平面的投影及平面上的点和直线

直线平面的投影直线和平面的投影是物理学和几何学中的重要概念，用于描述一个对象在不同视角下的视觉效果。

在这篇文章中，我将详细介绍直线和平面的投影原理、计算方法以及应用。

一、直线的投影直线的投影是指直线在一些方向上的映射，投影的结果是一个线段或者点。

在几何学中，直线的投影通常是指直线在其中一平面上的影子。

1.1直线投影的原理直线的投影原理可以理解为光线的折射原理。

当一束直线光线遇到一个不透明的物体时，物体会遮挡光线，使得光线在物体的背面无法到达。

在这种情况下，我们只可以看到从物体那一侧射出的光线，也就是物体的投影。

1.2直线投影的计算方法计算直线的投影可以利用几何学中的相似三角形和投影比例来解决。

假设直线的长度为l，直线与投影平面的夹角为θ，投影距离为d，我们可以计算投影长度p。

根据三角形相似性，根据比例有：p/d=l/h其中，h为直线在投影平面上的投影高度。

因此，直线的投影长度为：p=(l*d)/h1.3直线投影的应用直线的投影在现实生活中有很多应用，例如日光灯的投影、桥梁的投影等等。

在建筑设计和工程施工中，直线的投影也是一个非常重要的概念。

通过计算直线的投影长度，可以确定施工中的尺寸和位置。

平面的投影是指平面在一些方向上的映射，投影的结果可以是一个线段、一个点或者一个图形。

2.1平面投影的原理平面的投影原理类似于直线投影的原理，也是基于光线的折射原理。

当一束平行光线垂直照射在一个平面上时，在投影平面上会形成一个平行于光线的投影。

2.2平面投影的计算方法计算平面的投影可以利用几何学中的相似三角形和投影比例来解决。

假设平面的长度和宽度分别为L和W，平面与投影平面的夹角为θ，投影距离为d，我们可以计算投影的长度P和宽度W'。

根据三角形相似性，根据比例有：P/d=L/hW/d=W'/h其中，h为平面在投影平面上的投影高度。

因此，平面的投影长度为：P=(L*d)/h平面的投影宽度为：W'=(W*d)/h2.3平面投影的应用平面投影在几何学和物理学中有很多应用。

第3章点、直线和平面的投影本章学习目标1．掌握点的投影特性，了解坐标与投影的关系，理解重影的概念。

2．掌握直线的种类及其投影特性，掌握线段实长与倾角的求作方法，了解两直线的空间位置关系。

3．掌握平面的种类及其投影特性，了解点、直线在平面上的判定方法。

工程图表达的对象是三维的形体，形体是由点、线、面组成的，绘制形体的三面投影图，首先必须掌握点、线、面的三面投影规律。

3.1 点的投影一、点的三面投影图3-1 点的三面投影图3-1 点的三面投影——空间分析图3-1 点的三面投影——展开图3-1 点的三面投影——投影图二、点的三面投影规律1．点的水平投影a与正面投影aˊ的连线垂直于OX轴。

2．点的正面投影aˊ与侧面投影a"的连线垂直于OZ轴。

3．点的水平投影a到OX轴的距离等于点的侧面投影a"到OZ轴的距离。

在点的三面投影图中，每两个投影都具有一定的联系性。

因此，只要给出一点的任何两面投影，就可以求出其第三面投影。

[例3-1]如图3-2a，已知一点B 的水平投影b 和正面投影b′，求其侧面投影b″。

图3-2 由点的两面投影求作第三投影[例3-2]如图3-3a，已知一点C的正面投影c′和侧面投影c″，求其水平投影c。

图3-3 由点的两面投影求作第三投影三、点的坐标点A 到W 面的距离=a "A =Oa X =点A 的x 坐标；点A 到V 面的距离=a ˊA =Oa Y =点A 的y 坐标；点A 到H 面的距离=aA =Oa Z =点A 的z 坐标。

并规定点A 的坐标的书写格式为A （x ，y ，z ）。

因此，已知一点的三面投影，就可以量取该点的三个坐标；反之，已知一点的三个坐标，可以作出该点的三面投影图。

图3-4 点的投影与坐标的关系图3-4 点的投影与坐标的关系——立体图[例3-3]已知点A 的坐标为（15，10，20），求作它的三面投影图，并用直观图来表达点A 的空间位置。

第一章投影法和点、直线、平面的投影【主要讲授内容及时间分配】1、投影法概述（25分钟）2、点的投影（45分钟）3、直线的投影（90分钟）4、平面的投影（45分钟）【重点与难点】重点：1、点、直线、平面的投影特性2、直角三角形法求一般位置直线实长3、直角投影定理4、面上取点、取线难点：1、直角三角形法求一般位置直线实长2、直角投影定理3、面上取点、取线【教学要求】1、掌握正投影法的基本性质2、掌握点、直线和平面的投影特性3、掌握直角三角形法求一般位置直线实长4、掌握面上取点、取线的方法【实施方法】课堂讲授，板书作图，模型展示，PPT配合，布置课后作业。

§1-1 投影法一、投影法的基本概念投影线通过物体向选定的面投影，并在该面上获得物体投影的方法叫做投影法。

二、投影法的分类1.中心投影法2.平行投影法（1）斜投影法。

（2）正投影法。

三、正投影的基本性质（1）实形性。

（2）积聚性。

（3）类似性。

四、工程中常用的两种作图方法1、多面正投影图：采用相互垂直的两个或两个以上的投影面，在每个投影面上分别用正投影法获得物体的投影。

它有良好的度量性，作图简便，但直观性差。

2、轴测图：将物体连同其参考直角坐标系，沿不平行于任一坐标面的方向，用平行投影法将其投射在单一投影面上所得的具有立体感的图形。

它能反映长、宽、高的形状，但作图较繁且度量性差，作辅助图样。

§1-2 点的投影一、点的三面投影点的投影规律：（1）点的两面投影的连线，必定垂直于相应的投影轴。

（2）点的投影到投影轴的距离，等于空间点到相应的投影面的距离，即“影轴距等于点面距”。

二、点的投影与直角坐标的关系点的空间位置可用直角坐标来表示。

即把投影面当作坐标面，投影轴当作坐标轴，O即为坐标原点。

则：S点的X坐标X S=S点到W面的距离Ss″；S点的Y坐标Y S=S点到V面的距离Ss′；S点的Z坐标Z S=S点到H面的距离Ss。

点S坐标的规定书写形式为：S（x、y、z）。