2019湖南师大附中届高三上学期月考试卷(六)数学(理)试题 含答案

4．五进制是以 5 为底的进位制，主因乃人类的一只手有五只手指. 中国古代的五行学说也是采 用的五进制， 0 代表土， 1 代表水， 2 代表火， 3 代表木， 4 代表金， 依此类推， 5 又属土， 6 属水， ……， 减去 5 即得. 如图， 这是一个把 k 进制数 a(共有 N 位)化为十进制数 b 的程序框图， 执行该程序框图， 若输入的 k，a，n 分别为 5，1 203，4，则输出的 b＝( ) A．178 B．386 C．890 D．14 303
3 ， 3 D. 2
若存在实数 k，使得函 数 f(x)的值域为[－1，1]，则
D.[2，3]
12．设 A，B 是抛物线 y＝x2 上的两点，O 是坐标原点，若 OA⊥OB，则以下结论恒成立的结论 个数为( ) ①|OA|·|OB|≥2；②直线 AB 过定点(1，0)；③O 到直线 AB 的距离不大于 1 A． 0 B．1 C．2 D． 3
7．气象意义上从春季进入夏季的标志为：“连续 5 天的日平均温度均不低于 22 ℃” ．现有甲、 乙、丙三地连续 5 天的日平均温度的记录数据(记录数据都是正整数)： ①甲地：5 个数据的中位数为 24，众数为 22； ②乙地：5 个数据的中位数为 27，总体均值为 24； ③丙地：5 个数据中有一个数据是 32，总体均值为 26，总体方差为 10.8. 则肯定进入夏季的地区有( ) A．①②③ B．①③ C．②③ D．①
湖南师大附中 2019 届高三月考试卷(四)
数
时量：120 分钟
学(理科)
满分：150 分
一、选择题：本大题共 12 小题，每小题 5 分，共 60 分，在每小题的四个选项中，只有一项是 符合题目要求的． 1．已知集合 A＝{x∈R|x2－x－2＜0}，B＝{x∈Z|x＝2t＋1，t∈A}，则 A∩B＝( ) A．{－1，0，1} 2．已知复数 z＝ B．{－1，0} C．{0，1} D．{0}

湖南省师大附中2019届高三数学上学期月考试题（三)文（含解析）本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷(非选择题)两部分，共8页.时量120分钟。

满分150分。

第Ⅰ卷一、选择题:本大题共12个小题，每小题5分,共60分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．1．已知集合A＝错误!,则满足A∩B＝B的集合B可以是（C）A.错误! B．{x｜－1≤x≤1｝ C。

错误! D．｛x｜x＞0｝【解析】∵x≥1，∴0＜y＝错误!错误!≤错误!错误!＝错误!,∴A＝错误!.则满足A∩B＝B的集合B A，故B可以是错误!。

故选C。

2．已知角α的终边上有一点P（2,4），则sin（π－α）2cos（α－2π)的值为(D）A．2 B．－错误! C．－1 D．1【解析】错误!＝错误!＝错误!，又因为角α终边上有一点P（2，4）,所以tan α＝2，所以原式＝错误!＝1,故选D.3．已知命题p：m＝－2；命题q：直线l1：2(m＋1)x＋（m－3）y＋7－5m＝0与直线l2：(m－3）x＋2y－5＝0垂直．则命题p是命题q成立的（D)A．充要条件 B．既非充分又非必要条件C．必要不充分条件 D．充分不必要条件【解析】因为l1⊥l2，则2(m＋1)(m－3）＋2（m－3）＝0，解得m＝3或－2,故选D.4．已知各项不为0的等差数列错误!满足a6－a错误!＋a8＝0，数列错误!是等比数列,且b7＝a7，则b2·b8·b11等于（C）A．1 B．2 C．8 D．4【解析】∵a6＋a8－a错误!＝0，∴2a7－a错误!＝0，∴a7＝2，∴b7＝2,∴b2b8b11＝b3b7b11＝b错误!＝8，故选C。

5．对满足不等式组错误!的任意实数x、y,则z＝x2＋y2－4x的最小值(A）A．－2 B．0 C．1 D．6【解析】:∵z＝x2＋y2－4x表示点(x，y)到点(2，0)的距离的平方减去4，故z的最小值等于点(2，0）到直线x－y＝0的距离的平方减去4。

湖南师大附中2023届高三月考试卷（六）数学第Ⅰ卷一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的1．已知复数z 满足i 11i 1iz -=-+，则z =（ ） A ．2i -+ B ．2i -- C ．2i + D ．2i -2．已知集合{}{}22(,)2,,,(,)10A x y x y x y B x y x =+≤∈∈=+>Z Z ，则A B 的元素个数为（ ） A ．9 B ．8 C ．6 D ．53．已知函数()3ln ||f x x x =-，则()f x 的图象大致为（ ）A ．B ．C ．D ．4．我国古代人民早在几千年以前就已经发现并应用勾股定理了，勾股定理最早的证明是东汉数学家赵爽在为《周髀算经》作注时给出的，被后人称为“赵爽弦图”．“赵爽弦图”是数形结合思想的体现，是中国古 代数学的图腾，还被用作第24届国际数学家大会的会徽．如图，大正方形ABCD 是由4个全等的直角三角形和中间的小正方形组成的，若,AB a AD b ==，E 为BF 的中点，则AE =（ ）A ．4255a b + B ．2455a b + C ．4233a b + D ．2433a b + 5．6()(2)a x x -+的展开式中5x 的系数是12，则实数a 的值为（ ） A ．4 B ．5 C ．6 D ．76．已知四棱锥P ABCD -的底面是边长为2的正方形，Q 为BC 的中点，PQ ⊥面ABCD ，且2PQ =，动点N 在以D 为球心，半径为1的球面上运动，点M 在面ABCD 内运动，且5PM =，则MN 长度的最小值为（ ） A 352-B ．23C 52D 3327．设1sin 819,e 1,ln 47a b c ==-=，e 为自然对数的底数，则（ ）A ．a b c >>B ．a c b >>C ．c a b >>D ．b c a >>8．已知函数213()3sin sin 0)22xf x x ωωω=+->，若()f x 在3,22ππ⎛⎫⎪⎝⎭上无零点，则ω的取值范围是（ ） A ．280,,99⎛⎤⎡⎫+∞ ⎪⎥⎢⎝⎦⎣⎭ B ．2280,,939⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ C ．280,,199⎛⎤⎡⎤ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦ D ．28,[1,)99⎛⎤+∞ ⎥⎝⎦二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．已知正方体1111ABCD A B C D -的棱长为1，点P 是棱1CC 上的一个动点（包含端点），则下列说法不正确的是（ ）A ．存在点P ，使DP ∥面11AB D B ．二面角1P BB D --的平面角为60︒C ．1PB PD +5 D ．P 到平面11AB D 310．定义：如果函数()f x 在[,]a b 上存在()1212,x x a x x b <<<，满足()()12()()f a f b f x f x a b''-==-，则称12,x x 为[,]a b 上的“对望数”，函数()f x 为[,]a b 上的“对望函数”．下列结论正确的是（ ） A ．若函数()f x 为[,]a b 上的“对望函数”，则()f x 在[,]a b 上单调 B ．函数2()f x x mx n =++在任意区间[,]a b 上都不可能是“对望函数”C ．函数321()23f x x x =-+是[0,2]上的“对望函数” D ．函数()sin f x x x =+是11,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“对望函数” 11．已知双曲线2222:1(0)x y C a b a b-=>>的左，右顶点分别为12,A A ，点P ，Q 是双曲线C 上关于原点对称的两点（异于顶点），直线121,,PA PA QA 的斜率分别为121,,PA PA QA k k k ，若1234PA PA k k ⋅=，则下列说法正确的是（ ）A ．双曲线C 的渐近线方程为34y x =± B ．双面线C 的离心率为72C ．11PA QA k k ⋅为定值D ．12tan A PA ∠的取值范围为(0,)+∞12．定义在R上的函数()f x 与()g x 的导函数分别为()f x '和()g x '，若(1)(2)2,()(1)g x f x f x g x +-'='-=-，且(2)g x +为奇函数，则下列说法一定正确的是（ ）A ．(2)0g =B ．函数()f x '关于2x =对称C ．函数()f x 是周期函数D ．20231()0k g k ==∑第Ⅱ卷三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．将4个1和2个0随机排成一行，则2个0不相邻的概率为______．14．平面直角坐标系xOy 中，已知AB 是圆22:(1)(1)2C x y -+-=的一条弦，且AC BC ⊥，M 是AB 的中点，当弦AB 在圆C 上运动时，直线:3490l x y --=上总存在P ，Q 两点，使得2PMQ π∠≥恒成立，则线段PQ 长度的取值范围是______．15．已知()e xf x =（e 为自然对数的底数），()ln 2g x x =+，直线l 是()f x 与()g x 的公切线，则直线l的方程为______．16．如图，已知椭圆22122:1(0)x y C a b a b+=>>和抛物线22:2(0)C y px p =>的一个交点为P ，直线PO交1C 于点Q ，过Q 作PQ 的垂线交1C 于点R （不同于Q ），若PR 是2C 的切线，则椭圆1C 的离心率是______．四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．17．（本小题满分10分）如图，ABC △中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且22cos a c b C -=．（1）求角B 的大小；（2）已知3b =，若D 为ABC △外接圆劣弧AC 上一点，求AD DC +的最大值． 18．（本小题满分12分）在数列{}n a 中，11a =，其前n 项和为n S ，且满足()()2212,2n n n a S S n n *-=∈≥N ．（1）求证：数列1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭是等差数列； （2）证明：当2n ≥时，1231113232n S S S S n ++++<． 19．（本小题满分12分）如图，在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，底面1111A B C D 是梯形，且11111111111111,1,2A B D C A D D D D C A B AD AC ====⊥∥，E 是棱11A B 的中点．（1）求证：CD AD ⊥；（2）求点1C 到平面11CD B 的距离； （3）求二面角11D CE B --的余弦值． 20．（本小题满分12分）基础学科招生改革试点，也称强基计划，是教育部开展的招生改革工作，主要是为了选拔培养有志于服务国家重大战略需求且综合素质优秀或基础学科拔尖的学生．强基计划的校考由试点高校自主命题，校考过程中笔试通过后才能进入面试环节．2021年有3500名学生报考某试点高校，若报考该试点高校的学生的笔试成绩()2,N ξμσ~，其正态密度函数22()2()2x f x μσπσ--=的最大值为2π，且(50)(70)P P ξξ≤=≥．笔试成绩高于70分的学生进入面试环节．（1）求μ和σ；（2）从报考该试点高校的学生中随机抽取10人，求这10人中至少有一人进入面试的概率； （3）现有甲、乙、丙、丁四名学生进入了面试，且他们通过面试的概率分别为13、13、12、12．设这4名学生中通过面试的人数为X ，求随机变量X 的分布列和数学期望． 附：若()2,X Nμσ~，则(||)0.6827P X μσ-≤≈，(||2)0.9545P X μσ-≤≈，100.841350.1777≈，100.977250.7944≈．21．（本小题满分12分）过抛物线22(0)y px p =>的对称轴上的定点(,0)(0)M m m >，作直线AB 与抛物线相交于A ，B 两点．（1）证明：A ，B 两点的纵坐标之积为定值；（2）若点N 是定直线:l x m =-上的任一点，设直线,,AN MN BN 的斜率分别为123,,k k k ，试探索123,,k k k 之间的关系，并证明． 22．（本小题满分12分）已知函数()e sin cos ,()cos 2e xxf x x xg x x x =-=-，其中e 是自然对数的底数．（1）判断函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭内零点的个数，并说明理由； （2）任意10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式()()12f x g x m +≥成立，试求实数m 的取值范围； （3）若1x >-，求证：()()0f x g x ->．湖南师大附中2023届高三月考试卷（六）数学参考答案题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 答案 DCAACCCBBDBCDBCDACD求的． 1．D【解析】因为i 11i 1iz -=-+，所以12i 1i 1iz +=-+，所以2(12i)(1i)(12i)(1i)2i(12i)2i 1i 22z +-+--+====-+．故选D ．2．C 【解析】因为集合{}22(,)2,,{(1,0),(1,0),(1,1),(1,1),(1,1),(1,1),(0,1),(0,1)}A x y x y x y =+≤∈∈=------Z Z ，又集合{}{}(,)10(,)1B x y x x y x =+>=>-，则{(1,0),(1,1),(1,1),(0,0),(0,1),(0,1)}A B =--，则A B 的元素个数为6，故本题选C ．3．A 【解析】当0x <时，()3ln()f x x x =--，则1()30f x x='->， ∴()f x 在(,0)-∞上单调递增，BD 错误； 当0x >时，()3ln f x x x =-，则131()3x f x x x '-=-=， ∴当10,3x ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭时，()0f x '<；当1,3x ⎛⎫∈+∞ ⎪⎝⎭时，()0f x '>；∴()f x 在10,3⎛⎫ ⎪⎝⎭上单调递减，在1,3⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，C 错误，A 正确，故选A ．4．A 【解析】设BE m =，则22AE BF BE m ===，在Rt ABE △中，可得5AB m =，过点E 作EH AB ⊥于点H ，则225,5EH EH AD m ==∥，222545(2)55AH m m ⎛⎫=-= ⎪⎝⎭， 所以42,55AH AB HE AD ==，所以42425555AE AH HE AB AAD a b =+=+=+．故选A ．5．C 【解析】对于6(2)x +，由二项式定理展开式的通项公式66C 2r rr r T x -=，可求得含45,x x 的项，244515545666C 260,C 212T x x T x x====，故6()(2)a x x -+的展开式中含5x 的项为5551260(1260)ax x a x -=-，而6()(2)a x x -+的展开式中5x 的系数是12，所以126012a -=，解得6a =．故选C ．6．C 【解析】如图，由5,2PM PQ ==，得1MQ =，即点M 在以Q 为圆心，以1为半径的圆上， 当点N 落在平面ABCD 内，且D ，N ，M ，Q 四点共线时，MN 的距离最小，由已知求得5,1DQ DN ==，故52MN =，故选C ．7．C 【解析】设2()ln(1)(0)2xf x x x x=+-≥+， 则22214()0(0)1(2)(1)(2)x f x x x x x x =-'=≥≥++++，因此函数()f x 是增函数， 所以2(0)07f f ⎛⎫>= ⎪⎝⎭，即2227ln 102727⨯⎛⎫+-> ⎪⎝⎭+， 因此229217ln ln 1277427⨯⎛⎫=+>= ⎪⎝⎭+，即c a >． 设()sin (0)h x x x x =-≥，则()cos 10(0)h x x x -≤≥'=，因此函数()h x 是减函数，所以1(0)08h h ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，因此11sin 88e e <，即11sin 88e 1e 1-<-．设1()e 120,2x g x x x ⎛⎫⎡⎫=--∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭，则1()e 20,2x g x x '⎛⎫⎡⎫=-∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭．e 2<知：当10,2x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭时，e 20x-<，即1()e 200,2x g x x ⎛⎫⎡⎫=-<∈⎪ ⎪⎢⎣⎭⎝⎭'，因此函数()g x 是减函数，所以1(0)08g g ⎛⎫<= ⎪⎝⎭，即182e 108--<，因此181e 14-<，所以1xin81e14-<，即b a <． 综上所述，c a b >>．8．B 【解析】213313()3sin sin (1cos )sin 222222xf x x x x ωωωω=+-=-+- 13sin sin 223x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝⎭， 若322x ππ<<，则323323x ωπππωππω-<-<-， ∴323232T ωππωπππω⎛⎫⎛⎫---≤=⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，则21ω≤，又0ω>，解得01ω<≤． 又,233(1),23k k ωπππωπππ⎧≤-⎪⎪⎨⎪+≥-⎪⎩解得3412323k ωω-≤≤-， 当0k =时，2839ω≤≤；当1k =-时，结合01ω<≤，可得209ω<≤． ∴2280,,939ω⎛⎤⎡⎤∈ ⎥⎢⎥⎝⎦⎣⎦，故选B ．二、选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得5分，有选错的得0分，部分选对的得2分．9．BD 【解析】对于A ，当P 与1C 重合时，1DP AB ∥，又DP ⊄平面111,AB D AB ⊂平面11AB D ，则DP ∥平面11AB D ，故A 正确；对于B ，二面角1P BB D --就是二面角1C BB D --，其平面角大小为45︒，故B 错误； 对于C ，如图，沿棱1CC 展开面11B BCC 为面1C CFE ，使点11,,,,,D D C C E F 共面， 则1PB PD +的最小值为22115D F D D DF =+=C 正确；对于D ，当P 与C 重合时，1A C 垂直平面11AB D ，此时点C 到平面11AB D 的距离为12233AC =，故D 错误．故本题选BD ．10．BCD 【解析】对于A ，取函数()(2)0()sin ,[0,2],022230f f f x x x f f πππππ-⎛⎫⎛⎫=∈===⎪'' ⎪-⎝⎭⎝⎭，此时()f x 为[0,2]π]上的“对望函数”，但()f x 在[0,2]π上不单调，故A 错误；对于B ，因为()2f x x m =+'是单调递增函数，所以在[,]a b 上不可能存在()1212,x x a x x b <<<，满足()()12f x f x =''，所以函数2()f x x mx n =++在任意区间[,]a b 上都不可能是“对望函数”．故B 正确； 对于C ，222(0)(2)23()2,0223f f f x x x --=-==---'， 令22()23f x x x =-=-'，得123333x x -+==，且1202x x <<<，所以函数321()23f x x x =-+是[0,2]上的“对望函数”，故C 正确；对于D ，11366()1cos ,11156f f f x x πππππ⎛⎫⎛⎫- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭=+=--'， 令3()1cos 15f x x π=+=-'，得3cos 5x π=-，因此存在1211,,66x x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得()()12315f x f x π='-'=，所以函数()sin f x x x =+是11,66ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦上的“对望函数”，故D 正确．故选BCD ．11．BCD 【解析】设(,)P x y ，则22221x y b a ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为12(,0),(,0)A a A a -，故1222222222221PA PA x b a y y y b k k x a x a x a x a a⎛⎫- ⎪⎝⎭⋅=⋅===+---，依题意有2234b a =，所以32b a =， 所以C 的渐近线方程为32b y x x a =±=±， 离心率22222712a b b e a a +==+=A 错误，B 正确；因为点P ，Q 关于原点对称，所以四边形12A PA Q 为平行四边形， 即有12A Q A P k k =，所以111234A P A Q A P A P k k k k ⋅=⋅=，故C 正确； 设1PA 的倾斜角为α，2PA 的倾斜角为β，由题意可得3tan tan 4αβ⋅=，则12||A PA αβ∠=-， 根据对称性不妨设P 在x 轴上方，则βα>，则12A PA βα∠=-，则()212212tan tan 443tan tan()1tan tan 774PA PA PA PA A PA k k k k βαβααβ⎛⎫-∠=-==-=-⎪ ⎪+⋅⎝⎭， 因为P 在x 轴上方，则232PA k >或2302PA k -<<，函数3()4f x x x =-在3,02⎛⎫- ⎪⎝⎭和32⎛⎫+∞ ⎪⎝⎭上单调递增，所以12tan (0,)A PA ∠∈+∞，故D 正确．故选BCD ．12．ACD 【解析】因为(2)g x +为奇函数，所以A 正确；由(1)(2)2g x f x +--=得(1)(2)0g x f x ''++-=，由()(1)f x g x ''=-得(2)(1)f x g x +=+''，所以(2)(2)0f x f x ''++-=，即()f x '关于点(2,0)对称，故B 错误；因为()(1)f x g x ''=-，所以[()(1)]0f x g x '--=，从而()(1)f x g x c --=，c 为常数．因为(1)(2)2g x f x +--=，所以(3)()2g x f x --=，所以(3)(1)2g x g x c ---=+，取2x =可得2c =-，所以(1)(3)g x g x -=-，又(2)(2)g x g x +=--+，即(1)(3)g x g x +=--+，所以(1)(1)g x g x +=--，即()(2)g x g x =-+，所以(4)(2)()g x g x g x +=-+=，故函数()g x 是周期为4的函数，由(2)()g x g x +=-，得(3)(1),(4)(2)0g g g g =-=-=，所以(1)(2)(3)(4)0g g g g +++=，故20231()5050(2021)(2022)(2023)(1)(2)(3)(4)0k g k g g g g g g g ==⨯+++=++=-=∑，即D 正确，因为(3)()2g x f x --=，即()(3)2f x g x =--，故()f x 也是周期为4的函数，C 正确．综上，答案为ACD ． 三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．13．23【解析】（含有相同元素的排列）将4个1和2个0安排在6个位置，则选择2个位置安排0，共有26C 种排法；将4个1排成一把2个0插空，即在5个位置中选2个位置安排0，共有25C 种排法，所以2个0不相邻的概率2526C 2C 3P ==．14．[6,)+∞ 【解析】由圆22:(1)(1)2C x y -+-=可知圆心(1,1)C 2，因为M 是AB 的中点，所以CM AB ⊥，又因为AC BC ⊥，所以三角形ABC 为等腰直角三角形，所以1CM =， 即点M 在以C 为圆心，1为半径的圆上，点M 所在圆的方程为22(1)(1)1x y -+-=， 要使得2PMQ π∠≥恒成立，则点M 在以PQ 为直径的圆上或内部，而P ，Q 在直线:3490l x y --=上，点C 到直线:3490l x y --=的距离22234d ==+，所以以PQ 为直径的圆的半径的最小值为213r =+=，所以PQ 的最小值为26r =．故答案为：[6,)+∞．15．e y x =或1y x =+ 【解析】设直线l 与()e xf x =的切点为()11,x y ，则11e ,()e x x y f x '==，∴()11e x f x '=，∴切点为()11,ex x ，切线斜率1ex k =，∴切线方程为()111e e x x y x x -=-，即1111e e e xxxy x x =⋅-+，①同理设直线l 与()ln 2g x x =+的切点为()22,x y ，∴221ln 2,()y x g x x+'==， ∴()221g x x '=，切点为()22,ln 2x x +，切线斜率21k x =， ∴切线方程为()()2221ln 2y x x x x -+=-，即221ln 1y x x x =⋅++，② 由题意知，①与②相同，∴111122121e e ,e e ln 1,x x x x x x x x -⎧=⇒=⎪⎨⎪-+=+⎩③④把③代入④有1111e e 1xxx x -+=-+，即()111(e 1)0x x --=，解得11x =或10x =，当11x =时，切线方程为e y x =；当10x =时，切线方程为1y x =+， 综上，直线l 的方程为e y x =或1y x =+．162 【解析】不妨设点()11,P x y ，点()22,R x y ，则2112y px =，且点()11,Q x y --， 则PQ 的斜率为11PQ y k x =，因为PQ RQ ⊥，得RQ 的斜率为11RQ xk y =-，得211211y y xx x y +=-+，……①因为PR 是2C 的切线，记切线的斜率为k ，则切线方程为()11y y k x x -=-， 由()112,2,y y k x x y px -=-⎧⎨=⎩消去x 得21102k y y kx y p --+=， 由()11Δ1402k kx y p=-⨯-+=，又因为2112y x p =，整理得1p k y =，又因为2112y p x =，得112y k x =，得2112112y y y x x x -=-，……② 由①②得，2121112121112y y y y x y x x x x y x +-⨯=-⨯+-，得2221222112y y x x -=--， 又因为点()11,P x y ，点()22,R x y 都在椭圆上，则2211222222221,1,x y a b x y a b ⎧+=⎪⎪⎨⎪+=⎪⎩两式相减得22222121220x x y y a b --+=，得2222122221y y b x x a-=--， 故2212b a =，得222a b =，又因为222b ac =-，得()2222a a c =-，得2a c =， 则椭圆1C 的离心率为22c e a ==，故答案为22． 四、解答题：本题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．【解析】（1）∵22cos a c b C -=，由正弦定理得：2sin()sin 2sin cos B C C B C +-=．∴2(sin cos sin cos )sin 2sin cos B C C B C B C +-=． ∵sin 0C ≠，∴1cos 2B =，又∵0B π<<，∴3B π=． （2）由（1）知，3B π=，而四边形ABCD 内角互补，则23ADC π∠=， 设DAC θ∠=，则3DCA πθ∠=-，由正弦定理得：232sin sin sin 33ADDC AC ππθθ===⎛⎫- ⎪⎝⎭∴23sin ,23sin 3AD DC πθθ⎛⎫=-=⎪⎝⎭， ∴23sin 23sin 3cos 3sin 23sin 2333AD DC ππθθθθθ⎛⎫⎛⎫+=-+=+=+≤ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭当6πθ=，即当且仅当3AD DC ==AD DC +的最大值为3 18．【解析】（1）当2n ≥时，因为()2212n n n a S S -=，所以()()21212n n n n S S S S ---=，所以112n n n n S S S S ---=，所以1112n n S S --=．又因为11111S a ==， 所以1n S ⎧⎫⎨⎬⎩⎭构成以1为首项，2为公差的等差数列． （2）由（1）可知，111(1)221n n n S S =+-⨯=-，所以121n S n =-， 当2n ≥时，11111111(21)(22)2(1)21n S n n n n n n n n n ⎛⎫=<=⋅=- ⎪----⎝⎭， 所以123111111111313112322231222n S S S S n n n n ⎛⎫++++<+-+-++-=-< ⎪-⎝⎭． 19．【解析】解法一：（1）证明：连接1A D ，∵11A D DA 是正方形，∴11AD DA ⊥，又∵11AD AC ⊥，∴1AD ⊥平面1A CD ， ∴1AD CD ⊥，又∵1DD CD ⊥，∴CD ⊥平面11ADD A ，∴CD AD ⊥．（2）解法1：在平面1111A B C D 中，过1C 点作111C K D B ⊥，垂足为K ，连接CK ，又过1C 点作1C H CK ⊥，垂足为H ，则1C H 为点1C 到平面11CD B 的距离， 由（1）得CD AD ⊥，∴1111A B C D 是直角梯形． 在111C B D △中，有1111111sin135C K D B D C C B ⋅=⋅⋅︒，∴1212255C K ==，在1Rt CC K △中，111165115CC C K C H CK ⨯⋅===+， ∴点1C 到平面11CD B 的距离为66解法2：设点1C 到平面11CD B 的距离为h ，在11CD B △中，11112,5,3CD D B CB ===，∴11CD B △为直角三角形，由111111C C D B C CD B V V --=得11223h ⨯︒=，∴6h =， ∴点1C 到平面11CD B 6． （3）1112D E DC CE A D ====CE 的中点F ，连接1D F ，则1D F CE ⊥，∵1CE A D ∥， ∴11A B CE ⊥，再取线段1CB 的中点G ，连接FG ，∴1FG EB ∥，∴CE FG ⊥， ∴1D FG ∠是二面角11D CE B --的平面角， 在1D FG △中，1612D F FG ==，取线段11B C 的中点L ，连接GL ，则22211D G GL D L =+， 在11D C L △中，21125121222D L =+-⨯⨯=︒， ∴215111244D G =+=， 由余弦定理知2216111246cos 612D FG ⎛⎫+-⎪⎝⎭∠==⨯⨯∴二面角11D CE B --的余弦值为6-． 解法二：（1）设11111,||1,,||1,,||1D A a a DC b b D D c c ======， ∴11,AC b c a D A a c =+-=+，∵11AC D A ⊥，∴110AC D A ⋅=， ∴()()0b c a a c +-⋅+=，∴220c a b c b a -+⋅+⋅=，∴0a b ⋅=，得1111D A D C ⊥，得1111D A D C ⊥， 在直四棱柱1111ABCD A B C D -中，1111,D A DA D C DC ∥∥，∴CD AD ⊥．（2）以1D 为原点，11111,,D A D C D D 所在直线分别为x ，y ，z 轴，建立如图所示的空间直角坐标系，则111(0,0,0),(0,1,1),(1,1,0),(1,2,0),(0,1,0)D C E B C ，11111(0,1,1),(1,1,0),(1,0,1),(0,1,0),(1,2,0)DC D E EC EB D B ===-==． 设平面11CD B 的法向量为()3333,,n x y z =，∵33111,n D C n D B ⊥⊥， ∴313110,0,n D C n D B ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴33330,20,y z x y +=⎧⎨+=⎩令31y =-，则332,1x z ==，得3(2,1,1)n =-．11(0,1,0)D C =，求点1C 到平面11CD B 的距离3113166n d D C n -=⋅==． （3）设平面1CD E 的法向量为()1111,,n x y z =．∵1111,n DC n D E ⊥⊥，∴11110,0,n D C n D E ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴11110,0,y z x y +=⎧⎨+=⎩令11x =，则111,1y z =-=，得1(1,1,1)n =-．又设平面1CB E 的法向量为()2222,,n x y z =，∵221,n EB n EC ⊥⊥，∴2120,0,n EB n EC ⎧⋅=⎪⎨⋅=⎪⎩∴2220,0,y x z =⎧⎨-+=⎩令21x =，则220,1y z ==，得2(1,0,1)n =． 121226cos 332n n n n α⋅===⋅⋅，∵二面角11D CE B --的平面角是钝角，∴二面角11D CE B --的余弦值为6-． 20．【解析】（1）()f x 的最大值为2()2f πμσπ==，解得10σ=． 因为(50)(70)P P ξξ≤=≥，所以5070602μ+==． （2）记“至少有一名学生进入面试”为事件A ， 因为()2,,60,10Nξμσμσ~==，所以1(||)10.6827(70)0.8413522P P ξμσξ+-≤+≤=≈=，所以10()10.8413510.17770.8223P A =-≈-=． 答：至少有一名学生进入面试的概率为0.8223． （3）X 的可能取值为0，1，2，3，4．220022111(0)C 1C 1329P X ⎛⎫⎛⎫==--= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，22100122221111111(1)C 1C 1C 1C 13323223P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅--+-⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22222011022222221*********(2)C C 1C 1C 1C 1C 3233223236P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==-+⋅-⋅-+-=⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 22211222*********(3)C C 1C 1C 32233218P X ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫==⋅-+⋅-= ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭， 222222111(4)C C 3236P X ⎛⎫⎛⎫=== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 1113315()01234933618363E X =⨯+⨯+⨯+⨯+⨯=．21．【解析】（1）设()()1122,,,A x y B x y 有122y y pm ⋅=-，下证之：因为直线AB 与抛物线相交于A ，B 两点，所以直线AB 的斜率不为0．可设直线AB 的方程为：x ty m =+．把AB 的方程x ty m =+与22y px =联立得22,,y px x ty m ⎧=⎨=+⎩消去x 得2220y pty pm --=．由韦达定理得122y y pm ⋅=-即A ，B 两点的纵坐标之积为定值．（2）探索：当直线AB x ⊥轴时，则(2(,2)A m pm B m pm -，设点(,)N m n -，此时122pm n pm n k --==，32pm n k --=，202n nk m m m -==---，所以1322k k k +=．猜想一般情况下，有1322k k k +=，下证之： 设点(,)N m n -，则直线AN 的斜率为111y nk x m-=+，直线BN 的斜率为232y n k x m -=+，所以()()12121322221212222222p y n p y n y n y nk k y y y pm y pm m m p p----+=+=+++++ ()()()21121222112212121222y y n y y n y n y n p p y y y y y y y y y y ---⎛⎫--=+=⋅ ⎪---⎝⎭ ()()121212122222n y y n n n p p p y y y y y y pm m-=⋅=⋅=⋅=---．又因为直线MN 的斜率为202n nk m m m-==---,所以1322k k k +=．22．【解析】（1）函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的零点的个数为1，理由如下： 因为()e sin cos xf x x x =-，所以()e sin e cos sin xxf x x x x =++'． 因为0,2x π⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，所以()0f x '>，所以函数()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭上是单调递增函数．因为2(0)10,e 02f f ππ⎛⎫=-<= ⎪⎝⎭>，根据函数零点存在性定理得函数()y f x =在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭上的零点个数为1． （2）因为不等式()()12f x g x m +≥等价于()()12f x m g x ≥-， 所以任意10,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，存在20,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦，使得不等式()()12f x g x m +≥成立，等价于minmin ()(())f x m g x ≥-，即min max ()()f x m g x ≥-，当0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时，()e sin e cos sin 0x xf x x x x =+'+>，故()f x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递增， 所以0x =时，()f x 取得最小值1-，又()cos sin 2e xg x x x x =--'，由于在0,2x π⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦上，0cos 1,sin 2e 2xx x x ≤≤≥≥ 所以()0g x '<，故()g x 在区间0,2π⎡⎤⎢⎥⎣⎦上单调递减． 因此0x =时，()g x 2． 所以21m ≤．（3）法一：当1x >-时，要证()()0f x g x ->，只要证()()f x g x >，只要证e sin cos cos 2e x xx x x x ->-，只要证e sin 2e cos cos x x x x x x +>+，由于sin 20,10x x +>+>只要证e 1sin 2x x x >++． 下面证明1x >-时，不等式e 1sin 2x x x >++成立． 令e ()1x h x x =+，则2e ()(1)xx h x x '=+， 当(1,0)x ∈-时，()0,()h x h x <'单调递减； 当(0,)x ∈+∞时，()0,()h x h x >'单调递增．所以当且仅当0x =时，()h x 取得极小值也是最小值为1，即e 11xx ≥+，当0x =时，取“=”． 又因为cos sin 224x x x π⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭2,4x k k ππ=-∈Z 时取“=”．所以cos sin 2x x -≤1sin 2x ≤+，当2,4x k k ππ=-∈Z 时取“=”． 所以e 1sin 2x x x >++． 综上所述，当1x >-时，()()0f x g x ->成立．法二：()()e sin cos cos 2e e (sin 2)(1)cos x x xf xg x x x x x x x x -=--+=+-+，因为e 1,sin 20xx x ≥++>，所以e (sin 2)(1)(sin 2)xx x x +≥++，所以e (sin 2)(1)cos (1)(sin 2cos )xx x x x x x +-+≥++-， 因为1x >-，所以10x +>． 又因为cos sin 224x x x π⎛⎫-=-≤ ⎪⎝⎭2,4x k k ππ=-∈Z 时取“=”．所以sin 2cos 0x x ≥．① 而e 1xx ≥+，当0x =时，取“=”．② 所以不等式①②中的等号不能同时取得． 所以当1x >-时，()()0f x g x ->。

湖南师大附中2018届高三月考试卷(六)数 学(理科)命题人：吴锦坤 张汝波 审题人：黄祖军本试题卷包括选择题、填空题和解答题三部分，共10页．时量120分钟．满分150分．第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，共60分，在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．(1)已知集合A ＝{x |x 2＋x －2≤0，x ∈Z }，B ＝{a ，1}，A ∩B ＝B ，则实数a 等于(D) (A)－2 (B)－1 (C)－1或0 (D)－2或－1或0(2)设p ：ln(2x －1)≤0，q ：(x －a )[x －(a ＋1)]≤0，若q 是p 的必要而不充分条件，则实数a 的取值范围是(A)(A)⎣⎡⎦⎤0，12 (B)⎝⎛⎭⎫0，12 (C)(－∞，0]∪⎣⎡⎭⎫12，＋∞ (D)(－∞，0)∪⎝⎛⎭⎫12，＋∞ 【解析】由p 得： 12<x ≤1 ，由q 得：a ≤x ≤a ＋1，又q 是p 的必要而不充分条件，所以a ≤12且a ＋1≥1，∴0≤a ≤12. (3)某学校的两个班共有100名学生，一次考试后数学成绩ξ(ξ∈N )服从正态分布N (100，102)，已知P (90≤ξ≤100)＝0.3，估计该班学生数学成绩在110分以上的人数为(A)(A)20 (B)10 (C)14 (D)21【解析】由题意知，P (ξ＞110)＝1－2P （90≤ξ≤100）2＝0.2，∴该班学生数学成绩在110分以上的人数为0.2×100＝20.(4)某几何体的三视图如图所示，则其体积为(C) (A)83 (B)2 (C)43 (D)23【解析】该几何体是：在棱长为2的正方体中，连接相邻面的中心，以这些线段为棱的一个正八面体．可将它分割为两个四棱锥，棱锥的底面为正方形且边长为2，高为正方体边长的一半，∴V ＝2×13(2)2×1＝43.(5)我国古代数学著作《九章算术》有如下问题：“今有器中米，不知其数，前人取半，中人三分取一，后人四分取一，余米一斗五升．问，米几何？”如图是解决该问题的程序框图，执行该程序框图，若输出的S ＝2.5 (单位：升)，则输入k 的值为(D)(A)4.5 (B)6 (C)7.5 (D)10【解析】模拟程序的运行，可得n ＝1，S ＝k ， 满足条件n <4，执行循环体，n ＝2，S ＝k －k 2＝k2，满足条件n <4，执行循环体， n ＝3，S ＝k 2－k 23＝k3，满足条件n <4，执行循环体， n ＝4，S ＝k 3－k 34＝k4，此时，不满足条件n <4，退出循环，输出S 的值为k4，根据题意可得：k4＝2.5，计算得出：k ＝10.所以D 选项是正确的．(6)将函数f ()x ＝cosωx 2⎝⎛⎭⎫2sin ωx 2－23cos ωx 2＋3，()ω>0的图像向左平移π3ω个单位，得到函数y ＝g ()x 的图像，若y ＝g ()x 在⎣⎡⎦⎤0，π4上为增函数，则ω的最大值为(B)(A)1 (B)2 (C)3 (D)4【解析】由题意，f ()x ＝2sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π3()ω>0，先利用图像变换求出g ()x 的解析式：g ()x ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3ω＝2sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤ω⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3ω－π3，即g ()x ＝2sin ωx ，其图像可视为y ＝sin x 仅仅通过放缩而得到的图像．若ω最大，则要求周期T 取最小，由⎣⎡⎦⎤0，π4为增函数可得：x ＝π4应恰好为g ()x 的第一个正的最大值点，∴π4ω＝π2ω＝2.(7)已知x ，y 满足约束条件⎩⎨⎧x －2y －2≤0，2x －y ＋2≥0，x ＋y －2≤0，若ax ＋y 取得最大值的最优解不唯一，则实数a 的值为(C)(A)12或－1 (B)2或12(C)－2或1 (D)2或－1【解析】由题中约束条件作可行域如右图所示：令z ＝ax ＋y ，化为y ＝－ax ＋z ，即直线y ＝－ax ＋z 的纵截距取得最大值时的最优解不唯一．当－a >2时，直线y ＝－ax ＋z 经过点A (－2，－2)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意；当－a ＝2时，直线y ＝－ax ＋z 与y ＝2x ＋2重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故符合题意；当－1<－a <2时，直线y ＝－ax ＋z 经过点B (0，2)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意；当－a ＝－1时，直线y ＝－ax ＋z 与y ＝－x ＋2重合时纵截距最大，此时最优解不唯一，故符合题意；当－a <－1时，直线y ＝－ax ＋z 经过点C (2，0)时纵截距最大，此时最优解仅有一个，故不符合题意．综上，当a ＝－2或a ＝1时最优解不唯一，符合题意．故本题正确答案为C.(8)若直线ax ＋by －2＝0(a >0，b >0)始终平分圆x 2＋y 2－2x －2y ＝2的周长，则12a ＋1b 的最小值为(D)(A)3－224 (B)3－222(C)3＋222 (D)3＋224【解析】直线平分圆周，则直线过圆心f (1，1)，所以有a ＋b ＝2，12a ＋1b ＝12(a ＋b )⎝⎛⎭⎫12a ＋1b＝12⎝⎛⎭⎫32＋b 2a ＋a b ≥12⎝⎛⎭⎫32＋2b 2a ·a b ＝3＋224(当且仅当b ＝2a 时取“＝”)，故选D. (9)把7个字符a ，a ，a ，b ，b ，α，β排成一排，要求三个“a ”两两不相邻，且两个“b ”也不相邻，则这样的排法共有(B)(A)144种 (B)96种 (C)30种 (D)12种【解析】先排列b ，b ，α，β，若α，β不相邻，有A 22C 23种，若α，β相邻，有A 33种，共有6＋6＝12种，从所形成的5个空中选3个插入a ，a ，a ，共有12C 35＝120种，若b ，b 相邻时，从所形成的4个空中选3个插入a ，a ，a ，共有6C 34＝24，故三个“a ”两两不相邻，且两个“b ”也不相邻，这样的排法共有120－24＝96种．(10)设椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的右焦点为F ，椭圆C 上的两点A 、B 关于原点对称，且满足F A →·FB →＝0，|FB |≤|F A |≤2|FB |，则椭圆C 的离心率的取值范围是(A)(A)⎣⎡⎦⎤22，53 (B)⎣⎡⎭⎫53，1 (C)⎣⎡⎦⎤22，3－1 (D)[3－1，1) 【解析】作出椭圆左焦点F ′，由椭圆的对称性可知，四边形AFBF ′为平行四边形，又F A →·FB →＝0，即F A ⊥FB ，故平行四边形AFBF ′为矩形，所以|AB |＝|FF ′|＝2c .设AF ′＝n ，AF ＝m ，则在直角三角形ABF 中m ＋n ＝2a ，m 2＋n 2＝4c 2 ①，得mn ＝2b 2 ②，①÷②得m n ＋n m ＝2c 2b 2，令m n ＝t ，得t ＋1t ＝2c 2b2.又由|FB |≤|F A |≤2|FB |得m n ＝t ∈[1，2]，∴t ＋1t ＝2c 2b2∈⎣⎡⎦⎤2，52，故离心率的取值范围是⎣⎡⎦⎤22，53.(11)在△ABC 中，AB ＝2m ，AC ＝2n ，BC ＝210，AB ＋AC ＝8，E ，F ，G 分别为AB ，BC ，AC 三边中点，将△BEF ，△AEG ，△GCF 分别沿EF 、EG 、GF 向上折起，使A 、B 、C 重合，记为S ，则三棱锥S －EFG 的外接球面积最小为(D)(A)292π (B)233π (C)14π (D)9π【解析】根据题意，三棱锥S －EFG 的对棱分别相等，将三棱锥S －EFG 补充成长方体， 则对角线长分别为m ，n ，10， 设长方体的长宽高分别为x ，y ，z,则x 2＋y 2＝m ，y 2＋z 2＝10，x 2＋z 2＝n ，∴x 2＋y 2＋z 2＝5＋m ＋n2，∴三棱锥S －EFG 的外接球直径的平方为5＋m ＋n2，而m ＋n ＝4，m ＋n 2≥⎝ ⎛⎭⎪⎫m ＋n 22＝4，∴5＋m ＋n2≥9， ∴三棱锥S －EFG 的外接球面积最小为4π·94＝9π，所以D 选项是正确的．(12)已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋1，x ≥0，e －x －1，x <0，若x 1<x 2且f (x 1)＝f (x 2)，则x 2－x 1的取值范围是(B)(A)⎝⎛⎦⎤23，ln 2 (B)⎝⎛⎦⎤23，ln 32＋13 (C)⎣⎡⎦⎤ln 2，ln 32＋13 (D)⎝⎛⎭⎫ln 2，ln 32＋13【解答】作出函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－32x ＋1，x ≥0，e －x －1，x <0的图像如右，由x 1<x 2，且f (x 1)＝f (x 2)，可得0≤x 2<23，－32x 2＋1＝e －x 1－1，即为－x 1＝ln ⎝⎛⎭⎫－32x 2＋2， 可得x 2－x 1＝x 2＋ln ⎝⎛⎭⎫－32x 2＋2，令g (x 2)＝x 2＋ln ⎝⎛⎭⎫－32x 2＋2，0≤x 2<23， g ′(x 2)＝1＋－32－32x 2＋2＝3x 2－13x 2－4.当0≤x 2<13时，g ′(x 2)>0，g (x 2)递增；当13<x 2<23时，g ′(x 2)<0，g (x 2)递减．则g (x 2)在x 2＝13处取得极大值，也为最大值ln 32＋13，g (0)＝ln 2，g ⎝⎛⎭⎫23＝23，由23＜ln 2，可得x 2－x 1的范围是⎝⎛⎦⎤23，ln 32＋13.故选B. 第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二、填空题，本大题共4小题，每小题5分，共20分． (13)将八进制数705(8)化为三进制的数是__121210(3)__．【解析】705(8)＝7×82＋0×8＋5×80＝453, 根据除k 取余法可得453＝121210(3)．(14)计算：2cos 10°－23cos （－100°）1－sin 10°＝．(15)已知P 是双曲线x 216－y 28＝1右支上一点，F 1，F 2分别是双曲线的左、右焦点，O 为坐标原点，点M ，N 满足F 1P →＝λPM →()λ>0，PN →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫PM →|PM →|＋PF 2→|PF 2→|，PN →·F 2N →＝0.若|PF 2→|＝3，则以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为__49π__．【解析】由PN →＝μ⎝ ⎛⎭⎪⎫PM →|PM →|＋PF 2→|PF 2→|知PN 是∠MPF 2的角平分线，又PN →·F 2N →＝0，故延长F 2N 交PM 于K ，则PN 是△PF 2K 的角平分线又是高线，故△PF 2K 是等腰三角形，|PK |＝|PF 2|＝3，因为|PF 2→|＝3，故|PF 1→|＝11，故|F 1K →|＝14，注意到N 还是F 2K 的中点，所以ON 是△F 1F 2K 的中位线，|ON →|＝12|F 1K →|＝7，所以以O 为圆心，ON 为半径的圆的面积为49π.(16)如图，在△ABC 中，BE 平分∠ABC ，sin ∠ABE ＝33，AB ＝2，点D 在线段AC 上，且AD →＝2DC →，BD ＝433，则BE ＝56__．【解析】由条件得cos ∠ABC ＝13，sin ∠ABC ＝223.在△ABC 中，设BC ＝a ，AC ＝3b ，则9b 2＝a 2＋4－43a ①.因为∠ADB 与∠CDB 互补，所以cos ∠ADB ＝－cos ∠CDB ，4b 2＋163－41633b ＝－b 2＋163－a 2833b ，所以3b 2－a 2＝－6 ②，联立①②解得a ＝3，b ＝1，所以AC ＝3，BC ＝3. S △ABC ＝12·AC ·AB sin A ＝12×3×2×223＝22，S △ABE ＝12·BE ·BA sin ∠EBA ＝12×2×BE ×33＝33BE .S △BCE ＝12·BE ·BC sin ∠EBC ＝12×3×BE ×33＝32BE .由S △ABC ＝S △ABE ＋S △BCE ，得22＝33BE ＋32BE ，∴BE ＝456.70分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．(17)(本小题满分12分)设数列{a n }满足a 2n ＝a n ＋1a n －1＋λ(a 2－a 1)2，其中n ≥2，且n ∈N ，λ为常数．(Ⅰ)若{a n }是等差数列，且公差d ≠0，求λ的值；(Ⅱ)若a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4，且数列{b n }满足a n ·b n ＝n －7对任意的n ∈N *都成立． ①求数列{}b n 的前n 项之和S n ；②若m ·a n ≥n －7对任意的n ∈N *都成立，求m 的最小值．【解析】(Ⅰ)由题意，可得a 2n ＝(a n ＋d )(a n －d )＋λd 2，(2分)化简得(λ－1)d 2＝0，又d ≠0，所以λ＝1.(3分)(Ⅱ)①将a 1＝1，a 2＝2，a 3＝4代入条件，可得4＝1×4＋λ，解得λ＝0，(4分) 所以a 2n ＝a n ＋1a n －1，则数列{}a n 是首项为1，公比q ＝2的等比数列，所以a n ＝2n －1，从而b n ＝n －72n －1，(6分)所以S n ＝－620＋－521＋－422＋…＋n －72n －1，12S n ＝－621＋－522＋－423＋…＋n －72n ， 两式相减得：12S n ＝－620＋121＋122＋…＋12n －1－n －72n ＝－5＋5－n 2n ；所以S n ＝－10＋5－n2n －1.(8分)②m ·2n －1≥n －7，所以m ≥n －72n －1对任意n ∈N *都成立．由b n ＝n －72n －1，则b n ＋1－b n ＝n －62n －n －72n －1＝8－n2n ，所以当n >8时，b n ＋1<b n ； 当n ＝8时，b 9＝b 8； 当n <8时，b n ＋1>b n . 所以b n 的最大值为b 9＝b 8＝1128，所以m 的最小值为1128.(12分) (18)(本小题满分12分)阿尔法狗(AlphaGo)是第一个击败人类职业围棋选手、第一个战胜围棋世界冠军的人工智能程序，由谷歌(Google)公司的团队开发．其主要工作原理是“深度学习”.2017年5月，在中国乌镇围棋峰会上，它与排名世界第一的世界围棋冠军柯洁对战，以3比0的总比分获胜．围棋界公认阿尔法围棋的棋力已经超过人类职业围棋顶尖水平．为了激发广大中学生对人工智能的兴趣，某市教育局组织了一次全市中学生“人工智能”软件设计竞赛，从参加比赛的学生中随机抽取了30名学生，并把他们的比赛成绩按五个等级进行了统计，得到如下数据表：(Ⅰ)根据上面的统计数据，试估计从本市参加比赛的学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B ”的概率；(Ⅱ)根据(Ⅰ)的结论，若从该地区参加比赛的学生(参赛人数很多)中任选3人，记X 表示抽到成绩等级为“A 或B ”的学生人数，求X 的分布列及其数学期望EX ；(Ⅲ)从这30名学生中，随机选取2人，求“这两个人的成绩之差大于1分”的概率． 【解析】(Ⅰ)根据统计数据可知，从本地区参加比赛的30名中学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B ”的概率为：430＋630＝13，(2分)即从本地区参加比赛的学生中任意抽取一人，其成绩等级为“A 或B ”的概率为13.(3分)(Ⅱ)由题意知随机变量X 可取0，1，2，3，则X ～B ⎝⎛⎭⎫3，13. P (x ＝k )＝C k 3⎝⎛⎭⎫13k ⎝⎛⎭⎫233－k(k ＝0，1，2，3)，(5分)所以X 的分布列为：(6分)则E (x )＝3×13＝1，所求期望值为1.(7分)(Ⅲ)设事件M ：从这30名学生中，随机选取2人，这两个人的成绩之差大于1分． 设从这30名学生中，随机选取2人，记两个人的成绩分别为m ，n ， 则基本事件的总数为C 230，不妨设m >n ，当m ＝5时，n ＝3，2，1，基本事件的个数为C 14(C 110＋C 17＋C 13)； 当m ＝4时，n ＝2，1，基本事件的个数为C 16(C 17＋C 13)； 当m ＝3时，m ＝1，基本事件的个数为C 110C 13；P (M )＝3487.(12分)(19)(本小题满分12分)如图，在四棱锥A －EFCB 中，△AEF 为等边三角形，平面AEF ⊥平面EFCB ，EF ∥BC ，BC ＝4，EF ＝2a ，∠EBC ＝∠FCB ＝60°，O 为EF 的中点．(Ⅰ)求二面角F －AE －B 的余弦值；(Ⅱ)若点M 为线段AC 上异于点A 的一点，BE ⊥OM ，求a 的值． 【解析】(Ⅰ)因为△AEF 是等边三角形，O 为EF 的中点，所以AO ⊥EF ， 又因为平面AEF ⊥平面EFCB ，平面AEF ∩平面EFCB ＝EF ， AO平面AEF ，所以AO ⊥平面EFCB ，取BC 的中点G ，连结OG ，由题设知四边形EFCB 是等腰梯形，所以OG ⊥EF ， 由AO ⊥平面EFCB ，又GO平面EFCB ，所以AO ⊥GO ，建立如图所示空间直角坐标系，则E ()a ，0，0，A ()0，0，3a ，B ()2，3()2－a ，0，EA →＝()－a ，0，3a ， BE →＝()a －2，3()a －2，0，设平面AEB 的法向量为n ＝()x ，y ，z ， 则⎩⎪⎨⎪⎧n ·EA →＝0，n ·BE →＝0，即⎩⎨⎧－ax ＋3az ＝0，()a －2x ＋3()a －2y ＝0.令z ＝1，则x ＝3，y ＝－1，于是n ＝()3，－1，1，又平面AEF 的一个法向量为p ＝()0，1，0，设二面角F －AE －B 为θ，所以cos θ＝cos 〈n ，p 〉＝n ·p |n ||p |＝－55.(6分) (Ⅱ)由(Ⅰ)知AO ⊥平面EFCB ，又BE 平面EFCB ，所以AO ⊥BE ，又OM ⊥BE ，AO ∩OM ＝O ，所以BE ⊥平面AOC ，所以BE ⊥OC ，即BE →·OC →＝0，因为BE →＝()a －2，3()a －2，0，OC →＝()－2，3()2－a ，0， 所以BE →·OC →＝－2()a －2－3()a －22， 由BE →·OC →＝0及0<a <2，解得a ＝43.(12分)(20)(本小题满分12分)已知椭圆C ：x 2a 2＋y 2b 2＝1(a >b >0)的一个焦点为(3，0)，A 为椭圆C 的右顶点，以A 为圆心的圆与直线y ＝b ax 相交于P ，Q 两点，且AP →·AQ →＝0，OP →＝3OQ →.(Ⅰ)求椭圆C 的标准方程和圆A 的方程；(Ⅱ)不过原点的直线l 与椭圆C 相交于M ，N 两点，设直线OM ，直线l ，直线ON 的斜率分别为k 1，k ，k 2，且k 1，k ，k 2成等比数列．①求k 的值；②是否存在直线l 使得满足OD →＝λOM →＋μON →(λ2＋μ2＝1，λ·μ≠0)的点D 在椭圆C 上？若存在，求出直线l 的方程；若不存在，请说明理由．【解析】(Ⅰ)如图，设T 为线段PQ 的中点，连接AT ， 则AT ⊥PQ ，∵AP →·AQ →＝0， 即AP ⊥AQ ， 则|AT |＝12|PQ |，又OP →＝3OQ →，则|OT |＝|PQ |， ∴|AT ||OT |＝12，即b a ＝12， 由已知c ＝3，则a 2＝4，b 2＝1， 故椭圆C 的方程为x 24＋y 2＝1；(2分)又|AT |2＋|OT |2＝4，则|AT |2＋4|AT |2＝4|AT |＝255，r ＝|AP |＝2105， 故圆A 的方程为(x －2)2＋y 2＝85.(4分)(Ⅱ)①设直线l 的方程为y ＝kx ＋m (m ≠0)，M (x 1，y 1)，N (x 2，y 2)， 由⎩⎪⎨⎪⎧x 24＋y 2＝1y ＝kx ＋m (1＋4k 2)x 2＋8kmx ＋4(m 2－1)＝0，(5分) 则x 1＋x 2＝－8km 1＋4k 2，x 1x 2＝4（m 2－1）1＋4k 2，(6分)由已知k 2＝k 1k 2＝y 1y 2x 1x 2＝（kx 1＋m ）（kx 2＋m ）x 1x 2＝k 2＋km （x 1＋x 2）＋m2x 1x 2，(7分)则km (x 1＋x 2)＋m 2＝0，即－8k 2m 21＋4k2＋m 2＝0k 2＝14k ＝±12.(8分)②假设存在直线l 满足题设条件，且设D (x 0，y 0)， 由OD →＝λOM →＋μON →，得x 0＝λx 1＋μx 2，y 0＝λy 1＋μy 2， 代入椭圆方程得：（λx 1＋μx 2）24＋(λy 1＋μy 2)2＝1，即：λ2⎝⎛⎭⎫x 214＋y 21＋μ2⎝⎛⎭⎫x 224＋y 22＋λμx 1x 22＋2λμy 1y 2＝1，则x 1x 2＋4y 1y 2＝0，即x 1x 2＋4(kx 1＋m )(kx 2＋m )＝0， 则(1＋4k 2)x 1x 2＋4km (x 1＋x 2)＋4m 2＝0， 所以(1＋4k 2)·4（m 2－1）1＋4k 2－32k 2m 21＋4k2＋4m 2＝0， 化简得：2m 2＝1＋4k 2，而k 2＝14，则m ＝±1，(11分)此时，点M ，N 中有一点在椭圆的上顶点(或下顶点)，与k 1，k ，k 2成等比数列相矛盾， 故这样的直线不存在．(12分) (21)(本小题满分12分)已知函数f (x )＝a x ＋x 2－x ln a (a >0，a ≠1)． (Ⅰ)讨论函数f (x )的单调性；(Ⅱ)若存在x 1，x 2∈[－1，1]，使得|f (x 1)－f (x 2)|≥e －1(e 为自然对数的底数)，求a 的取值范围．【解析】(Ⅰ)f ′(x )＝a x ln a ＋2x －ln a ＝2x ＋(a x －1)ln a ，(1分) 当a >1时，ln a >0，x ∈(0，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )单调递增， x ∈(－∞，0)，f ′(x )<0，f (x )单调递减；(2分) 当0<a <1时，ln a <0，x ∈(0，＋∞)，f ′(x )>0，f (x )单调递增， x ∈(－∞，0)，f ′(x )<0，f (x )单调递减．(3分)综上：x ∈(0，＋∞)时，f (x )单调递增，x ∈(－∞，0)时，f (x )单调递减．(4分)(Ⅱ)不等式等价于：|f (x 1)－f (x 2)|max ≥e －1， 即f (x )max －f (x )min ≥e －1，(5分)由(Ⅰ)知，函数的最小值为f (0)＝1，f (x )max ＝max {}f （－1），f （1）， 而f (1)－f (－1)＝(a ＋1－ln a )－⎝⎛⎭⎫1a ＋1＋ln a ＝a －1a －2ln a ， 设g (a )＝a －1a －2ln a ，则g ′(a )＝1＋1a 2－2a ＝⎝⎛⎭⎫1－1a 2>0，所以g (a )＝a －1a －2ln a 在(0，＋∞)单调递增，而g (1)＝0，故a >1时，g (a )>0，即f (1)>f (－1)；(7分) 0<a <1时，g (a )<0，即f (1)<f (－1)．(8分) 所以当a >1时，原不等式即为：f (1)－f (0)≥e －1a －ln a ≥e －1，设h (a )＝a －ln a (a >1)，h ′(a )＝1－1a ＝a －1a >0，故函数h (a )单调递增，又h (e)＝e －1，则a ≥e ；(10分)当0<a <1时，原不等式即为：f (－1)－f (0)≥e －11a＋ln a ≥e －1， 设m (a )＝1a ＋ln a (0<a <1)，m ′(a )＝－1a 2＋1a ＝a －1a 2<0，故函数m (a )单调递减，又m ⎝⎛⎭⎫1e ＝e －1，则0<a ≤1e.(11分) 综上，所求a 的取值范围是⎝⎛⎦⎤0，1e ∪[e ，＋∞)．(12分) 请考生在第(22)、(23)两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分． (22)(本小题满分10分)在直角坐标系xOy 中，直线l 的参数方程为⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t ，y ＝2＋t (t 为参数)．在以坐标原点为极点，x 轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C ：ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4.(Ⅰ)求直线l 的普通方程和曲线C 的直角坐标方程；(Ⅱ)设曲线C 与直线l 的交点为A ，B, Q 是曲线上的动点，求△ABQ 面积的最大值．【解析】(Ⅰ)由⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3－t ，y ＝2＋t 消去t 得x ＋y －5＝0，所以直线l 的普通方程为x ＋y －5＝0.由ρ＝42cos ⎝⎛⎭⎫θ－π4＝4cos θ＋4sin θ，得ρ2＝4ρcos θ＋4ρsin θ.将ρ2＝x 2＋y 2，ρcos θ＝x ，ρsin θ＝y 代入上式，得x 2＋y 2＝4x ＋4y ，即(x －2)2＋(y －2)2＝8.所以曲线C 的直角坐标方程为(x －2)2＋(y －2)2＝8.(5分)(Ⅱ)由(Ⅰ)知，曲线C 是以(2，2)为圆心，22为半径的圆，直线l 过定点P (3，2)，P 在圆内，将直线的参数方程代入圆的普通方程，得2t 2－2t －7＝0，t 1＋t 2＝1，t 1·t 2＝－72.所以|AB |＝|t 1－t 2|＝15，又因为圆心到直线的距离d ＝|2＋2－5|2＝22，故△ABQ 面积的最大值为S △ABQ ＝12×15×⎝⎛⎭⎫22＋22＝5304.(10分)(23)(本小题满分10分) 已知函数f (x )＝|2x ＋1|＋|2x －1|. (Ⅰ)求f (x )的值域；(Ⅱ)若对任意实数a 和b ，|2a ＋b |＋|a |－12|a ＋b |·f (x )≥0，求实数x 的取值范围．【解析】(Ⅰ)∵f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－4x ，x ≤－12，2，－12<x <12，4x ，x ≥12，∴f (x )≥2.∴f (x )的值域为[2，＋∞)．(5分)(Ⅱ)当a ＋b ＝0，即a ＝－b 时，|2a ＋b |＋|a |－12|a ＋b |f (x )≥0可化为2|b |－0·f (x )≥0，即2|b |≥0恒成立，∴x ∈R .当a ＋b ≠0时，∵|2a ＋b |＋|a |＝|2a ＋b |＋|－a |≥|(2a ＋b )－a |＝|a ＋b |， 当且仅当(2a ＋b )(－a )≥0，即(2a ＋b )a ≤0时，等号成立， 即当(2a ＋b )a ≤0时，|2a ＋b |＋|a ||a ＋b |＝1.∴|2a ＋b |＋|a ||a ＋b |的最小值等于1.∵|2a ＋b |＋|a |－12|a ＋b |·f (x )≥0|2a ＋b |＋|a ||a ＋b |≥12f (x )，∴12f (x )≤1，即f (x )≤2. 由(Ⅰ)知f (x )≥2，∴f (x )＝2.当且仅当－12≤x ≤12时，f (x )＝2.综上所述，实数x 的取值范围是⎣⎡⎦⎤－12，12.(10分)。