湖南省2008年数学竞赛试题

y2008高考湖南理科数学试题及详解(word 版)一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1．复数31()i i-等于( )A.8B.－8C.8iD.－8i【答案】D【解析】由33412()()88ii i ii i--==-⋅=-,易知D 正确. 2．“12x -<成立”是“(3)0x x -<成立”的( )A ．充分不必要条件B.必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件 【答案】B【解析】由12x -<得13x -<<，由(3)0x x -<得03x <<，所以易知选B.3.已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x y +的最大值是( )A.2B.5C.6D.8【答案】C【解析】如图得可行域为一个三角形，其三个顶点分别为(1,1),(1,4),(3,3),代入验证知在点(3,3)时,x y +最大值是33 6.+=故选C.4.设随机变量ξ服从正态分布(2,9)N ,若(1)(1)P c P c ξξ>+=<-,则c = ( )A.1B.2C.3D.4【答案】B【解析】2(2,3)N ⇒Q 12(1)1(1)(),3c P c P c ξξ+->+=-≤+=Φ 12(1)(),3c P c ξ--<-=Φ31()()1,33c c --∴Φ+Φ= 311()()1,33c c --⇒-Φ+Φ=解得c =2, 所以选B.5.设有直线m 、n 和平面α、β.下列四个命题中，正确的是( )A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α 【答案】D【解析】由立几知识,易知D 正确.6.函数2()sin cos f x x x x =在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是( ) A.1B.12+ C.32【答案】C【解析】由1cos 21()2sin(2)226x f x x x π-=+=+-, 52,42366x x πππππ≤≤⇒≤-≤Qmax 13()1.22f x ∴=+=故选C.7.设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =u u u r u u u r 2,CE EA =u u u r u u u r 2,AF FB =u u u r u u u r则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与BC uuu r ( )A.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直【答案】A【解析】由定比分点的向量式得:212,1233AC AB AD AC AB +==++u u u r u u u r u u u r u u u r u u u r12,33BE BC BA =+u u u r u u u r u u u r 12,33CF CA CB =+u u u r u u u r u u u r以上三式相加得1,3AD BE CF BC ++=-u u u r u u u r u u u r u u ur 所以选A.8.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是( ) A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)1【答案】B【解析】233,22aex a e a a ac-=⨯->+Q23520,e e⇒-->2e∴>或13e<-(舍去),(2,],e∴∈+∞故选B.9.长方体ABCD－A1B1C1D1的8个顶点在同一球面上，且AB=2,AD,AA1=1, 则顶点A、B间的球面距离是()C.2D.4【答案】C【解析】112BD AC R===QR∴=设11,BD AC O=I则OA OB R===,2AOBπ⇒∠=,2l Rπθ∴==故选C.10.设［x］表示不超过x的最大整数（如［2］=2, ［54］=1）,对于给定的n∈N*, 定义[][](1)(1),(1)(1)xnn n n xCx x x x--+=--+LLx∈[)1,+∞,则当x∈3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，函数x n C的值域是( )A.16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.284,3⎛⎫⋃⎪⎝⎭[)28,56 D.16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦【答案】D【解析】当x∈3,22⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，328816,332C==当2x→时，[]1,x=所以8842xC==;当[)2,3时，288728,21C⨯==⨯当3x→时，[]2,x=88728,323xC⨯==⨯故函数xC8的值域是16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃⎥⎥⎝⎦⎝⎦.选D.二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。

2016年湖南省高中数学竞赛试题及答案一、选择题（本大题共6个小题，每小题5分，满分30分．每小题所提供的四个选项中只有一项是符合题目要求的）1.设集合{}0123,,,S A A A A =，在S 上定义运算“⊕”为：i j k A A A ⊕=，其中k 为i j +被4除的余数，,0,1,2,3.i j =则满足关系()20x x A A ⊕⊕=的()x x S ∈的个数为（ ）A ．1B ．2C ．3D ．4 答案：B ．提示：因为()20,x x A A ⊕⊕=，设kx x A ⊕=，所以20,2,k A A a k ⊕==即2x x A ⊕=，故1x A =或3.x A =答案：A ．2.一个骰子由1-6六个数字组成，根据如图所示的三种状态显示的数字，可推得“？”的数字是 （ ）A ．6B ．3C ．1D ．2 3.设函数()2c o s ,fx x x =-{}n a 是公差为8π的等差数列，()()12f a f a +++()n f a 5,π=则()2315f a a a -=⎡⎤⎣⎦ （ ）A ．0B ．116π C ．18π D ．21316π答案：D ．提示：因为{}n a 是公差为8π的等差数列，且 ()()12f a f a +++()5f a()()()1122552cos 2cos 2cos 5,a a a a a a π=-+-++-=即()()1251252cos cos cos 5a a a a a a π+++-+++=，所以33333310cos cos cos cos cos 5.4884a a a a a a πππππ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫--+-+++++= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦即33102cos2cos1cos 5.48a a πππ⎛⎫-++= ⎪⎝⎭记()102cos2cos1cos 548g x x x πππ⎛⎫=-++- ⎪⎝⎭，则 ()102cos 2cos 1sin 048g x x ππ⎛⎫'=+++> ⎪⎝⎭，即()g x 在R 为增函数，有唯一零点2x π=，所以3.2a π=所以()2223151320.2242416f a a a ππππππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫-=⨯---+=⎡⎤ ⎪ ⎪⎪⎣⎦⎝⎭⎝⎭⎝⎭ 4.设,m n 为非零实数，i 为虚数单位，z C ∈，则方程z ni z mi n ++-=与方程z ni z mi m+--=-在同一复平面内的图形（其中12,F F 是焦点）是（ ）答案：B ． 提示：z n i z m i n ++-=表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的椭圆且0.n >z ni z mi m +--=-表示以()()120,,0,F n F m -为焦点的双曲线的一支．由n z ni z mi m n =++-≥+，知0.m <故双曲线z ni z mi m +--=-的一支靠近点2F ．5.给定平面向量()1,1，那么，平面向量11,22⎛+ ⎝⎭是将向量()1,1经过 变换得到的，答案是 （ ）A ．顺时针旋转60所得B ．顺时针旋转120所得C ．逆时针旋转60所得D ．逆时针旋转120所得 答案：C ．提示：设两向量所成的角为θ，则()1,11cos ,2θ⋅==又0,180θ⎡⎤∈⎣⎦，所以60θ=．又110,022<>，所以C 正确． 6.在某次乒乓球单打比赛中，原计划每两名选手各比赛一场，但有3名选手各比赛了两场之后就退出了，这样全部比赛只进行了50场，那么上述3名选手之间比赛场数是（ ）A ．0B ．1C ．2D ．3 答案：B ．提示：设这3名选手之间比赛的场数是r ，共n 名选手参赛，依题意有23650n Cr -+-=，即()()3444.2n n r --=+因为03r ≤≤，所以分4种情况讨论：①当0r =时，有()()3488n n --=，即27760n n --=，但它没有正整数解，故0r ≠；②当1r =时，有()()3490n n --=，解得13n =，故1r =符合题意；③当2r =时，有()()3492n n --=，即27800,n n --=但它没有正整数解，故2r ≠； ④当3r =时，有()()3494n n --=，即27820n n --=，但它没有正整数解，故 3.r ≠二、填空题（本大题共6个小题，每小题8分，满分48分，解题时只需将正确答案直接填在横线上．）7.规定：对于x R ∈，当且仅当()*1n n n n N ≤<+∈时，[]x n =．则不等式[][]2436450x x -+≤的解集是 ．答案：28.x ≤≤。

湖南省2008年普通高等学校单独招生统一考试数学试卷时量150分钟，满分150分参考公式：如果事件A 、B 互斥，那么)()()(B P A P B A P +=+ 如果事件A 、B 相互独立，那么)()()(B P A P B A P ⋅=⋅如果事件A 在1次实验中发生的概率是P ，那么n 次独立重复实验中恰好发生k 次的概率k n kk n n P P C k P --=)1()(球的表面积公式24S R π=球，体积公式334R V π=球， 其中R 表示球的半径一．选择题（本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的） 1．函数2(21)2log (1)xx y x -+=>的反函数为1()y f x -=，则1(2)f -等于A ．3B ．2C ．0D ．-2 【答案】A【解析】反函数为1()1)y f x x R -==∈，所以1(2)123f -=+=．2．设集合{}(,)2xA x y y =|=，{}(,),B x y y a a R =|=∈，则集合A B 的子集个数最多有A ．1个B ．2个C ．3个D ．4个 【答案】B【解析】由于20x>，当0a ≤时，A B =Φ ；当0a >时，A B 惟一确定，只含有一个元素，则集合A B 的子集个数最多．．有两个，即Φ和A B ．3．从双曲线虚轴的一个端点看两个顶点的视角为直角，则双曲线的离心率为 A ．12 B ．2 C．2D【答案】D【解析】不妨设双曲线的方程为22221x y a b-=，由题设得a b =，则c =，所以ce a==4．过(1,1)P 作圆224x y +=的弦AB ，若12AP BA =-，则AB 的方程是A ．1y x =+B ．2y x =+C ．2y x =-+D ．2y x =-- 【答案】C【解析】由12AP BA =-知点P 为AB 的中点，所以OP AB ⊥，11OP AB k k = ∴=-，所以AB 的方程为11(1)2y x y x -=-⨯-⇒=-+．5．在310(1)(1)x x -+展开式中，5x 的系数是A ． 297-B ． 252-C ．297D ．207 【答案】D【解析】（略解）53210101(1)25245207C C ⨯+-⨯=-=．6．函数2sin(2)3y x π=-的单调递增区间是A ．5,()1212k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ B ．511,()1212k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦C ．,()36k k k Z ππππ⎡⎤-+∈⎢⎥⎣⎦ D ．2,()63k k k Z ππππ⎡⎤++∈⎢⎥⎣⎦ 【答案】B【解析】2sin(2)2sin(2)33y x x ππ=-=--，由于函数sin(2)3y x π=-的单调递减区间为2sin(2)3y x π=-的单调递增区间， 即3511222()()2321212k x k k Z k x k k Z πππππππππ+≤-≤+∈⇒+≤≤+∈． 7．若lim 1()11n n b b →∞⎡⎤-=⎢⎥-⎣⎦，则b 的取值范围是 A ．112b << B ．1122b -<< C ．12b < D ．102b << 【答案】C 【解析】lim 1()1lim()11n nn n b b b b →∞→∞⎡⎤-=-⎢⎥--⎣⎦，即1lim()01112n n b b b b b →∞⇒<<⇒<--． 8．设01x <<，则491y x x=+-的最小值为 A ．24 B ．25C ．26D ．1【答案】Ｃ【解析】491x x +≥-491x x =-，即413x =时取“＝”），所以26=． 9．如图是由四个全等的直角三角形与一个小正方形拼成的一个大正方形，现在用四种颜色给这四个直角三角形区域涂色，规定每个区域只涂一种颜色，相邻区域颜色不相同，则有多少种不同的涂色方法A ．24种B ．72种C ．84种D ．120种 【答案】C【解析】设四个直角三角形顺次为A 、B 、C 、D 。

绝密★启用前2008年普通高等学校招生全国统一考试（湖南卷）数 学(理工农医类)一、选择题:本大题共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1．复数31()i i-等于A.8B.－8C.8iD.－8i (D)2．“|x －1|＜2成立”是“x （x －3）＜0成立”的A ．充分而不必要条件B.必要不充分条件C ．充分必要条件 D.既不充分也不必要条件（B ）3.已知变量x 、y 满足条件1,0,290,x x y x y ≥⎧⎪-≤⎨⎪+-≤⎩则x+y 的最大值是A.2B.5C.6D.8(C)4.设随机变量ζ服从正态分布N (2,9) ,若P (ζ＞c+1)=P (ζ＜c －)1,则c =A.1B.2C.3D.4(B)5.设有直线m 、n 和平面α、β。

下列四个命题中，正确的是A.若m ∥α,n ∥α,则m ∥nB.若m ⊂α,n ⊂α,m ∥β,n ∥β,则α∥βC.若α⊥β，m ⊂α,则m ⊥βD.若α⊥β，m ⊥β，m ⊄α,则m ∥α（D ）6.函数f (x )=sin 2xcos x x 在区间,42ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的最大值是 A.1B.12C.32(C)7.设D 、E 、F 分别是△ABC 的三边BC 、CA 、AB 上的点，且2,DC BD =u u u r u u u r 2,CE EA =u u u r u u u r2,AF FB =u u u r u u u r则AD BE CF ++u u u r u u u r u u u r 与BC uuu rA.反向平行B.同向平行C.互相垂直D.既不平行也不垂直(A)8.若双曲线22221x y a b -=（a ＞0,b ＞0）上横坐标为32a的点到右焦点的距离大于它到左准线的距离，则双曲线离心率的取值范围是A.(1,2)B.(2,+∞)C.(1,5)D. (5,+∞)(B)9.长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1的8个顶点在同一球面上，且AB =2, AD AA 1=1, 则顶点A 、B 间的球面距离是B.C.2D.4(C)10.设［x ］表示不超过x 的最大整数（如［2］=2, ［54］=1），对于给定的n ∈N *,定义[][]2(1)(1)(1)(1)n n n n x C x x x x --+=--+L L ，x ∈[)1,+∞,则当x ∈3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭时，函数2n C 的值域是A.16,283⎡⎤⎢⎥⎣⎦B.16,563⎡⎫⎪⎢⎣⎭C.284,3⎛⎫⋃ ⎪⎝⎭[)28,56D.16284,,2833⎛⎤⎛⎤⋃ ⎥⎥⎝⎦⎝⎦(D)二、填空题：本大题共5小题，每小题5分，共25分。