线性常系数微分方程典型例题

常微分方程

1 .( 05,4 分)微分方程 xy 2y

xln x满足 y(1)

22

x y)= x ln x.

2 .( 06,4 分) 微分方程 y= y(1 x)的通解为 ————

x

分析：这是可变量分离的一阶方程，分离变量得

dy ( 1 1)dx.积分得 ln y ln x x C1，即 y eC1 x

e x

yx

y Cxe x , 其中 C为任意常数 .

(二)奇次方程与伯努利方程

1 .( 97,2,5 分) 求微分方程 (3x2 2xy y2)dx (x2 2xy)dy 0的通解

解：所给方程是奇次方程 . 令 y=xu, 则 dy=xdu+udx. 代入原方程得

3 ( 1+u- u2) dx+x(1-2 u) du=0.

分离变量得 1-2u 2 du 3dx,

1uu x

积分得 ln 1 u u2 3ln x C1,即 1 u u2=Cx 3.

以 u y 代入得通解 x2 xy y2 .

xx

( y x2 y2 )dx xdy 0(x 0),

2 .(99,2,7 分 ) 求初值问题 的解 .

yx1 0 分析：这是一阶线性微分方程原方程变形为

. dy+2y

dx x 2 dx ln x, 两边乘 e x =x 得

积分得

y(1) x2y=C+ x2 ln xdx C 1 ln xdx3 3

1 11

得 C 0 y xln x x. 9 39 C 1 x3 ln

x

3 13 x. 9 1

的解解：所给方程是齐次方程 (因 dx, dy的系数 (y+ x2 y2)与 (-

x)都是一次齐次函数)

令 dy xdu udx,带入得

x(u 1 u2dx x( xdu udx) 0,

化简得 12 u2 dx xdu 0.

分离变量得 dx- du =0.

x 1 u2

积分得 ln x ln(u 1 u2 ) C1,即 u 1 u2 Cx.

以 u y 代入原方程通解为 y+ x2 y2 Cx2 .

第五章 线性微分方程组

5-1 考虑方程组

xAx)(tdtd （1）

其中)(tA是区间bta上的连续nn矩阵，它的元素为njitaij,,2,1,),(，

1）如果)(,),(),(21tttnxxx是（1）的任意n个解，那么它们的朗斯基行列式)()](,),(),([21tWtxtxtxWn满足下面的一阶线性微分方程

WtatataWnn)]()()([2211 （2）；

2）解上面的一阶线性微分方程，证明下面的公式：

],[,,)()(0)]()([0011battetWtWttnndssasa。

证 1）根据行列式的微分公式

)()()()()()()()()()()()()()()()()()()(122111112211111221111txtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtxtWnnnnnnnnnnnnnnn（3）

由于)(,),(),(21tttnxxx是（1）的解，所以

njjknjnjjkjnjjkjnkkknnnnnktxtatxtatxtatxtxtxtatatatatatat11211211221111)()()()()()()()()()()()()()()()( x，

所以njjkijiknkitxtatx1),,2,1,(),()()(，把这些等式代入（3）的右端，化简计算每个行列式，如（3）式右端第一项等于 )()()()()()()()()()()()()()()()()(11122111111122111111tWtatxtxtxtxtxtxtatxtxtxtxtxtatxtannnnnnnnnnjjnjnjjj

二阶常系数非齐次线性微分方程解法及例题

一、引言

微分方程是数学中重要的一部分，广泛应用于自然科学和工程技术领域。在微分方程中，常系数非齐次线性微分方程是一类常见且重要的方程类型。本文将介绍该类型微分方程的解法以及一些例题。

二、常系数非齐次线性微分方程的定义

常系数非齐次线性微分方程可以表示为：$$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=f(x)$$其中$a$和$b$为常数，$f(x)$为已知函数。

三、特征方程和齐次解

对于常系数非齐次线性微分方程，首先求解相应的齐次方程：$$\frac{d^2y}{dx^2}+a\frac{dy}{dx}+by=0$$我们可以得到对应的特征方程：$$\lambda^2+a\lambda+b=0$$解特征方程可以得到两个不同的特征根$\lambda_1$和$\lambda_2$。

根据特征根的不同情况，可以分为三种情况：

1. 当特征根为实数且不相等时，齐次解可以表示为：$$y=c_1e^{\lambda_1x}+c_2e^{\lambda_2x}$$其中$c_1$和$c_2$为常数。

2. 当特征根为实数且相等时，齐次解可以表示为：$$y=(c_1+c_2x)e^{\lambda x}$$其中$c_1$和$c_2$为常数。 3. 当特征根为复数时，齐次解可以表示为：$$y=e^{\alpha

x}(c_1\cos \beta x+c_2\sin \beta x)$$其中$\alpha$和$\beta$为实数，$c_1$和$c_2$为常数。

四、非齐次解

下面我们来求解常系数非齐次线性微分方程的非齐次解。

1. 方法一：待定系数法

若$f(x)$为多项式或指数函数时，可以采用待定系数法。假设非齐次解为：$$y^*=P(x)Q(x)e^{\lambda x}$$其中$P(x)$和$Q(x)$为待定的多项式函数，$\lambda$为特征根。

4.6 二阶常系数齐次线性微分方程

一、填空题：

1． 若方程0ypyqy



的通解为

12sin2cos2yCxCx

，则p

（ ），q

（ ）．

*2．方程0yy



的通解为（ ）．

二、求下列二阶常系数齐次线性微分方程的通解或特解：

1．320yyy



2．6130yyy



3．2

2dd

420250

ddxx

x

tt

4

．

00340,0,5

xxyyyyy





5

．

00440,2,0

xxyyyyy





6.0yayy



(a

为常数)

三、已知2

2x

e

y

是微分方程20ypyy



的一个解，求常数p

的值，并求该微分方程

的通解．