染x个人，若1个人患病，则经过两轮感染就共有81人患病．（1）求x的值；（2）若病毒得不到有效控制，三轮感染后，患病的人数会不会超过700人？一元二次方程的应用——存款利息问题☞考点说明：注意利息的计算公式及计算利息的方式.【易】1.孙老师前年存了5000元一年期的定期储蓄，到期后自动转存，今年到期后，共取得5300元，求这种储蓄的年利率．（精确到0.1%）．【易】2.小红的妈妈前年存了5000元一年期的定期储蓄、到期后自动转存、今年到期扣除利息税（利息税为利息的20%）共得5145元，求这种储蓄的年利率．（精确到0.1%）【中】3.某公司向工商银行贷款30万元，这种贷款要求公司在两年到期时，一次性还清本息，利息是本金的12%，该公司用这笔贷款经营，两年到期时，除还清贷款的本金和利息外，还盈余9.6万元，若经营期间每年与上一年相比资金增长的百分数相同，求这个百分数．。

人教版九年级-一元二次方程知识点总结及基础题型

人教版九年级-一元二次方程知识点总结及基础题型

一元二次方程知识点一：一元二次方程的定义等号两边都是整式，只含有一个未知数（一元），并且未知数的最高次数是2（二次）的方程叫做一元二次方程，一般形式是),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++类型：()()()()⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧≠=++≠=+≠=+≠=000000002222a c bx ax a c axa bx ax a ax ④③②①判断一元二次方程的步骤例1：1.下列方程时一元二次方程的是①2032=+x x ；②04322=+-xy x ；③412=-x x ；④02=x ；⑤0332=+-x x ⑥x 2﹣1=y ⑦（x+2）（x+1）=x 2 ⑧ 6x 2=5 ⑨⑩2x +3x +y=0 ；⑪ x+y+1=0 ；⑫ 213122+=+x x ； ⑬ 0512=++x x⑭；⑮3y 2﹣2y=﹣1；⑯2x 2﹣5xy+3y 2=0；⑰⑱ ；⑲ ；⑳ ；④ ；⑤ ；⑥；⑦ ；⑧ ；⑨ ；⑩（）． 2．关于x 的方程mx 2+3x=x 2+4是一元二次方程，则m 应满足条件是 _________ ．3．关于x 的一元二次方程ax 2﹣3x+2=0中，a 的取值范围是 _________ ．4．当m= _________ 时，方程（m 2﹣1）x 2﹣mx+5=0不是一元二次方程．1.把方程化成一般形式),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++2.最高次数=23.最高次项的系数≠05．若关于x 的方程（k ﹣1）x 2﹣4x ﹣5=0是一元二次方程，则k 的取值范围是__________ 例2：当=m 时，方程072)1(1=-+-+x x m m 为一元二次方程6．若是关于x 的一元二次方程，则a= _________ ．7．若关于x 的方程（m ﹣1）﹣mx ﹣3=0是一元二次方程，则m= _________ ．8．当k= _________ 时，（k ﹣1）﹣（2k ﹣1）x ﹣3=0是关于x 的一元二次方程． 9．方程（m+2）x |m|+3mx+1=0是关于x 的一元二次方程，则m=__________10．关于x 的方程（m ﹣2）x |m|﹣mx+1=0是一元二次方程，则m=___________知识点二：一元二次方程的一般形式一元二次方程的一般形式是),,,0(02为常数c b a a c bx ax ≠=++，其中2ax 是二次项，a 是二次项系数；bx 是一次项，b 是一次项系数；c 是常数项①0≠a ；②指出二次项系数，一次项系数，常数项时，一定要带上前面的符号③一元二次方程化为一般形式时，若没出现一次项bx ，并不是没有，而是0=b例3： 把方程（1）()()1231=+-x x （2）（3）（4）化为一般形式，并写出它的二次项系数，一次项系数和常数项1．一元二次方程的二次项系数、一次项系数、常数项分别是_______________2.一元二次方程142=+x x 的二次项系数，一次项系数，常数项分别是3.一元二次方程2x －3x = 4的一般形式是 ，一次项系数为 。