目录
第一章 数与式
1.1数与式的运算
1.1.1
1.1.2
1.1.3
1.1.4 绝对值 乘法公式
二次根式 分式
1.2分解因式 第二章 二次方程与二次不等式
2.1 一元二次方程
2.1.1根的判别式
2.1.2根与系数的关系
2.2 二次函数
2.2.1二次函数y二ax2+bx+c的图像和性质
2.2.2二次函数的三种表达方式
2.2.3二次函数的应用
2.3方程与不等式
2.3.1二元二次方程组的解法
第三章 相似形、三角形、圆
3.1相似形
3.1.1平行线分线段成比例定理
3.1.2相似三角形形的性质与判定 3.2三角形
3.2.1三角形的五心
3.2.2解三角形：钝角三角函数、正弦定理和余弦定理及其应用 3.3圆
3.3.1直线与圆、圆与圆的位置关系：圆幕定理
3.3.2点的轨迹
3.3.3四点共圆的性质与判定
3.3.4直线和圆的方程（选学） 初中升高中数学教材变化分析
2
1.1数与式的运算
1.1.1 .绝对值
绝对值的代数意义：正数的绝对值是它的本身，负数的绝对值是它的相反 数，零的绝对值仍是零.即
a, a 0,
|a| 0, a 0,
a, a 0.
绝对值的几何意义：一个数的绝对值，是数轴上表示它的点到原点的距离. 两个数的差的绝对值的几何意义：|a b表示在数轴上，数a和数b之间的距 离.
例1解不等式：|x 1 x 3 >4.
解法一：由x 1 0 ,得x 1 ;由x 3 0，得x 3 ；
① 若x 1，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,
即 2x 4 >4,解得 XV0,
又 xv 1 ,
二 xv 0；
② 若1 x 2，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,
即 1> 4,
二不存在满足条件的x;
③ 若x 3，不等式可变为(x 1) (x 3) 4 ,
即 2x 4 >4,解得 x>4.
又x>3
二 x>4.
综上所述，原不等式的解为
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初高中数学衔接《三角形与圆》
（一）三角形与三角形的“四心”
5．1三角形的“四心”三角形是最重要的基本平面图形，很多较复杂的图形问题可以化归为三角形的问题.图1图2如图1，在三角形ABC中，有三条边AB、BC、CA，三个角∠A,∠B,∠C，三个顶点A,B,C，在三角形中，角平分线、中线、高（如图2）是三角形中的三种重要线段.三角形的三条中线相交于一点，这个交点称为三角形的重心.三角形的重心在三角形的内部，恰好是每条中线的三等分点.例1求证三角形的三条中线交于一点，且被该交点分成的两段长度之比为2：1.已知D、E、F分别为△ABC三边BC、CA、AB的中点，求证AD、BE、CF交于一点，且都被该点分成2：1.证明三角形的三条角平分线相交于一点，是三角形的内心.三角形的内心在三角形的内部，它到三角形的三边的距离相等.（如图3）图3例2已知V ABC的三边长分别为BC=a,AC=b,AB=c，I为V ABC的内心，且I在△ABC的边BC、AC、AB上的射影分别为D、E、F，求证：AE=AF=证明b+c-a.2.例3若三角形的内心与重心为同一点，求证：这个三角形为正三角形.已知O为三角形ABC的重心和内心.求证三角形ABC为等边三角形.证明三角形的三条高所在直线相交于一点，该点称为三角形的垂心.锐角三角形的垂心一定在三角形的内部，直角三角形的垂心为他的直角顶点，钝角三角形的垂心在三角形的外部（如图4）.三角形的三条高交于一点.图4练习1 1．求证：若三角形的垂心和重心重合，求证：该三角形为正三角形.2．（1）若三角形ABC的面积为S，且三边长分别为a、b、c，则三角形的内切圆的半径是;，（2）若直角三角形的三边长分别为a、b、c（其中c为斜边长）则三角形的内切圆的半径是.并请说明理由.5.2几种特殊的三角形等腰三角形底边上三线（角平分线、中线、高线）合一.因而在等腰三角形ABC中，三角形的内心I、重心G、垂心H必然在一条直线上.例4在△ABC中，AB=AC=3,BC=2.求（1）△ABC的面积S ABC及AC边上的高BE；（2）△ABC的内切圆的半径r；（3）△ABC的外接圆的半径R.解例6如图，在△ABC中，=AC，为BC上任意一点.求证：AB P AP=AB-PB.PC 2 2证明：正三角形三条边长相等，三个角相等，且四心（内心、重心、垂心、外心）合一，该点称为正三角形的中心.例7已知等边三角形ABC和点P，设点P到
2017 初高中数学衔接教材
现有初高中数学教材存在以下“脱节” ：
1、绝对值型方程和不等式，初中没有讲，高中没有专门的内容却在使用；
2、立方和与差的公式在初中已经删去不讲，而高中还在使用；
3、因式分解中，初中主要是限于二次项系数为 1 的二次三项式的分解，对系数不为 1 的
涉及不多，而且对三次或高次多项式的分解几乎不作要求；高中教材中许多化简求值都要用
到它，如解方程、不等式等；
4、二次根式中对分子、分母有理化初中不作要求，而分子、分母有理化是高中数学中函
数、不等式常用的解题技巧；
5 初中教材对二次函数的要求较低，学生处于了解水平。而高中则是贯穿整个数学教材
的始终的重要内容；配方、作简图、求值域（取值范围） 、解二次不等式、判断单调区间、求
最大最小值、研究闭区间上的函数最值等等是高中数学所必须掌握的基本题型和常用方法；
6、二次函数、二次不等式与二次方程之间的联系，根与系数的关系（韦达定理）初中不
作要求，此类题目仅限于简单的常规运算，和难度不大的应用题，而在高中数学中，它们的
相互转化屡屡频繁，且教材没有专门讲授，因此也脱节；
7、图像的对称、平移变换初中只作简单介绍，而在高中讲授函数时，则作为必备的基本
知识要领；
8、含有参数的函数、方程、不等式初中只是定量介绍了解，高中则作为重点，并无专题
内容在教材中出现，是高考必须考的综合题型之一；
9、几何中很多概念（如三角形的五心：重心、内心、外心、垂心、旁心）和定理（平行
线等分线段定理、平行线分线段成比例定理、射影定理、相交弦定理）初中早就已经删除，
大都没有去学习；
10、圆中四点共圆的性质和判定初中没有学习。高中则在使用。
另外，象配方法、换元法、待定系数法、双十字相乘法分解因式等等等等初中大大淡化，
甚至老师根本没有去延伸发掘，不利于高中数学的学习。
新的课程改革，难免会导致很多知识的脱节和漏洞。本书当然也没有详尽列举出来。我
初升高中衔接教程
数 学
第 1 页 共 92 页 第1讲 数与式
教学目标 1、理解并掌握乘法公式与因式分解
2、理解并掌握二次根式的运算与化简
3、理解并掌握繁分式的化简
重点、难点 乘法公式与因式分解
二次根式与分式
考点及考试要求 1、理解并掌握乘法公式与因式分解
2、理解并掌握二次根式的运算与化简
3、理解并掌握繁分式的化简
教学内容
知识框架
其它的因式分解方法十字相乘法分组分解法公式法分解因式分式根式乘法公式数与式数与式
知识点一：乘法公式
【内容概述】
【公式1】cabcabcbacba222)(2222
【公式2】3322))((babababa(立方和公式)
【公式3】3322))((babababa(立方差公式)
【公式4】33322()33abababab（请同学证明）
【公式5】33223()33abaababb（请同学证明）
【典型例题—1】：
例1.计算： 22)312(xx 例2.计算：222(42)abaabb
第 2 页 共 92 页 例3.计算(1)2232(964)xyxxyy (2)223(469)xxxy
变式1：利用公式计算
（1） )916141(31212mmm (2) 2222()()abaabbabaabb
变式2:利用立方和、立方差公式进行因式分解
（1） 3327mn （2）331278mn （3）3125x （4） 66mn
