第41讲 解不等式

2009-2010第一学期提优竞赛讲义 江苏大明人文教育高一年级数学

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2009 第6讲 不等式

本节主要内容为高次不等、分式不等式、无理不等式、指数不等式、对数不等式、含绝对值的不等式的解法．

解不等式的根据是不等式的性质和不等式的同解原理．

解不等式与解方程以及寒暑地图象、性质有着较为密切的联系，它们互相转化、相互渗透，又有所区别．

例1 解不等式0)6)(4)(1)(1(2xxxxx

说明：高于二次的不等式称为高次不等式．解高次不等式一般都将多项式尽可能地分解，使每个因式成为一次或二次式，而且各因式中x的最高次数的那一项的系数应为正数．

链接：早年，人们解高次不等式都要列表，过程有点繁．1977年美国人普鲁特和莫里（M.H.protter, C.B.Morrey）将列表法简化为数轴上直接表示的方法，既快捷又方便，答案在数轴上一目了然．

例2 解不等式||112xxx

说明：解不等式讲究一个“化”字，也就是将原不等式化为同解的最简单的不等式．

解分式不等式时都是把它化成同解的整式不等式．例如不等式1)()(xgxf与不等式0)()()(xgxgxf同解，也就是与0)(.)()(xgxgxf同解．

一般情况下分式不等式是不能去分母的，但若能判定分母恒大于0或恒小于0，则可以去分母．

例3 解不等式152xx

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说明：解无理不等式时，为了化成有理不等式，一般都有乘方．但这时候一定要注意式子的取值范围，否则乘方后会破坏不等式的同解性．例如x=1是不等式10x解集中的一个元素，而x=1就不是不等式2)10(x解集中的元素．

一般地，)()(0)()()(xxfxxxf

0)()]([)(0)(0)()()(2xxxfxxfxxf或

2)]([)(0)(0)()()(xxfxxfxxf

[课内练习]

1. 解不等式02)1(22xxxx

2. 设a>0，解关于x的不等式xaxaa2)(

3. 设函数axxxf1)(2，其中a>0，解不等式1)(xf

（2000年全国高考题.理科）

例4 解不等式xxx964

分析：这是一个指数不等式．注意到其底数4、6、9有如下关系2)32()94(，3296，199，因此类似于解指数方程，可以将不等式两边同除以x9．

说明：xy)32(为减函数，疏忽了这一点，解的最后一步就会出错．解指数不等式一般应先解出xa的范围，进而再求x的范围． 2009-2010第一学期提优竞赛讲义 江苏大明人文教育高一年级数学

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例5 若10a，解不等式1log6logaxxa

说明：由2u，得22logaxxa，注意到xyalog中，0x，因此这部分的结果应是20ax．如仅写成2ax那就不正确了．

例6 使1)(log2xx成立的x的取值范围是___________

分析：不等式的左边是含x的对数式，右边是x的一次式，这种不等式用通常的推理方法是无法求解的，因此考虑图象法．

例7 解不等式 1. 02|3|22xxx

2. 12|2|2xx

3. 3|2||1|xxx 0 x y y=log2(－x)

y= x＋1(x＜0) 2009-2010第一学期提优竞赛讲义 江苏大明人文教育高一年级数学

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说明：本例三个小题的解法在对待含绝对值的不等式上，具有普遍意义，是通法．

链接：一般地，)(|)(|xgxf与)()(xgxf或)()(xgxf同解，)(|)(|xgxf与)()()()(xgxfxgxf同解．有些不等式用图象法既准确又直观，在特定条件下这种做法别的方法不能取代．

例8 设实数a，b满足不等式|||||)(|||baabaa，试确定a，b的正、负．

链接：如a，b是实数，则22||||baba．这是去掉绝对值的又一途径．

[课内练习]

4. 不等式xx321的解是__________

5.

设]1)(2[log2221xxxbabay （0a，0b），求使y为负值的x的取值范围．

6. 求函数xytanlog221的定义域．

7. 1）不等式03||42||23xxx的解集是__________

2）不等式组|22|330xxxxx的解集为__________

3）1|32|2xxx的解集为__________ 0 x y

y=g (x) y=f(x) A B 2009-2010第一学期提优竞赛讲义 江苏大明人文教育高一年级数学

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例9 若关于x的不等式074)54(74)22(222222aaxaaxaaxax的解集是一些区间的并集，且这些区间的长度的和不小于4，则实数a的取值范围为__________

（2001年上海高中数学奥林匹克）

分析：区间的长度取决于数轴上点与点的距离．因此本题应从整体着眼研究根的分布，应用韦达定理．如果求一个个根的数值势必会陷入繁冗的计算之中，解题效率极低．

说明：以上过程稍长，主要是对根的分布情况作了严格论证，解填空题，只要关键之处能把握得准，中间过程可大大压缩．

例10 设0a为常数，对任意1n的正整数01.2.)1(]2.)1(3[51aannnnnn，且有1nnaa，求0a的取值范围．

说明：由于na与1na的差式中含有1)1(n，而1)1(n的符号不确定，因此对n分奇数和偶数讨论就是顺理成章的事，当然也是解这道题的必经之路．

例11 解不等式)0(1)2(axxaa

说明：对含参数的不等式，除去原有的基本解法之外，还要学会讨论，讨论要把握住时机和线索．本题就是以a的取值为线索，条理清楚有分有合，不重复不遗漏，步步紧扣，一气呵成．善于讨论是学好数学的必备基本功． 2009-2010第一学期提优竞赛讲义 江苏大明人文教育高一年级数学

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例12 1. 设1,ma，0ba，证明mmbabaloglog

2. 解不等式xx165log)1(log

[课内练习]

8. 解不等式1log2log3xxxaa （1,0aa） （1999年全国高考试题）

9. 已知0c，设 P：函数xcy在R上单调递减．Q：不等式1|2|cxx的解集为R．如果P和Q有且仅有一个正确，求c的取值范围． （2003年全国高考试题）

10. 已知数列}{na的首项21a，且3121nnaa （zn），求使不等式

9110||nnaa成立的最小正整数n． （2005年上海TI杯高二年级数学奥林匹克）

[课后练习]

1. 解不等式xx1

2. 设集合}2|||{axxA，}1212|{xxxB，若BA，求实数a的取值范围． （1999年上海高考试题）

3. 解不等式)lg()3lg()1lg(xaxx

B类

4. 已知1,0aa，试求使方程)(log)(log222axakxaa有解的k的取值范围．

（1989年全国高考试题） 2009-2010第一学期提优竞赛讲义 江苏大明人文教育高一年级数学

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5. 解不等式0111222xxxx

6. 设nannxfxxxx.)1(...321lg)(，其中a是实数，n是任意给定的自然数，且2n．如果)(xf当]1,(x时有意义，求a的取值范围．

（1990年全国高考试题）

7. 已知对实数a，b，不等式13coscosxbxa无解，求证1||b．

8. Rx，解不等式|4||2||3||2||3||1||4|xxxxxxx

（2000年莫斯科大学数力系入学试题）

9. 解不等式1234.39.26.52xxxxx

C类

10. 解不等式1log.log422284xxxx

11. 已知)2,1(x总满足关于x的不等式1)lg(2lgxaax，求实数a的取值范围．

12. 关于x的不等式axaax32 （0a）在]3,4[上恒成立，求实数a的取值范围．