一元二次方程题型归纳
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一元二次方程的解法1．一元二次方程只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2，这样的整式方程叫做一元二次方程．2．一元二次方程的一般形式为ax2＋bx＋c＝0(a≠0)，其中ax2叫做二次项，a叫做二次项系数；bx叫做一次项，b叫做一次项系数；c叫做常数项．一元二次方程的解法是本章的重点内容，课本中实际上介绍了四种解法：直接开平方法、配方法、公式法和因式"1.用直接开平方法解一元二次方程直接开平方法适用于解形如(x+h) 2=m的方程（1）2x－16＝0 （2）162x－1＝0（3）252x－16＝0 （4）42x－25＝0（1）(1－x)2 = 1 （2）(1+x)2－2 = 0^（3）(2x+1) 2+3 = 0 （4）x2－2x+1= 4.2．配方法的一般步骤是：牢牢记住配方的关键是“添加的常数项等于一次项系数一半的平方”．（1） { （2） 方程两边同除以二次项系数，•将二次项系数化为1；（2）移项，使方程左边为二次项、一次项，右边为常数项；（3）配方，•方程两边都加上一次项系数一半的平方，使方程左边为一个完全平方式，右边是一个常数的形式；（4）如果右边是非负数，两边直接开平方解这个一元二次方程．（2）用配方法解下列方程： 例题：3x 2-6x+4=0。
⑴x 2-10x+24=0 ⑵x 2-8x+15=0 ⑶x 2+2x-99=0 ⑷y 2+5y+2=0；（5） x 2-8x+1=0 （6） x 2+10x+9=0 （7） x 2-x-47=0 （8） 4x 2-6x-3=0：（9）3x 2+6x-4=0 （10）2x 2+1=3x （11）x 2+4x-9=2x-11 （12）x(x+4)=8x+123、用因式分解法解方程因式分解法的步骤是：①方程右边化为0，②左边化为两个因式的积，③每一个因式等于0，④解这两个一元一次方程。
（1）1002x x -=（2）42222()()x x +=+*（3）2x＋3x＋2＝0 （4）2x－8x＋15＝0 （5）2x＋4x－21＝0 （6）22x＋9x＋7＝0 (7) －2x＋2x＋63＝0 (8) －2x－3x＋54＝0*用十字相乘法解下列一元二次方程（1）2x＋3x＋2＝0 （2）2x－13x＋36＝0 （3）2x－7x=18（4）32x＋11x－20＝0 （5）2x＋18x＋81＝04、用因式分解法解方程（通用的方法）用一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)的求根公式x＝a acb b24 2-±-(b2－4ac≥0)，这种解一元二次方程的方法叫做公式法．~求根公式是针对一元二次方程的一般形式来说的，使用求根公式时，必须先把方程化成一般形式，才能正确地确定各项系数，在应用公式之前，先计算出b2－4ac的值，当b2－4ac≥0时，代入公式求出方程的根；当b2－4ac＜0时，方程没有实数根，这时就不必再代入公式了．一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的根的判别式Δ=b2-4ac。
Δ>0时，方程有两个不相等的实数根。
Δ=0时，方程有两个相等的实数根。
Δ<0时，方程没有实数根。
例1：把方程( x + 3 )( 3x－4 ) = (x + 2)2化成一般形式，并指出它的二次项系数、一次项系数及常数项。
练习1：将下列方程化成一元二次方程的一般形式，并指出二次项系数，一次项系数及常数项． (1)2x 2＝3x ＋5 (2)(x ＋1)(x －1)＝1 (3)(x ＋2)2－4＝0 （4）x ＋1）2-2（x-1）＝6x-5》（5）（2x ＋1）（4x-2）＝（2x-1）2＋2 （6）（x ＋3）（x-4）＝-6$例2：不解方程，判断下列方程的根的情况：2x 2+3x-4=0练习2：不解方程，判别下列方程的根的情况： (1) 22310x x -+= (2) 24912y y +=(3) 25(3)60x x +-=#练习3：用公式法解下列方程： (1)x 2－2x ＋1＝0(2)x (x ＋8)＝16 (3)x 2－35x ＝2 (4)0．8x 2＋x ＝0．3>(5)4x 2－1＝0(6)x 2＝7x (7)3x 2＋1＝23x (8)12x 2＋7x ＋1＝0一元二次方程根与系数的关系一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为：}22b b x x a a-+--==所以：12b x x a+=+=-，12244ac cx x a a⋅====定理：如果一元二次方程20 (0)ax bx c a ++=≠的两个根为12,x x ，那么：说明：一元二次方程根与系数的关系由十六世纪的法国数学家韦达发现，所以通常把此定理称为”韦达定理”．上述定理成立的前提是0∆≥．)1． 请完成下面的表格：-）2、不解方程，求下列方程两根的和与积①0132=+-x x ②05322=-+x x ③x x x +=-2235 ④01)2(=+-x x【例1】3、已知方程022=--c x x 的一个根是3，求方程的另一个根及c 的值。
，跟踪练习：1、已知方程032=+-c x x 的一个根是2，求另一个根及c 的值。
2、已知方程x 2-6x+m 2-2m+5=0一个根为2，求另一个根及m 的值，3、已知关于x 的方程221(1)104x k x k -+++=，如果方程两实根的积为5，求出k 的值．【例2】已知α,β是方程x 2-3x-5=0的两根,不解方程,求下列代数式的值|[跟踪练习：1、若12,x x 是方程2220070x x +-=的两个根，试求下列各式的值： (1) 2212x x +；(2)1211x x +； (3) 12(5)(5)x x --； (4) 12||x x -．一元二次方程测试221(2)(3)αβαβαβ++-1(1)一、选择题1、下列方程中，关于x 的一元二次方程是（ ）（A ）()()12132+=+x x （B ）02112=-+xx$（C ）02=++c bx ax （D ） 1222-=+x x x 2、已知3是关于x 的方程012342=+-a x 的一个解，则2a 的值是（ ） （A ）11 （B ）12 （C ）13 （D ）14 3、关于x 的一元二次方程02=+k x 有实数根，则（ ）（A ）k ＜0 （B ）k ＞0 （C ）k ≥0 （D ）k ≤0 4、已知x 、y 是实数，若0=xy ，则下列说法正确的是（ ）（A ）x 一定是0 （B ）y 一定是0 （C ）0=x 或0=y （D ）0=x 且0=y~5、若12+x 与12-x 互为倒数，则实数x 为（ ）（A ）±21（B ）±1 （C ）±22 （D ）±26、若方程02=++c bx ax )0(≠a 中，c b a ,,满足0=++c b a 和0=+-c b a ，则方程的根是（ ） （A ）1，0 （B ）-1，0 （C ）1，-1 （D ）无法确定 7、用配方法解关于x 的方程x 2 + px + q = 0时，此方程可变形为( )（A ） 22()24p p x +=（B ） 224()24p p qx -+=（C ） 224()24p p qx +-=（D ） 224()24p q p x --=。
8、使分式2561x x x --+ 的值等于零的x 是 （ )（A ）6 （B ）-1或6 （C ）-1 （D ）-6 二、填空题9、把一元二次方程4)3(2=-x 化为一般形式为： ，二次项为： ，一次项系数为： ，常数项为： 。
10写出一个一根为2的一元二次方程_________ _____。
11、认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当： (1)4x 2=5，应选用 法；…(2)2x 2-3x -3=0，用选用 法。
12、方程0162=-x 的根是 ; 方程 0)2)(1(=-+x x 的根是 。
13、已知方程x 2+kx+3=0 的一个根是 - 1，则k= , 另一根为 。
14、++x x 32+=x ( 2) 。
15、一元二次方程(x －1)(x －2)＝0的两个根为x 1，x 2，且x 1＞x 2，则2212x x +＝_______。
三、解答题（4×7=28）16、解方程，（1）x 2＝49 （直接开平方法） （2）9)12(2=-x （直接开平方法） （3）0432=-+x x （用配方法）（4）)4(5)4(2+=+x x （因式分解法） （5）x (x ＋8)＝16（公式法）`一、二、9、把一元二次方程73化为一般形式为：2650x x -+=，二次项为：2x ，次项系数为： -6 ，常数项为： 5 。
10写出一个一根为2的一元二次方程__略___。
11、认真观察下列方程，指出使用何种方法解比较适当： (1)4x 2=5，应选用 开平方 法； (2)2x 2-3x -3=0，用选用 公式 法。
12、方程0162=-x 的根是124,4x x =-=; 方程 0)2)(1(=-+x x 的根是122,1x x ==-。
13、已知方程x 2+kx+3=0 的一个根是 - 1，则k= 4 , 另一根为 -3 。
14、++x x 3294 +=x ( 322) 。
15、一元二次方程(x－1)(x－2)＝0的两个根为x1，x2，且x1＞x2，则x1－2x2＝___0___。
三、解答题26、解方程（2）2，-1 （3）-4，1 （4）-4，1（1）7。
