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2003年湖南高中数学竞赛试卷

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2003年湖南省高中数学竞赛试卷（9月6日上午9：00-11：00） 注意事项：本试卷共18题，满分150分一、选择题（将每小题的唯一正确的答案的代号填在题后的括号内。

本大题共6小题，每小题6分，满分36分）1. 设函数()log (0,1)a f x x a a =>?，若()1220038f x x x =L ，则()()2212f x f x +()22003f x ++L 的值等于 （ ）A. 4B. 8C. 16D. 2log 8a 2. 如图，S-ABC 是三条棱两两互相垂直的三棱锥，O 为底面内的一点，若OSAa ?，OSB b ?,OSC g ?，则tan tan tan a b g 的取值范围是 ( )A. [22,)+?B. (0,22]C. 1,22轾犏臌D. ()1,223. 某水池装有编号为1，2，3，…，的9 个进出口水管，有的只进水，有的只出水。

已知所开的水管水管号 1，2 2，3 3，4 4，5 5，6 6，7 7，8 8，9 9，1 时间（小时）248163162124248496若9 个水管一齐开，则灌满水池所需时间为 （ ） A. 1小时 B. 2小时 C . 3小时 D 4小时 4. 若以圆锥曲线的一条经过焦点的弦为直径的圆与对应的准线无公共点，则此圆锥曲线为 （ ） A. 双曲线 B. 椭圆 C. 抛物线 D. 椭圆或双曲线5. 有10个不同的球，其中有2个红球，5个黄球，3个白球。

若取到一个红球得5分，取到一个黄球得1 分，取到一个白球得2分，则从中取出5个球，使得总分大于10分且小于15分的取法种数为 （ ） A. 90 B. 100 C. 110 D. 1206. 自然数按下表的规律排列，则上起第2002行，左起第2003列的数为 （ ）A. 22002B. 22003 C. 2002+2003 D. 2002×2003二、填空题（在每小题中的横线上填上正确答案。

本小题共6小题，每小题6分，满分36分）7. 设,,x y R Î，且满足()()()()2003200312002112200221x x y y ìï-+-=-ïïíï-+-=ïïî，则x y +=___________; 8. 满足22sin sin sin 23cos x x x x +-=的锐角x =________________; 9. 记{}min ,a b 为两数,a b 的最小值，当正数x , y 变化时，22min ,yt x x y禳镲镲=睚镲+镲铪也在变化，则t 的最大值为_____________________; 10. 已知n 为自然数，多项式()()01nhh n h n h P x x x -==-åð可展开成x 的升幂排列01a a x +22n n a x a x +++L ，则012||||||||n a a a a ++++=L ________________;11. 底面边长为a 的正三棱柱，被不平行底面的平面所截，其中一块的形状如图所示，剩余的侧棱长分别为123,,h h h ，则剩余的几何体的体积为__________________;12. 已知a 、b 是不相等的正数，在a 、b 之间插入两组数:12,,,n x x x L ;12,,,n y y y L 使a, 12,,,n x x x L ,b 成等差数列，a, 12,,,n y y y L ，b 成等比数列，则下列不等式: ①11nk k x n =>å22a b ab 骣-÷ç÷+ç÷ç÷ç桫, ② 11n k k x n =>å2a b +③ 12n n y y y <L ab , ④ 12n n y y y <L 222a ba b 骣+-÷ç÷+ç÷ç÷ç桫中成立的有_____________________.三、解答题 （每题的解答要有严格的推理过程，本大题共6小题，每小题13分，共78分）13. 已知曲线21(0)xy y =>在曲线上点00(,)x y 处的切线的斜率32k x =-，过点()11,0P 作y 轴的平行线交曲线于1Q ，过1Q 作曲线的切线与x 轴交于点2P ，过2P 作y 轴的平行线交曲线于2Q ，仿此，不断的这样作图（如图所示），得到点列12,,;P P L 12,,Q Q L ，记||n n n l P Q =，求2003l 的值。

14. 设,,x y z 均取正数且1x y z ++=，求三元函数()222222333,,111x x y y z zf x y z x y z ---=+++++ 的最小值，并给出证明。

15. 如图，已知四面体ABCD 中，,,.AB BC BC CD CD AB ^^^ （1） 指出与面BCD 垂直的侧面，并加以证明。

（2） 若1,AB BC CD x ===，二面角C-AD-B 的平面角为a ，()sin f x a =,求()f x 的表达式和a 的范围。

16. 设函数()y f x =的定义域为R ，当0x <时，()1f x >,且对任意的实数,x y R Î，有()()()f x y f x f y +=成立，数列{}n a 满足()10a f =，且()()112n n f a f a +=--()n N Î.（1）求2003a 的值；（2）若不等式1211111121nk n a a a 骣骣骣÷鼢ç珑÷鼢+++?ç珑÷鼢ç珑鼢÷ç桫桫桫L g 对一切n N Î均成立，求k 的最大值。

17. 甲、乙两网络公司，1996年的市场占有率都为A ，根据市场分析和预测，甲公司第n 年（1996年为第一年）的市场占有率，乙公司自1996年起逐年的市场占有率都有所增加，其规律如图所示。

A12n A- 4A2A（第n-1年第n 年1998（第3年） 1997(第2年)1996(第1年)(1) 观察图形，求出乙公司第n 年的市场占有率表达式；(2) 根据甲、乙两公司所在地的市场规律，如果某公司的市场占有率不足另一公司市场占有率的20％，则该公司将被另一公司兼并。

经计算，2015年以前，不会出现兼并局面。

试问2015年是否会出现兼并局面，并说明理由。

18. 求平面上的满足条件：（1）三角形的三个顶点都是整点，坐标原点为直角顶点；（2）三角形的内心坐标()96,672M p p 为，其中p 为素数的直角三角形的个数。

2003年湖南省高中数学竞赛试卷答案一、选择题 1. C ；2. A 提示：构造长方体对角线与三条棱所成的角；3. B 设需t 小时，则 1249616213111614121=⎪⎭⎫⎝⎛+++++++t ΛΛ,解得t=2;4. B 用圆锥曲线的定义；5. C ；6. D . 二、填空题7. 3 构造函数()t t t f 20022003+=,它是奇函数又是增函数，()()y f x f -=-21,所以x + y = 3 ； 8.3π原式可得 2 sinx tanx + tanx － 2sinx = 3 ，即()()21tan 1sin 2=-+x x ，函数()()()1tan 1sin 2-+=x x x f 为增函数，且()⎪⎭⎫⎝⎛=3πf x f ，故3=πx .9.22 若,22y x y x +≤则 t = x ，2122222=≤+⋅≤=xy xy yx y x x t ，当,22y x y x +≥则21222222≤+≤⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=y x xy y x y t ，故22≤t ,当且仅当22==y x 时取等号.10. n3 ()()()()∑=--=-=nk kn kknnx C x x P 01212，所以n nk NK K K nkCa32||0==∑∑==.11.()2321123a h h h ++ 可以把它分割成一个四棱锥与一个三棱锥的体积和. 12. ① ④ 三、解答题13. 提示：|l n |是以1为首项，公比33为的等比数列，所以，1001200220033133=⎪⎪⎭⎫⎝⎛=l .14. 提示：考察函数()21t t t g +=，易知()21ttt g +=在(0 , 1 )内递增，从而对于()1,0,21∈t t 且21t t <时，有()()()()02121≥--t g t g t t ，所以对任意的()1,0∈x 有01031312≥⎪⎭⎫ ⎝⎛-+⎪⎭⎫ ⎝⎛-x x x ，即 ()131031322-≥+-x x x x ，同理对y,z 有类似的式子，三式相加即可得所求的最小值为 0 .当且仅当31===z y x 时,取等号.15. （1） 平面ABC 与平面ABD ，证明略；（2） ()()+∈++==R x x x x f 22222sin α,因为()⎪⎪⎭⎫⎝⎛∈1,22x f ，所以，⎪⎭⎫ ⎝⎛24∈ππα,.16. 略解：（1）由已知得，a 1=f(0)=1，函数y = f(x)在R 上是单调递减函数，且 ()()()0121f a f a f n n ==--⋅+，故,()()02,0211=--=--++n n n n a a f a a f ，所以{ a n }是首项为1，公差为2的等差数列，由此得，4005,122003=-=a n a n .（2） 已知可得1211111121+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+≤n a a a k n Λ恒成立。

设()1211111121+⎪⎪⎭⎫⎝⎛+⋯⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+=n a a a n F n ，知()0>n F 且()()()()n F n F n F n F >+>+1,11。

故()n F 为关于n 的单调增函数，所以，()()3321=≥F n F ,332≤k ，即k 的最大值为332. 17. (1) 设乙公司第n 年的市场占有率为n b ，则A A A A A b n n n ⎪⎭⎫ ⎝⎛-=+⋯+++=--11212242 （2） 2015年为第20年，则()A A A a 1022140202040220>=+-=,A A b 22121920<⎪⎭⎫ ⎝⎛-=,即%202020a b <，可见，2015年会出现乙公司被甲公司兼并的局面。

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2003-2012年全国高中数学联赛

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在 △PF1 F2 中 , 三边之长分别为 2 、 4、 2 5 ,而
2 2 2 + 4 = (2 5 ) ,可见 △PF1 F2 是直角三角形 ,且两 2
1 1 1 1 n- 1 + + …+ n - 1 × 2 10 102 2 10
n- 2
+2
n- 1
1 × n 10
=2
×
1 9
1-
1 n- 1 10
(A) 12 2 (B) 11 2 ( C) 11 3 (D) 12 3 5 6 6 5 5. 已知 x 、 y 都在区间 ( - 2 ,2 ) 内 , 且 xy = - 1. 4 9 ). 2 + 2 的最小值是 ( 4- x 9- y (B) 24 11 ( C) 12 7 (D) 12 5
因为 M n 中小数的小数点后均有 n 位 , 而除最 后一位上的数字必为 1 外 , 其余各位上的数字均有 两种选择 (0 或 1) 方法 , 故 Tn = 2 n - 1 . 又因在这 2 n - 1 个数中 ,小数点后第 n 位上的数字全是 1 ,而其余各 位上数字是 0 或 1 ,各有一半 ,所以 ,
x +1 ,c =
a +b +c + d
易得 A = (1 ,3) . 设 1- x 2 f ( x) = 2 + a , g ( x) = x - 2 ( a + 7) x + 5. 要使 A Α B ,只需 f ( x ) 、 g ( x ) 在 ( 1 ,3) 上的图像均在
0, 0 , f ( 3) ≤ x 轴下方 . 其充要条件是 : 同时有 f ( 1) ≤ 0. 由此推出 - 4 ≤a ≤- 1. 0 , g (3) ≤ g (1) ≤ 10. 93.
2003年湖南省高中数学竞赛

2003年湖南省高中数学竞赛

2 [ (2 003 - 1) + 1 ] + 2 001
= 2log a x1 x2 …x2 003 = 2 f ( x1 x2 …x2 003 ) = 16.
如图 6 所示 , 过 O 分别作与 SA 、 SB 、 SC 平 行的平面交 SA 、 SB 、 SC 于 D、 E、 F ,从而构成以
b
2
2
,
k ・ 2 n + 1 对一切 n ∈N 均成立 ,求 k 的最大值 .
1
n
n
k
k =1
2
,
ab ,
17. 甲 、 乙两网络公司 ,1996 年的市场占有率都
为 A ,根据市场分析和预测 ,甲公司第 n 年 ( 1996 年
2
③ y1 y2 …y n < ④ y1 y2 …y n <
n
为第 1 年) 的市场占有率 an =
22
2
22
≤ 22
i =1
∑(2 a
i
- 75)
2Leabharlann ≤ 36 300.所以 , 从而 ,
而
i =1
∑
∑
i =1
∑(2 a
22
i
- 75) < 191. 191 + 1 650 < 921. 2
=
5 4
5
i =1
∑(3 y
i
+ 1) =
5 ×(3 + 5) = 10 , 4
i =1
∑a
i
<
因此 ,男生的个数不超过 928.
2
2
2
的最小值 ,并给出证明 .
15. 如 图 4 , 已 知 四
2003答案

2003答案

n
Sn 1 1 1 1 lim 1 n1 n ． n Tn 18 10 10 18
三．解答题（本题满分 60 分，每小题 20 分） 13．
3 设 ≤ x ≤ 5 ，证明不等式 2 x 1 2 x 3 15 3x 2 19 ． 2
的面积等于_________． 【解析】 4 ． 设椭圆的长轴、短轴的长及焦矩分别为 2a 、 2b 、 2c ，则由其方程知 a 3 ， b 2 ， c 5 ， 故 PF1 ＋ PF2 2a 6 ，又已知 PF1 : PF2 ＝2:1 ，故可得 PFl ＝4 ， PF2 ＝2 ．在 △PFl F2 中， 三边之长分别为 2 ， 4 ， 2 5 ，而 22 42 2 5 ，可见 △PF1F2 是直角三角形，且两直角边 的长为 2 和 4 ，故 △PF1F2 的面积为 4 ． 9． 已知 A {x | x2 4x 3<0 , x R} ， B x 21 x a ≤ 0 ， x2 2 a 7 x 5 ≤ 0 ， xR ， 若 A B ，则实数 a 的取值范围是_________． 【解析】 4 ≤ a ≤ 1 ． 易得： A (1 , 3) ，设 f ( x) 21 x a , g ( x) x2 2(a 7) x 5 ，要使 A B ，只需 f ( x) , g ( x) 在 (1 , 3) 上的图象均在 x 轴下方，其充要条件是 f (1) ≤ 0 , f (3) ≤ 0 ， g (1) ≤ 0 , g (3) ≤ 0 ，由此推 出 4 ≤ a ≤ 1 ．
π 2π π π 5π 若 x , ，则 y tan x tan x cos x 的最大值是（ 3 6 6 3 12
2003年全国高中数学联赛试卷及答案

2003年全国高中数学联赛试卷及答案

2003年全国高中数学联赛试题第一试2003年10月12日一、选择题本题共有6小题，每题均给出（A ）、（B ）、（C ）、（D ）四个结论，其中有且仅有一个是正确的，请将正确答案的代表字母填在题后的括号内，每小题选对得6分；不选、选错或选出的代表字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得0分。

1. 删去正整数数列1，2，3，……中的所有完全平方数，得到一个新数列. 这个数列的第2003项是 【答】（ ） （A ）2046 (B) 2047 (C) 2048 (D) 204922 ）3. 过抛物线()282y x =+的焦点F 作倾斜角为60︒的直线. 若此直线与抛物线交于A ，B 两点，弦AB 的中垂线与x 轴交于P 点，则线段PF 的长等于 【答】（ ） （A ）163 (B)83 (D) 4. 若5,,123x ππ⎡⎤∈--⎢⎥⎣⎦则2tan tan cos 366y x x x πππ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+-+++ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭的最大值是（A (C) 127 (D) 125 【答】（ ） 5. 已知,x y 在区间()2,2-内，且1,xy =-则函数224949u x y =+--的最小值是 （A ）85 (B)2411 (C) 127 (D) 125【答】（ ） 6. 在四面体ABCD 中设1,AB CD ==AB 与CD 的距离为2，夹角为3π，则四面体ABCD 的体积等于 【答】（ ） （A (B) 12 (C) 13 (D) 二、填空题（本题满分54分，每小题9分）本题共有6小题，要求直接将答案写在横线上。

7．不等式322430x x x --+<的解集是______________8．设12,F F 是椭圆22194x y +=的两个焦点，P 是椭圆上的点，且12:2:1PF PF =，则12PF F ∆的面积等于_____________.9. 已知 {}2430,,A xx x x R =-+<∈ (){}1220,2750,.x B x a x a x x R -=+≤-++≤∈若A B ⊆，则实数a 的取值范围是_____________.10. 已知,,,a b c d 均为正整数，且35log ,log ,24a cb d ==若9a c -=，则b d -=____________.11. 将八个半径都为１的球分两层放置在一个圆柱内，并使得每个球和其相邻的四个球相切，且与圆柱的一个底面及侧面都相切，则此圆柱的高等于________.12．设()_____________120.011,2,,1),1,n n i n M n a a a a i n a ⎧⎫=⋅⋅⋅=⋅⋅⋅-=⎨⎬⎩⎭十进制位纯小数只取或（n T 是n M 中元素的个数，n S 是n M 中所有元素的和，则limnn nS T →∞=________. 三、解答题 （本题满分60分，每小题20分） 13． 设35,2x ≤≤ 证明不等式319.14．设A,B,C 分别是复数0121,,12Z ai Z bi Z ci ==+=+（其中,,a b c 都是实数）对应的不共线的三点. 证明：曲线 4224012cos 2cos sin sin ()Z Z t Z t t Z t t R =++∈与ABC ∆中平行于AC 的中位线只有一个公共点，并求出此点.15. 一张纸上画有半径为R 的圆O 和圆内一定点A, 且OA=a, 折叠纸片，使圆周上某一点'A 刚好与A 点重合. 这样的每一种折法，都留下一条直线折痕. 当'A 取遍圆周上所有的点时，求所有折痕所在直线上点的集合.2003年全国高中数学联赛加试试题第二试一、（本题满分50分）过圆外一点P 作圆的两条切线和一条割线，切点为A, B. 所作割线交圆于C, D 两点，C 在P, D 之间. 在弦CD 上取一点Q, 使.DAQ PBC ∠=∠ 求证：.DBQ PAC ∠=∠ 二、（本题满分50分）设三角形的三边长分别是整数,,,l m n 且.l m n >>已知444333,101010l m n ⎧⎫⎧⎫⎧⎫==⎨⎬⎨⎬⎨⎬⎩⎭⎩⎭⎩⎭其中{}[],x x x =-而[]x 表示不超过x 的最大整数. 求这种三角形周长的最小值.三、（本题满分50分）由n 个点和这些点之间的l 条连线段组成一个空间四边形，其中21,n q q =++()2111,2,.2l q q q q N ≥++≥∈已知此图中任四点不共面，每点至少有一条连线段，存在一点至少有2q +条连线段. 证明：图中必存在一个空间四边形（即由四点A,B,C,D 和四条连线段AB,BC,CD,DA 组成的图形）2003年全国高中数学联赛第一试参考答案提示：1. 注意到2025452=,2116462=,故20484520032003=+=a ;2. 题设方程可化为b ax y +=和122=+by a x ,观察图形可知；3. 易知直线AB 的方程为x y 3=,因此A,B 两点的横坐标满足方程016832=--x x ,从而弦AB 中点的横坐标为340=x ,纵坐标340=y ,进而求得中垂线方程之后，令y=0，得点P 的横坐标即PF=316； 4. 原函数可化为⎪⎭⎫ ⎝⎛++⎪⎭⎫ ⎝⎛+=6cos 342sin 2ππx x y ,可以证明函数在已知的区间上为增函数，故当3π-=x 时，y 取最大值3611; 5. 消去y 之后可得：⎪⎭⎫ ⎝⎛+-+=224937351x x u ,用基本不等式可求得函数u 的最小值512; 6. 可用等积法求得，过程略。