偏微分方程数值解法

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第十章偏微分方程数值解法偏微分方程问题，其求解十分困难。除少数特殊情况外，绝大多数情况均难以求出精确解。因此，近似解法就显得更为重要。本章仅介绍求解各类典型偏微分方程定解问题的差分方法。 §1差分方法的基本概念 1.1几类偏微分方程的定解问题椭圆型方程：其最典型、最简单的形式是泊松（Poisson）方程

特别地，当0),(yxf时，即为拉普拉斯（Laplace）方程，又称为调和方程 Poisson方程的第一边值问题为

其中为以为边界的有界区域，为分段光滑曲线，

称为定解区域，),(yxf，),(yx分别为，上的已知连续函数。第二类和第三类边界条件可统一表示为

其中n为边界的外法线方向。当0时为第二类边界条件， 0时为第三类边界条件。

抛物型方程：其最简单的形式为一维热传导方程方程可以有两种不同类型的定解问题：初值问题初边值问题

其中)(x，)(1tg，)(2tg为已知函数，且满足连接条件边界条件)(),(),(),0(21tgtlutgtu称为第一类边界条件。第二类和第三类边界条件为

其中0)(1t，0)(2t。当0)()(21tt时，为第二类边界条件，否则称为第三类边界条件。双曲型方程: 最简单形式为一阶双曲型方程物理中常见的一维振动与波动问题可用二阶波动方程描述，它是双曲型方程的典型形式。方程的初值问题为边界条件一般也有三类，最简单的初边值问题为 1.2差分方法的基本概念差分方法又称为有限差分方法或网格法，是求偏微分方程定解问题的数值解中应用最广泛的方法之一。它的基本思想是：先对求解区域作网格剖分，将自变量的连续变化区域用有限离散点（网格点）集代替；将问题中出现的连续变量的函数用定义在网格点上离散变量的函数代替；通过用网格点上函数的差商代替导数，将含连续变量的偏微分方程定解问题化成只含有限个未知数的代数方程组（称为差分格式）。如果差分格式有解，且当网格无限变小时其解收敛于原微分方程定解问题的解，则差分格式的解就作为原问题的近似解（数值解）。因此，用差分方法求偏微分方程定解问题一般需要解决以下问题：（1）选取网格；（2）对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式；（3）求解差分格式；（4）讨论差分格式解对于微分方程解的收敛性及误差估计。下面，用一个简单的例子来说明用差分方法求解偏微分方程问题的一般过程及差分方法的基本概念。设有一阶双曲型方程初值问题。（1）选取网格：－2h-h0h2h3h

首先对定解区域}0,),{(txtxD作网格剖分，最简单常用一种网格是用两族分别平行于x轴与t轴的等距直线 khxxk，

(0,1,2,0,1,2,)jttjkj将D分成许

多小矩形区域。这些直线称为网格线，其交点称为网格点，也称为节点， h和分别称作x方向和t方向的步长。这种网格称为矩形网格。

（2）对微分方程及定解条件选择差分近似，列出差分格式：如果用向前差商表示一阶偏导数，即

其中1,021。方程0uuatx 在节点),(jktx处可表示为其中(,0)()(0,1,2,)kkuxxk。由于当,h

足够小时，在式

中略去),(jktxR，就得到一个与方程相近似的差分方程此处，jku,可看作是问题的解在节点),(jktx处的近似值。同初值条件结合，就得到求问题的数值解的差分格式。式称为差分方程的截断误差。

如果一个差分方程的截断误差为)(pqhOR，则称差分方程对t是q阶精度，对x是p阶精度的。显然，截断误差的阶数越大，差分方程对微分方程的逼近越好。若网格步长趋于0时，差分方程的截断误差也趋于0，则称差分方程与相应的微分方程是相容的。这是用差分方法求解偏微分方程问题的必要条件。如果当网格步长趋于0时，差分格式的解收敛到相应微分方程定解问题的解，则称这种差分格式是收敛的。 §2椭圆型方程第一边值问题的差分解法本节以Poisson方程为基本模型讨论第一边值问题的差分方法。 2.1差分格式的建立考虑Poisson方程的第一边值问题

取,h分别为x方向和y方向的步长，如图所示，以两族平行

线khxxk，(,0,1,2,)jyyjkj将定解区域剖分成矩形网格。节点的全体记为

{(,),,,}kjkjRxyxkhyjkj为整数。定解区域内部的节点称为内点，记内点集R为h。边界与网格线的交点称为边界点，边界点全体记为h。与节点),(jkyx沿x方向或y方向只差一个步长的点),(1jkyx和),(1jkyx称为节点),(jkyx的

相邻节点。如果一个内点的四个相邻节点均属于，称为正则内点，正内点的全体记为)1(，至少有一个相邻节点不属于 的内点称为非正则内点，非正则内点的全体记为)2(。问题是要求出第一边值问题在全体内点上的数值解。

为简便，记),(),(jkyxjk，(,)(,)kjukjuxy，),(,jkjkyxff。对正则

内点)1(),(jk，由二阶中心差商公式

Poisson方程2222(,)uufxyxy在点),(jk处可表示为其中

为其截断误差表示式，略去),(jkR，即得与方程相近似的差分方程

式中方程的个数等于正则内点的个数，而未知数jku,则除了包含正则内点处解u的近似值外，还包含一些非正则内点处u的近似值，因而方程个数少于未知数个数。在非正则内点处Poisson 方程的差分近似不能按上式给出，需要利用边界条件得到。边界条件的处理可以有各种方案，下面介绍较简单的两种。（1）直接转移

用最接近非正则内点的边界点上的u值作为该点上u值的近似，这就是边界条件的直接转移。

例如，点),(jkP为非正则内点，其最接近的边界点为Q点，则有上式可以看作是用零次插值得到非正则内点处u的近似值，容易求出，其截断误差为)(hO。将上式代入，方程个数即与未知数个数相等。（2）线性插值

这种方案是通过用同一条网格线上与点P相邻的边界点与内点作线性插值得到非正则内点),(jkP处u值的近似。由点R与 T的线性插值确定)(Pu的近似值jku,，得

其中RPd，其截断误差为)(2hO。将其与方程相近似的差分方程联立，得到方程个数与未知数个数相等的方程组，求解此方程组可得Poisson方程第一边值问题的数值解。上面所给出的差分格式称为五点菱形格式，

实际计算时经常取h，此时五点菱形格式可化为简记为

h◇jkjkfu,,

其中◇jkjkjkjkjkjkuuuuuu,1,1,,1,1,4。例1用五点菱形格式求解拉普拉斯（Laplace）方程第一边值问题

其中}1,0),{(yxyx。取31h。（0,0）(1,0)(2,0)(3,0) [解]网格中有四个内点，均为正则内点。由五点菱形格式，得方程组 





0)4(10)4(10)4(10)4(12,21,23,22,12,322,11,13,12,02,221,20,22,21,11,321,10,12,11,01,22uuuuuh

uuuuuh

代入边界条件1,02,00,10,21,32,33,13,2

1625lg,lg991013lg,lg992534lg,lg993740lg,lg99uuuuuuuu













其解为 2756919.01,1u， 4603488.01,2u，

3467842.02,1u，5080467.02,2u

当h时，对

1,1,,1,1,,21(4)kjkjkjkjkjkjuuuuufh

利用点),(jk，)1,1(jk，)1,1(jk构造的差分格式，称为五点矩形格式，简记为 221h□jkjkfu,,

其中□jkjkjkjkjkjkuuuuuu,1,11,11,11,1,4，其

截断误差为

五点菱形格式与矩形格式的截断误差均为)(2hO，称它们具有二阶精度。如果用更多的点构造差分格式，其截断误差的阶数可以提高，如利用菱形格式及矩形格式所涉及的所有节点构造出的九点格式就是具有四阶精度的差分格式。 §3抛物型方程的差分解法以一维热传导方程为基本模型讨论适用于抛物型方程定解问题的几种差分格式。 3.1差分格式的建立

首先对xt平面进行网格剖分。分别取,h为x方向与t方向的步长，用两族平行直线(0,1,2,)kxxkhk，)2,1,0(jjttj

，将xt平面剖分成矩形网格，节点

为(,)(0,1,2,,0,1,2)kjxtkj。为简便，记),(),(jktxjk，),(),(jktxujku，)(kkx，)(11jjtgg，

221122(),(),()jjjjjjggttt。

（一）微分方程的差分近似

在网格内点),(jk处，对tu分别采用向前、向后及中心差商公式一维热传导方程可分别表示为由此得到一维热传导方程的不同差分近似

计算物理学(刘金远)课后习题答案第6章：偏微分方程数值解法

第6章：偏微分方程数值解法6.1对流方程【6.1.1】考虑边值问题, 01,0(0,)0,(1,)1(,0)t x x u au x t u t u t u x x=<<>ìï==íï=î如果取：2/7x D =，(0.5),1,2,3j x j x j =-D =，8/49t D =，k t k t=D 求出111123,,u u u 【解】采用Crank-Nicolson 方法()11111111211222k k k k k k k k j j j j j j j j u u u u u u u u t x ++++-+-+éù-=-++-+ëûD D 11111113k k k k k kj j j j j j u u u u u u +++-+-+-+-=-+由边界条件：(0,)0x u t =，取100k ku u x-=D ，10,0,1,k ku u k ==L (1,)1u t =，41ku =-1 1 0 0 - (1+2s) -s 0 0 -s (1+2s) -s 0 -s (1+2s) -s 0 s L L L L 101210 0 0 0 (1-2s) s 0 0 s (1-2s) s 0 s ( 1 k n n u u s u u u +-éùéùêúêúêúêúêúêú=êúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëûL L L L L 01211-2s) s 0 1 1kn u u u u -éùéùêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëûL 由初始条件：021(72j j u x j ==-，1,2,3j =，212()t s x D ==D -1 1 0 0 0-1 3 -1 0 0 0 -1 3 -1 0 -1 3 -1 0 1012340 0 0 0 01 -1 1 0 00 1 -1 1 0 1 -1 1 1 u u u u u éùéùêúêúêúêúêúêú=êúêúêúêúêúêúëûëû00123 0 1 1u u u u éùéùêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúêúëûëû000117u u ==，0237u =，0357u =1112327u u -=，111000123123337u u u u u u -+-=-+=，11100234235317u u u u u -+-=-+=114591u =125191u =，136991u =6.2抛物形方程【6.2.1】分别用下面方法求定解问题22(,0)4(1)(0,)(1,)0u u t x u x x x u t u t ì¶¶=ï¶¶ïï=-íï==ïïî01,0x t <<>（1）取0.2x D =，1/6l =用显式格式计算1i u ；(2)取0.2,0.01x t D =D =用隐式格式计算两个时间步。

偏微分方程组数值解法

偏微分方程组数值解法
偏微分方程组是描述自然、科学和工程问题的重要数学工具。

由于解析解通常难以获得，因此需要使用数值方法来解决这些方程组。

本文将介绍偏微分方程组的一些数值解法，包括有限差分法、有限元法、谱方法和边界元法等。

有限差分法是一种基本的数值方法，将偏微分方程转化为差分方程，然后使用迭代算法求解。

该方法易于理解和实现，但对网格的选择和精度的控制要求较高。

有限元法是目前广泛使用的数值方法之一，它将偏微分方程转化为变分问题，并通过对函数空间的逼近来求解。

该方法对复杂几何形状和非线性问题有很好的适应性，但需要对网格进行精细的划分，计算量较大。

谱方法是一种高精度的数值方法，它将偏微分方程转化为特征值问题，并使用级数逼近来求解。

该方法在高精度求解、解析性质研究和数值计算效率方面具有优势，但需要对函数的光滑性和周期性有较高的要求。

边界元法是一种基于边界积分方程的数值方法，它将偏微分方程转化为边界积分方程，并使用离散化方法求解。

该方法适用于求解边界问题和无穷域问题，但对边界的光滑性和边界积分算子的性质有较高的要求。

总之，在实际问题中选择合适的数值方法需要综合考虑问题的性质、计算资源、精度要求等因素。

偏微分方程的差分方法与数值解

显式差分格式
01
利用前一时间步长的温度值，通过差分公式计算下一
时间步长的温度分布。
隐式差分格式
02 需要求解线性方程组，但具有更好的稳定性，适用于
大时间步长。
Crank-Nicolson格式
03
结合了显式与隐式格式的优点，具有二阶精度和无条
件稳定性。
波动方程的数值解法
01
有限差分时间域（ FDTD）方法
数值解法的稳定性和收敛性需要仔细考虑，否则可能导致计算结果不准确。
未来发展趋势和挑战
发展趋势
随着计算机技术的不断发展，更高性能的计算机和更先进的算法将使得偏微分方程的数值解法更加高效和精确。
结合人工智能和机器学习技术，可以开发出更加智能化的数值解法，提高计算效率和精度。
未来发展趋势和挑战
未来发展趋势和挑战
数值解的应用
数值解在各个领域都有广泛的应用，如物理学中的波动方程、热传导方程和量子力学方程，化学中的反应扩散方程，生物学中的生态模型和神经网络模型，以及工程学中的结构力学、流体力学和电磁场问题等。
02
偏微分方程的基本概念和性质
偏微分方程的定义和分类
定义
偏微分方程是包含未知函数及其偏导数的方程。
分类
根据方程中未知函数的最高阶偏导数的阶数，可分为一阶、二阶和高阶偏微分方程；根据方程中是否包含未知函数的非线性项，可分为线性和非线性偏微分方程。
偏微分方程的定解条件和适定性
定解条件
为了使偏微分方程的解唯一确定，需要给出定解条件，如初始条件、边界条件等。
VS
适定性
适定性是指偏微分方程定解问题的解的存在性、唯一性和稳定性。对于线性偏微分方程，通常可以通过能量方法等方法研究其适定性；对于非线性偏微分方程，适定性的研究更加复杂，需要运用不动点定理、上下解方法、变分方法等工具。