2019高考总复习优化设计1轮理科数学人教B课时规范练23 解三角形(附答案)

课时作业(二十三) [第23讲解三角形的应用][时间：45分钟分值：100分]基础热身1．已知两座灯塔A、B与海洋观察站C的距离相等，灯塔A在观察站C的北偏东40°，灯塔B在观察站C的南偏东60°，则灯塔A在灯塔B的()A．北偏东10°B．北偏西10°C．南偏东10°D．南偏西10°2．已知A、B两地的距离为10 km，B、C两地的距离为20 km，观测得∠ABC＝120°，则A、C两地的距离为()A．10 km B. 3 kmC．10 5 km D．107 km3．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为()A．1 B．2sin10°C．2cos10°D．cos20°4．如图K23－1，一艘船上午8：00在A处测得灯塔S在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B处，此时又测得灯塔S在它的北偏东75°处，且与它相距4 2 n mile，则此船的航行速度是________ n mile/h.图K23－1能力提升5．如图K23－2，设A、B两点在河的两岸，一测量者在A的同侧，在所在的河岸边选定一点C，测出AC的距离为50 m，∠ACB＝45°，∠CAB＝105°后，就可以计算出A、B两点的距离为()图K23－2A．50 2 m B．50 3 mC．25 2 m D.2522m6．两座灯塔A和B与海洋观察站C的距离都等于a km，灯塔A在观察站C的北偏东20°，灯塔B在观察站C的南偏东40°，则灯塔A与灯塔B的距离为()A ．a km B.2a km C ．2a km D.3a km7．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则折断点与树干底部的距离是( )A.2063 m B ．10 6 mC.1063m D ．20 2 m8． 海事救护船A 在基地的北偏东60°，与基地相距100 3 n mile ，渔船B 被困海面，已知B 距离基地100 n mile ，而且在救护船A 的正西方，则渔船B 与救护船A 的距离是( )A ．100 n mileB ．200 n mileC ．100 n mile 或200 n mileD ．100 3 n mile9．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15 mB ．5 mC ．10 mD ．12 m10．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A 、B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________ km.11．如图K23－3，在坡角为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 6 m ，则旗杆的高度为________ m.图K23－312． 如图K23－4，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选取一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是________ m.图K23－413． △ABC 中，AB ＝22，BC ＝5，A ＝45°，∠B 为△ABC 中最大角，D 为AC 上一点，AD ＝12DC ，则BD ＝________.14．(10分)以40 km/h 向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3 min 后气球上升到1000 m 处，从探测船上观察气球，仰角为30°，求气球的水平飘移速度．15．(13分) 如图K23－5所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15 2 n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40 n mile 处的B 岛出发，朝北偏东θ⎝⎛⎭⎫tan θ＝12的方向作匀速直线航行，速度为m n mile/h.(1)若两船能相遇，求m .(2)当m ＝105时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少n mile?图K23－5难点突破16．(12分)某海岛上有一座海拔1 km 的山，山顶上有一观察站P (P 在海平面上的射影点为A )，测得一游艇在海岛南偏西30°，俯角为45°的B 处，该游艇准备前往海岛正东方向，俯角为45°的旅游景点C 处，如图K23－6所示．(1)设游艇从B 处直线航行到C 处时，距离观察站P 最近的点为D 处． (i)求证：BC ⊥平面P AD ； (ii)计算B 、D 两点间的距离．(2)海水退潮后，在(1)中的点D 处周围0.25 km 内有暗礁，航道变窄，为了有序参观景点，要求游艇从B 处直线航行到A 的正东方向某点E 处后，再沿正东方向继续驶向C 处．为使游艇不会触礁，试求AE 的最大值．图K23－6课时作业(二十三)【基础热身】1．B [解析] 如图，∠CBA ＝12(180°－80°)＝50°，α＝60°－50°＝10°，故选B.2．D [解析] 如图，△ABC 中，AB ＝10，BC ＝20，∠B ＝120°. 由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°， ＝102＋202－2×10×20×⎝⎛⎭⎫－12＝700， ∴AC ＝107 km ，故选D.3．C [解析] 如图，在△ACD 中，由正弦定理，有 AD sin ∠ACD ＝CDsin ∠CAD ，∴AD ＝sin (180°－20°)sin (20°－10°)＝2sin10°cos10°sin10°＝2cos10°，故选C.4．16 [解析] 如图，在△ABS 中，由正弦定理，有 AB sin ∠ASB ＝BSsin A，∴AB ＝42sin (75°－30°)sin30°＝8，故此船的航行速度是8÷12＝16(n mile/h)．【能力提升】5．A [解析] 由题意，得B ＝30°.由正弦定理，得AB sin ∠ACB ＝ACsin B，∴AB ＝AC ·sin ∠ACB sin B ＝50×2212＝502(m)．6．D [解析] 依题意得∠ACB ＝120°，由余弦定理，得 cos120°＝AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC.∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120° ＝a 2＋a 2－2a 2×⎝⎛⎭⎫－12＝3a 2， ∴AB ＝3a ，故选D.7．A [解析] 如图所示，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，∴∠OAB ＝60°.由正弦定理知，AO sin45°＝20sin60°，∴AO ＝2063m ，故选A.8．C [解析] 如图，设基地的位置为O ，在△OAB 中，OA ＝1003，OB ＝100，∠OAB ＝30°， 由余弦定理，有OB 2＝AB 2＋OA 2－2AB ·OA cos ∠OAB ， 即AB 2－300AB ＋2×1002＝0， 解得AB ＝100，或AB ＝200，故选C.9．C [解析] 如图，设塔高为h ，在Rt △AOC 中，∠ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h . 在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝3h . 在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10.由余弦定理得，OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ， 即(3h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos120°，∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10，或h ＝－5(舍)，故选C.10.6－1 [解析] 如图，由题意可得，∠ACB ＝120°，AC ＝2，AB ＝3，设BC ＝x ，则由余弦定理可得，AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC cos120°， 即32＝x 2＋22－2×2x cos120°， 整理得x 2＋2x ＝5，解得x ＝6－1.11．30 [解析] 设旗杆高为h 米，最后一排为点A ，第一排为点B ，旗杆顶端为点C ，则BC ＝h sin60°＝233h . 在△ABC 中，AB ＝106，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝105°， 所以∠ACB ＝30°，由正弦定理得，106sin30°＝233h sin45°，故h ＝30.12．106 [解析] 在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°， ∠BCD ＝90°＋15°＝105°，∠CBD ＝180°－105°－45°＝30°， 由正弦定理，有CD sin30°＝BC sin45°，则BC ＝10×2212＝102，在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan60°＝10 6. 13.5 [解析] 在△ABC 中，由正弦定理，有 AB sin C ＝BC sin A ，即sin C ＝22sin45°5＝25， ∴cos C ＝1－sin 2C ＝15， sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C ＝22×15＋22×25＝3225，由正弦定理，有AC sin B ＝BC sin A，得AC ＝5×322522＝3.∵AD ＝12DC ，∴AD ＝1，DC ＝2，在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos45° ＝(22)2＋12－2×22×1×22＝5， ∴BD ＝ 5.14．[解答] 如图，船从A 航行到C 处，气球飘到D 处． 由题知，BD ＝1 000 m ＝1 km ，AC ＝2 km ，∵∠BCD ＝30°， ∴BC ＝ 3 km. 设AB ＝x km ，在△ABC 中，∵∠BAC ＝90°－30°＝60°， ∴由余弦定理得22＋x 2－2×2x cos60°＝(3)2， ∴x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1.∴气球水平飘移速度为1120＝20(km/h)．15．[解答] (1)设t 小时后，两船在M 处相遇， 由tan θ＝12，得sin θ＝55，cos θ＝255，所以sin ∠AMB ＝sin(45°－θ)＝1010. 由正弦定理，AM sin θ＝ABsin ∠AMB ，∴AM ＝402，同理得BM ＝40 5.∴t ＝402152＝83，m ＝40583＝15 5.(2)以A 为原点，BA 所在直线为y 轴建立如图所示的平面直角坐标系，设在t 时刻甲、乙两船分别在P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)处，则|AP |＝152t ，|BQ |＝105t .由任意角三角函数的定义，可得 ⎩⎨⎧x 1＝152t cos45°＝15t ，y 1＝152t sin45°＝15t ， 即点P 的坐标是(15t,15t )，⎩⎨⎧x 2＝105t sin θ＝10t ，y 2＝105t cos θ－40＝20t －40，即点Q 的坐标是(10t,20t －40)，∴|PQ |＝(－5t )2＋(5t －40)2＝50t 2－400t ＋1600＝50(t －4)2＋800≥202，当且仅当t ＝4时，|PQ |取得最小值202，即两船出发4小时时，距离最近，最近距离为20 2 n mile. 【难点突破】16．[解答] (1)(i)连接PD ，AD ，∵游艇距离观察站P 最近的点为D 处，∴PD ⊥BC . 又依题意可知P A ⊥平面ABC ，∴P A ⊥BC . 又P A ∩PD ＝P ，∴BC ⊥平面P AD .(ii)依题意知P A ⊥AB ，∠PBA ＝45°，P A ＝1，∴AB ＝1， 同理AC ＝1，且∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°. 又BC ⊥AD ，∴D 为BC 的中点，且BD ＝32.(2)解法一：依题意过点B 作圆D 的切线交AC 于点E ，切点为G ， 则AE 取得最大值．设AE ＝x ，则CE ＝1－x ，过点E 作EF ⊥BC 于F ，则EF ＝1－x2.连接DG ，则DG ⊥BE ，∴Rt △BGD ∽Rt △BFE ，∴BE ＝3(1－x )．在△ABE 中，BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos ∠BAC ， 即3(1－x )2＝1＋x 2＋x ，化简得2x 2－7x ＋2＝0， 解得x 1＝7＋334，x 2＝7－334.又∵0<x <1，∴x ＝7－334，答：BD 的长为32 km ，AE 的最大值为7－334km. 解法二：在平面ABC 内，以A 为坐标原点，AC 为x 轴，建立直角坐标系，依题意，当直线BE 与圆D 相切时AE 最长．由已知AB ＝1得B ⎝⎛⎭⎫－12，－32，可设直线BE ：y ＋32＝k ⎝⎛⎭⎫x ＋12， 即kx －y ＋k 2－32＝0，由(1)知D 为BC 的中点，由C (1,0)知D ⎝⎛⎭⎫14，－34.则D 到直线BE 距离为14，即⎪⎪⎪⎪3k 4－341＋k 2＝14， 得4k 2－33k ＋1＝0，即k ＝33±118⎝ ⎛⎭⎪⎫k ＝33－118舍去，∴直线BE 的方程：y ＋32＝33＋118⎝⎛⎭⎫x ＋12， 令y ＝0时，得x ＝7－334，即AE ＝7－334，答：BD 的长为32 km ，AE 的最大值为7－334km.。

课时标准练23 解三角形根底稳固组1.(2021山西吕梁一模,4)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,a=,c=3,cos A= ,那么 b=()或3 D.无解2.在△ABC中,acos A=b cos B,那么△ABC的形状是()A. 等腰三角形B. 直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.(2021湖南长郡中学四模,11)在△ABC 中 ,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c, sin B+ sin A(sin C-cosC)= 0,a= 2,c=,那么角C= ()A. B. C. D.4.在△ABC中,B=,BC 边上的高等于BC,那么 cos A=()A. B.5.(2021湖南长郡中学五模,10)在△ABC 中 ,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,且=-,那么角 A 的最大值为()A. B. C. D.6.(2021河北衡水中学三模,14)在△ABC 中 ,角 A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且满足 asin B=b cos A,那么sin B-cos C 的最大值是.7.(2021北京,文14)假设△ABC的面积为(a2+c 2-b2), 且∠ C 为钝角 ,那么∠ B=; 的取值范围是.8.如下图,长为3.5 m的木棒AB斜靠在石堤旁,木棒的一端A在离堤足C处1.4 m的地面上,另一端B 在离堤足C 处 2.8 m 的石堤上 ,石堤的倾斜角为α,那么坡度值 tan α=.9.(2021河北唐山一模,16)在△ABC 中 ,角 A,B,C 的对边分别为a,b,c,AB 边上的高为h,假设 c= 2h,那么的取值范围是.10.在△ABC中,∠A= 60°,c= a.(1)求 sin C 的值 ;(2)假设 a= 7,求△ABC 的面积 .综合提升组11.(2021河北衡水中学考前仿真,10)在△ABC 中 ,内角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,a= 5,△ABC 的面积S△ABC=,且 b2+c 2-a2=ac cos C+c 2cos A,那么sin B+ sin C= ()B. C.12.(2021河北衡水中学月考,12) △ABC 的内角B+b cos A)=abc ,假设 a+b= 2,那么 c 的取值范围为( A.(0,2) B.[1,2)A,B,C 的对边分别是 )a,b,c,且 (a2+b 2-c2) ·(acosC. D.(1,2]13.(2021河北衡水中学九模,14)如图 ,为了测量河对岸A、B 两点之间的距离,观察者找到一个点C,从点 C 可以观察到点A、 B;找到一个点D,从点 D 可以观察到点A、 C; 找到一个点E,从点 E 可以观察到点 B、C;并测量得到一些数据:CD= 2,CE= 2,∠D= 45° ,∠ACD= 105° ,∠° ,∠BCE= 75° ,∠ E= 60° ,那么A、 B 两点之间的距离为.其中°取近似值14.(2021湖南长郡中学四模,17)如图,在△ABC中,∠B= ,D为边BC上的点,E为AD上的点,且AE= 8,AC= 4 ,∠ CED= .(1)求 CE的长;(2)假设 CD= 5,求 cos∠DAB 的值 .创新应用组15.(2021江苏,13)在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,∠ABC= 120° ,∠ ABC 的平分线交AC 于点 D ,且 BD= 1,那么 4a+c 的最小值为.16.岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n的速度向岛北偏西 22°方向行驶 ,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶 ,恰好用 0.5 h 能截住该走 mile/h私船 ?参考数据°°课时标准练23 解三角形1.C 由余弦定理 ,得 a 2=b 2+c 2-2bccos A,即 b 2-4b+ 3= 0,解得 b= 1 或 b= 3.应选 C.2.D∵acos A=b cos B,∴sin Acos A= sin Bcos B,∴ sin 2A= sin 2 B,∴ A=B ,或 2A+ 2B= 180° ,即∴.应选 D.A+B= 90° , △ABC 为等腰三角形或直角三角形3.B∵sin B+ sin A(sin C-cos C)= 0,∴sin(A+C )+ sin Asin C-sin Acos C= 0? cos Asin C+ sin Asin C= 0? cos A+ sin A= 0? A=,由正弦定理得 ? sin C= ,C?C= ,选B.4.C(方法一 )设 BC 边上的高为 AD ,那么 BC= 3AD. 结合题意知 BD=AD ,DC= 2AD ,所以AC= AD ,AB=--AD. 由余弦定理 ,得 cos ∠BAC= =-应选 C.(方法二 )如图 ,在 △ABC 中 ,AD 为 BC 边上的高 ,由题意知 ∠ BAD=设 ∠ DAC= α,那么 ∠BAC= α+∵ B C= 3AD,BD=AD. ∴DC= 2AD,AC= AD. ∴sin α=,cos α=,∴cos ∠ BAC= cos α+ = cos αcos -sin αsin(cos α-sin α)= - =- ,应选 C.5.A 由题意结合正弦定理得 =-,所以 tan C=- 3tan B,因此 B,C 中有一钝角 ,角 A 必为锐角 ,∵ t an A=- tan(B+C )=-> 0,-∴tan B> 0,tan A? 0<A,即角 A 的最大值为 ,选 A.6.1 由 asin B=b cos A,得 sin Asin B= sin Bcos A,tan A= 1.所以在 △ABC 中 ,A=-C -cos C= sin C,C ,所以 sin C max = 1.7(2,+ ∞) 由题意 ,得 S △ABC =(a 2+c 2-b 2)= acsin B,即-= sin B,cos B= sin B,∴tan B=∴B=A+C= ,C= -A>,∴0<A< 由正弦定理 ,得-∵0<A< ,∴ tan A,即(2,+∞).sin B- cos C=sin-8 在 △ABC 中 ,AB= 3.5 m,AC= 1.4 m,BC= 2.8 m,且 α+ ∠ ACB= π.由余弦定理 ,可得 AB 2=AC 2+BC 2-2·AC ·BC ·cos ∠ ACB,222即+ 2.8 -2×××cos(π-α), 解得 cos α= ,那么 sin α=,所以 tan α=9.[2,2 ]222∴222absin C= ch,c =a+b-2abcos C, ab=,a +b=c + 2abcos C,=== 2(sin C+ cos C)= 2 sin,∵sin,[2,2 ] .10.解(1)在△ABC中,因为∠A= 60°,c=a,所以由正弦定理得sin C=(2)因为 a= 7,所以 c=7= 3.由余弦定理 a2=b 2+c 2-2bccos A 得 72=b 2+ 32-2b×3,解得 b= 8 或 b=- 5(舍 ).所以△ABC 的面积 S= bcsin A=8×3= 611.C (方法一)∵b2+c2-a2=ac cos C+c2cos A,∴cos A=,∴cos A=,A=∴S△bcsin A=∴∵ 222∴2222= 100,b+c= 10,ABC=,bc= 25. a =b +c-2bccos A, b +c=a+bc= 50,那么 (b+c )∴b=c= 5,∴△ABC 为等边三角形 ,∴s in B+ sin C=(方法二 )∵b2+c 2 -a2=ac cos C+c 2cos A,∴b2+c 2-a2=ac -2-+c=--=bc,∴cos A=-,∴A=△ABC=bcsin A=∴bc= 25.∵22+c2-2bccos A,S, a =b∴b2+c 2=a 2+bc= 50,那么 (b+c )2= 100,b+c= 10,∴b=c= 5,∴△ABC 为等边三角形 ,∴sin B+ sin C=12.B由题意可得-,且 cos C=-= 1,据此可得 cos C= ,即-2+b 2-ab= ( a+b)2- 3ab= 4-3ab≥ 4-,a2+b 2-c2=ab ,据此有 c2=a3= 1,当且仅当 a=b= 1 时等号成立 .三角形满足两边之和大于第三边,那么c<a+b=2,综上可得 ,c 的取值范围为 [1,2) .°13依题意知 ,在△ACD 中 ,∠ A= 30° ,由正弦定理得 AC=° =2在△BCE中 ,∠°在△ABC 中 ,由余弦定理 AB2 =AC 2 +BC 2-2AC·BCcos∠CBE= 45° ,由正弦定理得 BC=° = 3ACB= 10,故 AB=222 14.解(1)由题意可得∠AEC=π-,在△AEC 中,由余弦定理得∴AC =AE +CE-2AE·CEcos∠AEC , 160= 64+CE 2+8CE,整理得 CE2+ 8 CE- 96= 0,解得 CE= 4(2)在△CDE 中 ,由正弦定理得,即∴5sin∠ CDE= 4sin = 4 ,= 4,∴sin∠ CDE=点 D 在边 BC上,∴∠CDE> ∠B=,而∴∠ CDE 只能为钝角 ,,∴c os∠ CDE=- ,∴cos∠ DAB= cos-= cos∠ CDE cos + sin∠ CDEsin-=-15.9由题意可知,S ABC=S ABD+S BCD.由角平分线的性质和三角形面积公式得acsin△△△120° = a×1×sin 60° + c×1×sin 60 °,化简得 ac=a+c ,= 1.因此 4a+c= (4a+c)= 5+ 5+ 2= 9,当且仅当c= 2a= 3 时取等号 ,故 4a+c 的最小值为9.16.C 处截住走私船 ,D 为岛 A 正南方向上的一点 ,缉私艇的速度为 x n mile/h, 那么 BC= 0.5x 2 2222AB·ACcos 120° ,解得 BC = 49,BC= 0.5x= 7,解得 x=14.又由正弦定理得sin∠ ABC=向行驶,所以∠ ABC= 38° .又∠BAD= 38° ,所以,恰好用 0.5 h 截住该走私船 .BC∥ AD.故缉私艇以14 n mile/h的速度向正北方。

课时作业(二十三)　[第23讲　解三角形的应用][时间：45分钟 分值：100分]基础热身1．已知两座灯塔A 、B 与海洋观察站C 的距离相等，灯塔A 在观察站C 的北偏东40°，灯塔B 在观察站C 的南偏东60°，则灯塔A 在灯塔B 的( )A ．北偏东10°B ．北偏西10°C ．南偏东10°D ．南偏西10°2．已知A 、B 两地的距离为10 km ，B 、C 两地的距离为20 km ，观测得∠ABC ＝120°，则A 、C 两地的距离为( )A ．10 km B. km3C ．10 km D ．10 km573．有一长为1的斜坡，它的倾斜角为20°，现高不变，将倾斜角改为10°，则斜坡长为( )A ．1B ．2sin10°C ．2cos10°D ．cos20°4． 如图K23－1，一艘船上午8：00在A 处测得灯塔S 在它的北偏东30°处，之后它继续沿正北方向匀速航行，上午8：30到达B 处，此时又测得灯塔S 在它的北偏东75°处，且与它相距4 n mile 2能力提升5．如图K23－2，设A 、B 两点在河的两岸，一测量者在A 的同侧，在所在的河岸边选定一点C ，测出AC 的距离为50 m ，∠ACB ＝45°，∠CAB ＝105°后，就可以计算出A 、B 两点的距离为( )A ．50 mB ．50 m23C ．25 m D. m 225226．两座灯塔A 和B 与海洋观察站C 的距离都等于a km ，灯塔A 在观察站C 的北偏东20°，灯塔B 在观察站C 的南偏东40°，则灯塔A 与灯塔B 的距离为( )A ．a km B.a km2C ．2a km D.a km37．据新华社报道，强台风“珍珠”在广东饶平登陆．台风中心最大风力达到12级以上，大风降雨给灾区带来严重的灾害，不少大树被大风折断．某路边一树干被台风吹断后，折成与地面成45°角，树干也倾斜为与地面成75°角，树干底部与树尖着地处相距20 m ，则折断点与树干底部的距离是( )A. m B ．10 m 20636C. m D ．20 m 106328． 海事救护船A 在基地的北偏东60°，与基地相距100 n mile ，渔船B 被困海面，3已知B 距离基地100 n mile ，而且在救护船A 的正西方，则渔船B 与救护船A 的距离是( )A ．100 n mileB ．200 n mileC ．100 n mile 或200 n mileD ．100 n mile39．某人在C 点测得某塔在南偏西80°，塔顶仰角为45°，此人沿南偏东40°方向前进10 m 到D ，测得塔顶A 的仰角为30°，则塔高为( )A ．15 mB ．5 mC ．10 mD ．12 m10．已知A 船在灯塔C 北偏东80°处，且A 船到灯塔C 的距离为2 km ，B 船在灯塔C 北偏西40°处，A 、B 两船间的距离为3 km ，则B 船到灯塔C 的距离为________ km.11．如图K23－3，在坡角为15°的观礼台上，某一列座位与旗杆在同一个垂直于地面的平面上，在该列的第一排和最后一排测得旗杆顶端的仰角分别为60°和30°，且第一排和最后一排的距离为10 m 6图K23－312． 如图K23－4，为测得河对岸塔AB 的高，先在河岸上选取一点C ，使C 在塔底B 的正东方向上，测得点A 的仰角为60°，再由点C 沿北偏东15°方向走10 m 到位置D ，测得∠BDC ＝45°，则塔AB 的高是13． △ABC 中，AB ＝2，BC ＝，A ＝45°，∠B 为△ABC 中最大角，D 为AC 上25一点，AD ＝DC ，则BD ＝________.1214．(10分)以40 km/h 向北偏东30°航行的科学探测船上释放了一个探测气球，气球顺风向正东飘去，3 min 后气球上升到1000 m 处，从探测船上观察气球，仰角为30°，求气球的水平飘移速度．15．(13分) 如图K23－5所示，甲船由A 岛出发向北偏东45°的方向作匀速直线航行，速度为15 n mile/h ，在甲船从A 岛出发的同时，乙船从A 岛正南40 n mile 处的B 岛出发，2朝北偏东θ的方向作匀速直线航行，速度为m n mile/h.(tan θ＝12)(1)若两船能相遇，求m .5(2)当m＝10时，求两船出发后多长时间距离最近，最近距离为多少n mile?图K23－5难点突破16．(12分)某海岛上有一座海拔1 km的山，山顶上有一观察站P(P在海平面上的射影点为A)，测得一游艇在海岛南偏西30°，俯角为45°的B处，该游艇准备前往海岛正东方向，俯角为45°的旅游景点C处，如图K23－6所示．(1)设游艇从B处直线航行到C处时，距离观察站P最近的点为D处．(i)求证：BC⊥平面PAD；(ii)计算B、D两点间的距离．(2)海水退潮后，在(1)中的点D处周围0.25 km内有暗礁，航道变窄，为了有序参观景点，要求游艇从B处直线航行到A的正东方向某点E处后，再沿正东方向继续驶向C处．为使游艇不会触礁，试求AE的最大值．图K23－6课时作业(二十三)【基础热身】1．B [解析] 如图，∠CBA ＝(180°－80°)＝50°，α＝60°－50°＝10°，故选B.122．D [解析] 如图，△ABC 中，B ＝120°.由余弦定理得，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos120°，＝102＋202－2×10×20×＝700，(－12)∴AC ＝10 km ，故选D.73．C [解析] 如图，在△ACD ＝，AD sin ∠ACD CD sin ∠CAD ∴AD ＝sin (180°－20°)sin (20°－10°)＝＝2cos10°，故选C.2sin10°cos10°sin10°4．16　[解析] 如图，在△ABS ＝，∴AB ＝＝8，AB sin ∠ASB BS sin A 42sin (75°－30°)sin30°故此船的航行速度是8÷＝16(n mile/h)．12【能力提升】5．A [解析] 由题意，得B ＝30°.由正弦定理，得＝，∴AB ＝＝AB sin ∠ACB AC sin B AC ·sin ∠ACB sin B ＝50(m)．50×221226．D [解析] 依题意得∠ACB ＝120°，由余弦定理，得cos120°＝.AC 2＋BC 2－AB 22AC ·BC∴AB 2＝AC 2＋BC 2－2AC ·BC cos120°＝a 2＋a 2－2a 2×＝3a 2，(－12)∴AB ＝a ，故选D.37．A [解析] 如图所示，设树干底部为O ，树尖着地处为B ，折断点为A ，则∠ABO ＝45°，∠AOB ＝75°，∴∠OAB ＝60°.由正弦定理知，＝，∴AO ＝ m ，故选A.AO2020638．C [解析] 如图，OA ＝100，OB ＝100，∠OAB ＝330°，由余弦定理，有OB 2＝AB 2＋OA 2－2AB ·OA cos ∠OAB ，即AB 2－300AB ＋2×1002＝0，解得AB ＝100，或AB ＝200，故选C.9．C [解析] 如图，设塔高为h ACO ＝45°，则OC ＝OA ＝h .在Rt △AOD 中，∠ADO ＝30°，则OD ＝h .3在△OCD 中，∠OCD ＝120°，CD ＝10.由余弦定理得，OD 2＝OC 2＋CD 2－2OC ·CD cos ∠OCD ，即(h )2＝h 2＋102－2h ×10×cos120°，3∴h 2－5h －50＝0，解得h ＝10，或C.10.－1　[解析] ，AC ＝2，AB ＝3，设BC ＝x ，则6由余弦定理可得，AB 2＝BC 2＋AC 2－2BC ·AC cos120°，即32＝x 2＋22－2×2x cos120°，整理得x 2＋2x ＝5，解得x ＝－611．30　[解析] 设旗杆高为h B ，旗杆顶端为点C ，则BC ＝＝h .h sin60°233在△ABC 中，AB ＝10，∠CAB ＝45°，∠ABC ＝105°，6所以∠ACB ＝30°，由正弦定理得，＝，106sin30°233h sin45°故h ＝30.12．10　[解析] 在△BCD 中，CD ＝10，∠BDC ＝45°，6∠BCD ＝90°＋15°＝105°，∠CBD ＝180°－105°－45°＝30°，由正弦定理，有＝，CD sin30°BC sin45°则BC ＝＝10，10×22122在Rt △ABC 中，AB ＝BC tan60°＝10.613.　[解析] 在△ABC 中，由正弦定理，有5＝，即sin C ＝＝，AB sin C BC sin A 22sin45°525∴cos C ＝＝，1－sin 2C 15sin B ＝sin(A ＋C )＝sin A cos C ＋cos A sin C＝×＋×＝，221522253225由正弦定理，有＝，AC sin B BC sin A 得AC ＝＝3.5×322522∵AD ＝DC ，∴AD ＝1，DC ＝2，12在△ABD 中，BD 2＝AB 2＋AD 2－2AB ·AD cos45°＝(2)2＋12－2×2×1×＝5，2222∴BD ＝.514．[解答] 如图，船从A 航行到C 处，气球飘到D 处．由题知，BD ＝1 000 m ＝1 km ，∵∠BCD ＝30°，∴BC ＝ km.3设AB ＝x km ，在△ABC 中，∵∠BAC ＝90°－30°＝60°，∴由余弦定理得22＋x 2－2×2x cos60°＝()2，3∴x 2－2x ＋1＝0，∴x ＝1.∴气球水平飘移速度为＝20(km/h)．112015．[解答] (1)设t 小时后，两船在M 处相遇，由tan θ＝，得sin θ＝，cos θ＝，1255255所以sin ∠AMB ＝sin(45°－θ)＝.1010由正弦定理，＝，∴AM ＝40，AM sin θAB sin ∠AMB2同理得BM ＝40.5∴t ＝＝，m ＝＝15.40215283405835(2)以A 为原点，BA 所在直线为yt 时刻甲、乙两船分别在P (x 1，y 1)，Q (x 2，y 2)BQ |＝10t .5由任意角三角函数的定义，可得Error!即点P 的坐标是(15t,15t )，Error!即点Q 的坐标是(10t,20t －40)，∴|PQ |＝＝＝≥20，(－5t )2＋(5t －40)250t 2－400t ＋160050(t －4)2＋8002当且仅当t ＝4时，|PQ |取得最小值20，即两船出发4小时时，距离最近，最近距离2为20 n mile.2【难点突破】16．[解答] (1)(i)连接PD ，AD ，∵游艇距离观察站P 最近的点为D 处，∴PD ⊥BC .又依题意可知PA ⊥平面ABC ，∴PA ⊥BC .又PA ∩PD ＝P ，∴BC ⊥平面PAD .(ii)依题意知PA ⊥AB ，∠PBA ＝45°，PA ＝1，∴AB ＝1，同理AC ＝1，且∠BAC ＝120°，∴∠ABC ＝∠ACB ＝30°.又BC ⊥AD ，∴D 为BC 的中点，且BD ＝.3(2)解法一：依题意过点B 作圆G ，则AE 取得最大值．设AE ＝x ，则CE ＝1－x ，过点E 作EF ⊥BC 于F ，则EF ＝.1－x 2连接DG ，则DG ⊥BE ，∴Rt △BGD ∽Rt △BFE ，∴BE ＝(1－x )．3在△ABE 中，BE 2＝AB 2＋AE 2－2AB ·AE ·cos ∠BAC ，即3(1－x )2＝1＋x 2＋x ，化简得2x 2－7x ＋2＝0，解得x 1＝，x 2＝.7＋3347－334又∵0<x <1，∴x ＝，7－334答：BD 的长为 km ，AE 的最大值为 km.327－334解法二：在平面ABC 内，以A 为坐标原点，AC 为x 轴，建立直角坐标系，依题意，当直线BE 与圆D 相切时AE 最长．由已知AB ＝1得B ，(－12，－32)可设直线BE ：y ＋＝k ，32(x ＋12)即kx －y ＋－＝0，k 232由(1)知D 为BC 的中点，由C (1,0)知D .(14，－34)则D 到直线BE 距离为，即＝，14|3k 4－34|1＋k 214得4k 2－3k ＋1＝0，即k ＝，333±118(k ＝33－118舍去)∴直线BE 的方程：y ＋＝，3233＋118(x ＋12)令y ＝0时，得x ＝，即AE ＝，7－3347－334答：BD 的长为 km ，AE 的最大值为 km.327－334。

第5节 两角和与差的正弦、余弦和正切公式最新考纲 1.会用向量的数量积推导出两角差的余弦公式；2.能利用两角差的余弦公式导出两角差的正弦、正切公式；3.能利用两角差的余弦公式导出两角和的正弦、余弦、正切公式，导出二倍角的正弦、余弦、正切公式，了解它们的内在联系；4.能运用上述公式进行简单的恒等变换(包括导出积化和差、和差化积、半角公式，但对这三组公式不要求记忆).知 识 梳 理1.两角和与差的正弦、余弦和正切公式 sin(α±β)＝sin__αcos__β±cos__αsin__β. cos(α∓β)＝cos__αcos__β±sin__αsin__β. tan(α±β)＝tan α±tan β1∓tan αtan β.2.二倍角的正弦、余弦、正切公式 sin 2α＝2sin__αcos__α.cos 2α＝cos 2α－sin 2α＝2cos 2α－1＝1－2sin 2α. tan 2α＝2tan α1－tan α.3.函数f (α)＝a sin α＋b cos α(a ，b 为常数)，可以化为f (α)＝a 2＋b 2sin(α＋φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝b a 或f (α)＝a 2＋b 2²cos(α－φ)⎝ ⎛⎭⎪⎫其中tan φ＝a b . [常用结论与微点提醒]1.tan α±tan β＝tan(α±β)(1∓tan αtan β).2.cos 2α＝1＋cos 2α2，sin 2α＝1－cos 2α2. 3.1＋sin 2α＝(sin α＋cos α)2，1－sin 2α＝(sin α－cos α)2， sin α±cos α＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫α±π4.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“³”)(1)两角和与差的正弦、余弦公式中的角α，β是任意的.( ) (2)存在实数α，β，使等式sin(α＋β)＝sin α＋sin β成立.( ) (3)公式tan(α＋β)＝tan α＋tan β1－tan αtan β可以变形为tan α＋tan β＝tan(α＋β)(1－tan αtan β)，且对任意角α，β都成立.( ) (4)存在实数α，使tan 2α＝2tan α.( )解析 (3)变形可以，但不是对任意的α，β都成立，α，β，α＋β≠π2＋k π，k ∈Z .答案 (1)√ (2)√ (3)³ (4)√2.(2017·全国Ⅲ卷)已知sin α－cos α＝43，则sin 2α＝( )A.－79B.－29C.29D.79 解析 sin 2α＝2sin αcos α＝（sin α－cos α）2－1－1＝－79.答案 A3.(2016·全国Ⅲ卷)若tan θ＝－13，则cos 2θ＝( )A.－45B.－15C.15D.45 解析 cos 2θ＝cos 2θ－sin 2θ＝cos 2θ－sin 2θcos 2θ＋sin 2θ＝1－tan 2θ1＋tan 2θ＝45.答案 D4.(教材习题改编)tan 20°＋tan 40°＋3tan 20°²tan 40°＝________. 解析 ∵tan 60°＝tan(20°＋40°)＝tan 20°＋tan 40°1－tan 20°tan 40°，∴tan 20°＋tan 40°＝tan 60°(1－tan 20°tan 40°) ＝3－3tan 20°tan 40°，∴原式＝3－3tan 20°tan 40°＋3tan 20°tan 40°＝ 3. 答案35.(教材习题改编)sin 347°cos 148°＋sin 77°²cos 58°＝________. 解析 sin 347°cos 148°＋sin 77°cos 58°＝sin(270°＋77°)cos(90°＋58°)＋sin 77°cos 58° ＝(－cos 77°)·(－sin 58°)＋sin 77°cos 58° ＝sin 58°cos 77°＋cos 58°sin 77° ＝sin(58°＋77°)＝sin 135°＝22.答案 22考点一 三角函数式的化简【例1】 (1)( 教材习题原题)化简：sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ)＝________.(2)化简：（1＋sin α＋cos α）·⎝⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α22＋2cos α(0<α<π)＝________.解析 (1)sin(α＋β)cos(γ－β)－cos(β＋α)sin(β－γ) ＝sin(α＋β)cos (β－γ)－cos(α＋β)sin(β－γ) ＝sin[(α＋β)－(β－γ)]＝sin(α＋γ).(2)原式＝⎝⎛⎭⎪⎫2cos 2α2＋2sin α2cos α2·⎝ ⎛⎭⎪⎫cos α2－sin α24cos 2α2＝cos α2⎝⎛⎭⎪⎫cos 2α2－sin2α2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2＝cos α2cos α⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为0<α<π，所以0<α2<π2，所以cos α2>0，所以原式＝cos α. 答案 (1)sin(α＋γ) (2)cos α规律方法 三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.【训练1】 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝( ) A.sin(α＋2β) B.sin α C.cos(α＋2β)D.cos α(2)化简：2cos 4α－2cos 2α＋122tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αsin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋α＝________.解析 (1)cos(α＋β)cos β＋sin(α＋β)sin β＝cos[(α＋β)－β]＝cos α. (2)原式＝12（4cos 4α－4cos 2α＋1）2³sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α·cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝（2cos 2α－1）24sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－αcos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝cos 22α2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－2α＝cos 22α2cos 2α＝12cos 2α. 答案 (1)D (2)12cos 2α 考点二 三角函数式的求值【例2】 (1)[2sin 50°＋sin 10°(1＋3tan 10°)]·2sin 280°＝________. (2)(2018·包头一模)若sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝14，则cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝________.(3)已知α，β∈(0，π)，且tan(α－β)＝12，tan β＝－17，则2α－β的值为________. 解析 (1)原式＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2sin 50°＋sin 10°·cos 10°＋3sin 10°cos 10°· 2sin 80°＝(2sin 50°＋2sin 10°·12cos 10°＋32sin 10°cos 10°)·2cos 10°＝22[sin 50°·cos 10°＋sin 10°·cos(60°－10°)]＝22sin(50°＋10°)＝22³32＝ 6.(2)依题意得cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π－⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＋2α＝－cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α＝2sin 2⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－α－1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫142－1＝－78.(3)∵tan α＝tan[(α－β)＋β]＝tan （α－β）＋tan β1－tan （α－β）tan β＝12－171＋12³17＝13>0，又α∈(0，π)，∴0<α<π2，又∵tan 2α＝2tan α1－tan 2α＝2³131－⎝ ⎛⎭⎪⎫132＝34>0，∴0<2α<π2，∴tan(2α－β)＝tan 2α－tan β1＋tan 2αtan β＝34＋171－34³17＝1. ∵tan β＝－17<0，∴π2<β<π，－π<2α－β<0， ∴2α－β＝－3π4.答案 (1)6 (2)－78 (3)－3π4规律方法 1.已知条件下的求值问题常先化简需求值的式子，再观察已知条件与所求值的式子之间的联系(从三角函数名及角入手)，最后将已知条件及其变形代入所求式子，化简求值.2.通过求角的某种三角函数值来求角，在选取函数时，遵照以下原则：(1)已知正切函数值，选正切函数；(2)已知正、余弦函数值，选正弦或余弦函数；若角的范围是⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，选正、余弦皆可；若角的范围是(0，π)，选余弦较好；若角的范围为⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2，选正弦较好.【训练2】 (1)(2018·湖南十三校联考)已知x ∈(0，π)，且cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x ，则tan ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4＝( )A.13B.－13C.3D.－3(2)(一题多解)(2018·石家庄质检)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝－23，则cos α＝________.解析 (1)由cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π2＝sin 2x 得sin 2x ＝sin 2x ，∵x ∈(0，π)，∴tan x ＝2，∴tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π4＝tan x －11＋tan x ＝13.(2)法一 因为α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，所以α＋π3∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝53，所以cos α＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3－π3＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3cos π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3sin π3＝－23³12＋53³32＝15－26.法二 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝cos αcos π3－sin αsin π3＝12 cos α－321－cos 2α＝－23，α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，解得cos α＝15－26.答案 (1)A (2)15－26 考点三 三角变换的简单应用【例3】 已知△ABC 为锐角三角形，若向量p ＝(2－2sin A ，cos A ＋sin A )与向量q ＝(sin A －cos A ，1＋sin A )是共线向量. (1)求角A ；(2)求函数y ＝2sin 2B ＋cosC －3B2的最大值.解 (1)因为p ，q 共线，所以(2－2sin A )(1＋sin A )＝(cos A ＋sin A )(sin A －cos A )，则sin 2A ＝34.又A 为锐角，所以sin A ＝32，则A ＝π3.(2)y ＝2sin 2 B ＋cos C －3B 2＝2sin 2B ＋cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π－π3－B －3B2＝2sin 2B ＋cos⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－2B ＝1－cos 2B ＋12cos 2B ＋32sin 2B ＝32sin 2B －12cos 2B ＋1＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2B －π6＋1.因为B ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，B ＋A >π2，所以π6<B <π2，所以2B －π6∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，5π6，所以当2B －π6＝π2时，函数y 取得最大值，此时B ＝π3，y max ＝2.规律方法 解三角函数问题的基本思想是“变换”，通过适当的变换达到由此及彼的目的，变换的基本方向有：(1)变换函数名称.变换函数名称可以使用诱导公式、同角三角函数关系、二倍角的余弦公式等.(2)变换角的形式.变换角的形式，可以使用两角和与差的三角函数公式、倍角公式等.【训练3】 (2017·北京卷)已知函数f (x )＝3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x .(1)求f (x )的最小正周期；(2)求证：当x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4时，f (x )≥－12.(1)解 f (x )＝3cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3－2sin x cos x＝32cos 2x ＋32sin 2x －sin 2x ＝12sin 2x ＋32cos 2x ＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3，所以f (x )的最小正周期T ＝2π2＝π.(2)证明 由(1)知f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3.∵x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π4，π4，∴2x ＋π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π6，5π6，∴当2x ＋π3＝－π6，即x ＝－π4时，f (x )取得最小值－12.∴f (x )≥－12成立.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2015·全国Ⅰ卷)sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝( ) A.－32 B.32C.－12D.12解析 sin 20°cos 10°－cos 160°sin 10°＝sin 20°cos 10°＋cos 20°sin 10°＝sin 30°＝12. 答案 D2.(2017·山东卷)已知cos x ＝34，则cos 2x ＝( ) A.－14B.14C.－18D.18解析 因为cos x ＝34，所以cos 2x ＝2cos 2x －1＝2³⎝ ⎛⎭⎪⎫342－1＝18.答案 D3.(2018·河北名校联盟质检)已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴正半轴重合，终边在直线y ＝3x 上，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝( )A.－3－4310B.－4－3310C.3－4310D.4－3310解析 由已知，tan θ＝3，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2θ＋π3＝12sin 2θ＋32cos 2θ＝sin θcos θ＋32（cos 2θ－sin 2θ）sin 2θ＋cos 2θ＝tan θ＋32（1－tan 2θ）tan 2θ＋1＝3＋32（1－32）32＋1＝3－4310.答案 C4.若tan α＝13，tan(α＋β)＝12，则tan β等于( ) A.17 B.16 C.57 D.56解析 tan β＝tan[(α＋β)－α]＝tan （α＋β）－tan α1＋tan （α＋β）·tan α＝12－131＋12³13＝17. 答案 A 5.(2018·青岛月考)sin 10°1－3tan 10°＝( )A.14B.12C.32D.1解析sin 10°1－3tan 10°＝sin 10°cos 10°cos 10°－3sin 10°＝2sin 10°cos 10°4⎝ ⎛⎭⎪⎫12cos 10°－32sin 10°＝sin 20°4sin （30°－10°）＝14. 答案 A 二、填空题6.(2017·江苏卷)若tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝16，则tan α＝________.解析 tan α＝tan ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π4＋π4＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＋tan π41－tan ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4·tan π4＝16＋11－16＝75.答案 757.若cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝13，则sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝________.解析 sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2α－π6＝sin ⎣⎢⎡⎦⎥⎤2⎝⎛⎭⎪⎫α－π3＋π2＝cos 2⎝ ⎛⎭⎪⎫α－π3＝2cos 2⎝⎛⎭⎪⎫α－π3－1＝2³19－1＝－79.答案 －798.(2018·南昌一中月考)已知α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，且cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，则cos(α＋β)＝________.解析 ∵α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，3π4，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35，∴π4－α∈⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，0，sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝－45，∵sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫54π＋β＝－1213，∴sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝1213，又∵β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π4，∴π4＋β∈⎝ ⎛⎭⎪⎫π4，π2，cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β＝513，∴cos(α＋β)＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋β－⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－α＝35³513－45³1213＝－3365.答案 －3365 三、解答题9.(教材习题原题)已知cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35，17π12<x <7π4，求sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x 的值.解 sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝2sin x cos x ＋2sin 2x1－sin x cos x＝2sin x cos x （cos x ＋sin x ）cos x －sin x ＝sin 2x ²1＋tan x 1－tan x＝sin 2x ²tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x .由17π12<x <7π4，得5π3<x ＋π4<2π，又cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝35， 所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－45，tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＝－43.cos x ＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x －π4＝22⎣⎢⎡⎦⎥⎤cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4＋x＝－210，sin x ＝－7210，sin 2x ＝2sin x cos x ＝725.所以sin 2x ＋2sin 2x 1－tan x＝－2875. 10.(一题多解)设cos α＝－55，tan β＝13，π<α<3π2，0<β<π2，求α－β的值.解 法一 由cos α＝－55，π<α<3π2，得sin α＝－255，tan α＝2，又tan β＝13，于是tan(α－β)＝tan α－tan β1＋tan αtan β＝2－131＋2³13＝1.又由π<α<3π2，0<β<π2可得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4.法二 由cos α＝－55，π<α<3π2得sin α＝－255. 由tan β＝13，0<β<π2得sin β＝110，cos β＝310. 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝⎝⎛⎭⎪⎫－255⎝ ⎛⎭⎪⎫310－⎝ ⎛⎭⎪⎫－55⎝ ⎛⎭⎪⎫110＝－22. 又由π<α<3π2，0<β<π2，得－π2<－β<0，π2<α－β<3π2，因此，α－β＝5π4.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2018·广州模拟)已知f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6，若sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，则f ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π12＝( )A.－7210B.－210C.210D.7210解析 因为sin α＝35⎝ ⎛⎭⎪⎫π2<α<π，所以cos α＝－45，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π12＋π6＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π4＝22sin α＋ 22cos α＝－210.答案 B12.已知cos(α＋β)＝16，cos(α－β)＝13，则tan αtan β的值为________.解析 因为cos(α＋β)＝16，所以cos αcos β－sin αsin β＝16.①因为cos(α－β)＝13，所以cos αcos β＋sin αsin β＝13.②①＋②得cos αcos β＝14.②－①得sin αsin β＝112.所以tan αtan β＝sin αsin βcos αcos β＝13. 答案 1313.(2018·合肥模拟)已知函数f (x )＝(2cos 2x －1)·sin 2x ＋12cos 4x .(1)求f (x )的最小正周期及单调递减区间；(2)若α∈(0，π)，且f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，求tan ⎝⎛⎭⎪⎫α＋π3的值. 解 (1)f (x )＝(2cos 2x －1)sin 2x ＋12cos 4x＝cos 2x sin 2x ＋12cos 4x ＝12(sin 4x ＋cos 4x )＝22sin ⎝⎛⎭⎪⎫4x ＋π4， ∴f (x )的最小正周期T ＝π2.令2k π＋π2≤4x ＋π4≤2k π＋32π，k ∈Z ，得k π2＋π16≤x ≤k π2＋5π16，k ∈Z .∴f (x )的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π2＋π16，k π2＋5π16，k ∈Z . (2)∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫α4－π8＝22，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫α－π4＝1. 因为α∈(0，π)，－π4<α－π4<3π4，所以α－π4＝π2，故α＝3π4.因此tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫α＋π3＝tan 3π4＋tan π31－tan 3π4tan π3＝－1＋31＋3＝2－ 3.。

三角函数及解三角形专题1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式2sin cos ++x xx x计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ． 【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.7．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，即()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -恒成立进行判断.8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定， 所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．C D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； ∵()f x 的最小正周期为π，2ππ,T ∴==ω∴2ω=，∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f = 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，结合函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =．所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）14-；（2）716+-. 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ， 所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==， 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置. 由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，1CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αAB ．13C ．13- D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos3==-α， 因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.。

课时规范练23《素养分级练》P307基础巩固组1.函数y=2cos 2x+π6的部分图象大致是( )答案:A解析:由y=2cos 2x+π6可知,函数的最大值为2,排除D;因为函数图象过点π6,0,排除B;又因为函数图象过点-π12,2,排除C,故选A.2.将函数y=sin 2x 的图象向右平移φ个单位长度后,得到函数y=cos 2x+π6的图象,则φ的值可以是 ( )A.π12B.π6C.π3D.2π3答案:D解析:y=cos2x+π6=sin2x+π6+π2=sin2x+2π3,将函数y=sin2x的图象向右平移φ个单位长度后,得到函数y=sin[2(x-φ)]=sin(2x-2φ)的图象,由题意可得2π3=2kπ-2φ(k∈Z),可得φ=kπ-π3(k∈Z),当k=1时,φ=2π3,故选D.3.(黑龙江大庆高三期末)某智能降噪耳机工作的原理是利用芯片生成与噪音的相位相反的声波,通过两者叠加抵消掉噪音,如图所示,若噪音的声波曲线的解析式为y=Asin(ωx+φ)(其中A>0,ω>0,0<φ<2π)的振幅为1,周期为2,初相为π2,则用来降噪的声波曲线的解析式是( )A.y=sin πxB.y=-cos πxC.y=-sin πxD.y=cos πx答案:B解析:由题意知,A=1,ω=π,φ=π2,噪音的声波曲线的解析式为y=sinπx+π2,而降噪声波曲线可以看成将噪音声波曲线向左平移半个周期得到的曲线,故降噪声波曲线的解析式为y=sinπx+π+π2=-cosπx,故选B.4.(四川内江高三模拟)已知函数f(x)=Acos(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2,将函数f(x)的图象向左平移3π4个单位长度,得到函数g(x)的部分图象如图所示,则fπ3=( )A.12B.-12C.√32D.-√32答案:A解析:平移不改变振幅和周期,所以由图象可知A=1,2πω×34=π6--7π12=3π4,解得ω=2,函数f(x)的图象向左平移3π4个单位长度,得g(x)=cos 2x+3π4+φ.当x=π6时,2×π6+3π2+φ=3π2+2kπ,k∈Z,且|φ|<π2,得φ=-π3,所以f(x)=cos 2x-π3,fπ3=cos π3=12.故选A.5.(陕西咸阳高三二模)如图,A,B 是函数f(x)=2sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2的图象与x 轴的两个交点,若|OB|-|OA|=4π3,则ω=( )A.1B.12C.2D.23答案:B解析:由图象可知,点(0,1)在函数图象上,所以2sinφ=1,因为|φ|<π2,所以φ=π6,f(x)=2sin ωx+π6.令2sin ωx+π6=0,解得ωx+π6=kπ,k∈Z,x=kπ-π6ω,k ∈Z,因为ω>0,所以当k=0时,解得x A =-π6ω,当k=1时,x B =5π6ω,所以|OB|-|OA|=5π6ω−π6ω=4π3,解得ω=12,故选B.6.(多选)(海南海口高三月考)将函数f(x)=√3cos ωx+π3-1的图象向左平移π4个单位长度得到函数g(x)的图象与f(x)图象重合,则ω的值可以为( ) A.-4 B.8 C.12 D.16答案:BD解析:由题意得g(x)=√3cos ωx+π4+π3-1=√3cos ωx+ωπ4+π3-1,由于函数g(x)的图象与f(x)图象重合,故ωπ4=2kπ(k∈Z),ω=8k(k∈Z).当k=1时,ω=8;当k=2时,ω=16.由于k 取整数,故ω=8k 不会取到-4或12.故选BD.7.(多选)(福建宁德高三期中)函数f(x)=cos(ωx+φ)(ω>0,0≤φ<2π)的部分图象如图所示,则( )A.ω=3B.函数f(x)在3π5,14π5上单调递增C.φ=6π5D.函数f(x)图象的对称轴为直线x=kπ3−π15(k ∈Z)答案:AD解析:由图象知函数的周期T=2×13π30−π10=2π3=2πω,解得ω=3,所以A 正确;由题图得3×π10+φ=2kπ+π2(k ∈Z),因为0≤φ<2π,所以φ=π5,所以C 错误;f(x)=cos 3x+π5,当2kπ≤3x+π5≤2kπ+π(k∈Z)时,函数f(x)单调递减,取k=1,得f(x)的一个单调递减区间为3π5,14π15,所以B 错误;函数f(x)图象的对称轴为直线3x+π5=kπ(k∈Z),即x=kπ3−π15(k ∈Z),所以D 正确.故选AD.8.设函数f(x)=sin(ωx+φ)ω>0,|φ|<π2在一个周期内的图象经过A-5π18,0,B -π9,-1,Cπ9,0,D2π9,1这四个点中的三个点,则φ= . 答案:-π6解析:因为-π9--5π18=122π9--π9=π6,所以f(x)在一个周期内的图象不可能经过点C,则T=π6×4=2πω,解得ω=3.因为f2π9=1,所以2π9×3+φ=π2+2kπ(k∈Z),φ=-π6+2kπ(k∈Z).又|φ|<π2,所以φ=-π6.9.(山东济南高三月考)已知函数f(x)=cos 2x+sin 2x-π2,将函数f(x)的图象先向右平移π12个单位长度,再向下平移1个单位长度得到函数g(x)的图象,则函数g(x)图象的对称轴为直线 . 答案:x=kπ2+π12(k ∈Z)解析:f(x)=cos 2x+sin 2x-π2=2cos 2x=1+cos2x,由题意可得g(x)=cos2x-π12=cos 2x-π6,令2x-π6=kπ(k∈Z),解得x=kπ2+π12(k ∈Z).综合提升组10.(山东东营高三期中)将函数y=asin x+bcos x 图象上所有点的纵坐标不变,横坐标变为原来的12,然后将所得图象向左平移π6个单位长度,可得函数y=2cos 2x+π6的图象,则a+b=( )A.2B.0C.√3+1D.1-√3答案:C解析:先将y=2cos 2x+π6的图象向右平移π6个单位长度,得y=2cos 2x-π6+π6=2cos 2x-π6,然后纵坐标不变,横坐标变为原来的2倍,得y=2cosx-π6=2√32cosx+12sinx =sinx+√3cosx,故a=1,b=√3,所以a+b=1+√3,故选C.11.(多选)(河北保定高三模拟)已知P(1,2√3)是函数f(x)=Asin(ωx+φ)A>0,ω>0,|φ|<π2图象的一个最高点,B,C 是与P 相邻的两个最低点.若△PBC 为等边三角形,则下列说法正确的是( ) A.A=2B.f(x)的最小正周期为8C.φ=π4D.将f(x)图象上所有点向右平移1个单位长度后得到g(x)的图象,(2,0)是g(x)图象的一个对称中心 答案:BC解析:设BC 的中点为D,与P 相邻且函数f(x)的图象与x 轴的交点为E,F,即E,F 为函数f(x)图象的两个对称中心,连接PD,则由题意知A=2√3,故选项A 错误;易知|PD|=4√3,∠BPD=π6,所以|BD|=4,|PB|=|BC|=8,则f(x)的最小正周期为8,故选项B 正确;因为ω=2π8=π4,则π4×1+φ=π2+2kπ,k∈Z,又|φ|<π2,所以φ=π4,故选项C 正确;因为f(x)=2√3sin π4x+π4,则将f(x)图象上所有点向右平移1个单位长度后得到g(x)=2√3sin π4x 的图象,易知(2,0)不是g(x)图象的对称中心,故选项D 错误.故选BC.12.如图是一个半径为R 的水车,一个水斗从点A(1,-√3)出发,沿圆周按逆时针方向匀速旋转,且旋转一周用时6秒.经过t 秒后,水斗旋转到P 点,设点P 的坐标为(x,y),其纵坐标满足y=f(t)=Rsin(ωt+φ)t≥0,ω>0,|φ|<π2.若当t ∈[0,m)时,函数f(t)恰有2个极大值,则m 的取值范围是 .答案:172,292解析:根据点A 的坐标(1,-√3)可得圆周的半径R=√1+3=2.又旋转一周用时6秒,即周期T=6,从而得ω=2πT=π3,∴f(t)=2sinπ3t+φ.又当t=0时,在函数图象上y=-√3,∴f(0)=2sin π3×0+φ=-√3,即sinφ=-√32. 又|φ|<π2,∴φ=-π3,∴f(t)=2sinπ3t-π3.根据三角函数的性质,f(t)在[0,m)内恰有两个极大值时,有5π2<π3m-π3≤9π2,解得172<m≤292.创新应用组13.(浙江金华高三月考)已知函数f(x)=cos 2x 图象向右平移π12个单位长度后得到g(x)的图象.若对于任意的,n],使得f(-n|的最小值为 . 答案:π3解析:函数f(x)=cos2x 图象向右平移π12个单位长度后得到g(x)=cos 2x-π6的图象.因为x 1∈-π3,π6,所以2x 1∈-2π3,π3,所以f(x 1)=cos2x 1∈-12,1.因为对于任意的,n],使得f(x 1)=g(x 2),所以g(-n|取最小值,只需函数g(x)在x ∈[m,n]上单调且值域为-12,1即可.由2kπ-2π3≤2x -π6≤2kπ(k∈Z)可得kπ-π4≤-n|的最小值为-π4−π12=π3.。

课时标准练23 解三角形基础巩固组1.(2018山西吕梁一模,4)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边别离为a ,b ,c ,已知a=√6,c=3,cos A=23,则b= ( )或3D.无解2.在△ABC 中,已知a cos A=b cos B ,则△ABC 的形状是 ( )A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰三角形或直角三角形3.(2018湖南长郡中学四模,11)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边别离为a ,b ,c ,已知sin B+sin A (sin C-cos C )=0,a=2,c=√2,那么角C=( ) A.5π6B.π6C.π4D.π34.在△ABC 中,B=π4,BC 边上的高等于13BC ,则cos A= ( )A.3√1010B.√1010√10103√10105.(2018湖南长郡中学五模,10)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边别离为a ,b ,c ,且cosB b =-3cosCc,那么角A 的最大值为( )A.π6B.π4C.π3D.π26.(2018河北衡水中学三模,14)在△ABC 中,角A ,B ,C 所对的边别离为a ,b ,c ,且知足a sin B=b cos A ,则√2sin B-cos C 的最大值是 .7.(2018北京,文14)若△ABC 的面积为√34(a 2+c 2-b 2),且∠C 为钝角,则∠B= ;ca的取值范围是 . 8.如下图,长为 m 的木棒AB 斜靠在石堤旁,木棒的一端A 在离堤足C 处 m 的地面上,另一端B 在离堤足C 处 m 的石堤上,石堤的倾斜角为α,那么坡度值tan α=.9.(2018河北唐山一模,16)在△ABC 中,角A ,B ,C 的对边别离为a ,b ,c ,AB 边上的高为h ,若c=2h ,则a b +ba 的取值范围是 .10.在△ABC 中,∠A=60°,c=37a. (1)求sin C 的值;(2)若a=7,求△ABC 的面积.综合提升组11.(2018河北衡水中学考前仿真,10)在△ABC中,内角A,B,C所对的边别离为a,b,c,已知a=5,△ABC的面积S△ABC=25√34,且b2+c2-a2=ac cos C+c2cos A,则sin B+sin C=()B.9√32C.√3√312.(2018河北衡水中学月考,12)已知△ABC的内角A,B,C的对边别离是a,b,c,且(a2+b2-c2)·(a cos B+b cos A)=abc,若a+b=2,则c的取值范围为()A.(0,2)B.[1,2)C.[12,2] D.(1,2]13.(2018河北衡水中学九模,14)如图,为了测量河对岸A、B两点之间的距离,观看者找到一个点C,从点C能够观看到点A、B;找到一个点D,从点D能够观看到点A、C;找到一个点E,从点E能够观看到点B、C;并测量取得一些数据:CD=2,CE=2√3,∠D=45°,∠ACD=105°,∠ACB=°,∠BCE=75°,∠E=60°,则A、B两点之间的距离为.其中cos °取近似值2314.(2018湖南长郡中学四模,17)如图,在△ABC中,∠B=π3,D为边BC上的点,E为AD上的点,且AE=8,AC=4√10,∠CED=π4.(1)求CE的长;(2)若CD=5,求cos∠DAB的值.创新应用组15.(2018江苏,13)在△ABC中,角A,B,C所对的边别离为a,b,c,∠ABC=120°,∠ABC的平分线交AC于点D,且BD=1,则4a+c的最小值为.16.已知岛A南偏西38°方向,距岛A 3 n mile的B处有一艘缉私艇.岛A处的一艘走私船正以10 n mile/h的速度向岛北偏西22°方向行驶,问缉私艇朝何方向以多大速度行驶,恰好用 h能截住该走私船?(参考数据:sin38°=5√314,sin22°=3√314)课时标准练23 解三角形由余弦定理,得a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,即b 2-4b+3=0,解得b=1或b=3.应选C .∵a cos A=b cos B ,∴sin A cos A=sin B cos B ,∴sin 2A=sin 2B ,∴A=B ,或2A+2B=180°,即A+B=90°,∴△ABC 为等腰三角形或直角三角形.应选D . ∵sin B+sin A (sin C-cos C )=0,∴sin(A+C )+sin A sin C-sin A cos C=0⇒cos A sin C+sin A sin C=0⇒cos A+sin A=0⇒A=3π,由正弦定理得√2sinC =2sin 3π4⇒sin C=12,C ∈(0,π2)⇒C=π6,选B .(方式一)设BC 边上的高为AD ,则BC=3AD.结合题意知BD=AD ,DC=2AD ,因此AC=√AD 2+DC 2=√5AD ,AB=√2AD.由余弦定理,得cos ∠BAC=AB 2+AC 2-B C 22AB ·AC=2222×√2AD×√5AD=-√1010.应选C .(方式二)如图,在△ABC 中,AD 为BC 边上的高,由题意知∠BAD=π4.设∠DAC=α,则∠BAC=α+π4.∵BC=3AD ,BD=AD. ∴DC=2AD ,AC=√5AD. ∴sin α=√5=2√5,cos α=√5=√5,∴cos ∠BAC=cos α+π4=cos αcos π4-sin αsin π4=√22(cos α-sin α)=√22×(√55-2√55)=-√1010,应选C .由题意结合正弦定理得cosB sinB =-3cosCsinC ,因此tan C=-3tan B ,因此B ,C 中有一钝角,角A 必为锐角,∵tan A=-tan(B+C )=-tanB+tanC1-tanBtanC =2tanB1+3tan 2B >0,∴tan B>0,tan A ≤2tanB 2√3tanB =√33⇒0<A ≤π6,即角A 的最大值为π6,选A .由a sin B=b cos A ,得sin A sin B=sin B cos A ,tan A=1.因此在△ABC 中,A=π4.√2sin B-cos C=√2sin3π4-C -cos C=sin C ,C ∈(0,3π4),因此sin C max =1.7.π3(2,+∞) 由题意,得S △ABC =√34(a 2+c 2-b 2)=12ac sin B ,即√3(a 2+c 2-b 2)2ac=sin B ,∴√3cos B=sin B ,∴tan B=√3.∴B=π3.∴A+C=2π3,C=2π3-A>π2,∴0<A<π6.由正弦定理,得ca=sinCsinA=sin (2π3-A )sinA=sin 2π3cosA -cos 2π3sinAsinA=√32tanA +12. ∵0<A<π6,∴tan A ∈(0,√3). ∴c a >√32×√3312,即c a ∈(2,+∞). 8.√2315在△ABC 中,AB= m,AC= m,BC= m,且α+∠ACB=π.由余弦定理,可得AB 2=AC 2+BC 2-2·AC·BC·cos ∠ACB , 即=+×××cos(π-α), 解得cos α=516,则sin α=√23116,因此tan α=sinαcosα=√2315.9.[2,2√2] ∵12ab sin C=12ch ,c 2=a 2+b 2-2ab cos C ,∴ab=cℎsinC ,a 2+b 2=c 2+2ab cos C ,a b +b a=a 2+b 2ab=c 2+2abcosCcℎsinC=sinC (c 2+2cℎsinC cosC )cℎ=csinC+2ℎcosC ℎ=2(sin C+cos C )=2√2sin (C +π4),∵sin (C +π4)∈[√22,1], ∴a b +ba∈[2,2√2]. 10.解 (1)在△ABC 中,因为∠A=60°,c=37a ,因此由正弦定理得sin C=csinA a=37×√32=3√314. (2)因为a=7,因此c=37×7=3.由余弦定理a 2=b 2+c 2-2bc cos A 得72=b 2+32-2b×3×12,解得b=8或b=-5(舍). 因此△ABC 的面积S=12bc sin A=12×8×3×√32=6√3.(方式一)∵b 2+c 2-a 2=ac cos C+c 2cos A ,∴cos A=accosC+c 2cosA 2bc =acosC+ccosA2b, ∴cos A=sinAcosC+cosAsinC 2sinB =sin (A+C )2sinB =12,A=π3.∴S △ABC =12bc sin A=25√34,∴bc=25.∵a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,∴b 2+c 2=a 2+bc=50,则(b+c )2=100,b+c=10,∴b=c=5,∴△ABC 为等边三角形, ∴sin B+sin C=√3.(方式二)∵b 2+c 2-a 2=ac cos C+c 2cos A ,∴b 2+c 2-a 2=ac ·a 2+b 2-c 22ab +c 2·b 2+c 2-a 22bc =c (a 2+b 2-c 2+b 2+c 2-a 2)2b =2b 2c 2b =bc ,∴cos A=b 2+c 2-a 22bc =12, ∴A=π.∴S △ABC =1bc sin A=25√3,∴bc=25.∵a 2=b 2+c 2-2bc cos A ,∴b 2+c 2=a 2+bc=50,则(b+c )2=100,b+c=10,∴b=c=5,∴△ABC 为等边三角形, ∴sin B+sin C=√3.由题意可得a 2+b 2-c 22ab ×acosB+bcosA c =12,且cos C=C 2+b 2-c 22ab ,acosB+bcosA c =sinAcosB+sinBcosA sinC =sinCsinC=1,据此可得cos C=12,即a 2+b 2-c 22ab =12,a 2+b 2-c 2=ab ,据此有c 2=a 2+b 2-ab=(a+b )2-3ab=4-3ab ≥4-3(a+b 2)2=1,当且仅当a=b=1时等号成立.三角形知足两边之和大于第三边,则c<a+b=2,综上可得,c 的取值范围为[1,2).13.√10 依题意知,在△ACD 中,∠A=30°,由正弦定理得AC=CDsin45°sin30°=2√2.在△BCE 中,∠CBE=45°,由正弦定理得BC=CEsin60°sin45°=3√2.在△ABC 中,由余弦定理AB 2=AC 2+BC 2-2AC·BC cos ∠ACB=10,故AB=√10.14.解 (1)由题意可得∠AEC=π-π4=3π4,在△AEC 中,由余弦定理得AC 2=AE 2+CE 2-2AE·CE cos ∠AEC ,∴160=64+CE 2+8√2CE ,整理得CE 2+8√2CE-96=0,解得CE=4√2.(2)在△CDE 中,由正弦定理得CE =CD ,即4√2=5sin π4,∴5sin ∠CDE=4√2sin π=4√2×√22=4,∴sin ∠CDE=45.∵点D 在边BC 上,∴∠CDE>∠B=π3,而45<√32,∴∠CDE 只能为钝角,∴cos ∠CDE=-35,∴cos ∠DAB=cos (∠CDE -π)=cos ∠CDE cos π+sin ∠CDE sin π=-3×1+4×√3=4√3-3. 由题意可知,S △ABC =S △ABD +S △BCD .由角平分线的性质和三角形面积公式得12ac sin 120°=12a×1×sin60°+12c×1×sin 60°,化简得ac=a+c ,1a +1c =1.因此4a+c=(4a+c )(1a +1c )=5+ca +4a c≥5+2√c a ·4ac=9,当且仅当c=2a=3时取等号,故4a+c 的最小值为9.16.解 设缉私艇在C 处截住走私船,D 为岛A 正南方向上的一点,缉私艇的速度为x n mile/h,则BC= n mile,AC=5 n mile,依题意,∠BAC=180°-38°-22°=120°,由余弦定理可得BC 2=AB 2+AC 2-2AB·AC cos 120°,解得BC 2=49,BC==7,解得x=14.又由正弦定理得sin ∠ABC=A C sin∠BACBC=5×√327=5√314,因此∠ABC=38°.又∠BAD=38°,因此BC ∥AD.故缉私艇以14 n mile/h 的速度向正北方向行驶,恰好用 h 截住该走私船.。

单元质检四三角函数、解三角形(B)(时间:45分钟满分:100分)一、选择题(本大题共6小题,每小题7分,共42分)1.为了得到函数y=sin的图象,只需把函数y=sin x的图象上所有的点()A.向左平行移动个单位长度B.向右平行移动个单位长度C.向上平行移动个单位长度D.向下平行移动个单位长度2.“α=”是“sin(α-β)=cos β”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件3.将函数f(x)=sin 2x的图象向右平移φ个单位后得到函数g(x)的图象.若对满足|f(x1)-g(x2)|=2的x1,x2,有|x1-x2|min=,则φ=()A. B.C. D.4.已知函数y=sin与y=cos的图象关于直线x=a对称,则a的值可能是()A. B.C. D.5.在△ABC中,内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若a=1,c=2(b-cos C),则△ABC周长的取值范围是()A.(1,3]B.[2,4]C.(2,3]D.[3,5]6.已知f(x)=A sin(ωx+φ)满足f(x)=-f,对任意的x都有f(x)≤f=2,则g(x)=A cos(ωx+φ)在区间上的最大值为()A.4B.C.1D.-2二、填空题(本大题共2小题,每小题7分,共14分)7.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,若cos A=,cos C=,a=1,则b=.8.(2017浙江,14)已知△ABC,AB=AC=4,BC=2.点D为AB延长线上一点,BD=2,连接CD,则△BDC的面积是,cos∠BDC=.三、解答题(本大题共3小题,共44分)9.(14分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别是a,b,c,已知cos 2A-3cos(B+C)=1.(1)求角A的大小;(2)若△ABC的面积S=5,b=5,求sin B sin C的值.10.(15分)已知函数f(x)=sin 2ωx-cos 2ωx的图象关于直线x=对称,其中ω∈.(1)求函数f(x)的解析式;(2)在△ABC中,a,b,c分别为三个内角A,B,C的对边,锐角B满足f,b=,求△ABC面积的最大值.11.(15分)(2017江苏,16)已知向量a=(cos x,sin x),b=(3,-),x∈[0,π].(1)若a∥b,求x的值;(2)记f(x)=a·b,求f(x)的最大值和最小值以及对应的x的值.答案：1.A解析:由题意知,为得到函数y=sin,只需把函数y=sin x的图象上所有点向左平行移动个单位长度,故选A.2.A解析:若α=,则sin(α-β)=cos β.反之不成立,例如,取α=2π+,也有sin(α-β)=cos β.故“α=”是“sin(α-β)=cos β”的充分不必要条件.3.D解析:由题意可知,g(x)=sin(2x-2φ).由|f(x1)-g(x2)|=2,可知f(x1)和g(x2)分别为f(x)和g(x)的最大值和最小值(或最小值和最大值).不妨令2x1=+2kπ(k∈Z),2x2-2φ=-+2mπ(m∈Z),则x1-x2=-φ+(k-m)π(k∈Z,m∈Z).因为|x1-x2|min=,0<φ<,所以当k-m=0,即k=m时,有-φ=,解得φ=.故选D.4.A解析:因为函数y=sin的图象关于直线x=a的对称的图象对应的函数为y=sin,即y=cos=cos,又因为函数y=sin与y=cos的图象关于直线x=a对称,所以y=cos=cos,所以a可以为,故选A.5.C解析:在△ABC中,由余弦定理可得2cos C=.∵a=1,2cos C+c=2b,∴+c=2b,∴(b+c)2-1=3bc.∵bc≤,∴(b+c)2-1≤3×,即b+c≤2,当且仅当b=c时,取等号.故a+b+c≤3.∵b+c>a=1,∴a+b+c>2.故△ABC的周长的取值范围是(2,3].6.B解析:由f(x)=-f,知f(x+π)=-f=f(x),故f(x)的周期为π.所以=π,解得ω=2.由对任意的x都有f(x)≤f=2知,当x=时,f(x)取最大值,且最大值为2.所以+φ=2kπ+,k∈Z,且A=2,故φ=2kπ+,k∈Z.又因为|φ|<,所以φ=.所以g(x)=2cos.因为x∈,所以2x+.由余弦函数的图象知g(x)max=2cos,故选B.7.解析:因为cos A=,cos C=,且A,C为△ABC的内角,所以sin A=,sin C=,sin B=sin[π-(A+C)]=sin(A+C)=sin A cos C+cos A sin C=.又因为,所以b=.8.解析:如图,取BC中点E,DC中点F,由题意知AE⊥BC,BF⊥CD.在Rt△ABE中,cos∠ABE=,∴cos∠DBC=-,sin∠DBC=.∴S△BCD=×BD×BC×sin∠DBC=.∵cos∠DBC=1-2sin2∠DBF=-,且∠DBF为锐角,∴sin∠DBF=.在Rt△BDF中,cos∠BDF=sin∠DBF=.综上可得,△BCD的面积是,cos∠BDC=.9.解:(1)由cos 2A-3cos(B+C)=1,得2cos2A+3cos A-2=0,即(2cos A-1)(cos A+2)=0,解得cos A=(cos A=-2舍去).因为0<A<π,所以A=.(2)由S=bc sin A=bc=5,可得bc=20.由b=5,解得c=4.由余弦定理,得a2=b2+c2-2bc cos A=25+16-20=21,故a=.由正弦定理,得sin B sin C=sin A·sin A=sin2A=.10.解:(1)因为f(x)=sin 2ωx-cos 2ωx=2sin的图象关于直线x=对称,所以2ω×=kπ+(k∈Z),所以ω=+1(k∈Z).因为ω∈,所以-+1<(k∈Z),所以-1<k<1(k∈Z),所以k=0,ω=1,所以f(x)=2sin.(2)因为f=2sin B=,所以sin B=.因为B为锐角,所以0<B<,所以cos B=.因为cos B=,所以,所以ac=a2+c2-2≥2ac-2,所以ac≤3,当且仅当a=c=时,ac取到最大值3,所以△ABC面积的最大值为×3×.11.解:(1)因为a=(cos x,sin x),b=(3,-),a∥b,所以-cos x=3sin x.若cos x=0,则sin x=0,与sin2x+cos2x=1矛盾,故cos x≠0.于是tan x=-.又x∈[0,π],所以x=.(2)f(x)=a·b=(cos x,sin x)·(3,-)=3cos x-sin x=2cos.因为x∈[0,π],所以x+,从而-1≤cos.于是,当x+,即x=0时,f(x)取到最大值3; 当x+=π,即x=时,f(x)取到最小值-2.。

课时分层作业二十三简单的三角恒等变换一、选择题(每小题5分,共35分)1.化简:= ( )A.sin2αB.tan2αC.sin2D.tan2【解析】选D.原式==tan2.2.(2018·沈阳模拟)化简= ( )A.1B.C.D.2【解析】选C.原式====.【一题多解】本题还可以采用如下解法:选C.原式====.3.(2016·浙江高考)设函数f(x)=sin2x+bsin x+c,则f(x)的最小正周期( )A.与b有关,且与c有关B.与b有关,但与c无关C.与b无关,且与c无关D.与b无关,但与c有关【解题指南】先利用倍角公式进行化简,再求最小正周期.【解析】选 B.f(x)=sin2x+bsin x+c=+bsinx+c=-+bsin x+c+,其中当b=0时,f(x)=-+c+,此时周期为π;当b≠0时,周期为2π,而c不影响周期.4.已知锐角α,β满足sin α-cos α=,tan α+tan β+·tan αtan β=,则α,β的大小关系是( )A.α<<βB.β<<αC.<α<βD.<β<α【解析】选B.因为α是锐角且sin α-cos α=>0,所以sin α>cos α,即tan α>1,故α>,又因为tan α+tan β=(1-tan αtan β),所以tan(α+β)==,故α+β=,所以α=-β>,故β<,所以β<<α.5.计算:= ()A. B.- C. D.-【解析】选D.原式=-·=·tan =-.6.(2018·大连模拟)已知f(x)=sin2x+sin xcos x,则f(x)的最小正周期和一个单调递增区间分别为 ( )A.π,[0,π]B.2π,C.π,D.2π,【解析】选C.因为f(x)=sin2x+sin x·cos x=+sin 2x=sin+.所以函数的最小正周期为T==π,由-+2kπ≤2x-≤+2kπ,k∈Z得-+kπ≤x≤+kπ(k∈Z).取k=0得-≤x≤,故是f(x)的一个单调递增区间.7.(2018·烟台模拟)已知函数f(x)=sin(ωx+φ)-cos(ωx+φ) (0<φ<π,ω>0)为偶函数,且函数y=f(x)的图象的两相邻对称轴的距离为,则f=A. B. C. D.【解析】选A.因为f(x)=2sin为偶函数,所以φ-=kπ+,k∈Z,又0<φ<π,所以φ=.又因为f(x)图象的两相邻对称轴间的距离为,所以T=π,故ω=2.所以f(x)=2sin=2sin=2cos 2x.故f=2cos =.二、填空题(每小题5分,共15分)8.(2017·全国卷Ⅱ)函数f(x)=2cos x+sin x的最大值为__________ .【解析】根据辅助角公式,可以得到f(x)=2cos x+sin x=sin(x+φ),由于sin(x+φ)的最大值为1,故f(x)的最大值为.答案:9.已知f(x)=2tan x-,则f=________.【解析】因为f(x)=2tan x-=2tanx+2·=+==,所以f===8.答案:810.计算:cos 20°cos40°cos60°cos80°=________.【解析】原式=cos 20°cos 40°cos 80°=·=.答案:【变式备选】计算:cos ·cos · cos=________. 【解析】原式=-cos cos cos==-.答案:-1.(5分)已知f(x)=,当α∈时,式子f(sin 2α)-f(-sin 2α)可化简为( )A.2sin αB.-2cos αC.-2sin αD.2cos α【解析】选D.f(sin 2α)-f(-sin 2α)=-=-=|sin α-cos α|-|sin α+cos α|.由于α∈时,sin α<cos α<0,所以原式=cos α-sin α+sin α+cos α =2cos α.【误区警示】解答本题容易忽视根据α∈,判断sin α-cos α和sin α+cos α的符号,导致解题错误.2.(5分)函数f(x)=sin(2x+θ)+cos(2x+θ)的图象关于点对称,则f(x)的单调递增区间为( )A.,k∈ZB.,k∈ZC.,k∈ZD.,k∈Z【解析】选C.因为f(x)=2sin的图象关于点对称,所以2×+θ+=kπ(k∈Z),故θ=kπ-(k∈Z),又因为|θ|<,所以θ=,即f(x)=2sin,由-+2kπ≤2x+≤+2kπ(k∈Z),得-+kπ≤x≤-+kπ,故函数f(x)的增区间为(k∈Z).3.(5分)已知13sin α+5cos β=9,13cos α+5sin β=15,那么sin(α+β)的值为________.【解析】将两等式的两边分别平方再相加得169+130sin(α+β)+25=306,所以sin(α+β)=.答案:4.(12分)已知函数f(x)=sin 2x+a·cos 2x(a∈R).(1)若f=2,求a的值.(2)若f(x)在上单调递减,求f(x)的最大值. 【解析】(1)因为f=sin +a·cos =2,所以+a·=2.故得:a=1.(2)由题意:f(x)=sin(2x+θ),其中tan θ=, 所以函数的周期T=π,且-=,所以当x=时,函数f(x)取得最大值,即f(x)max=f=sin=,所以sin=1,所以θ=+2kπ,k∈Z.所以tan θ==,所以a=3.故得f(x)=2sin.因此f(x)的最大值为2.5.(13分)(2018·青岛模拟)如图,在等腰直角△OPQ中,∠POQ =90°,OP=2,点M在线段PQ上.若点N在线段MQ上,且∠MON =30°,问:当∠POM取何值时,△OMN的面积最小?并求出面积的最小值.【解析】设∠POM=α,0°≤α≤60°,在△OMP中,由正弦定理,得=,所以OM=,同理ON=.故S△OMN=·OM·ON·sin∠MON=×======.因为0°≤α≤60°,所以30°≤2α+30°≤150°,所以当α=30°时,sin(2α+30°)取得最大值为1,此时△OMN的面积取到最小值,即∠POM=30°时,△OMN的面积的最小值为8-4.关闭Word文档返回原板块。

第五单元 解三角形（基础篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1．在中，a 、b 、c 分别为A 、B 、C 的对边，且，，，则（ ）A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】，，，由正弦定理sin sin a b A B =，可得sin 6sin12036sin sin45a B b A ⋅⨯︒===︒D ．2．若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若222a b c ab +-=，则C =（ ） A ．π6B ．π3C ．2π3D ．5π6【答案】B【解析】角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，故得到2221cos 222b ac ab C ab ab +-===， 故角π3C =，故答案为B ．3．在ABC V 中，若7a =，3b =，8c =，则其面积等于（ ） A ．63 B ．212C ．28D ．12【答案】A【解析】方法一：由余弦定理，得2222227381cos 22737a b c C ab +-+-===-⨯⨯， 所以243sin 1sin C A -，所以1143sin 736322S ab C ==⨯⨯=． 故选A ．方法二：海伦-秦九韶公式()()()S p p a p b p c =---92a b cp ++==， 所以9(97)(93)(98)=63S =⨯-⨯-⨯-，故选A ．4．在ABC V 中，a ，b ，c 分别是内角A ，B ，C 所对的边，若cos cos sin b C c B a A +=，则ABC V 的形状为（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形C ．钝角三角形D ．锐角三角形【答案】B【解析】因为cos cos sin b C c B a A +=，所以2sin cos sin cos sin B C C B A +=，所以()2sin sin B C A +=，即2sin sin A A =，因为()0,πA ∈，故sin 0A >，故sin 1A =，所以π2A =，ABC V 为直角三角形， 故选B ．5．已知锐角三角形的三边长分别为1，2，a ，则a 的取值范围是（ ） A．B ．(3，5) C．)D．)【答案】A【解析】锐角三角形的三边长分别为1，2，a ，则保证2所对应的角和a 所对应的角均为锐角即可，即2222140214040a a aa a ⎧+->⎪⎪⎪+-⎪>⇒<<⎨⎪>⎪⎪⎪⎩A ． 6．在ABC V 中，45B =︒，D 是BC边上一点，AD =4AC =，3DC =，则AB 的长为（ ） A．2BC．D．【答案】D【解析】由题意，在△ADC 中，由余弦定理可得916131cos 2342C +-==⨯⨯，则sin C ，在ABC V 中，由正弦定理可得sin sin AB ACC B==，据此可得AB =D ．7．如图，测量河对岸的塔高AB 时，选与塔底B 在同一水平面内的两个测点C 与D ．现测得15BCD ∠=︒，45BDC ∠=︒，m CD =，并在点C 测得塔顶A 的仰角为30︒，则塔高AB 为（ ）A ．302mB ．203mC ．60 mD ．20 m【答案】D【解析】15BCD ∠=︒Q ，45BDC ∠=︒，120CBD \??， 由正弦定理得302sin 45BC =，302sin 45203BC °\==， 3tan3020320AB BC 状=\=?，故选D ．8．在ABC △中，1AB =，3AC =，2BC =，D 为ABC △所在平面内一点，且2BD AB AC =+u u u r u u u r u u u r，则ABC △的面积为（ ） A ．23 B ．3C ．3 D ．33【答案】D【解析】由题可作如图所示的矩形，则易知π6BCA ∠=，则π3BCD ∠=，则3sin BCD ∠=， 所以113si 3n 23223BCD S BC DC BCD =⨯⨯⨯∠⨯⨯==⨯△，故选D ．9．若满足sin cos cos A B Ca b c==，则ABC △为（ ） A ．等边三角形B ．有一个内角为30︒的直角三角形C ．等腰直角三角形D ．有一个内角为30︒的等腰三角形【答案】C【解析】由正弦定理可知sin cos cos A B Ca b c==，又sin cos cos A B Ca b c==，所以cos sin B B =，cos sin C C =，有tan tan 1B C ==． 所以45B C ==︒．所以180454590A =︒-︒-︒=︒． 所以ABC △为等腰直角三角形．故选C ．10．在ABC △中，已知a x =，2b =，60B =︒，如果ABC △有两组解，则x 的取值范围是（ ） A ．432,3⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭B ．432,3⎡⎤⎢⎥⎣⎦C ．432,3⎡⎫⎪⎢⎪⎣⎭ D ．432,3⎛⎤⎥ ⎥⎝⎦【答案】A【解析】由已知可得sin a B b a <<，则sin602x x ︒<<，解得4323x <<．故选A ． 11．在ABC △中，3AC =，向量AB u u u r在AC u u u r 上的投影的数量为2-，3ABC S =△，则BC =（ ）A ．5B ．27C ．29D ．42【答案】C【解析】∵向量AB u u u r 在AC u u u r 上的投影的数量为2-，∴cos 2AB A =-u u u r．①∵3ABCS =△，∴13||||sin ||sin 322AB AC A AB A ==u u u r u u u r u u ur ，∴||sin 2AB A =u u u r ．②由①②得tan 1A =-，∵A 为ABC △的内角，∴3π4A =，∴2223πsin 4AB ==u u u r ． 在ABC △中，由余弦定理得 222223π22cos(22)322232942BC AB AC AB AC ⎛⎫=+-⋅⋅⋅=+-⨯⨯⨯-= ⎪ ⎪⎝⎭， ∴29BC =．故选C ． 12．锐角中，角，，的对边分别为，，，且满足，函数()ππcos 22sin sin 344πf x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭，则的取值范围是（ ）A ．1,12⎛⎫⎪⎝⎭B ．1,12⎛⎤ ⎥⎝⎦C ．3,1⎛⎫ ⎪ ⎪⎝⎭D ．13,2⎛⎫⎪ ⎪⎝⎭【答案】A 【解析】，，，，，，三角形为锐角三角形，，，，ππ02230π2202πB B B ⎧<<⎪⎪⎪∴<-<⎨⎪⎪<<⎪⎩，π,32πB ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，()ππcos 22sin sin 344πf x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--+- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ππππcos 22sin cos cos 2sin 243π342x x x x x ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=--++=--+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭πsin 26x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，所以()sin 2π6f B B ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，因为2π2π3B <<，6π5π226πB ∴<-<，所以()112f B <<．故选A ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ．已知60B =︒，3b =，6c =A =________． 【答案】75︒ 【解析】由正弦定理sin sin b c B C =，得sin 6sin 602sin c B C b ︒=== 又c b <，则C B <，45C ∴=︒，18075A B C ∴=︒--=︒， 本题正确结果75︒．14．已知ABC △的边a ，b ，c 的对角分别为A ，B ，C ，若a b >且sin cos A Ca b=，则角A 的大小为_____． 【答案】π2【解析】由正弦定理得sin cos 1sin sin A C A B ==，即cos sin C B =，cos 0C ∴>，π0,2C ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，又a b >，A B ∴>，π0,2B ⎛⎫∴∈ ⎪⎝⎭，由cos sin C B =，得πsin sin 2C B ⎛⎫-= ⎪⎝⎭，π2C B ∴-=，即2πB C +=，()ππ2A B C ∴=-+=，本题正确结果π2．15．如图，一栋建筑物AB 高()30103-m ，在该建筑物的正东方向有一个通信塔CD ．在它们之间的地面M 点（B 、M 、D 三点共线）测得对楼顶A 、塔顶C 的仰角分别是15°和60°，在楼顶A 处测得对塔顶C 的仰角为30°，则通信塔CD 的高为______m ．【答案】60【解析】由题意可知：45CAM ∠=︒，105AMC ∠=︒，由三角形内角和定理可知30ACM ∠=︒． 在ABM Rt △中，sin sin15AB ABAMB AM AM ∠=⇒=︒． 在ACM △中，由正弦定理可知：sin 45sin 45sin sin sin30sin15sin30AM CM AM AB CM ACM CAM ⋅︒⋅︒=⇒==∠∠︒︒⋅︒，在DCM Rt △中，sin 45sin sin60sin6060sin15sin30CD AB CMD CD CM CM ⋅︒∠=⇒=⋅︒=⋅︒=︒⋅︒． 16．ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知2sin (2)tan b C a b B =+，23c = 则ABC △面积的最大值为______． 【答案】3【解析】()()sin 2sin 2tan 2sin sin 2sin sin cos Bb C a b B B C A B B=+⇒=+⋅()2cos sin 2sin sin 2sin sin 2sin cos 2cos sin sin B C A B B C B B C B C B ⇒=+=++=++1cos 22π3C C ⇒==⇒-，由余弦定理可知222222cos 12c a b ab C a b ab =+-=++=， 222a b ab +≥Q ，1223ab ab ab ∴≥+=4ab ⇒≤，当且仅当a b =时取等号，max 113sin 43222S ab C ∴==⨯⨯=，本题正确结果3． 三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC △中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，3cos 5A =，π4B =，2b =，（1）求a 的值； （2）求sin C ．【答案】（1）85a =；（2）7210．【解析】（1）因为3cos 5A =，π4B =，2b =，所以4sin 5A =，2sin 2B =，由正弦定理可得24sin sin 252a b a A B =⇒=，85a ∴=． （2）[]sin sin π()sin()sin cos cos sin C A B A B A B A B =-+=+=+ 423272525210=⋅+⋅=． 18．（12分）在中，分别是角，，的对边，且．（1）求的值； （2）若，且，求的面积．【答案】（1）52；（2）3257． 【解析】（1）由正弦定理及，有，所以，又因为，，所以，因为，所以2cos 3B =， 又，所以25sin 1cos 3B B =-=，sin 5tan cos 2B B B ==． （2）在中，由余弦定理可得2224323b ac ac =+-=，又，所以有2967c =，所以的面积为21965325sin sin 27S ac B c B ===⨯=． 19．（12分）如图：在平面四边形ABCD 中，已知πB D ∠+∠=，且7AD CD ==，5AB =，3BC =．（1）求D ∠；（2）求四边形ABCD 的面积．【答案】（1）π3D =；（2） 【解析】（1）在ACD △中，由余弦定理得222222cos 77277cos AC AD CD AD CD D D =+-⨯⋅=+-⨯⨯9898cos D =-．在ABC △中，由余弦定理得：222222cos 53253cos AC AB BC AB BC B B =+-⨯⋅=+-⨯⨯=3430cos B -． ∴9898cos 3430cos D B -=-，∵πB D +=，∴cos cos(π)cos B D D =-=-， ∴9898cos 3430cos D D -=+，∴1cos 2D =，∴π3D =． （2）由（1）得2ππ3π3B =-=， ∴11sin sin 22ABCD ACD ABCS S S AD CD D AB BC B =+=⋅+⋅11775322=⨯⨯+⨯⨯=20．（12分）已知向量()sin ,cos x x =a ，),cosx x =b ，()f x =⋅a b ．（1）求函数()f x =⋅a b 的最小正周期；（2）在ABC △中，BC sin 3sin B C =，若()1f A =，求ABC △的周长．【答案】（1）π；（2）4+【解析】（1）()211cos cos cos222f x x x x x x =+=++， ()1sin 262πf x x ⎛⎫=++ ⎪⎝⎭，所以()f x 的最小正周期2ππ2T ==． （2）由题意可得1sin 22π6A ⎛⎫+= ⎪⎝⎭，又0πA <<，所以ππ13π2666A <+<，所以π5π266A +=，故π3A =． 设角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，则2222cos a b c bc A =+-， 所以2227a b c bc =+-=，又sin 3sin B C =，所以3b c =，故222793c c c =+-，解得1c =． 所以3b =，ABC △的周长为47+．21．（12分）如图，在等腰梯形ABCD 中，AB CD ∥，2(62)CD =+，22BC =，BF BC <，梯形ABCD 的高为31+，E 是CD 的中点，分别以C ，D 为圆心，CE ，DE 为半径作两条圆弧，交AB 于F ，G 两点．（1）求∠BFC 的度数；（2）设图中阴影部分为区域Ω，求区域Ω的面积． 【答案】（1）45BFC ∠=︒；（2）2(31)S Ω=． 【解析】（1）设梯形ABCD 的高为h ， 因为3162sin 22h BCD BC ++∠===，180BCD CBF ∠+∠=︒， 所以()62sin sin 180sin CBF BCD BCD +∠=︒-∠=∠= 在CBF △中，由正弦定理，得sin sin CF BCCBF BFC =∠∠622262++ 解得2sin BFC ∠=又()0,180BFC ∠∈︒︒，且CF BC >，所以45BFC ∠=︒．（2）由（1）得45ECF BFC ∠=∠=︒．在BCF △中，由余弦定理推论，得222cos 2BF FC BC BFC BF FC +-∠=⨯，即22(31)430BF BF -+，解得2BF =，23BF =（舍去）． 因为112sin 2(62)3122CBF DAG S S BF FC BFC ==⨯⨯∠=⨯⨯=△△， 所以2(31)CBF DAG S S S Ω=+=△△．22．（12分）如图，在平面四边形中，14AB =，3cos 5A =，5cos 13ABD ∠=．（1）求对角线BD 的长；（2）若四边形ABCD 是圆的内接四边形，求BCD △面积的最大值． 【答案】（1）13BD =；（2）1698． 【解析】（1）在ABD △中，56sin sin(π())sin()sin cos cos sin 65ADB A ABD A ABD A ABD A ABD ∠=-+∠=+∠=∠+∠=， 由正弦定理得sin sin BD AB A ADB =∠，即sin 13sin AB ABD ADB⋅==∠． （2）由已知得，πC A =-，所以3cos 5C =-，在BCD △中，由余弦定理可得2222cos 169BC DC BC DC C BD +-⋅⋅==，则2261616955BC DC BC DC BC DC =++⋅⋅≥⋅⋅，即516916BC DC ⋅≤⨯，所以1154169sin 169221658BCD S BC CD C ⎛⎫=⋅⋅⋅≤⨯⨯⨯= ⎪⎝⎭△，当且仅当135BC DC ==第五单元 解三角形（提高篇）第Ⅰ卷一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．1．在ABC △中，若2BC =，2AC =，45B =︒，则角A 等于（ ） A ．30︒ B ．60︒C ．120︒D ．150︒【答案】A【解析】由正弦定理可得sin sin BC AC A B ==1sin 2A =， 因BC AC <，所以45AB <=︒，故A 为锐角，所以30A =︒，故选A ．2．若△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若a =2，b =3，c =4，则cos C =（ ） A ．14-B ．14 C ．23-D ．23【答案】A【解析】a =2，b =3，c =4，根据余弦定理得到22294161cos 2124b ac C ab +-+-===-， 故答案为A ．3．在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a =，4b =，120A =︒， 则△ABC 的面积为（ ）A ．2BC ．4D ．【答案】D【解析】因为a =，4b =，120A =︒，所以由余弦定理2222cos a b c bc A =+-，可得2c =，所以△ABC 的面积为1sin 2bc A =．故选D ．4．△ABC 中，60B =︒，2b ac =，则△ABC 一定是（ ） A ．锐角三角形 B ．钝角三角形C ．等腰三角形D ．等边三角形【答案】D【解析】△ABC 中，60B =︒，2b ac =，()2222221cos 20022a cb B ac ac a c ac +-==⇒+-=⇒-=，故得到a c =，故得到角A 等于角C ，三角形为等边三角形．故答案为D ．5．钝角△ABC 中，若1a =，2b =，则最大边c 的取值范围是（ ）A ．)B ．()2,3C ．)D ．【答案】A【解析】因为钝角△ABC ，所以222cos 02a b c C ab +-=<，2140c \+-<，c >，又因为3c a b <+=，3c <<，故选A ．6．如图，在△ABC 中，45B =︒，D 是BC 边上一点，AD =6AC =，4DC =，则AB 的长为（ ）A．2 B ．36 C ．33 D ．32【答案】B【解析】由余弦定理可得22246(27)1cos 2C +-==，60C \=?，sin sin AB AC C BQ =，得到36sin 236sin 2C AC AB B ××===，故选B ． 7．如图，从气球A 上测得正前方的河流的两岸B ，C 的俯角分别为75︒，30︒，此时气球的高度是60m ，则河流的宽度是（ ）A ．()24031m B ．()18021m C ．()3031mD ．)12031m【答案】D【解析】由题意可知：105ABC ∠=︒，45BAC ∠=︒，),2(m A ，6060120sin sin30AC C ∴===︒，由正弦定理sin sin BC ACBAC ABC =∠∠，得()sin 120sin 4560212031sin sin105AC BAC BC ABC ∠︒===∠︒，即河流的宽度)12031m ，本题正确选项D ．8．已知ABC △的面积为3AC ⋅u ur u u u r ，则角A 的大小为（ ） A ．60︒ B ．120︒ C ．30︒ D ．150︒【答案】D【解析】cos AB AC c b A ⋅=⋅u u u r u u u r Q ，又ABC △的面积为3AC ⋅u ur u u u r ，13sin cos 2S bc A b c A ∴==⋅，则3tan A =，又(0,π)A ∈，150A ∴=︒，故选D ．9．我国南宋著名数学家秦九韶提出了由三角形三边求三角形面积的“三斜求积”，设ABC △的三个内角,,A B C所对的边分别为,,a b c ，面积为S ，则“三斜求积”公式为S =若2sin 2sin a C A =，22()6a c b +=+，则用“三斜求积”公式求得ABC △的面积为（ ）A B C ．12D ．1【答案】A【解析】2sin 2sin a C A =Q ，22a c a ∴=，2ac =，因为22()6a c b +=+，所以22226a c ac b ++=+，22262642a c b ac +-=-=-=，从而ABC △=，故选A ．10．已知ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，AD 为角A 的角平分线，交BC 于D ，π4B =，AD =2BD =，则b =（ ）A ．BC ．3D 【答案】A【解析】因为AD =2BD =，π4B =，由正弦定理得sin sin AD BDB BAD=∠，2sin sin 4BAD =∠，解得1sin 2BAD ∠=， 又由π0,2BAD ⎛⎫∠∈ ⎪⎝⎭，所以π6BAD ∠=，则π3BAC ∠=，所以ππ5ππ3412C =--=，又因为5π12ADC B BAD ∠=+∠=，所以ADC △为等腰三角形，所以b AD ==，故选A ． 11．已知在ABC △中，a ，b ，c 分别为内角A ，B ，C 的对边，60A ∠=︒，2a =，则ABC △周长的取值范围是（ ）A ．(0,6)B ．(2⎤⎦C ．(4,6]D ．2⎡⎤⎣⎦【答案】C【解析】根据三角形正弦定理得到sin sin sin a b c A B C ===变形得到sin ,sin ,2sin sin 3333b Bc C l B C ===++，因为2π3B C +=， 2π2sin sin π223sin 2cos 24sin 3633l B B B B B ⎛⎫⎛⎫∴=++-=++=++ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭， 2ππ5ππ10,π,,sin ,1366662B B B ⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎤∈+∈∴+∈ ⎪ ⎪ ⎪ ⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎦，(]4,6l ∴∈，故答案为C ．12．在平面四边形ABCD 中，75A B C ∠=∠=∠=︒，2BC =，则AB 的取值范围是（ ） A ．()2,6B ．()22,62++C ．()2,62+D ．()62,62-+【答案】D 【解析】由题意，平面四边形ABCD 中，延长BA 、CD 交于点E ， ∵∠B ＝∠C ＝75°，∴△EBC 为等腰三角形，∠E ＝30°， 若点A 与点E 重合或在点E 右方，则不存在四边形ABCD ， 当点A 与点E 重合时，根据正弦定理sin sin AB BCECB BEC=∠∠，算得62AB =，∴62AB <，若点D 与点C 重合或在点C 下方，则不存在四边形ABCD ， 当点D 与点C 重合时∠ACB ＝30°， 根据正弦定理sin sin AB BCACB BAC=∠∠，算得62AB =，∴62AB >，综上所述，AB 6262AB <．故选D ．第Ⅱ卷二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．13．在ABC △中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ，角C 等于60︒，若4,2a b ==，则c 的长为_______． 【答案】23【解析】因为角C 等于60︒，4,2a b ==，所以由余弦定理可得22212cos60164242122c a b ab =+-︒=+-⨯⨯⨯=， 所以23c =，故答案为23． 14．在ABC △中，π3A =，1b =，3a =，则ABC △的面积为______． 【答案】3 【解析】π3A =Q ，1b =，3a =， ∴由正弦定理可得31sin 3B =，解得1sin 2B =，b a <Q ，B A ∴<，π6B ∴=，可得ππ2C A B =--=， 11π3sin 31sin 222ABC S ab C ∴==⨯⨯⨯=△，本题正确结果3． 15．海洋蓝洞是地球罕见的自然地理现象，被喻为“地球留给人类保留宇宙秘密的最后遗产”，我国拥有世界上最深的海洋蓝洞，若要测量如图所示的蓝洞的口径，两点间的距离，现在珊瑚群岛上取两点，，测得，，，，则，两点的距离为______．【答案】【解析】由已知，△ACD 中，∠ACD ＝15°，∠ADC ＝150°，∴∠DAC =15°， 由正弦定理得(80sin1504062sin1562AC ︒==︒-，△BCD 中，∠BDC ＝15°，∠BCD ＝135°，∴∠DBC =30°， 由正弦定理，sin sin CD BCCBD BDC=∠∠， 所以()sin 80sin15160sin1540621sin 2CD BDC BC CBD⋅∠⨯︒===︒=-∠，△ABC 中，由余弦定理，2222cos AB AC BC AC BC ACB +=∠-⋅⋅()()()()1160084316008432160062622=++-+⨯+⨯-⨯16001616004160020=⨯+⨯=⨯，解得805AB =， 则两目标A ，B 间的距离为，故答案为．16．在ABC V 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C+=+-，且3a b +=，则c 的取值范围为_______． 【答案】3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭【解析】因为()sin sin sin cos cos sin C A B A B A B =+=+， 所以由正弦定理可得cos cos a B b A c +=， 又因为sin cos cos sin sin sin ab Ca Bb A a A b Bc C +=+-，所以由正弦定理可得222abcc a b c =+-，即222a b c ab +-=，所以2222()3c a b ab a b ab =+-=+-， 因为3a b +=，所以293c ab =-，因为2924a b ab +⎛⎫≤= ⎪⎝⎭， 当且仅当32a b ==时取等号，所以27304ab -≤-<，所以99394ab ≤-<，即2994c ≤<，所以332c ≤<，故c 的取值范围为3,32⎡⎫⎪⎢⎣⎭．三、解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤． 17．（10分）在ABC V 中，45,10B AC ∠=︒=25cos C =． （1）求BC 边长；（2）求AB 边上中线CD 的长． 【答案】（1）32；（2）13．【解析】（1）(0,π)C ∈Q ，25sin 1cos C C ∴=-=， 310sin sin(π)sin cos cos sin A B C B C B C =--=⋅+⋅=， 由正弦定理可知中：sin 32sin sin sin BC AC AC ABC A B B⋅=⇒==． （2）由余弦定理可知： 22252cos 10182103225AB AC BC AC BC C =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=，D 是AB 的中点， 故1BD =，在CBD △中，由余弦定理可知：2222cos 1812321132CD BC BD BC BD B =+-⋅⋅=+-⨯⨯⨯=． 18．（12分）已知ABC V 的内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，若2sin 2sin sin B A C =． （1）若2a b ==，求cos B ；（2）若90B ∠=︒且2a =，求ABC V 的面积． 【答案】（1）14；（2）2． 【解析】2sin 2sin sin B A C =Q ，由正弦定理可得22b ac =，（1）21a b c ==∴=Q ，，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，可得1cos 4B =．（2）90B ∠=︒Q ，由勾股定理可得22222()02b a c ac a c a c =+=⇒-=⇒==，1122222ABC S ac ∴==⋅⋅=△．19．（12分）如图，在四边形ABCD 中，60A ∠=︒，90ABC ∠=︒．已知3AD =，6BD =．（1）求sin ABD ∠的值；（2）若2CD =，且CD BC >，求BC 的长． 【答案】（1）6；（2）1BC =． 【解析】（1）在ABD △中，由正弦定理，得sin sin AD BDABD A=∠∠．因为60,3,6A AD BD ∠=︒==，所以36sin sin sin 606AD ABD A BD ∠=⨯∠=⨯︒=． （2）由（1）可知，6sin ABD ∠=， 因为90ABC ∠=︒，所以()6cos cos 90sin CBD ABD ABD ∠=︒-∠=∠=． 在BCD △中，由余弦定理得2222cos CD BC BD BC BD CBD =+-⋅∠． 因为2,6CD BD ==，所以264626BC BC =+-⨯⨯， 即2320BC BC -+=，解得1BC =或2BC =． 又CD BC >，则1BC =．20．（12分）已知a ，b ，c 分别是ABC V 内角A ，B ，C 的对边．角A ，B ，C 成等差数列，sin A ，sin B ，sin C 成等比数列．（1）求sin sin A C 的值；（2）若2a =，求ABC V 的周长． 【答案】（1）3sin sin 4A C?；（2）ABC V 的周长为32． 【解析】（1）角A ，B ，C 成等差数列，2B A C ∴=+，即60B =︒，sin ,sin sin A B C Q ，成等比数列，2233sin sin sin 4A CB 骣琪\?==琪桫． （2）由（1）可知2sin sin sin A C B ?，即2ac b =， 由余弦定理可得2222cos60b a c ac =+-?， 化简得2()0a c -=，即2a c ==，2b ac ==， 32a b c \++=，因此ABC V 的周长为32．21．（12分）某市欲建一个圆形公园，规划设立，，，四个出入口（在圆周上），并以直路顺次连通，其中，，的位置已确定，，（单位：百米），记，且已知圆的内接四边形对角互补，如图所示．请你为规划部门解决以下问题：（1）如果，求四边形的区域面积；（2）如果圆形公园的面积为28π3万平方米，求的值．【答案】（1）；（2）12或17． 【解析】（1）∵πcos cos ADC ABC ADC θ∠+∠=∠=-，， 在和中分别使用余弦定理得：，得1cos 7θ=， ∴43sin sin 7ADC θ∠==， ∴四边形的面积()1sin 2ABC ADC S S S BA BC DA DC θ=+=⋅+⋅△△ ()14326448327=⨯+⨯⨯=． （2）∵圆形广场的面积为28π3，∴圆形广场的半径2213R =，在中由正弦定理知：4212sin sin 3AC R θθ==， 在中由余弦定理知：，∴2421sin 4024cos θθ⎛⎫=- ⎪ ⎪⎝⎭，化简得，解得1cos 2θ=或1cos 7θ=． 22．（12分）已知ABC V 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，π02B <<，3b ，22ac +-1sin sin tan 12A CB =． （1）求内角B 的大小；（2）求(2)(2)a c b a c b +++-的最大值．【答案】（1）π6B =（2【解析】（1）b =Q 221sin sin tan 12a c A C B +-=，222sin sin tan a c A C B b ∴+-=，即222sin sin tan a c b A C B +-=，由余弦定理得2cos sin sin tan ac B A C B =，2tan sin sin cos ac B A C B∴=，由正弦定理得222tan cos sin b BBB =，即222cos sin tan b B B B =，231cos sin 6B B ∴=，231sin 6sin B B ∴-=，即326sin sin 10B B +-=， 变形得2(2sin 1)(3sin 2sin 1)0B B B -++=，解得1sin 2B =， π02B <<Q ，∴π6B =．（2）b =Q π6B =，∴由余弦定理得22π12cos 612a c ac +-=，化简得22112a c +=，21()(212a c ac ∴+-+=，2()4a c ac +≤Q ，(2ac ∴-≥，2()(2a c ac ∴+-，112≤，2()a c ∴+，22(2)(2)()4a c b a c b a c b ∴+++-=+-≤a c =时等号成立，∴(2)(2)a c b a c b +++-。

课时作业23 正弦定理、余弦定理一、选择题 1．在△ABC 中，A B ＝12，sin C ＝1，则a b c 等于( )A ．12 3B ．32 1C ．13 2D ．23 1解析：由sin C ＝1，∴C ＝π2，由AB ＝12，故A ＋B ＝3A ＝π2，得A ＝π6，B ＝π3，由正弦定理得，ab c ＝sin A sin Bsin C ＝12321＝132.答案：C2．在△ABC 中，已知b ＝40，c ＝20，C ＝60°，则此三角形的解的情况是( ) A ．有一解 B ．有两解C ．无解D ．有解但解的个数不确定解析：由正弦定理得b sin B ＝csin C ， ∴sin B ＝b sin Cc＝40×3220＝3>1.∴角B 不存在，即满足条件的三角形不存在． 答案：C3．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若A ＝π3，且b ＝2a cos B ，c＝1，则△ABC 的面积等于( )A.34B.32C.36D.38解析：由正弦定理可得sin B ＝2sin A cos B ，即tan B ＝2sin A ＝3，所以B ＝π3，因此△ABC 是一个正三角形，所以S △ABC ＝12×32×1×1＝34. 答案：A4．已知△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若a 2＝b 2＋c 2－bc ，bc ＝4，则△ABC 的面积为( )A.12 B ．1 C. 3D ．2解析：∵a 2＝b 2＋c 2－bc ，∴cos A ＝12，∴A ＝π3，又bc ＝4.∴△ABC 的面积为12bc sin A ＝3. 答案：C5．钝角三角形ABC 的面积是12，AB ＝1，BC ＝2，则AC ＝( )A ．5 B. 5 C ．2D ．1解析：由题意知S △ABC ＝12AB ·BC ·sin B ，即12＝12×1×2sin B ，解得sin B ＝22. ∴B ＝45°或B ＝135°.当B ＝45°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×22＝1. 此时AC 2＋AB 2＝BC 2，△ABC 为直角三角形，不符合题意；当B ＝135°时，AC 2＝AB 2＋BC 2－2AB ·BC ·cos B ＝12＋(2)2－2×1×2×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝5，解得AC ＝ 5.符合题意．故选B.答案：B6．(2019·新课标全国卷Ⅱ)在△ABC 中，B ＝π4，BC 边上的高等于13BC ，则cos A ＝( )A.31010B.1010C ．－1010D ．－31010解析：设△ABC 中角A ，B ，C 的对边分别是a ，b ，c ，由题意可得13a ＝c sin π4＝22c ，则a ＝322c .在△ABC 中，由余弦定理可得b 2＝a 2＋c 2－2ac ＝92c 2＋c 2－3c 2＝52c 2，则b ＝102c .由余弦定理，可得cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝52c 2＋c 2－92c22×102c ×c＝－1010，故选C.答案：C 二、填空题7．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若b ＝5，B ＝π4，sin A ＝13，则a ＝________.解析：由a sin A ＝b sin B ，得a 13＝5sin π4，所以a ＝523.答案：5238．(2019·北京卷)在△ABC 中，∠A ＝2π3，a ＝3c ，则bc＝________.解析：∵a ＝3c ，∴sin ∠A ＝3sin ∠C ，∵∠A ＝2π3，∴sin ∠A ＝32，∴sin ∠C ＝12，又∠C 必为锐角，∴∠C ＝π6，∵∠A ＋∠B ＋∠C ＝π，∴∠B ＝π6，∴∠B ＝∠C ，∴b ＝c ，∴b c＝1.答案：19．在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c .已知△ABC 的面积为315，b －c ＝2，cos A ＝－14，则a 的值为________．解析：因为cos A ＝－14，所以sin A ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝154，S △ABC ＝12bc sin A ＝12bc ×154＝315.所以，bc ＝24，则(b ＋c )2＝(b －c )2＋4bc ＝4＋4×24＝100，所以，b ＋c ＝10，又b －c ＝2，所以，b ＝6，c ＝4，由余弦定理得a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ＝64，所以a ＝8.答案：8 三、解答题10．(2019·天津卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知a sin2B ＝3b sin A .(Ⅰ)求B ；(Ⅱ)若cos A ＝13，求sin C 的值．解：(Ⅰ)在△ABC 中，由a sin A ＝bsin B，可得a sin B ＝b sin A ，又由a sin2B ＝3b sin A ，得2a sin B cos B ＝3b sin A ＝3a sin B ，所以cos B ＝32，得B ＝π6. (Ⅱ)由cos A ＝13，可得sin A ＝223，则sin C ＝sin[π－(A ＋B )]＝sin(A ＋B )＝sin(A ＋π6)＝32sin A ＋12cos A ＝26＋16.11．(2019·四川卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，且cos A a ＋cos Bb＝sin C c.(Ⅰ)证明：sin A sin B ＝sin C ； (Ⅱ)若b 2＋c 2－a 2＝65bc ，求tan B .解：(Ⅰ)证明：根据正弦定理，可设asin A＝b sin B ＝csin C＝k (k >0)． 则a ＝k sin A ，b ＝k sin B ，c ＝k sin C .代入cos A a ＋cos B b ＝sin C c 中，有cos A k sin A ＋cos B k sin B ＝sin C k sin C ，变形可得sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )．在△ABC 中，由A ＋B ＋C ＝π，有sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ，所以sin A sin B ＝sin C . (Ⅱ)由已知，b 2＋c 2－a 2＝65bc ，根据余弦定理，有cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝35.所以sin A ＝1－cos 2A ＝45.由(Ⅰ)，sin A sin B ＝sin A cos B ＋cos A sin B ， 所以45sin B ＝45cos B ＋35sin B ，故tan B ＝sin B cos B＝4.1．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若△ABC 的面积为S ，且2S ＝(a ＋b )2－c 2，则tan C 等于( )A.34B.43 C ．－43D ．－34解析：因为2S ＝(a ＋b )2－c 2＝a 2＋b 2－c 2＋2ab ，所以结合三角形的面积公式与余弦定理，得ab sin C ＝2ab cos C ＋2ab ，即sin C －2cos C ＝2，所以(sin C －2cos C )2＝4，sin 2C －4sin C cos C ＋4cos 2Csin 2C ＋cos 2C＝4，所以tan 2C －4tan C ＋4tan 2C ＋1＝4，解得tan C ＝－43或tan C ＝0(舍去)，故选C. 答案：C2．已知a ，b ，c 分别为△ABC 三个内角A ，B ，C 的对边，a ＝2，且(2＋b )(sin A －sin B )＝(c －b )sin C ，则△ABC 面积的最大值为( )A.32B.332C. 3 D ．2 3解析：由正弦定理得(2＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即(a ＋b )(a －b )＝(c －b )c ，即b 2＋c2－a 2＝bc ，所以cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝12.又A ∈(0，π)，所以A ＝π3，又b 2＋c 2－a 2＝bc ≥2bc－4，即bc ≤4，故S △ABC ＝12bc sin A ≤12×4×32＝3，当且仅当b ＝c ＝2时，等号成立，则△ABC 面积的最大值为 3.答案：C3．在△ABC 中，内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足sin 2A ＋sin 2B ＋sin A sin B ＝sin 2C ，则a ＋bc的取值范围为________． 解析：由正弦定理得a 2＋b 2－c 2＝－ab ，∴由余弦定理得cos C ＝a 2＋b 2－c 22ab ＝－12，∴C ＝2π3.由正弦定理得a ＋b c ＝sin A ＋sin B sin C ＝233·(sin A ＋sin B )，又A ＋B ＝π3，∴B ＝π3－A ，∴sin A ＋sin B ＝sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3.又0<A <π3，∴π3<A ＋π3<2π3，∴sin A ＋sin B ∈⎝⎛⎦⎥⎤32，1，∴a ＋b c ∈⎝⎛⎦⎥⎤1，233.答案：⎝⎛⎦⎥⎤1，2334．(2019·浙江卷)在△ABC 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，已知b ＋c ＝2a cos B .(Ⅰ)证明：A ＝2B ；(Ⅱ)若△ABC 的面积S ＝a 24，求角A 的大小．解：(Ⅰ)证明：由正弦定理得 sin B ＋sin C ＝2sin A cos B ，故2sin A cos B ＝sin B ＋sin(A ＋B )＝sin B ＋sin A cos B ＋cos A sin B ，于是sin B ＝sin(A －B )．又A ，B ∈(0，π)，故0<A －B <π， 所以B ＝π－(A －B )或B ＝A －B ， 因此A ＝π(舍去)或A ＝2B ，所以A ＝2B .(Ⅱ)由S ＝a 24得12ab sin C ＝a 24，故有sin B sin C ＝12sin2B ＝sin B cos B ，因为sin B ≠0，所以sin C ＝cos B . 又B ，C ∈(0，π)，所以C ＝π2±B . 当B ＋C ＝π2时，A ＝π2；当C －B ＝π2时，A ＝π4.综上，A ＝π2或A ＝π4.。

第3节 三角函数的图象与性质最新考纲 1.能画出y ＝sin x ，y ＝cos x ，y ＝tan x 的图象，了解三角函数的周期性；2.理解正弦函数、余弦函数在区间[0，2π]上的性质(如单调性、最大值和最小值、图象与x 轴的交点等)，理解正切函数在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2，π2内的单调性.知 识 梳 理1.用五点法作正弦函数和余弦函数的简图(1)正弦函数y ＝sin x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，0)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，1，(π，0)， ⎛⎭⎪⎫3π2，－1，(2π，0). (2)余弦函数y ＝cos x ，x ∈[0，2π]的图象中，五个关键点是：(0，1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，0，(π，－1)，⎝ ⎛⎭⎪⎫3π2，0，(2π，1). 2.正弦、余弦、正切函数的图象与性质(下表中k ∈Z )[常用结论与微点提醒] 1.对称与周期(1)正弦曲线、余弦曲线相邻两对称中心、相邻两对称轴之间的距离是半个周期，相邻的对称中心与对称轴之间的距离是14个周期. (2)正切曲线相邻两对称中心之间的距离是半个周期.2.要注意求函数y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间时A 和ω的符号，尽量化成ω＞0时情况，避免出现增减区间的混淆.诊 断 自 测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”) (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴是y 轴.( ) (2)正切函数y ＝tan x 在定义域内是增函数.( ) (3)已知y ＝k sin x ＋1，x ∈R ，则y 的最大值为k ＋1.( ) (4)y ＝sin|x |是偶函数.( )解析 (1)余弦函数y ＝cos x 的对称轴有无穷多条，y 轴只是其中的一条. (2)正切函数y ＝tan x 在每一个区间⎝ ⎛⎭⎪⎫k π－π2，k π＋π2(k ∈Z )上都是增函数，但在定义域内不是单调函数，故不是增函数.(3)当k >0时，y max ＝k ＋1；当k <0时，y max ＝－k ＋1. 答案 (1)× (2)× (3)× (4)√2.(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3的最小正周期为( )A.4πB.2πC.πD.π2解析 由题意T ＝2π2＝π. 答案 C3.(2017·全国Ⅲ卷)函数f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋cos ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6的最大值为( )A.65B.1C.35D.15解析 cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －π6＝cos ⎣⎢⎡⎦⎥⎤π2－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则f (x )＝15sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3＝65sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，函数的最大值为65.答案 A4.(2018·长春检测)若函数f (x )＝sin x ＋φ3(φ∈[0，2π])是偶函数，则φ＝________.解析 由已知f (x )＝sin x ＋φ3是偶函数，可得φ3＝k π＋π2(k ∈Z )，即φ＝3k π＋3π2(k ∈Z )，又φ∈[0，2π]，所以φ＝3π2.答案 3π25.（教材习题改编)函数y ＝－tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为________.解析 因为y ＝tan x 的单调递增区间为 ⎝ ⎛⎭⎪⎫－π2＋k π，π2＋k π(k ∈Z )，所以由－π2＋k π＜2x －3π4＜π2＋k π(k ∈Z )， 得π8＋k π2＜x ＜5π8＋k π2(k ∈Z )，所以y ＝－tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －3π4的单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z ).答案 ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＋k π2，5π8＋k π2(k ∈Z )考点一 三角函数的定义域【例1】 (1)函数y ＝1tan x －1的定义域为________.(2)函数y ＝lg(sin x )＋cos x －12的定义域为________. 解析 (1)要使函数有意义，必须有⎩⎪⎨⎪⎧tan x －1≠0，x ≠π2＋k π，k ∈Z ，即⎩⎪⎨⎪⎧x ≠π4＋k π，k ∈Z ，x ≠π2＋k π，k ∈Z .故函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z .(2)函数有意义，则⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x －12≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧sin x >0，cos x ≥12，解得⎩⎪⎨⎪⎧2k π<x <π＋2k π （k ∈Z ），－π3＋2k π≤x ≤π3＋2k π （k ∈Z ）， 所以2k π<x ≤π3＋2k π(k ∈Z )，所以函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z .答案 (1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π4＋k π，且x ≠π2＋k π，k ∈Z(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |2k π<x ≤π3＋2k π，k ∈Z规律方法 1.三角函数定义域的求法(1)以正切函数为例，应用正切函数y ＝tan x 的定义域求函数y ＝A tan(ωx ＋φ)的定义域.(2)转化为求解简单的三角不等式求复杂函数的定义域. 2.简单三角不等式的解法 (1)利用三角函数线求解. (2)利用三角函数的图象求解.【训练1】 (1)函数f (x )＝－2tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的定义域是( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠π6B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠－π12C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π＋π6（k ∈Z ）D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x |x ≠k π2＋π6（k ∈Z ）(2)(一题多解)函数y ＝sin x －cos x 的定义域为________.解析 (1)由正切函数的定义域，得2x ＋π6≠k π＋π2(k ∈Z )，即x ≠k π2＋π6(k ∈Z )，故选D.(2)法一 要使函数有意义，必须使sin x －cos x ≥0.利用图象，在同一坐标系中画出[0，2π]上y ＝sin x 和y ＝cos x 的图象，如图所示.在[0，2π]内，满足sin x ＝cos x 的x 为π4，5π4，再结合正弦、余弦函数的周期是2π，所以原函数的定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z.法二 利用三角函数线，画出满足条件的终边范围(如图阴影部分所示). 所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z. 法三 sin x －cos x ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π4≥0，将x －π4视为一个整体，由正弦函数y ＝sin x 的图象和性质可知2k π≤x －π4≤π＋2k π(k ∈Z )，解得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z ).所以定义域为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z. 答案 (1)D (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4，k ∈Z考点二 三角函数的值域(最值)【例2】 (1)函数y ＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为________.(2)(2017·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2的最大值是________.(3)函数y ＝sin x －cos x ＋sin x cos x 的值域为________.解析 (1)∵y ＝sin x －cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝sin x －32cos x ＋12sin x ＝32sin x －32cos x ＝3sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π6，∴函数y ＝sin x －cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6的值域为[－3，3].(2)f (x )＝sin 2x ＋3cos x －34⎝ ⎛⎭⎪⎫x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，f (x )＝1－cos 2x ＋3cos x －34， 令cos x ＝t 且t ∈[0，1]，则y ＝－t 2＋3t ＋14＝－⎝⎛⎭⎪⎫t －322＋1，则当t ＝32时，f (x )取最大值1. (3)设t ＝sin x －cos x ，则t 2＝sin 2x ＋cos 2x －2sin x cos x ， sin x cos x ＝1－t 22，且－2≤t ≤2，∴y ＝－t 22＋t ＋12＝－12(t －1)2＋1.当t ＝1时，y max ＝1；当t ＝－2时，y min ＝－12－ 2. ∴函数的值域为⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1.答案 (1)[－3，3] (2)1 (3)⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12－2，1规律方法 求解三角函数的值域(最值)常见到以下几种类型：(1)形如y ＝a sin x ＋b cos x ＋c 的三角函数化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋c 的形式，再求值域(最值)；(2)形如y ＝a sin 2x ＋b sin x ＋c 的三角函数，可先设sin x ＝t ，化为关于t 的二次函数求值域(最值)；(3)形如y ＝a sin x cos x ＋b (sin x ±cos x )＋c 的三角函数，可先设t ＝sin x ±cos x ，化为关于t 的二次函数求值域(最值).【训练2】 (1)函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，136π的值域是( ) A.[－3，1]B.[－2，1]C.(－3，1]D.(－2，1](2)(2016·全国Ⅱ卷)函数f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x 的最大值为( )A.4B.5C.6D.7解析 (1)由y ＝sin x 在⎣⎢⎡⎭⎪⎫76π，136π上，－1≤sin x <12，所以函数y ＝－2sin x －1，x ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫7π6，136π的值域是(－2，1]. (2)由f (x )＝cos 2x ＋6cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2－x ＝1－2sin 2x ＋6sin x ＝－2⎝ ⎛⎭⎪⎫sin x －322＋112，所以当sin x ＝1时函数的最大值为5，故选B. 答案 (1)D (2)B考点三 三角函数的性质(多维探究) 命题角度1 三角函数的奇偶性与周期性【例3－1】 (1)(2017·山东卷)函数y ＝3sin 2x ＋cos 2x 的最小正周期为( ) A.π2B.2π3C.πD.2π(2)(2018·沈阳调研)设函数f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ⎝ ⎛⎭⎪⎫|θ|<π2的图象关于y轴对称，则θ＝( ) A.－π6B.π6C.－π3D.π3解析 (1)∵y ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫32sin 2x ＋12cos 2x ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，∴T ＝2π2＝π.(2)f (x )＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－3cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫12x ＋θ－π3，由题意可得f (0)＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±2，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫θ－π3＝±1，∴θ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，∴θ＝5π6＋k π(k ∈Z )，∵|θ|<π2，∴k ＝－1时，θ＝ －π6. 答案 (1)C (2)A规律方法 1.若f (x )＝A sin(ωx ＋φ)(A ，ω≠0)，则 (1)f (x )为偶函数的充要条件是φ＝π2＋k π(k ∈Z )； (2)f (x )为奇函数的充要条件是φ＝k π(k ∈Z ).2.函数y ＝A sin(ωx ＋φ)与y ＝A cos(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝2π|ω|，y ＝A tan(ωx ＋φ)的最小正周期T ＝π|ω|.命题角度2 三角函数的单调性【例3－2】 (1)函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫－2x ＋π3的单调递减区间为________.(2)(一题多解)若函数f (x )＝sin ωx (ω>0)在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π3上单调递增，在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤π3，π2上单调递减，则ω＝________.解析 (1)由已知可得函数为y ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π3，欲求函数的单调递减区间，只需求y ＝sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3的单调递增区间.由2k π－π2≤2x －π3≤2k π＋π2，k ∈Z ，得k π－π12≤x ≤k π＋5π12，k ∈Z .故所求函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ). (2)法一 由于函数f (x )＝sin ωx (ω>0)的图象经过坐标原点，由已知并结合正弦函数的图象可知，π3为函数f (x )的14周期，故2πω＝4π3，解得ω＝32.法二 由题意，得f (x )max ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3＝sin π3ω＝1.由已知并结合正弦函数图象可知，π3ω＝π2，解得ω＝32.答案 (1)⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π12，k π＋5π12(k ∈Z ) (2)32规律方法 1.求较为复杂的三角函数的单调区间时，首先化简成y ＝A sin(ωx ＋φ)形式，再求y ＝A sin(ωx ＋φ)的单调区间，只需把ωx ＋φ看作一个整体代入y ＝sin x 的相应单调区间内即可，注意要先把ω化为正数.2.对于已知函数的单调区间的某一部分确定参数ω的范围的问题，首先，明确已知的单调区间应为函数的单调区间的子集，其次，要确定已知函数的单调区间，从而利用它们之间的关系可求解，另外，若是选择题利用特值验证排除法求解更为简捷.命题角度3 三角函数的对称轴或对称中心【例3－3】 (1)(2018·石家庄检测)若⎝ ⎛⎭⎪⎫π8，0是函数f (x )＝sin ωx ＋cos ωx 图象的一个对称中心，则ω的一个取值是( ) A.2B.4C.6D.8(2)(2016·全国Ⅰ卷)已知函数f (x )＝sin(ωx ＋φ)⎝⎛⎭⎪⎫ω>0，|φ|≤π2，x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为y ＝f (x )图象的对称轴，且f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，则ω的最大值为( ) A.11B.9C.7D.5解析 (1)因为f (x )＝sin ωx ＋cos ωx ＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π4，由题意，知f ⎝ ⎛⎭⎪⎫π8＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωπ8＋π4＝0，所以ωπ8＋π4＝k π(k ∈Z )，即ω＝8k －2(k ∈Z )，当k ＝1时，ω＝6.(2)因为x ＝－π4为f (x )的零点，x ＝π4为f (x )的图象的对称轴，所以π4－⎝ ⎛⎭⎪⎫－π4＝T4＋kT2，即π2＝2k ＋14T ＝2k ＋14·2πω，所以ω＝2k ＋1(k ∈N +).又因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，所以5π36－π18＝π12≤T 2＝2π2ω，即ω≤12.结合选项经验证，当ω＝11时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上不单调；当ω＝9时，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π18，5π36上单调，选项B 满足条件. 答案 (1)C (2)B规律方法 1.对于可化为f (x )＝A sin(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x 即可.2.对于可化为f (x )＝A cos(ωx ＋φ)形式的函数，如果求f (x )的对称轴，只需令ωx ＋φ＝k π(k ∈Z )，求x ；如果求f (x )的对称中心的横坐标，只需令ωx ＋φ＝π2＋k π(k ∈Z )，求x 即可.【训练3】 (2017·全国Ⅲ卷)设函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋π3，则下列结论错误的是( )A.f (x )的一个周期为－2πB.y ＝f (x )的图象关于直线x ＝8π3对称C.f (x ＋π)的一个零点为x ＝π6D.f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π单调递减解析 函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π3的图象可由y ＝cos x 的图象向左平移π3个单位得到，如图可知，f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，π上先递减后递增，D 选项错误.答案 D基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.关于函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3，下列说法正确的是( )A.是奇函数B.在区间⎝⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递减C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心 D.最小正周期为π解析 函数y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π3是非奇非偶函数，A 错误；在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π3上单调递增，B 错误；最小正周期为π2，D 错误.∵当x ＝π6时，tan ⎝⎛⎭⎪⎫2×π6－π3＝0，∴⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0为其图象的一个对称中心. 答案 C2.若函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫ωx ＋π6(ω∈N +)图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，0，则ω的最小值为( ) A.1B.2C.4D.8解析 由题意知ω6π＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )， ∴ω＝6k ＋2(k ∈Z )，又ω∈N +，∴ωmin ＝2. 答案 B3.在函数①y ＝cos|2x |，②y ＝|cos x |，③y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，④y ＝tan ⎝ ⎛⎭⎪⎫2x －π4中，最小正周期为π的所有函数为( )A.①②③B.①③④C.②④D.①③解析 ①y ＝cos|2x |＝cos 2x ，最小正周期为π；②由图象知y ＝|cos x |的最小正周期为π；③y ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6的最小正周期T ＝2π2＝π； ④y ＝tan ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4的最小正周期T ＝π2. 答案 A4.已知函数f (x )＝2sin ωx (ω>0)在区间⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，π4上的最小值是－2，则ω的最小值等于( )A.23B.32C.2D.3解析 ∵ω>0，－π3≤x ≤π4，∴－ωπ3≤ωx ≤ωπ4.由已知条件知－ωπ3≤－π2，∴ω≥32.答案 B5.(2018·佛山模拟)已知x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，则f (x )的一个单调递减区间是( ) A.⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，2π3 B.⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，5π6 C.⎝ ⎛⎭⎪⎫π2，πD.⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3，π 解析 因为x 0＝π3是函数f (x )＝sin(2x ＋φ)的一个极大值点，所以sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫2×π3＋φ＝1，解得φ＝2k π－π6，k ∈Z . 不妨取φ＝－π6，此时f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π6， 令2k π＋π2<2x －π6<2k π＋3π2(k ∈Z )，得k π＋π3<x <k π＋56π(k ∈Z ).取k ＝0，得函数f (x )的一个单调递减区间为⎝ ⎛⎭⎪⎫π3，56π. 答案 B6.(2018·烟台检测)若函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋φ－π3(0<φ<π)是奇函数，则φ＝________.解析 因为f (x )为奇函数，所以φ－π3＝π2＋k π(k ∈Z )，φ＝5π6＋k π，k ∈Z .又因为0<φ<π，故φ＝5π6.答案 5π67.函数y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x 的单调递减区间为________. 解析 由y ＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π4－2x ＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4， 得2k π≤2x －π4≤2k π＋π(k ∈Z )，解得k π＋π8≤x ≤k π＋5π8(k ∈Z )，所以函数的单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ). 答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π8，k π＋5π8(k ∈Z ) 8.(2018·青岛质检)已知函数f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x ，其中x ∈R ，给出下面四个结论：①函数f (x )是最小正周期为π的奇函数；②函数f (x )的图象的一条对称轴是x ＝2π3；③函数f (x )的图象的一个对称中心是⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12，0；④函数f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，则正确结论的序号为________. 解析 f (x )＝cos ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π3－cos 2x ＝cos 2x cos π3－sin 2x ·sin π3－cos 2x ＝ －32sin 2x －12cos 2x ＝－sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x ＋π6，所以函数f (x )的最小正周期为π，但它不是奇函数，故①错误；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫2π3＝1，故②正确；由f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12＝0，故③正确；由π2＋2k π≤2x ＋π6≤3π2＋2k π，k ∈Z ，得k π＋π6≤x ≤k π＋2π3，k ∈Z ，所以f (x )的递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π＋π6，k π＋2π3(k ∈Z )，故④正确. 答案 ②③④9.(2017·江苏卷)已知向量a ＝(cos x ，sin x )，b ＝(3，－3)，x ∈[0，π].(1)若a ∥b ，求x 的值；(2)记f (x )＝a ·b ，求f (x )的最大值和最小值以及对应的x 的值.解 (1)∵a ∥b ，∴3sin x ＝－3cos x ，∴3sin x ＋3cos x ＝0，即sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π6＝0. ∵0≤x ≤π，∴π6≤x ＋π6≤76π，∴x ＋π6＝π，∴x ＝5π6.(2)f (x )＝a·b ＝3cos x －3sin x ＝－23sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3. ∵x ∈[0，π]，∴x －π3∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤－π3，2π3， ∴－32≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x －π3≤1，∴－23≤f (x )≤3， 当x －π3＝－π3，即x ＝0时，f (x )取得最大值3；当x －π3＝π2，即x ＝5π6时，f (x )取得最小值－2 3.10.(2018·合肥质检)已知函数f (x )＝sin ωx －cos ωx (ω>0)的最小正周期为π.(1)求函数y ＝f (x )图象的对称轴方程；(2)讨论函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤ 0，π2上的单调性. 解 (1)∵f (x )＝sin ωx －cos ωx ＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫ωx －π4，且T ＝π，∴ω＝2.于是，f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎪⎫2x －π4.令2x －π4＝k π＋π2(k ∈Z )，得x ＝k π2＋3π8(k ∈Z )，故函数f (x )的对称轴方程为x ＝k π2＋3π8(k ∈Z ).(2)令2k π－π2≤2x －π4≤2k π＋π2(k ∈Z )，得函数f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤k π－π8，k π＋3π8(k ∈Z ).注意到x ∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2，令k ＝0，得函数f (x )在⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，π2上的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤0，3π8；其单调递减区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤3π8，π2.能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2017·天津卷)设函数f (x )＝2sin(ωx ＋φ)，x ∈R ，其中ω>0，|φ|<π.若f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π，则( ) A.ω＝23，φ＝π12 B.ω＝23，φ＝－11π12C.ω＝13，φ＝－11π24D.ω＝13，φ＝7π24解析 ∵f ⎝ ⎛⎭⎪⎫5π8＝2，f ⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8＝0，且f (x )的最小正周期大于2π， ∴f (x )的最小正周期为4⎝ ⎛⎭⎪⎫11π8－5π8＝3π， ∴ω＝2π3π＝23， ∴f (x )＝2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23x ＋φ. ∴2sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫23×5π8＋φ＝2，得φ＝2k π＋π12，k ∈Z ， 又|φ|<π，∴取k ＝0，得φ＝π12.答案 A12.(2018·盘锦测试)若f (x )＝cos 2x ＋a cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫π2＋x 在区间⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上是增函数，则实数a 的取值范围为________.解析 f (x )＝1－2sin 2x －a sin x ，令sin x ＝t ，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，则g (t )＝－2t 2－at ＋1，t ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫12，1，因为f (x )在⎝ ⎛⎭⎪⎫π6，π2上单调递增，所以－a 4≥1，即a ≤－4. 答案 (－∞，－4]13.(2018·福州调研)已知函数f (x )＝a ⎝ ⎛⎭⎪⎫2cos 2x 2＋sin x ＋b . (1)若a ＝－1，求函数f (x )的单调递增区间；(2)若x ∈[0，π]时，函数f (x )的值域是[5，8]，求a ，b 的值.解 f (x )＝a (1＋cos x ＋sin x )＋b ＝2a sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋a ＋b . (1)当a ＝－1时，f (x )＝－2sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4＋b －1，由2k π＋π2≤x ＋π4≤2k π＋3π2(k ∈Z )，得2k π＋π4≤x ≤2k π＋5π4(k ∈Z )，∴f (x )的单调递增区间为⎣⎢⎡⎦⎥⎤2k π＋π4，2k π＋5π4(k ∈Z ). (2)∵0≤x ≤π，∴π4≤x ＋π4≤5π4， ∴－22≤sin ⎝⎛⎭⎪⎫x ＋π4≤1，依题意知a ≠0. ①当a >0时，⎩⎨⎧2a ＋a ＋b ＝8，b ＝5，∴a ＝32－3，b ＝5. ②当a <0时，⎩⎨⎧b ＝8，2a ＋a ＋b ＝5，∴a ＝3－32，b ＝8. 综上所述，a ＝32－3，b ＝5或a ＝3－32，b ＝8.。

第6节 正弦定理和余弦定理最新考纲 掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题.知 识 梳 理1.正、余弦定理在△ABC 中，若角A ，B ，C 所对的边分别是a ，b ，c ，R 为△ABC 外接圆半径，则2.S △ABC ＝12ab sin C ＝12bc sin A ＝12ac sin B ＝abc 4R ＝12(a ＋b ＋c )·r (r 是三角形内切圆的半径)，并可由此计算R ，r .3.在△ABC 中，已知a ，b 和A 时，解的情况如下：[常用结论与微点提醒] 1.三角形中的三角函数关系(1)sin(A＋B)＝sin C；(2)cos(A＋B)＝－cos C；(3)sin A＋B2＝cosC2；(4)cosA＋B2＝sinC2.2.三角形中的射影定理在△ABC中，a＝b cos C＋c cos B；b＝a cos C＋c cos A；c＝b cos A＋a cos B.3.利用正、余弦定理解三角形时，要注意三角形内角和定理对角的范围的限制.诊断自测1.思考辨析(在括号内打“√”或“×”)(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角之比.()(2)在△ABC中，若sin A>sin B，则A>B.()(3)在△ABC的六个元素中，已知任意三个元素可求其他元素.()(4)当b2＋c2－a2>0时，△ABC为锐角三角形；当b2＋c2－a2＝0时，△ABC为直角三角形；当b2＋c2－a2<0时，△ABC为钝角三角形.()解析(1)三角形中三边之比等于相应的三个内角的正弦值之比.(3)已知三角时，不可求三边.(4)当b2＋c2－a2>0时，三角形ABC不一定为锐角三角形.答案(1)×(2)√(3)×(4)×2.(2016·全国Ⅰ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c.已知a＝5，c＝2，cos A＝23，则b＝()A. 2B. 3C.2D.3解析由余弦定理，得5＝b2＋22－2×b×2×23，解得b＝3⎝⎛⎭⎪⎫b＝－13舍去.答案 D3.(一题多解)(2018·郑州调研)在△ABC中，角A，B，C的对边分别是a，b，c，已知b＝2，c＝22，且C＝π4，则△ABC的面积为()A.3＋1B.3－1C.4D.2解析法一由余弦定理可得(22)2＝22＋a2－2×2×a cos π4，即a2－22a－4＝0，解得a ＝2＋6或a ＝2－6(舍去)，△ABC 的面积S ＝12ab sin C ＝12×2×(2＋6)sin π4＝12×2×22×(6＋2)＝3＋1，选A.法二 由正弦定理b sin B ＝c sin C ，得sin B ＝b sin C c ＝12，又c >b ，且B ∈(0，π)，所以B ＝π6，所以A ＝7π12，所以△ABC 的面积S ＝12bc sin A ＝12×2×22sin 7π12＝12×2×22×6＋24＝3＋1. 答案 A4.(2017·全国Ⅲ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知C ＝60°，b ＝6，c ＝3，则A ＝________.解析 由正弦定理，得sin B ＝b sin C c ＝6×323＝22， 结合b <c 得B ＝45°，则A ＝180°－B －C ＝75°. 答案 75°5.(教材习题改编)在△ABC 中，a cos A ＝b cos B ，则这个三角形的形状为________. 解析 由正弦定理，得sin A cos A ＝sin B cos B ， 即sin 2A ＝sin 2B ，所以2A ＝2B 或2A ＝π－2B ， 即A ＝B 或A ＋B ＝π2，所以这个三角形为等腰三角形或直角三角形. 答案 等腰三角形或直角三角形考点一 利用正、余弦定理解三角形【例1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c .已知sin B ＋sin A (sin C －cos C )＝0，a ＝2，c ＝2，则C ＝( ) A.π12B.π6C.π4D.π3(2)在△ABC 中，已知a ＝2，b ＝6，A ＝45°，则满足条件的三角形有( ) A.1个B.2个C.0个D.无法确定(3)(2018·烟台质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若a 2－b 2＝3bc ，且sin C ＝23sin B ，则角A 的大小为________. 解析 (1)由题意得sin(A ＋C )＋sin A (sin C －cos C )＝0， ∴sin A cos C ＋cos A sin C ＋sin A sin C －sin A cos C ＝0， 则sin C (sin A ＋cos A )＝2sin C sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，因为sin C ≠0，所以sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π4＝0，又因为A ∈(0，π)，所以A ＋π4＝π，所以A ＝3π4. 由正弦定理a sin A ＝csin C ，得2sin 3π4＝2sin C ， 则sin C ＝12，得C ＝π6.(2)∵b sin A ＝6×22＝3，∴b sin A <a <b . ∴满足条件的三角形有2个.(3)由sin C ＝23sin B ，根据正弦定理得，c ＝23b ，代入a 2－b 2＝3bc 得，a 2－b 2＝6b 2，即a 2＝7b 2，由余弦定理得：cos A ＝b 2＋c 2－a 22bc ＝b 2＋12b 2－7b 243b 2＝32，∴A ＝π6.答案 (1)B (2)B (3)π6规律方法 1.判断三角形解的个数的两种方法(1)代数法：根据大边对大角的性质、三角形内角和公式、正弦函数值判断. (2)几何图形法：根据条件画出图形，通过图形直观判断解的个数.2.已知三角形的两边和其中一边的对角解三角形.可用正弦定理，也可用余弦定理.用正弦定理时，需判断其解的个数，用余弦定理时，可根据一元二次方程根的情况判断解的个数.【训练1】 (2017·河北名校联盟质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，且2a cos C －c ＝2b . (1)求角A 的大小；(2)若c＝2，角B的平分线BD＝3，求a.解(1)2a cos C－c＝2b，由正弦定理得2sin A cos C－sin C＝2sin B，2sin A cos C －sin C＝2sin(A＋C)＝2sin A cos C＋2cos A sin C，∴－sin C＝2cos A sin C，sin C≠0，∴cos A＝－1 2，又A∈(0，π)，∴A＝2π3.(2)在△ABD中，由正弦定理得，ABsin∠ADB＝BDsin A，∴sin∠ADB＝AB sin ABD＝22.又∠ADB∈(0，π)，A＝2π3，∴∠ADB＝π4，∴∠ABC＝π6，∠ACB＝π6，AC＝AB＝2，由余弦定理，BC2＝AB2＋AC2－2AB·AC·cos A＝(2)2＋(2)2－2×2×2cos 2π3＝6，∴a＝ 6.考点二利用正弦、余弦定理判定三角形的形状【例2】(1)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若cb<cos A，则△ABC为()A.钝角三角形B.直角三角形C.锐角三角形D.等边三角形(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若b cos C＋c cos B＝a sin A，则△ABC的形状为()A.锐角三角形B.直角三角形C.钝角三角形D.不确定解析(1)由cb<cos A，得sin Csin B<cos A，所以sin C<sin B cos A，即sin(A＋B)<sin B cos A，所以sin A cos B<0，因为在三角形中sin A>0，所以cos B<0，即B为钝角，所以△ABC为钝角三角形.(2)由正弦定理得sin B cos C＋sin C cos B＝sin2A，∴sin(B＋C)＝sin2A，即sin A＝sin2A.∵A∈(0，π)，∴sin A>0，∴sin A＝1，即A＝π2，∴△ABC为直角三角形.答案(1)A(2)B规律方法 1.判定三角形形状的途径：(1)化边为角，通过三角变换找出角之间的关系；(2)化角为边，通过代数变形找出边之间的关系，正(余)弦定理是转化的桥梁.2.无论使用哪种方法，都不要随意约掉公因式，要移项提取公因式，否则会有漏掉一种形状的可能.注意挖掘隐含条件，重视角的范围对三角函数值的限制. 【训练2】在△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若c－a cos B ＝(2a－b)cos A，则△ABC的形状为()A.等腰三角形B.直角三角形C.等腰直角三角形D.等腰或直角三角形解析∵c－a cos B＝(2a－b)cos A，C＝π－(A＋B)，∴由正弦定理得sin C－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，∴sin A cos B＋cos A sin B－sin A cos B＝2sin A cos A－sin B cos A，∴cos A(sin B－sin A)＝0，∴cos A＝0或sin B＝sin A，∴A＝π2或B＝A或B＝π－A(舍去)，∴△ABC为等腰或直角三角形.答案 D考点三和三角形面积有关的问题【例3】(2017·全国Ⅲ卷)△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知sin A＋3cos A＝0，a＝27，b＝2.(1)求c；(2)设D为BC边上一点，且AD⊥AC，求△ABD的面积.解(1)由sin A＋3cos A＝0及cos A≠0，得tan A ＝－3，又0<A <π， 所以A ＝2π3.由余弦定理，得28＝4＋c 2－4c ·cos 2π3. 即c 2＋2c －24＝0，解得c ＝－6(舍去)，c ＝4.(2)由题设可得∠CAD ＝π2，所以∠BAD ＝∠BAC －∠CAD ＝π6. 故△ABD 与△ACD 面积的比值为12AB ·AD sin π612AC ·AD＝1.又△ABC 的面积为12×4×2sin ∠BAC ＝23， 所以△ABD 的面积为 3.规律方法 三角形面积公式的应用原则(1)对于面积公式S ＝12ab sin C ＝12ac sin B ＝12bc sin A ，一般是已知哪一个角就使用哪一个公式.(2)与面积有关的问题，一般要用到正弦定理或余弦定理进行边和角的转化. 【训练3】 (2017·山东卷)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知b ＝3，AB →·AC →＝－6，S △ABC ＝3，求A 和a . 解 因为AB→·AC →＝－6，所以bc cos A ＝－6， 又因为S △ABC ＝3，所以bc sin A ＝6， 因此tan A ＝－1，又0<A <π，所以A ＝3π4. 又因为b ＝3，所以c ＝2 2. 由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ， 得a 2＝9＋8－2×3×22×⎝ ⎛⎭⎪⎫－22＝29，所以a ＝29.基础巩固题组 (建议用时：40分钟)一、选择题1.(2018·沈阳质检)已知△ABC 中，A ＝π6，B ＝π4，a ＝1，则b 等于( ) A.2B.1C. 3D. 2解析 由正弦定理a sin A ＝b sin B ，得1sin π6＝b sin π4，∴112＝b22，∴b ＝ 2.答案 D2.在△ABC 中，角A ，B ，C 对应的边分别为a ，b ，c ，若A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，则B 等于( ) A.π3B.5π6C.π6或5π6D.π6解析 ∵A ＝2π3，a ＝2，b ＝233，由a sin A ＝b sin B 得，sin B ＝b a sin A ＝2332×32＝12.∵A ＝2π3，∴B ＝π6. 答案 D3.在△ABC 中，A ＝60°，AB ＝2，且△ABC 的面积为32，则BC 的长为( )A.32B. 3C.2 3D.2解析 因为S ＝12×AB ×AC sin A ＝12×2×32AC ＝32，所以AC ＝1，所以BC 2＝AB 2＋AC 2－2AB ·AC cos 60°＝3，BC ＝ 3. 答案 B4.(2017·石家庄检测)在△ABC 中，cos 2B 2＝a ＋c 2c (a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边)，则△ABC 的形状为( ) A.等边三角形 B.直角三角形C.等腰三角形或直角三角形D.等腰直角三角形 解析 因为cos 2B 2＝a ＋c2c ，所以2cos 2B 2－1＝a ＋c c －1，所以cos B ＝ac ， 所以a 2＋c 2－b 22ac ＝ac ，所以c 2＝a 2＋b 2. 所以△ABC 为直角三角形. 答案 B5.(2018·安徽江南十校联考)设△ABC 的面积为S 1，它的外接圆面积为S 2，若△ABC 的三个内角大小满足A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，则S 1S 2的值为( )A.2512πB.2524πC.3＋32πD.3＋34π解析 ∵A ∶B ∶C ＝3∶4∶5，∴A ＝π4，B ＝π3，C ＝5π12， 由正弦定理，得a sin A ＝b sin B ＝csin C ＝2R ，∴a ＝2R sin A ＝2R ，b ＝2R sin B ＝3R ，则sin C ＝ sin(A ＋B )＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝2＋64，∴S 1＝12ab sin C ＝12×2×3×2＋64R 2＝3＋34R 2， S 2＝πR 2，∴S 1S 2＝3＋34π.答案 D 二、填空题6.(2017·烟台模拟)在△ABC 中，角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若角A ，B ，C 依次成等差数列，且a ＝1，b ＝3，则S △ABC ＝________.解析 因为角A ，B ，C 依次成等差数列，所以B ＝60°.由正弦定理，得1sin A ＝3sin 60°，解得sin A ＝12，因为0°＜A ＜180°，所以A ＝30°，此时C ＝90°，所以S △ABC ＝12ab ＝32.答案 327.(2018·合肥质检改编)已知△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，若 cos C ＝223，b cos A ＋a cos B ＝2，则△ABC 的外接圆面积为________.解析 b cos A ＋a cos B ＝2R sin B cos A ＋2R sin A cos B ＝2R sin(A ＋B )＝2R sin C ＝c ＝2，由cos C ＝223得sin C ＝13，由正弦定理可得2R ＝csin C ＝6， 所以△ABC 的外接圆面积为πR 2＝9π. 答案 9π8.(2016·北京卷)在△ABC 中，A ＝2π3，a ＝3c ，则bc ＝________. 解析 在△ABC 中，a 2＝b 2＋c 2－2bc ·cos A ， 将A ＝2π3，a ＝3c 代入，可得(3c )2＝b 2＋c 2－2bc ·⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，整理得2c 2＝b 2＋bc . ∵c ≠0，∴等式两边除以c 2，得2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫b c 2＋bc ，解得b c ＝1.答案 1 三、解答题9.(2018·安徽江南十校联考)已知a ，b ，c 分别是△ABC 内角A ，B ，C 的对边，函数f (x )＝3＋23sin x cos x ＋2cos 2x ，且f (A )＝5. (1)求角A 的大小；(2)若a ＝2，求△ABC 面积的最大值.解 (1)由题意可得：f (A )＝3＋23sin A cos A ＋2cos 2A ＝5， ∴23sin A cos A ＝2(1－cos 2A )， ∴sin A (3cos A －sin A )＝0， ∵A ∈(0，π)，∴sin A ≠0，∴sin A ＝3cos A ，即tan A ＝3，A ＝π3.(2)由余弦定理可得：4＝b 2＋c 2－2bc cos π3，4＝b 2＋c 2－bc ≥bc (当且仅当b ＝c ＝2时“＝”成立)，∴S △ABC ＝12bc sin A ＝34bc ≤34×4＝3，故△ABC 面积的最大值是 3.10.(2018·云南11校跨区调研)如图，在四边形ABCD 中，∠DAB ＝π3，AD ∶AB ＝2∶3，BD ＝7，AB ⊥BC . (1)求sin ∠ABD 的值；(2)若∠BCD ＝2π3，求CD 的长.解 (1)∵AD ∶AB ＝2∶3，∴可设AD ＝2k ，AB ＝3k .又BD ＝7，∠DAB ＝π3，∴由余弦定理， 得(7)2＝(3k )2＋(2k )2－2×3k ×2k cos π3，解得k ＝1，∴AD ＝2，AB ＝3，sin ∠ABD ＝AD sin ∠DAB BD ＝2×327＝217. (2)∵AB ⊥BC ，∴cos ∠DBC ＝sin ∠ABD ＝217，∴sin ∠DBC ＝277，∴BD sin ∠BCD ＝CD sin ∠DBC， ∴CD ＝7×27732＝433. 能力提升题组(建议用时：20分钟)11.(2017·长沙模拟)在△ABC 中，C ＝2π3，AB ＝3，则△ABC 的周长为( )A.6sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3B.6sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3C.23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3D.23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π6＋3 解析 设△ABC 的外接圆半径为R ，则2R ＝3sin 2π3＝23，于是BC ＝2R sin A ＝ 23sin A ，AC ＝2R sin B ＝23sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A . 于是△ABC 的周长为23⎣⎢⎡⎦⎥⎤sin A ＋sin ⎝ ⎛⎭⎪⎫π3－A ＋3＝23sin ⎝⎛⎭⎪⎫A ＋π3＋3. 答案 C12.(2018·广东省际名校联考)在△ABC 中，a ，b ，c 分别是角A ，B ，C 的对边，若(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，c ＝3，当ab 取得最大值时，S △ABC ＝________. 解析 因为(a ＋b －c )(a ＋b ＋c )＝ab ，a 2＋b 2－c 2＝－ab ，所以cos C ＝－12，所以sin C ＝32， 由余弦定理得(3)2＝a 2＋b 2＋ab ≥3ab ，即ab ≤1，当且仅当a ＝b ＝1时等号成立.所以S △ABC ＝34.答案 3413.(2018·西安质检)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，面积为S ，已知2a cos 2C 2＋2c cos 2A 2＝52b .(1)求证：2(a ＋c )＝3b ；(2)若cos B ＝14，S ＝15，求b .(1)证明 由已知得，a (1＋cos C )＋c (1＋cos A )＝52b .在△ABC 中，过B 作BD ⊥AC ，垂足为D ，则a cos C ＋c cos A ＝b .∴a ＋c ＝32b ，即2(a ＋c )＝3b .(2)解 ∵cos B ＝14，∴sin B ＝154.∵S ＝12ac sin B ＝158ac ＝15，∴ac ＝8.又b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝(a ＋c )2－2ac (1＋cos B )，2(a ＋c )＝3b ，∴b 2＝9b 24－16×⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋14，∴b ＝4.。

课时规范练24《素养分级练》P364基础巩固组1.(山东济南高三月考)在△ABC 中,已知BC=6,A=30°,B=120°,则△ABC 的面积等于( ) A.9 B.18 C.9√3 D.18√3答案:C解析:根据正弦定理,得BC sinA=AC sinB ,所以AC=BC×sinB sinA=6√3.因为C=180°-B-A=30°,所以S △ABC =12×CA×CB×sinC=9√3.故选C.2.(湖北宜昌高三期中)在△ABC 中,若b=2,A=120°,△ABC 的面积S=√3,则△ABC 的外接圆的半径为( ) A.√3 B.2C.2√3D.3答案:B解析:由S=12bcsinA=csin120°=√32c=√3,解得c=2,由余弦定理,得a=√b 2+c 2-2bccosA =√4+4-8cos120°=2√3.令△ABC 外接圆半径为R,由正弦定理,得2R=a sinA=2√3sin120°=4,解得R=2,所以△ABC 的外接圆的半径为2.故选B.3.(湖南岳阳高三月考)在△ABC 中,若acos A-ccos C=0,则△ABC 是( )三角形. A.等腰 B.直角 C.等边 D.等腰或直角答案:D解析:因为acosA-ccosC=0,由正弦定理,得sinAcosA-sinCcosC=0,即12sin2A-12sin2C=0,即sin2A=sin2C,所以2A=2C 或2A=π-2C,即A=C 或A+C=π2.所以△ABC 为等腰三角形或直角三角形.故选D.4.(河南郑州高三月考)在△ABC 中,B=120°,AB=√2,角A 的角平分线AD 的长为√3,则AC= ( )A.2B.3C.√6D.√3答案:C解析:设∠BAC=2α,则0°<2α<60°,0°<α<30°.在△ABD 中,∠BAD=α,由正弦定理,得AD sinB =AB sin∠ADB,即√3sin120°=√2sin (60°-α),所以sin(60°-α)=√22,-30°<-α<0°,30°<60°-α<60°,所以60°-α=45°,α=15°,∠BAC=2α=30°,则C=30°.在△ABC 中,由正弦定理,得AC sinB=ABsinC,即ACsin120°=√2sin30°,即√32=√212,解得AC=√6.故选C.5.(多选)(山东青岛高三期末)在△ABC 中,角A,B,C 的对边分别为a,b,c,则下列条件能判断△ABC 是钝角三角形的有( ) A.acos A=bcos B B.AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =2a C.a -b c+b=sinC sinA+sinBD.bcos C+ccos B=b 答案:BC解析:对于A,由acosA=bcosB 及正弦定理,可得sinAcosA=sinBcosB,即sin2A=sin2B,所以2A=2B 或2A+2B=π,所以A=B 或A+B=π2,所以△ABC 是等腰三角形或直角三角形,故A 不能判断;对于B,由AB ⃗⃗⃗⃗⃗ ·BC ⃗⃗⃗⃗⃗ =-accosB=2a,得cosB<0,则B 为钝角,故B 能判断;对于C,由正弦定理,得a -b c+b=ca+b,得b 2+c 2-a 2=-bc,则cosA=-12,A=2π3,故C 能判断;对于D,由bcosC+ccosB=b 及正弦定理化边为角,可得sinBcosC+sinCcosB=sinB,即sinA=sinB,因为A,B 为△ABC 的内角,所以A=B,所以△ABC 是等腰三角形,故D 不能判断.故选BC.6.(多选)(浙江杭州高三模拟)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,asin B=√3bcos A,a=3.若点D 在边BC 上,且BD=2DC,O 是△ABC 的外心,则下列判断正确的是( ) A.A=π6B.△ABC 的外接圆半径R 为√3C.OD=1D.AD=2 答案:BC解析:对于A,在△ABC 中,0<A,B,C<π,因为asinB=√3bcosA,所以sinAsinB=√3sinBcosA.又sinB>0,所以tanA=√3,A=π3,故A 错误;对于B,又a=3,所以asinA=2R=√32=2√3,故R=√3,故选项B 正确;对于C,取BC 的中点M,如图所示,在Rt △BOM 中,BM=12BC=32,OM=√OB 2-BM 2=√(√3)2-(32)2=√32,在Rt △DOM中,DM=BD-BM=12,OD=√OM 2+DM 2=√(√32)2+(12)2=1,故选项C 正确;对于D,由题意,点A 的位置不确定,故AD长度不确定,选项D 错误.故选BC.7.(全国乙,文15)记△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,面积为√3,B=60°,a2+c2=3ac,则b= .答案:2√2解析:由题意可知△ABC的面积S=1acsin60°=√3,整理得ac=4.2结合已知得a2+c2=3ac=12.因为B=60°,由余弦定理可得b2=a2+c2-2accosB=12-2×4×cos60°=8,所以b=2√2.8.(山东潍坊高三月考)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,若2sin B-sin C≥2sin Acos C,则角A的取值范围为.]答案:(0,π3解析:由2sinB-sinC≥2sinAcosC,可得2sin(A+C)-sinC≥2sinAcosC,整理得2cosAsinC-sinC≥0,因为sinC>0,所以cosA≥1,又A∈(0,π),所以2].A∈(0,π39.(辽宁沈阳高三期中)如图所示,四边形ABCD是由等腰直角三角形BCD以及直角三角形ABD拼接而成,其中∠ADB=∠BCD=90°,tan 2∠ABD=4,若3BC=2,则点A与点C的距离为.答案:√10解析:因为tan2∠ABD=2tan∠ABD 1-tan 2∠ABD=43,解得tan ∠ABD=12或tan ∠ABD=-2(舍去),由{sin∠ABDcos∠ABD =12,sin 2∠ABD +cos 2∠ABD =1,解得cos ∠ABD=2√55,因为△BCD 是等腰直角三角形,∠BCD=90°,BC=2,所以BD=2√2,所以AD=BD·tan∠ABD=√2.在△ACD 中,∠ADC=135°,由余弦定理,得AC=√AD 2+CD 2-2AD ·CD ·cos135°=√10.综合提升组10.(广东惠州高三月考)设△ABC 的面积为S,若4cos 2A-1=cos 2B+2cos 2C,则SAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC⃗⃗⃗⃗⃗ 的最大值为( )A.√32B.√33C.√156D.√66答案:C解析:因为4cos2A-1=cos2B+2cos2C,所以4(1-2sin 2A)-1=1-2sin 2B+2(1-2sin 2C),整理得4sin 2A=sin 2B+2sin 2C,即4a 2=b 2+2c 2,a 2=14b 2+12c 2.于是cosA=b 2+c 2-a 22bc=34b 2+12c 22bc≥2√34b 2·12c 22bc=√64,当且仅当√3b=√2c 时取等号.因为SAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗ ·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ =12bcsinA bccosA =12·sinA cosA=12√1cos 2A-1,所以当cosA=√64时,SAB ⃗⃗⃗⃗⃗⃗·AC ⃗⃗⃗⃗⃗ 取得最大值12√1(√64)2-1=√156,故选C.11.(重庆一中高三月考)在△ABC 中,角A,B,C 所对的边分别为a,b,c,且3a 2=(c+b)(c-b),则tan A·tan B 的取值范围是 . 答案:(0,12)解析:由题意得3a 2=(c+b)(c-b), 根据余弦定理,得bcosC+a=0, 所以由正弦定理,得sinBcosC+sinA=0,即sinBcosC+sin(C+B)=0, 化简得tanC=-2tanB, 又0<B<π,所以tan 2B>0, 又tanA·tanB=-tan(B+C)·tanB =-tanB+tanC 1-tanB ·tanC·tanB =-tanB+(-2tanB )1-tanB ·(-2tanB )·tanB=11tan 2B+2,所以0<tanA·tanB<12.创新应用组12.(全国甲,理16)已知△ABC中,点D在边BC上,∠ADB=120°,AD=2,CD=2BD.当ACAB取得最小值时,BD= .答案:√3-1解析:(方法1)令BD=t,则t>0.如图,以D为坐标原点,DC所在直线为x轴建立平面直角坐标系.则C(2t,0),A(1,√3),B(-t,0),AC 2AB2=(2t-1)2+3(t+1)2+3=4-12t+1+3t+1≥4-2√3,当且仅当t+1=√3,即BD=√3-1时,等号成立.此时,ACAB=√3-1.(方法2)设BD=t,则CD=2t,由余弦定理得AC 2AB2=4t2+4-2×2t×2cos60°t2+4-2t×2cos120°=4t2-4t+4 t2+2t+4=4-12t+1+3t+1≥4-2√3,当且仅当t+1=√3,即BD=√3-1时,等号成立,此时,ACAB=√3-1.。