第04讲 基本不等式(达标检测)(原卷版)

专题四 等式性质与不等式性质、基本不等式 核心素养练习一、核心素养聚焦考点一 逻辑推理-利用不等式的性质证明不等式例题9. 若a ＞b ＞0，c ＜d ＜0，e ＜0，求证：e (a －c )2＞e (b －d )2.考点二 数学运算-利用基本不等式求条件最值例题10.已知x ＞0，y ＞0，且满足8x ＋1y＝1.求x ＋2y 的最小值．考点三 数学建模素养-利用基本不等式解决实际问题例题11、如图，动物园要围成相同面积的长方形虎笼四间，一面可利用原有的墙，其他各面用钢筋网围成．现有36 m 长的钢筋网材料，每间虎笼的长、宽分别设计为多少时，可使每间虎笼面积最大？二、学业质量测评一、选择题1．（2019·全国高一课时练习）若0a b >>，则下列不等式成立的是 （ )A. 2a b a b +>>>B.2a b a b +>>>C. 2a b a b +>>>D. 2a b a b +>>> 2．（2019·全国高一课时练习）已知实数()()120,1,0,1a a ∈∈，记12121M a a N a a ==+-，，则( )A ．M N <B ．M N >C ． M N =D ．大小不确定3．（2019·全国高一课时练习）已知正数,a b 满足10ab =，则2+a b 的最小值是 ( )A. B. C. D. 4．（2019·全国高一课时练习）已知1x >，则41x x +-的最小值为 A ．3 B ．4 C ．5D ．6 5．（2019·全国高一课时练习）已知14a b ≤+≤，12a b -≤-≤，则42a b -的取值范围是（ ）A.[]4,10-B.[]3,6-C.[]2,14-D.[]2,10-6．（2019·全国高一课时练习）盐水溶液的浓度公式为()b p a b a =>盐的量克盐水的量克，向盐水中再加入m 克盐，那么盐水将变得更咸，下面哪一个式子可以说明这一事实（ ） A. bb m a a m +<+ B. bb m a a m +>+ C. bb m a a +< D. bb m a a+>二、填空题7．（2019·全国高一课时练习）已知实数a 、b ，满足02a b <<<，则-a b 的取值范围是_____________.8．（2019·全国高一课时练习）设a =2b =+,a b 的大小关系为 ． 9．（2019·全国高一课时练习）周长为12的矩形，其面积的最大值为____________；10．（2019·全国高一课时练习）已知0,0a b >>，122a b +=，则a b +的最小值为_______________； 三、解答题11．（2019·全国高一课时练习）已知0a >，0b >，试比较11a b M a b =+++与11b a N a b =+++的大小．12．（2019·全国高一课时练习）(1)已知0x >，求42y x x=--的最大值； (2)已知112x -<<，求()()112y x x =+-的最大值．13．（2018·全国高二课时练习）某住宅小区为了使居民有一个优雅、舒适的生活环境，计划建一个八边形的休闲小区，其主体造型的平面图是由两个相同的矩形ABCD 和矩形EFGH 构成的面积是200m 2的十字形区域，现计划在正方形MNPQ 上建一花坛，造价为4 200元/m 2，在四个相同的矩形上(图中阴影部分)铺花岗岩地坪，造价为210元/m 2，再在四个空角上铺草坪，造价为80元/m 2.(1)设总造价为S 元，AD 的边长为x m ，试建立S 关于x 的函数解析式；(2)计划至少要投多少万元才能建造这个休闲小区？。

专题04 基本不等式【知识精讲】一、基本不等式12a b+≤（1）基本不等式成立的条件：0,0a b >>. （2）等号成立的条件，当且仅当a b =时取等号． 2．算术平均数与几何平均数设0,0a b >>，则a 、b 的算术平均数为2a b+，基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数． 3．利用基本不等式求最值问题（1）如果积xy 是定值P ，那么当且仅当x y =时，x ＋y 有最小值是简记：积定和最小)（2）如果和x ＋y 是定值P ，那么当且仅当x y =时，xy 有最大值是24P .(简记：和定积最大) 4．常用结论（1）222(,)a b ab a b +≥∈R （2）2(,)b aa b a b+≥同号 （3）2()(,)2a b ab a b +≤∈R （4）222()(,)22a b a b a b ++≤∈R（5）2222()()(,)a b a b a b +≥+∈R（6）222()(,)24a b a b ab a b ++≥≥∈R（7）222(0,0)1122a b a b ab a b a b++≥≥≥>>+ 二、常见求最值模型 模型一：)0,0(2>>≥+n m mn x nmx ，当且仅当mn x =时等号成立； 模型二：)0,0(2)(>>+≥+−+−=−+n m ma mn ma ax na x m a x n mx ，当且仅当mna x =−时等号成立；模型三：)0,0(2112>>+≤++=++c a bac xc b ax c bx ax x ，当且仅当acx =时等号成立； 模型四：)0,0,0(4)21)()(22mnx n m m n mx n mx m m mx n mx mx n x <<>>=−+⋅≤−=−（，当且仅当mnx 2=时等号成立. 【题型精讲】题型一 利用基本不等式求最值【例1-1】对勾函数 求下列函数的最值（1）已知54x <，则函数1445y x x =+−的最大值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由于5,4504x x <−< ，需要构造函数，才能运用基本不等式.【详解】因为54x <，所以450x −<，540x −>,()1144554545y x x x x =+=−++−−()()11545254535454x x x x ⎡⎤=−−++≤−−⋅=⎢⎥−−⎣⎦当且仅当15454x x−=−，即1x =时，等号成立.故当1x =时，y 取最大值，即max 3y =.故答案为：3.（2）已知54x >，则函数1445y x x =+−的最小值为___________.【答案】3 【解析】 【分析】由于5,4504x x >−> ，需要构造函数，才能运用基本不等式.【详解】因为54x >，所以450x −>，()1144554545y x x x x =+=−++−−()14555745x x ⎡⎤=−++≥=⎢⎥−⎣⎦当且仅当14545x x −=−，即32x =时，等号成立.故当32x =时，y 取最小值，即min7y=.故答案为：3.（3）已知2x ≥，则函数1445y x x =+−的最小值为___________. 【答案】325 【例1-2】最值定理（1）已知01x <<，则(43)x x −取得最大值时x 的值为________．【答案】 23【解析】 【分析】（1）积的形式转化为和的形式，利用基本不等式求最值，并要检验等号成立的条件； 【详解】解：（1）2113(43)4(43)3(43)3323x x x x x x +−⎡⎤−=⨯−≤⨯=⎢⎥⎣⎦， 当且仅当343x x =−，即23x =时，取等号． 故答案为：23.（2）若x ，y 为实数，且26x y +=，则39x y +的最小值为（ ）A ．18B ．27C ．54D ．90【答案】C 【解析】 【分析】利用基本不等式可得答案． 【详解】由题意可得2393322754x y x y +=+≥=⨯=， 当且仅当233x y =时，即2x y =等号成立. 故选：C ．【例1-3】“1”的妙用 （1）若正实数,a b 满足32a b +=，则11a b+的最小值为___________.【答案】22 【解析】 【分析】用“1”的代换凑配出定值后用基本不等式求得最小值． 【详解】1111113(3)2()22222b a a b a b a b a b ⎛⎫+=++=++≥+ ⎪⎝⎭，当且仅当3b a a b =时，即a b ==时，11a b +的最小值为2.故答案为：2.（2）已知0x >，0y >，且22x y +=，则433x y x y++的最小值为__________.【答案】3【解析】 【分析】将目标式中4代换成24x y +，展开由基本不等式可得. 【详解】 因为22x y +=所以432434333333x y x y x y y x x y x y x y ++++=+=++≥+= 当且仅当4322yx x y x y ⎧=⎪⎨⎪+=⎩，即3x y ==时，取等号，所以433x y x y ++的最小值为3故答案为：3【例1-4】分离常数法 当2x >−时，函数2462++=+x x y x 的最小值为___________．【答案】【解析】 【分析】将函数解析式变形为()222y x x =+++，利用基本不等式可求得结果. 【详解】因为2x >−，则20x +>，则()()22224622222x x x y x x x x ++++===+++++≥=当且仅当2x 时，等号成立，所以，当2x >−时，函数2462++=+x xy x 的最小值为故答案为：【例1-5】换元法 已知正数x ，y 满足21133x y x y+=++，则x y +的最小值（ ）AB ．34+CD ．38+ 【答案】A 【解析】 【分析】利用换元法和基本不等式即可求解. 【详解】令3x y m +=，3x y n +=，则211m n+=， 即()()()334m n x y x y x y +=+++=+，∴21121344424444m n m n m n x y m n n m +⎛⎫⎛⎫+==++=+++≥ ⎪⎪⎝⎭⎝⎭33244=+=，当且仅当244m n n m=，即2m =1n =时，等号成立， 故选：A.【例1-6】消元法 已知正实数a ，b 满足220ab a +−=，则4a b +的最小值是（ ）A．2 B ．2 C ．2 D ．6【答案】B 【解析】 【分析】根据220ab a +−=变形得22a b =+，进而转化为a b b b +=++842， 用凑配方式得出()b b ++−+8222，再利用基本不等式即可求解. 【详解】由220ab a +−=，得22a b =+，所以()a b b b b b b +=+=++−⋅=+++888422222222，当且仅当,a b b b ==+++28222，即a b ==22取等号. 故选：B.【例1-7】一元二次不等式法 已知x ，y R ∈，2291x xy y −+=，则3x y +的最大值为________．【解析】 【分析】由229123x y xy x y +=+⋅⋅，可推出15xy ，而222(3)6917x y x xy y xy +=++=+，代入所得结论即可． 【详解】解：2291x xy y −+=，22916x y xy xy ∴+=+，即15xy ，当且仅当3x y =，即15x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩或x y ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩时，等号成立，222112(3)69171755x y x xy y xy ∴+=++=+≤+⨯=，∴3x y +≤3x y ∴+【例1-8】拆项法,,a b c 是不同时为0的实数，则2222ab bca b c +++的最大值为（ ）A ．12 B ．14CD【答案】A 【解析】 【分析】对原式变形，两次利用基本不等式，求解即可. 【详解】因为a ，b 均为正实数，则2222222ab bc a c a c a b c b b ++=≤++++12==≤=， 当且仅当222a c b b +=，且a c =取等，即a b c ==取等号，即则2222ab bc a b c +++的最大值为12，故选：A ．【练习1-1】（1）已知1x >−，求函数27101x x y x ++=+的值域；（2）已知0x >，0y >，且280x y xy +−=，求：x y +的最小值． 【答案】（1）[)9,+∞；（2）18． 【解析】 【分析】（1）设1t x =+，得到0t >，且1x t =−，化简2710451x x y t x t ++==+++，结合基本不等式（对勾函数法），即可求解；（2）由280x y xy +−=，得到821x y +=，化简()822810x yx y x y x y y x ⎛⎫+=++=++ ⎪⎝⎭，结合基本不等式（“1”的妙用），即可求解. 【详解】（1）设1t x =+，因为1x >−，可得0t >，且1x t =−，故22710(1)7(1)10451x x t t y t x t t ++−+−+===+++，因为44t t+≥，可得459t t ++≥，当且仅当2t =时，即1x =时，等号成立．所以函数2710(1)1x x y x x ++=>−+的值域为[)9,+∞．（2）由280x y xy +−=，可得28x y xy +=，即821x y +=，则()82x y x y x y ⎛⎫+=++ ⎪⎝⎭281010218x y y x =++≥+=． 当且仅当28x y y x=，即12x =且6y =时，等号成立， 所以x y +的最小值为18．【练习1-2】已知正实数a ，b 满足26a b +=，则212a b ++的最小值为（ ）A ．45B ．43C ．98D ．94【答案】C 【解析】 【分析】利用乘1法即得. 【详解】 ∵26a b +=，∴()214114122222822a b a b a b a b ⎛⎫+=+=+++ ⎪+++⎝⎭()(42121941582288b a b a +⎡⎤=+++≥⨯+=⎢⎥+⎣⎦， 当且仅当()42222b ab a+=+,即23b =，83a =时，取等号. 故选：C.【练习1-3】已知对任意正实数x ，y ，恒有()2222x y a x xy y +−+≤，则实数a 的最小值是___________. 【答案】2 【解析】 【分析】证明220x xy y −+>，由()2222x y a x xy y +−+≤，即2222x y a x xy y +−+≤，22222211x y xy x xy y x y +=−+−+结合基本不等式求出2222max x y x xy y ⎛⎫+ ⎪−+⎝⎭，即可得出答案. 【详解】解：因为0,0x y >>，则()2220x xy y x y xy −+=−+>， 则()2222x y a x xy y +−+≤，即2222x y a x xy y +−+≤， 又22222211x y xy x xy y x y +=−+−+， 因为222x y xy +≥，所以22112xy x y −≥+，所以22121xy x y ≤−+， 即22222x y x xy y+≤−+，当且仅当x y =时，取等号， 所以2222max2x y x xy y ⎛⎫+= ⎪−+⎝⎭， 所以2a ≥，即实数a 的最小值是2.故答案为：2.【练习1-4】已知正数a ，b 满足426a b ab ++=，则4a b +的最小值为（ ）A ．1BC ．4D ．5【答案】C 【解析】 【分析】由基本不等式得出关于4a b +的不等式，解之可得． 【详解】由已知2146(4)2()22a b a b ab +−+=≤⋅，当且仅当4a b =时等号成立， 所以2(4)8(4)480a b a b +++−≥，(44)(412)0a b a b +−++≥， 又0,0a b >>，所以44a b +≥，即4a b +的最小值是4，此时12,2a b ==． 故选：C ．【练习1-5】设0a >，0b >，若221a b +=2ab −的最大值为（ ）A ．3+B ．C ．1D ．2+【答案】D 【解析】 【分析】法一：设c b =−，进而将问题转化为已知221a c +=，求ac 的最大值问题，再根据基本不等式求解即可；法二：由题知221()14a b +=进而根据三角换元得5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，再根据三角函数最值求解即可. 【详解】解：法一：（基本不等式）设c b =−2ab −=)a b ac −=，条件222211a b a c +=⇔+=，2212a c ac +=+≥，即2≤ac 故选：D.法二：（三角换元）由条件221()14a b +=，故可设cos sin 2a b θθ⎧=⎪⎪⎨⎪=⎪⎩，即cos ,2sin a b θθθ⎧=⎪⎨=⎪⎩， 由于0a >，0b >，故cos 02sin 0θθθ⎧>⎪⎨>⎪⎩，解得506πθ<<所以，5cos ,(0)62sin a b πθθθθ⎧=⎪<<⎨=⎪⎩，22sin 22ab θ−=≤当且仅当4πθ=时取等号.故选：D.题型二 求数、式的范围【例2-1】若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则 (1)ab 的取值范围是__ ； (2)a ＋b 的取值范围是__ __． 【答案】（1）_[9，＋∞) （2）[6，＋∞) [解析] (1)∵ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3，令t ＝ab >0，∴t 2－2t －3≥0，∴(t －3)(t ＋1)≥0． ∴t ≥3即ab ≥3，∴ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． (2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤(a ＋b 2)2．今t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0． ∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． 【例2-2】已知0m >，0xy >，当2x y +=时，不等式24mx y+≥恒成立，则m 的取值范围是 。

188****71572.2基本不等式(精讲)一.重要不等式对于任意实数a ，b ，有a 2+b 2≥2ab ，当且仅当a =b 时，等号成立.二．基本不等式1.定义：如果a >0，b >0，则ab ≤a +b 2，当且仅当a =b 时，等号成立，其中a +b 2叫做正数a ，b 的算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的几何平均数．2．常用变形(1)ab ≤a +b 22，a ，b ∈R ，当且仅当a =b 时，等号成立．(2)a +b ≥2ab ，a ，b 都是正数，当且仅当a =b 时，等号成立．3.利用基本不等式求最值必须满足三个条件才可以进行，即“一正、二定、三相等”.①一正：各项必须为正.②二定：各项之和或各项之积为定值.③三相等：必须验证取等号时条件是否具备.三.利用基本不等式求最值(1)已知x ，y 都是正数，如果积xy 等于定值P ，那么当x =y 时，和x +y 有最小值2P .(2)已知x，y都是正数，如果和x+y等于定值S，那么当x=y时，积xy有最大值14S2.一．利用基本不等式求条件最值的常用方法1.配凑法求最值：主要是配凑成“和为常数”或“积为常数”的形式.2.常数代换法：主要解决形如“已知x+y=t(t为常数)，求a x+b y的最值”的问题，先将a x+b y转化为ax+by·x+y t，再用基本不等式求最值.3.当所求最值的代数式中的变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值.4.构建目标式的不等式求最值，在既含有和式又含有积式的等式中，对和式或积式利用基本不等式，构造目标式的不等式求解.二．利用基本不等式比较实数大小(1)利用基本不等式比较大小，常常要注意观察其形式(和与积).(2)利用基本不等式时，一定要注意条件是否满足a>0，b>0.三．利用基本不等式解决实际问题的步骤1.先理解题意，设变量.设变量时一般把要求最大值或最小值的变量定为函数.2.建立相应的函数关系式.把实际问题抽象为函数的最大值或最小值问题.3.在定义域内，求出函数的最大值或最小值.4.正确写出答案.四．利用基本不等式证明不等式1.无附加条件的不等式的证明，其解题思路是：观察要证不等式的结构特征，若不能直接使用基本不等式，则要结合左、右两边的结构特征，进行拆项、变形、配凑(加减项或乘除某个实系数)等，使之满足使用基本不等式的条件．2.有附加条件的不等式的证明，其解题思路是：观察已知条件与要证不等式之间的关系，条件的巧妙代换是一种较为重要的变形．另外，解题过程中要时刻注意等号能否取到．　考点一直接型1.【例1-1】(2023春·陕西榆林)已知a>0,b>0,a+4b=2，则ab的最大值为( )A.14B.12C.1D.22.【例1-2】(2023·陕西)已知0<x<1，则当x(5-5x)取最大值时，x的值为( )A.54B.12C.13D.34188****7157【一隅三反】1.(2023春·湖南邵阳)已知a >0,b >0，a +b =6，则ab 的最大值为( )A.6B.9C.12D.362.(2023·高一课时练习)已知x ,y ∈R +,x +y =2,c =xy ，那么c 的最大值为( )A.1B.12C.22D.143.(2023福建省)已知nm =2，则m 2+n 2的最小值为( )A.1B.2C.3D.44.(2023安徽)已知x <0，则x +1x的最大值为( )A.2 B.-12 C.-2 D.12考点二替换型3.【例2-1】(2023·江西景德镇)已知x ，y ∈R *，x +2y =1，则1x +2y的最小值( )A.8 B.9 C.10D.114.【例2-2】(2023春·浙江温州)已知正数a ，b 满足a +b =1，则a +6b +3ab最小值为( )A.25 B.19+26 C.26D.195.【例2-3】(2023·浙江)已知正实数x ,y 满足x +2y =1，则1x +1+2y +1的最小值为( )A.12+2 B.3+22 C. 94 D.34156.【例2-4】(2023春·河南周口·高一校联考期末)已知a >0，b >0，2a +1b=1，则a 2+4b 2的最小值为( )A.8B.16C.24D.32【一隅三反】1.(2023西藏)已知a>0，b>0，a+b=2，则y=1a+4b的最小值是( )A.72B.4C.92D.52.(2023春·福建福州)若正数x,y满足x+2y=2，则yx+1y的最小值为( )A.2+1B.22+1C.2D.523.(2023春·江苏南京)已知非负数x,y满足x+y=1，则1x+1+9y+2的最小值是___________.4.(2023·重庆)已知正数m、n，满足2m+3n-mn=0，则2m+3n的最小值为_________ _.考点三配凑型7.【例3-1】(2023·广西)函数f x =2x2+x+3x x<0的最大值为________.8.【例3-2】(2022·江苏·高一专题练习)当x>0时，函数y=3+x+x21+x的最小值为( )A.23B.23-1C.23+1D.4【一隅三反】1.(2023·全国·高一专题练习)函数y=x2+x+3x-2x>2的最小值为_________．2.(2023·福建)已知x>-1，则函数y=x2+x+4x+1的最小值是______．3.(2022秋·上海浦东新·高一校考期中)函数y=2xx2-x+4的值域是__________．考点四消元型188****71579.【例4】(2023·全国·高一专题练习)已知x >0，y >0，且xy +2x +y =6，则2x +y 的最小值为( )．A.4B.6C.8D.12【一隅三反】1.(2023·北京)设b >0,ab +b =1,则a 2b 的最小值为( )A.0B.1C.2D.42.(2023·重庆沙坪坝)已知x >0,y >0,xy +2x -y =10，则x +y 的最小值为( )A.22-1B.22C.42D.42-13.(2023·全国·高一专题练习)已知x >0，y >0，若x +3y +4xy =6，则x +3y 的最小值为______.考点五基本不等式解决恒成立问题10.【例5-1】(2023·江苏)若对x >0，y >0，有(x +2y )⋅2x +1y≥m 恒成立，则m 的取值范围是( )A.m ≤4 B.m >4 C.m <0D.m ≤811.【例5-2】(2023浙江)若两个正实数x ,y 满足1x +4y =1，且不等式x +y 4<m 2-3m 有解，则实数m 的取值范围是( )A.(-1,4)B.(-4,1)C.(-∞,-1)∪(4,+∞)D.(-∞,0)∪(3,+∞)【一隅三反】1.(2022秋·黑龙江哈尔滨)已知x >0，y >0，且2x +1y=1，若2x +y >m 恒成立，则实数m 的取值范围是( )A.-∞,9 B.7,+∞ C.9,+∞D.-∞,7 2.(2023·重庆沙坪坝)已知正实数x ，y 满足2x +3y -xy =0，若3x +2y ≥t 恒成立，则实数t 的取值范围是( )A.t≤25B.t<25C.t≤24D.t≥243.(2023·北京)已知x≥4，y≥4，且x+4y-xy=0，若不等式a≤x+y恒成立，则a的最大值为______．考点六基本不等式的实际应用12.【例6】(2023春·湖南)某社区计划在一块空地上种植花卉，已知这块空地是面积为1800平方米的矩形ABCD，为了方便居民观赏，在这块空地中间修了如图所示的三条宽度为2米的人行通道，则种植花卉区域的面积的最大值是( )A.1208平方米B.1448平方米C.1568平方米D.1698平方米【一隅三反】1.(2023·湖南)近日，随着新冠肺炎疫情在多地零星散发，为最大程度减少人员流动，减少疫情发生的可能性，高邮政府积极制定政策，决定政企联动，鼓励企业在国庆期间留住员工在本市过节并加班追产，为此，高邮政府决定为波司登制衣有限公司在国庆期间加班追产提供x x∈0,20(万元)的专项补贴．波司登制衣有限公司在收到高邮政府x(万元)补贴后，产量将增加到t=(x+3) (万件)．同时波司登制衣有限公司生产t(万件)产品需要投入成本为7t+81t+3x(万元)，并以每件8+42 t元的价格将其生产的产品全部售出．注：收益=销售金额+政府专项补贴-成本．(1)求波司登制衣有限公司国庆期间，加班追产所获收益y(万元)关于政府补贴x(万元)的表达式；(2)高邮政府的专项补贴为多少万元时，波司登制衣有限公司国庆期间加班追产所获收益y(万元)最大？2.2(2023春·广西南宁·高一校联考开学考试)某游泳馆拟建一座占地面积为200平方米的矩形188****7157泳池，其平面图形如图所示，池深1米，四周的池壁造价为400元/米，泳池中间设置一条隔离墙，其造价为100元/米，泳池底面造价为60元/平方米(池壁厚忽略不计)，设泳池的长为x 米，写出泳池的总造价f x ，问泳池的长为多少米时，可使总造价f x 最低，并求出泳池的最低造价．考点七利用基本不等式比较大小13.【例7-1】(2023·甘肃)已知a 、b 为正实数，A =a +b 2,2H =1a +1b,G =ab ，则( )A.G ≤H ≤A B.H ≤G ≤A C.G ≤A ≤HD.H ≤A ≤G 14.【例7-2】(2022秋·湖南张家界·高一张家界市民族中学校考阶段练习)设0<a <b ，则下列不等式成立的是( )A.ab <a +b 2<a <b B.a <a +b 2<ab <b C.ab <a <a +b 2<b D.a <ab <a +b 2<b 【一隅三反】1.(2023·云南)若0<a <1，0<b <1，a ≠b ，则a +b ，2ab ，2ab ，a 2+b 2中最大的一个是______．2.(2023·河北邯郸·高一校考期末)(多选)若a >0,b >0，且a ≠b ，则( )A.a +b 2>a 2+b 22B.a +b 2<a 2+b 22C.ab ≤a +b 2 D.ab <a +b 23.(2023·河北唐山·)(多选)已知b <a <0，则下列不等式正确的是( )A.b 2>abB.a +1b <b +1aC.b a +a b >2D.a 2+1a <b 2+1b考点八基本不等式证明不等式15.【例8-1】(2023·河南郑州·高一校考阶段练习)若0<a <b ，则下列不等式成立的是( )A.ab <a <a +b 2<bB.ab ≤a +b 2<a <b C.a <ab <a +b 2<b D.a <a +b 2≤ab <b 16.【例8-2】(2023·江苏)已知a >0，b >0，c >0，且a +b +c =1．求证：a +1a+b +1b +c +1c ≥10．17.【例8-3】(2023·全国·高一假期作业)已知a >0，b >0，c >0，求证：bc a +ca b+ab c ≥a +b +c .【一隅三反】1.(2023·吉林长春)下列不等式恒成立的是( )A.a +b ≥-2ab ；B.a +b ≤2ab ；C.a 2+b 2≤2ab ；D.a 2+b 2≥-2ab ．2.(2023·全国·高一假期作业)已知a >0，b >0，且a +b =1，求证：1+1a 1+1b≥9.3.(2023·贵州黔南)设a，b，c均为正数，且a+b+c=1，证明：(1)a2+b2+c2≥13；(2)a2b+b2c+c2a≥1.188****7157。

课时过关检测（四） 基本不等式A 级——基础达标1．“a >b >0”是“ab <a 2＋b 22”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：选A 由a >b >0，可知a 2＋b 2>2ab ，充分性成立，由ab <a 2＋b 22，可知a ≠b ，a ，b ，∈R ，故必要性不成立．2．已知x ＞0，y ＞0，且x ＋2y ＝2，则xy ( ) A ．有最大值为1 B ．有最小值为1 C ．有最大值为12D ．有最小值为12解析：选C 因为x ＞0，y ＞0，x ＋2y ＝2，所以x ＋2y ≥2x ·2y ，即2≥22xy ，xy ≤12，当且仅当x ＝2y ，即x ＝1，y ＝12时，等号成立．所以xy 有最大值，且最大值为12.3．(2021·湖北八校第一次联考)已知x ＞0，y ＞0，且1x ＋9y ＝1，则x ＋y 的最小值为( )A ．12B ．16C ．20D ．24解析：选B 法一：由题意x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫1x ＋9y (x ＋y )＝1＋y x ＋9x y ＋9≥1＋2y x ×9xy ＋9＝16，当且仅当⎩⎨⎧x ＞0，y ＞0，1x ＋9y ＝1，y x ＝9x y ，即{x ＝4，y ＝12时取等号，故选B.法二：由1x ＋9y ＝1得9x ＋y －xy ＝0，即(x －1)(y －9)＝9，可知x ＞1，y ＞9，所以x ＋y ＝(x －1)＋(y －9)＋10≥2(x －1)(y －9)＋10＝16，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧x ＞1，y ＞9，1x ＋9y ＝1，x －1＝y －9＝3，即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝4，y ＝12时取等号，故选B.4．已知f (x )＝x 2＋3x ＋6x ＋1(x ＞0)，则f (x )的最小值是( )A ．2B ．3C ．4D ．5解析：选D f (x )＝x 2＋3x ＋6x ＋1＝(x ＋1)2＋x ＋1＋4x ＋1＝x ＋1＋4x ＋1＋1，因为x ＞0，所以x ＋1＞0，则x ＋1＋4x ＋1＋1≥24＋1＝5⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＋1＝4x ＋1，即x ＝1时取“＝”，故f (x )的最小值是5.故选D. 5．(多选)(2021·泉州市高三模拟)若x ≥y ，则下列不等式中正确的是( ) A ．2x ≥2y B.x ＋y2≥xyC ．x 2≥y 2D ．x 2＋y 2≥2xy解析：选AD 由指数函数的单调性可知，当x ≥y 时，有2x ≥2y ，故A 正确； 当0>x ≥y 时，x ＋y2≥xy 不成立，故B 错误；当0≥x ≥y 时，x 2≥y 2不成立，故C 错误；x 2＋y 2－2xy ＝(x －y )2≥0成立，即x 2＋y 2≥2xy 成立，故D 正确． 6．(多选)若正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则下列选项中正确的是( ) A ．ab 有最大值14B.a ＋b 有最小值 2C.1a ＋1b 有最小值4 D ．a 2＋b 2有最小值22解析：选ABC 因为a ＞0，b ＞0，且a ＋b ＝1，所以ab ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22，所以ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时取等号， 所以ab 有最大值14，所以选项A 正确；a ＋b ≤ 2 a ＋b 2＝2，当且仅当a ＝b ＝12取等号，所以a ＋b 的最小值是2，所以B 正确；因为1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝1ab ≥4，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以1a ＋1b 有最小值4，所以C正确；因为a 2＋b 2≥(a ＋b )22＝12，当且仅当a ＝b ＝12时取等号，所以a 2＋b 2的最小值不是22，所以D 错误．故选A 、B 、C.7．若x >1，则x ＋4x －1的最小值为________． 解析：x ＋4x －1＝x －1＋4x －1＋1≥4＋1＝5. 当且仅当x －1＝4x －1，即x ＝3时等号成立． 答案：58．当3＜x ＜12时，函数y ＝(x －3)(12－x )x的最大值为________．解析：y ＝(x －3)(12－x )x ＝－x 2＋15x －36x＝－⎝⎛⎭⎫x ＋36x ＋15≤－2 x ·36x＋15＝3， 当且仅当x ＝36x ，即x ＝6时取等号， 所以y max ＝3. 答案：39．某游泳馆拟建一座平面图形为矩形且面积为200平方米的泳池，池的深度为1米，池的四周墙壁建造单价为每米400元，中间一条隔壁建造单价为每米100元，池底建造单价每平方米60元(池壁厚忽略不计)．则泳池的长设计为______米时，可使总造价最低．解析：设泳池的长为x 米，则宽为200x 米，总造价f (x )＝400×⎝⎛⎭⎫2x ＋2×200x ＋100×200x ＋60×200＝800×⎝⎛⎭⎫x ＋225x ＋12 000≥1 600x ·225x ＋12 000＝36 000(元)，当且仅当x ＝225x(x >0)，即x ＝15时等号成立．即泳池的长设计为15米时，可使总造价最低．答案：1510．若a >0，b >0，且a ＋b ＝4，则下列不等式恒成立的是________(填序号)．①1ab ≤14；②1a ＋1b≤1；③ab ≥2；④a 2＋b 2≥8. 解析：4＝a ＋b ≥2ab (当且仅当a ＝b 时，等号成立)，即ab ≤2，ab ≤4，1ab ≥14，故①③不成立；1a ＋1b ＝a ＋b ab ＝4ab ≥1，故②不成立；a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝16－2ab ≥8，故④成立．答案：④11．(1)当x <32时，求函数y ＝x ＋82x －3的最大值；(2)设0<x <2，求函数y ＝x (4－2x )的最大值． 解：(1)y ＝12(2x －3)＋82x －3＋32＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2x 2＋83－2x ＋32.当x <32时，有3－2x >0，∴3－2x 2＋83－2x≥23－2x 2·83－2x＝4， 当且仅当3－2x 2＝83－2x ，即x ＝－12时取等号．于是y ≤－4＋32＝－52，故函数的最大值为－52.(2)∵0<x <2，∴2－x >0， ∴y ＝x (4－2x )＝2·x (2－x )≤ 2·x ＋2－x 2＝2，当且仅当x ＝2－x ，即x ＝1时取等号， ∴当x ＝1时，函数y ＝x (4－2x )的最大值为 2.12．已知x ＞0，y ＞0，且2x ＋8y －xy ＝0，求： (1)xy 的最小值； (2)x ＋y 的最小值．解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1. 又x ＞0，y ＞0，则1＝8x ＋2y ≥28x ·2y ＝8xy，得xy ≥64， 当且仅当8x ＝2y ，即x ＝16且y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.(2)由2x ＋8y －xy ＝0，得8x ＋2y ＝1， 则x ＋y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋2y (x ＋y ) ＝10＋2x y ＋8yx ≥10＋22x y ·8y x ＝18.当且仅当2x y ＝8yx ，即x ＝12且y ＝6时等号成立，所以x ＋y 的最小值为18.B 级——综合应用13.《几何原本》卷2的几何代数法(以几何方法研究代数问题)成了后世西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数的公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有如图所示图形，点F 在半圆O 上，点C 在直径AB 上，且OF ⊥AB ，设AC ＝a ，BC ＝b ，则该图形可以完成的无字证明为( )A.a ＋b2≥ab (a >0，b >0)B ．a 2＋b 2≥2ab (a >0，b >0) C.2ab a ＋b ≤ab (a >0，b >0) D.a ＋b 2≤a 2＋b 22(a >0，b >0) 解析：选D 由AC ＝a ，BC ＝b ，可得圆O 的半径r ＝a ＋b2，又OC ＝OB －BC ＝a ＋b 2－b ＝a －b2，则FC 2＝OC 2＋OF 2＝(a －b )24＋(a ＋b )24＝a 2＋b 22， 再根据题图知FO ≤FC ，即a ＋b 2≤a 2＋b 22，当且仅当a ＝b 时取等号． 故选D.14．已知a >b >0，则a 2＋16b (a －b )的最小值为( )A ．15B ．16C ．17D ．26解析：选B 因为a >b >0，所以a －b >0.所以b (a －b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋(a －b )22＝a 24.所以a 2＋16b (a －b )≥a 2＋64a 2≥2a 2·64a2＝16. 当a 2＝64a 2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立．所以a 2＋16b (a －b )的最小值为16.故选B.15．某厂家拟定在2021年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m (m ≥0)万元满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)．如果不搞促销活动，那么该产品的年销量只能是1万件．已知2021年生产该产品的固定投入为8万元，每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2021年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2021年的促销费用投入多少万元时，厂家利润最大？ 解：(1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1(万件)， 所以1＝3－k ⇒k ＝2，所以x ＝3－2m ＋1(m ≥0)，每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)， 所以2021年的利润y ＝1.5x ×8＋16x x －8－16x －m ＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋(m ＋1)＋29(m ≥0)．(2)因为m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8，所以y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)．故该厂家2021年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．C 级——迁移创新16．某单位拟建一个扇环形状的花坛(如图所示)，该扇环是由以点O 为圆心的两个同心圆弧和延长后通过点O 的两条直线段围成．按设计要求，扇环的周长为30米，其中大圆弧所在圆的半径为10米．设小圆弧所在圆的半径为x 米，圆心角为θ(弧度)．已知在花坛的边缘(实线部分)进行装饰时，直线部分的装饰费用为4元/米，弧线部分的装饰费用为9元/米．设花坛的面积与装饰总费用的比值为y ，求当y 最大时，x 的值．解：由题意得30＝θ(10＋x )＋2(10－x )，所以θ＝10＋2x 10＋x ，花坛的面积为12θ(102－x 2)＝(5＋x )(10－x )＝－x 2＋5x ＋50(0＜x ＜10)，装饰总费用为9θ(10＋x )＋8(10－x )＝170＋10x ，所以花坛的面积与装饰总费用的比值y ＝－x 2＋5x ＋50170＋10x ＝－x 2－5x －5010(17＋x ).令t ＝17＋x ，t ∈(17,27)，则y ＝3910－110⎝⎛⎭⎫t ＋324t ≤310，当且仅当t ＝18时取等号，此时x ＝1，θ＝1211.所以当x ＝1时，花坛的面积与装饰总费用的比值y 最大.。

第04讲文言文翻译（基础题和拔高题）自古文体变易多矣。

梁简文帝及庾肩吾之属，始为轻浮绮靡之词，名曰宫体。

自后沿袭，务于妖艳，谓之摛锦布绣焉。

其有敦尚风格，颇存规正者，不复为当时所重。

讽谏比兴，由是废缺。

物极则变，理之常也。

圣唐受命，斫雕为朴，开元之际，王纲复举，浅薄之风兹焉渐革。

其时作者，凡十数辈颇能以雅参丽，以古杂今，彬彬然，灿灿然，近建安之遗范矣。

南阳岑公，声称尤著。

公讳参，代为本州冠族。

曾太公文本，大父长倩，伯父羲，皆以学术德望，官至台辅。

早岁孤贫，能自砥砺，遍览史籍，尤工缀文，属辞尚清，用意尚切，其有所得，多入佳境。

每一篇绝笔，则人人传写，虽闾里士庶，戎夷蛮貊，莫不讽诵吟习焉。

时议拟公于吴均、何逊，亦可谓精当矣。

天宝三载，进士高第，解褐右内率府兵曹参军，转右威卫录事参军。

入为右补阙，频上封章，指述权佞。

改太子中允兼殿中侍御史，充关西节度判官。

圣上潜龙藩邸总戎陕服参佐僚史皆一时之选由是委公以书奏之任出为嘉州刺史。

副元帅相国杜公鸿渐，表公职方郎中兼侍御史，列于幕府。

无几使罢，寓居于蜀。

时四川节度因乱（注）受职，本非朝旨，其部统之内，文武衣冠附会阿谀以求自结，皆曰：中原多故，剑外小康，可以庇躬，无暇向阙。

公乃著《招蜀客归》一篇，申明逆顺之理，折挫邪佞之计，有识者感叹，奸谋者惭沮，播德泽于梁益，畅皇风于邛僰。

旋轸有日，犯俟时，吉往凶归，呜呼不禄。

岁月逾迈，殆三十年。

嗣子佐公，复纂前绪，亦以文采，登名翰场，有公遗文，贮之筐箧。

确忝同声后辈，受命编次，因令缮录，区分类聚，勒成八卷。

倘后之词人有所观览，亦由聆广乐者识清商之韵，游名山者仰翠微之色，足以莹彻心府，发挥高致焉。

把文中画横线的句子翻译成现代汉语。

（1）其有敦尚风格，颇存规正者，不复为当时所重。

（2）中原多故，剑外小康，可以庇躬，无暇向阙。

阅读下面的文言文，完成各题。

为司徒公与宁南侯书侯方域顷待罪师中，每接音徽，嘉壮志，又未尝不叹以将军之材武，所向无前，而掎角无人，卒致一篑遗恨。

2.2　基本不等式（同步检测）一、选择题1.(多选)已知实数a ，b ，下列不等式一定正确的有( )A.a ＋b 2≥abB.a ＋1a ≥2C.|ab ＋ba|≥2 D.2(a 2＋b 2)≥(a ＋b)22.(多选)下列条件可使b a ＋ab ≥2成立的是( )A .ab>0 B.ab<0C .a>0，b>0D.a<0，b<03.若实数a ，b 满足1a ＋2b ＝ab ，则ab 的最小值为( )A.2B.2C.22D.44.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 2 m 2、形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理(够用且浪费最少)的是( )A.6.5 m B.6.8 m C.7 mD.7.2 m5.“ab ＜a 2＋b 22”是“a ＞b ＞0”的( )A.充分不必要条件B.必要不充分条件C.充要条件D.既不充分也不必要条件6.已知x ＞0，y ＞0，且x ＋y ＋xy ＝3，则x ＋y 的最小值为（ ）A.2B.3C.22D.237.如果正数a ，b ，c ，d 满足a ＋b ＝cd ＝4，那么( )A .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一B .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值唯一C .ab ≤c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一D .ab ≥c ＋d ，且等号成立时，a ，b ，c ，d 的取值不唯一8.已知a>1，则a ＋12，a ，2a a ＋1三个数的大小顺序是( )A.a＋12<a<2aa＋1B.a<a＋12<2aa＋1C.2aa＋1<a<a＋12D.a<2aa＋1≤a＋129.若－4<x<1，则y＝x2－2x＋22x－2( )A.有最小值1B.有最大值1C.有最小值－1D.有最大值－1二、填空题10.已知x＞3，则x＋4x－3的最小值为________11.设x＞0，则函数y＝x＋22x＋1－32的最小值为________12.若把总长为20 m的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是________m2．13.二十大报告中提到：“我国制造业规模稳居世界第一”．某公司为提高产能，购买一批新型设备，据市场分析，每台机器生产的产品可获得的总利润y(单位：万元)与机器运转时间x(单位：年)的关系为y＝－x2＋18x－25(x∈N*)，则当每台机器运转______年时，年平均利润最大，最大值是______万元．三、解答题14.设a，b，c都是正数，求证：b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.已知a，b，c都是正数，且abc＝1，证明：1a＋1b≥2c．16.已知正数x，y满足4x＋y－xy＋8＝0．求：(1)xy的最小值；(2)x＋y的最小值．参考答案及解析：一、选择题1.CD　解析：当a＜0，b＜0时，a＋b2≥ab不成立；当a＜0，时，a＋1a≥2不成立；因为|a b＋b a|＝|a b|＋|b a|≥2，故C正确；因为2(a2＋b2)－(a＋b)2＝a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，所以2(a2＋b2)≥(a＋b)2，故D正确．故选CD．2.ACD　解析：当且仅当ba＝ab>0，即a，b同号时等号成立．故选ACD．3.C　解析：由ab＝1a＋2b≥22ab，得ab≥22，当且仅当1a＝2b时取“＝”．4.C　解析：设两直角边分别为a，b，直角三角形的框架的周长为l，则12ab＝2，所以ab＝4，l＝a＋b＋a2＋b2≥2ab＋2ab＝4＋22≈6.828(m)．因为要求够用且浪费最少，所以选7 m最合理．5.B　解析：∵a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立，∴ab＜a2＋b22⇒a≠b，a，b∈R，∴充分性不成立．∵a＞b＞0⇒a2＋b2＞2ab，∴必要性成立．故选B．6.A　解析：∵x＋y＋xy＝3，∴y＋1＝4x＋1，∴x＋y＝x＋1＋4x＋1－2≥2(x＋1)4x＋1－2＝2，当且仅当x＋1＝4x＋1，即x＝y＝1时取等号．故选A．7.A　解析：由a＋b≥2ab可知ab≤4，当且仅当a＝b＝2时等号成立，又cd≤(c＋d2)2，故c＋d≥4，当且仅当c＝d＝2时等号成立，∴c＋d≥ab．故选A．8.C　解析：当a，b是正数时，2aba＋b≤ab≤a＋b2≤a2＋b22，令b＝1，得2aa＋1≤a≤a＋12．又a>1，即a≠b，故上式不能取等号，故选C．9.D　解析：y＝x2－2x＋22x－2＝12[(x－1)＋1x－1]，又∵－4<x<1，∴x－1<0．∴－(x－1)>0．故y＝－12[－(x－1)＋1－(x－1)]≤－1．当且仅当x－1＝1x－1，即x＝0时等号成立．故选D．二、填空题10.答案：7解析：∵x＞3，∴x－3＞0，4x－3＞0．∴x＋4x－3＝x－3＋4x－3＋3≥2(x－3)·4x－3＋3＝7，当且仅当x－3＝4x－3，即x＝5时，x＋4x－3取得最小值7．11.答案：0　解析：y＝x＋22x＋1－32＝(x＋12)＋1x＋12－2≥2(x＋12)·1x＋12－2＝0，当且仅当x＋1 2＝1x＋12，即x＝12时等号成立．所以函数的最小值为0．12.答案：25　解析：设矩形的一边为x m，矩形场地的面积为y m2，则另一边为12×(20－2x)＝(10－x)m，则y＝x(10－x)≤[x＋(10－x)2]2＝25，当且仅当x＝10－x，即x＝5时，y取最大值25．13.答案：5，8　解析：每台机器运转x年的年平均利润为yx＝18－(x＋25x)，且x＞0，故y x≤18－225＝8，当且仅当x＝5时等号成立，此时年平均利润最大，最大值为8万元．三、解答题14.证明：因为a＞0，b＞0，c＞0，所以ba＋ab≥2，ca＋ac≥2，cb＋bc≥2，所以(b a＋a b)＋(c a＋a c)＋(c b＋b c)≥6，当且仅当b a＝a b，c a＝a c，c b＝b c，即a＝b＝c时，等号成立，所以b＋ca＋c＋ab＋a＋bc≥6．15.证明：因为a，b，c都是正数，且abc＝1，所以c＝1 ab．所以1a＋1b≥21ab＝2c，当且仅当1a＝1b，即a＝b＝1c时取等号．故1a＋1b≥2c成立．16.解：(1)由题意知x，y为正数，xy－8＝4x＋y≥24xy＝4xy，当且仅当4x＝y，即x＝1＋3，y＝4＋43时等号成立，则(xy)2－4xy－8≥0，解得xy≥2＋23或xy≤2－23(舍去)，所以xy≥(2＋23)2＝16＋83，即xy的最小值为16＋83．(2)由题意知x，y为正数，4x－xy＝－y－8，故x＝y＋8 y－4，因为x＞0，y＞0，所以y＞4，则x＋y＝y＋8y－4＋y＝y＋12y－4＋1＝(y－4)＋12y－4＋5．因为y＞4，y－4＞0，12y－4＞0，(y－4)＋12y－4＋5≥43＋5，即x＋y≥43＋5，当且仅当y－4＝12y－4，即y＝4＋23时等号成立．所以x＋y的最小值为5＋43．。

第四讲 基本不等式知识梳理·双基自测知识梳理知识点一 重要不等式a 2＋b 2≥__2ab __(a ，b ∈R )(当且仅当__a ＝b __时等号成立)． 知识点二 基本不等式ab ≤a ＋b2(均值定理) (1)基本不等式成立的条件：__a >0，b >0__； (2)等号成立的条件：当且仅当__a ＝b __时等号成立；(3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的__算术平均数__，ab 叫做正数a ，b 的__几何平均数__.知识点三 利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当__x ＝y __时，x ＋y 有最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当x ＝y 时，xy 有最大值S 24.(简记：“和定积最大”)归纳拓展常用的几个重要不等式(1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)．(当且仅当a ＝b 时取等号) (2)ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )．(当且仅当a ＝b 时取等号)(3)⎝⎛⎭⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )．(当且仅当a ＝b 时取等号) (4)b a ＋ab ≥2(a ，b 同号)．(当且仅当a ＝b 时取等号)． (5)21a ＋1b≤ab ≤a ＋b2≤a 2＋b 22(a ，b >0当且仅当a ＝b 时取等号)． 双基自测题组一 走出误区1．判断下列结论是否正确(请在括号中打“√”或“×”)(1)函数f (x )＝cos x ＋4cos x，x ∈⎝⎛⎭⎫0，π2的最小值等于4.( × ) (2)“x >0且y >0”是“x y ＋yx ≥2”的充要条件．( × )(3)(a ＋b )2≥4ab (a ，b ∈R )．( √ )(4)若a >0，则a 3＋1a2的最小值为2a .( × )(5)不等式a 2＋b 2≥2ab 与a ＋b2≥ab 有相同的成立条件．( × )(6)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．( √ ) 题组二 走进教材2．(必修5P 100练习T1改编)若x <0，则x ＋1x ( D )A ．有最小值，且最小值为2B ．有最大值，且最大值为2C ．有最小值，且最小值为－2D ．有最大值，且最大值为－2[解析] 因为x <0，所以－x >0，－x ＋1－x ≥2，当且仅当x ＝－1时，等号成立，所以x＋1x≤－2. 3．(必修5P 100练习T3改编)设0<a <b ，则下列不等式中正确的是( B ) A ．a <b <ab <a ＋b2B ．a <ab <a ＋b2<bC ．a <ab <b <a ＋b2D ．ab <a <a ＋b2<b[解析] 解法一(特值法)：代入a ＝1，b ＝2，则有0<a ＝1<ab ＝2<a ＋b2＝1.5<b ＝2.解法二(直接法)：我们知道算术平均数a ＋b2与几何平均数ab 的大小关系，其余各式作差(作商)比较即可，答案为B ．4．(必修5P 100A 组T2改编)若把总长为20 m 的篱笆围成一个矩形场地，则矩形场地的最大面积是__25__m 2.[解析] 设矩形的一边为x m ，面积为y m 2， 则另一边为12×(20－2x )＝(10－x )m ，其中0<x <10，∴y ＝x (10－x )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋(10－x )22＝25， 当且仅当x ＝10－x ，即x ＝5时，y max ＝25. 题组三 走向高考5．(2020·江苏，12,5分)已知5x 2y 2＋y 4＝1(x ，y ∈R )，则x 2＋y 2的最小值是__45__.[解析] 由5x 2y 2＋y 4＝1知y ≠0，∴x 2＝1－y 45y 2，∴x 2＋y 2＝1－y 45y 2＋y 2＝1＋4y 45y 2＝15y 2＋4y 25≥2425＝45，当且仅当15y 2＝4y 25，即y 2＝12，x 2＝310时取“＝”．故x 2＋y 2的最小值为45. 6．(2019·天津，13)设x >0，y >0，x ＋2y ＝4，则(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为__92__.[解析] (x ＋1)(2y ＋1)xy ＝2xy ＋x ＋2y ＋1xy ＝2xy ＋5xy ＝2＋5xy .∵x >0，y >0，∴4＝x ＋2y ≥2x ·2y ，解得0<xy ≤2， 当且仅当x ＝2y ＝2，即x ＝2且y ＝1时“＝”成立． 此时1xy ≥12，∴2＋5xy ≥2＋52＝92，故(x ＋1)(2y ＋1)xy 的最小值为92.考点突破·互动探究考点一 利用基本不等式求最值——多维探究 角度1 拼凑法求最值例1 (1)(2020·天津，14,5分)已知a >0，b >0，且ab ＝1，则12a ＋12b ＋8a ＋b的最小值为__4__.(2)(2021·吉林模拟)已知x >2，若f (x )＝x ＋1x －2在x ＝n 处取得最小值，则n ＝( B )A ．52B ．3C ．72D ．4(3)(2021·重庆南开中学质检)已知实数a ，b >1，且满足ab －a －b ＝5，则2a ＋3b 的最小值为__17__.[解析] (1)12a ＋12b ＋8a ＋b ＝a ＋b 2ab ＋8a ＋b ＝a ＋b 2＋8a ＋b ≥2a ＋b 2×8a ＋b＝4，当且仅当a ＋b 2＝8a ＋b ，即(a ＋b )2＝16，也即a ＋b ＝4时取等号．又∵ab ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2＋3，b ＝2－3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2－3，b ＝2＋3时取等号，∴12a ＋12b ＋8a ＋b 的最小值为4. (2)由f (x )＝x ＋1x －2＝(x －2)＋1x －2＋2≥4，当且仅当x －2＝1x －2>0，即x ＝3时，取得等号，故选B ．(3)由ab －a －b ＝5⇒6＝(a －1)(b －1) ⇒36＝(2a －2)(3b －3)≤⎝⎛⎭⎪⎫2a －2＋3b －322则2a ＋3b ≥17，当且仅当a ＝4，b ＝3取最小值． [引申]f (x )＝x ＋1x －2的值域为__(－∞，0]∪[4，＋∞)__. [解析] f (x )＝(x －2)＋1x －2＋2， ∵|(x －2)＋1x －2|＝|x －2|＋1|x －2|≥2 (当且仅当|x －2|＝1即x ＝3或1时取等号) ∴(x －2)＋1x －2≥2或x －2＋1x －2≤－2，∴f (x )≥4或f (x )≤0，即f (x )的值域为(－∞，0]∪[4，＋∞)．名师点拨拼凑法求最值的技巧(1)用均值定理求最值要注意三个条件：一正、二定、三相等．“一正”不满足时，需提负号或加以讨论，“二定”不满足时，需变形，“三相等”不满足时，可利用函数单调性．(2)求乘积的最值．同样要检验“一正、二定、三相等”，如例(2)的关键是变形，凑出积为常数．角度2 换元法求最值例2 (1)已知x >54，求函数y ＝16x 2－28x ＋114x －5的最小值；(2)(2021·百校联盟尖子生联考)已知a ，b ∈R ＋，且a ＋2b ＝ab －16，则ab 的最小值为( B )A ．16B ．32C ．64D ．128[思路] (1)通过换元转化为形如Ax ＋Bx ＋C 形式的函数．[解析] (1)设4x －5＝t ，则x ＝t ＋54.∵x >54，∴t >0.∴y ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫t ＋542－28·t ＋54＋11t＝t 2＋3t ＋1t＝t ＋1t＋3≥2＋3＝5.当且仅当t ＝1即x ＝32时，上式取“＝”号．∴x ＝32时，y min ＝5.(2)ab －16＝a ＋2b ≥22ab ，令ab ＝t ， 则t 2－22t －16≥0⇒t ≥22＋722＝42，故ab ≥32，即ab 最小值为32.(当且仅当a ＝8，b ＝4时取等号)故选B ． [答案] (1)5角度3 常数代换法求最值例3 (1)已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝4，则2x ＋1y 最小值为__2__；(2)已知正数x ，y 满足8x ＋1y ＝1，则x ＋2y 的最小值为__18__.[思路] (2)先利用乘常数法或消元法，再利用基本不等式求解最值． [解析] (1)2x ＋1y ＝⎝⎛⎭⎫2x ＋1y (x ＋2y )×14＝14⎝⎛⎭⎫4＋x y ＋4y x ≥14⎝⎛⎭⎫4＋2x y ·4y x ＝2. 当且仅当x y ＝4yx，即⎩⎪⎨⎪⎧ 4y 2＝x 2，x ＋2y ＝4⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝2，y ＝1时取等号．(2)解法一：x ＋2y ＝⎝⎛⎭⎫8x ＋1y ·(x ＋2y)＝10＋x y ＋16y x ≥10＋2x y ·16yx＝18，当且仅当⎩⎨⎧8x ＋1y ＝1，x y ＝16y x即⎩⎪⎨⎪⎧x ＝12，y ＝3时“＝”成立，故x ＋2y 的最小值是18. 解法二(消元法)：由8x ＋1y ＝1，得y ＝x x －8，由y >0⇒xx －8>0，又x >0⇒x >8，则x ＋2y ＝x＋2x x －8＝x ＋2(x －8)＋16x －8＝x ＋2＋16x －8＝(x －8)＋16x －8＋10≥2(x －8)·16x －8＋10＝18，当且仅当x －8＝16x －8，即x ＝12(x ＝4舍去)，y ＝3时，“＝”成立，故x ＋2y 的最小值为18.名师点拨 常数代换法的技巧(1)常数代换法就是利用常数的变形以及代数式与“1”的积、商都是自身的性质，通过代数式的变形构造和式或积式为定值，然后利用基本不等式求最值．(2)利用常数代换法求解最值应注意：①条件的灵活变形，常数化成1是代数式等价变形的基础；②利用基本不等式求最值时“一正、二定、三相等”的检验，否则容易出现错解．〔变式训练1〕(1)(角度1)(2021·宁夏银川一中月考)已知正数x 、y 满足x ＋y ＝1，则1x ＋41＋y 的最小值为( B )A ．2B ．92C ．143D ．5(2)(角度2)(2021·山东师大附中模拟)若正数x ，y 满足x ＋5y ＝3xy ，则5x ＋y 的最小值为__12__；(3)(角度3)(2020·天津七校期中联考)已知a >0，b >0，且1a ＋1＋1b ＝1，求a ＋b 的最小值__3__.[解析] (1)∵x ＋y ＝1，所以x ＋(1＋y )＝2，则2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝[x ＋(1＋y )]⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋41＋y ＝4x 1＋y＋1＋y x ＋5≥24x 1＋y·1＋yx ＋5＝9，所以1x ＋41＋y ≥92，当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧4x 1＋y ＝1＋y xx ＋y ＝1，即当⎩⎨⎧x ＝23y ＝13时取等号∴1x ＋41＋y 的最小值为92，故选B ． (2)∵x >0，y >0，x ＋5y ＝3xy ，即5x ＋1y ＝3，∵5x ＋y ＝13⎝⎛⎭⎫5x ＋1y (5x ＋y ) ＝13⎝⎛⎭⎫26＋5y x ＋5x y ≥13⎝⎛⎭⎫26＋25y x ·5x y ＝12， (当且仅当x ＝y ＝2时取等号) ∴5x ＋y 的最小值为12，另解：∵x >0，y >0，x ＋5y ＝3xy ，即x ＝5y3y －1， 令3y －1＝t ，则y ＝t ＋13，(t >0)，∴5x ＋y ＝25y 3y －1＋y ＝253⎝⎛⎭⎫1＋1t ＋t ＋13＝263＋13⎝⎛⎭⎫25t＋t ≥263＋2325t·t ＝12. (当且仅当t ＝5，即x ＝y ＝2时取等号) ∴5x ＋y 的最小值为12. (3)∵a >0，b >0，且1a ＋1＋1b＝1， ∴a ＋b ＝[(a ＋1)＋b ]－1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋1＋1b [(a ＋1)＋b ]－1＝ba ＋1＋a ＋1b ＋1≥2b a ＋1·a ＋1b ＋1＝3，当且仅当a ＋1＝b ，即a ＝1，b ＝2时取等号， ∴a ＋b 的最小值为3，另解：(换元法)由1a ＋1＋1b ＝1得b ＝1＋1a ，(a >0)，∴a ＋b ＝a ＋1a＋1≥2a ·1a＋1＝3， 当且仅当a ＝1，b ＝2时取等号， ∴a ＋b 的最小值为3.考点二 利用基本不等式求参数的范围——师生共研例4 若正数a ，b 满足ab ＝a ＋b ＋3，则 (1)ab 的取值范围是__[9，＋∞)__； (2)a ＋b 的取值范围是__[6，＋∞)__. [解析] (1)∵ab ＝a ＋b ＋3≥2ab ＋3， 令t ＝ab >0，∴t 2－2t －3≥0，∴(t －3)(t ＋1)≥0.∴t ≥3即ab ≥3，∴ab ≥9，当且仅当a ＝b ＝3时取等号． (2)∵ab ＝a ＋b ＋3，∴a ＋b ＋3≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22. 今t ＝a ＋b >0，∴t 2－4t －12≥0，∴(t －6)(t ＋2)≥0. ∴t ≥6即a ＋b ≥6，当且仅当a ＝b ＝3时取等号．名师点拨利用方程的思想是解决此类问题的常规解法．另外，本例第二问也可用如下方法求解：由已知b ＝a ＋3a －1>0，∴a －1>0，∴a ＋b ＝a ＋a ＋3a －1＝a ＋a －1＋4a －1＝a ＋1＋4a －1＝(a －1)＋4a －1＋2≥6.当且仅当a ＝b ＝3时取等号．〔变式训练2〕(2020·黑龙江哈尔滨三中期中)已知x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8，则x ＋2y 的最小值是__4__. [解析] 解法一：∵x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8. ∴(2y ＋1)(x ＋1)＝9且x ＋1>0,2y ＋1>0∴x ＋2y ＝(2y ＋1)＋(x ＋1)－2≥2(2y ＋1)·(x ＋1)－2＝4.(当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号)∴x ＋2y 的最小值为4.解法二：∵x >0，y >0，∴2xy ≤⎝ ⎛⎭⎪⎫2y ＋x 22＝(2y ＋x )42(当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号)又x ＋2y ＋2xy ＝8， ∴x ＋2y ＋(x ＋2y )42≥8， ∴(x ＋2y －4)(x ＋2y ＋8)≥0， ∴x ＋2y －4≥0，即x ＋2y ≥4 (当且仅当x ＝2，y ＝1时取等号) ∴x ＋2y 的最小值为4.解法三：∵x >0，y >0，x ＋2y ＋2xy ＝8， ∴x ＝8－2y 1＋2y ＝92y ＋1－1，∴x ＋2y ＝92y ＋1＋(2y ＋1)－2≥292y ＋1·(2y ＋1)－2＝4(当且仅当y ＝1时取等号) ∴x ＋2y 的最小值为4.秒杀解法：x ＋2y ＋2xy ＝8，即x ＋2y ＋x ·2y ＝8.由条件及结论关于x 、2y 的对称性知当x ＝2y ＝2时x ＋2y 取最小值为4.考点三 利用基本不等式解决实际问题——师生共研例5 某人准备在一块占地面积为1 800 m 2的矩形地块中间建三个矩形温室大棚，大棚周围均是宽为1 m 的小路(如图所示)，大棚总占地面积为S m 2，其中a ∶b ＝1∶2，则S 的最大值为__1 568__.[解析] 由题意可得xy ＝1 800，b ＝2a ，x >3，y >3， 则y ＝a ＋b ＋3＝3a ＋3，所以S ＝(x －2)a ＋(x －3)b ＝(3x －8)a ＝(3x －8)y －33＝1 808－3x －83y＝1 808－3x －83×1 800x＝1 808－⎝⎛⎭⎫3x ＋4 800x ≤1 808－23x ×4 800x＝1 808－240＝1 568，当且仅当3x ＝4 800x ，即x ＝40，y ＝45时等号成立，S 取得最大值，所以当x ＝40，y ＝45时，S 取得最大值为1 568.名师点拨应用基本不等式解决实际问题的步骤：①仔细阅读题目，深刻理解题意；②找出题目中的数量关系，并设出未知数，并用它表示其它的量，把要求最值的量设为函数；③利用基本不等式求出最值；④再还原成实际问题，作出解答．〔变式训练3〕某工厂建造一个无盖的长方体贮水池，其容积为4 800 m 3，深度为3 m ．如果池底每1 m 2的造价为150元，池壁每1 m 2的造价为120元，要使水池总造价最低，那么水池底部的周长为__160__m.[解析] 设水池底面一边的长度为x m ，则另一边的长度为4 8003x m ，由题意可得水池总造价f (x )＝150×4 8003＋120⎝⎛⎭⎫2×3x ＋2×3×4 8003x ＝240 000＋720⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x (x >0)， 则f (x )＝720⎝⎛⎭⎫x ＋1 600x ＋240 000 ≥720×2x ·1 600x＋240 000＝720×2×40＋240 000＝297 600，当且仅当x ＝1 600x，即x ＝40时，f (x )有最小值297 600，此时另一边的长度为4 8003x＝40(m)，因此，要使水池的总造价最低，水池底部的周长应为160 m.名师讲坛·素养提升基本不等式的综合应用角度1基本不等式与其他知识交汇的最值问题例6 设等差数列{a n}的公差为d，其前n项和是S n，若a1＝d＝1，则S n＋8a n的最小值是__92__.[解析]a n＝a1＋(n－1)d＝n，S n＝n(1＋n)2，所以S n＋8a n＝n(1＋n)2＋8n＝12⎝⎛⎭⎫n＋16n＋1≥12⎝⎛⎭⎫2n·16n＋1＝92，当且仅当n＝4时取等号，所以S n＋8a n的最小值是92.角度2求参数值或取值范围例7 已知不等式(x＋y)⎝⎛⎭⎫1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，则正实数a的最小值为(B)A．2 B．4C．6 D．8[解析]已知不等式(x＋y)⎝⎛⎭⎫1x＋ay≥9对任意正实数x，y恒成立，只要求(x＋y)⎝⎛⎭⎫1x＋ay的最小值大于或等于9，∵1＋a＋yx＋axy≥a＋2a＋1，当且仅当y＝ax时，等号成立，∴a＋2a＋1≥9，∴a≥2或a≤－4(舍去)，∴a≥4，即正实数a的最小值为4，故选B．名师点拨求参数的值或范围：观察题目特点，利用基本不等式确定相关成立条件，从而得参数的值或范围．〔变式训练4〕(1)(角度1)已知函数f (x )＝ax 2＋bx (a >0，b >0)的图象在点(1，f (1))处的切线的斜率为2，则8a ＋b ab的最小值是( B ) A ．10B ．9C ．8D ．3 2(2)设x >0，y >0，不等式1x ＋1y ＋m x ＋y≥0恒成立，则实数m 的最小值是__－4__. [解析] (1)由函数f (x )＝ax 2＋bx ，得f ′(x )＝2ax ＋b ，由函数f (x )的图象在点(1，f (1))处的切线斜率为2，所以f ′(1)＝2a ＋b ＝2，所以8a ＋b ab ＝1a ＋8b ＝12⎝⎛⎭⎫1a ＋8b (2a ＋b ) ＝12⎝⎛⎭⎫10＋b a ＋16a b ≥12⎝⎛⎭⎫10＋2b a ·16a b ＝12(10＋8)＝9， 当且仅当b a ＝16a b ，即a ＝13，b ＝43时等号成立， 所以8a ＋b ab的最小值为9，故选B ． (2) 原问题等价于m x ＋y≥－⎝⎛⎭⎫1x ＋1y 恒成立， ∵x >0，y >0，∴等价于m ≥－⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (x ＋y )的最大值．而－⎝⎛⎭⎫1x ＋1y (x ＋y )＝－2－⎝⎛⎭⎫y x ＋x y ≤－2－2＝－4，当且仅当x ＝y 时取“＝”，故m ≥－4.。

学科教师辅导讲义学员编号：年级：八年级(下) 课时数：3学员姓名：辅导科目：数学学科教师：授课主题第04讲-不等式的基本性质与解集授课类型T同步课堂P实战演练S归纳总结教学目标①了解不等关系；②掌握不等式的基本性质；③掌握不等式解与解集的概念与表示方法。

授课日期及时段T（Textbook-Based）——同步课堂一、知识梳理1、不等式的定义：一般的，用符号“<”（或“≤”）“>”(或“≥”)连接的式子叫做不等式。

2、常用的不等号：种类符号实际意义读法小于号< 小于、不足小于大于号> 大于、高出大于小于或等于号≤不大于、不超过、至多小于或等于（不大于）大于或等于号≥不少于、不低于、至少大于或等于（不小于）不等号≠不相等不等于3、列不等式：体系搭建不等式表示代数式之间的关系，与方程表示的相等关系相对应，列不等式表示不等关系的方法步骤：（1）分析题意，找出题中的各种量； （2）寻找各种量之间的相等或者不等关系； （3）用代数式表示各种量；（4）用适当的不等号将表示不等关系的量连接起来。

4、不等式的基本性质：不等式的基本性质1：不等式的两边都加（或减）同一个整式，不等号的方向不变。

不等式的基本性质2：不等式的两边都乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变。

不等式的基本性质3：不等式的两边都乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变。

5、不等式的其他性质（1）对称性，也叫互逆性：若a b > ，则b a < 。

（2）传递性：若a b >，b c > ，则a c > 。

（3）若0ab > ，则,a b 同号，反之，若,a b 同号，则0ab > ；若0ab < ，则,a b 异号，反之，若,a b 异号，则0ab <。

（4）若0a b -> ，则a b >，反之，若a b >，则0a b ->；若0a b -< ，则a b < ，反之，若a b <，则0a b -<。

第04讲 等式与不等式性质（含糖水不等式）（6类核心考点精讲精练）【备考策略】1.梳理等式的性质，理解不等式的概念，掌握不等式的性质2.能够利用不等式的性质比较不等式的大小关系3.能够利用不等式的关系表示不等式的范围4.能利用糖水不等式解决不等式的相关问题1. 等式的性质性质1 如果b a =，那么________；性质2 如果b a =，c b =，那么________；性质3 如果b a =，那么________；性质4 如果b a =，那么________；性质5 如果b a =，0≠c ，那么________；2. 比较两个实数大小两个实数的大小是用实数的运算性质来定义的，有：0a b ->Û ； 0a b -=Û；0a b -<Û另外，若0b >，则有1a a b b >Û>；1aa b b =Û=；1a a b b<Û<.3. 不等式的基本性质：（1）对称性： ．（2）传递性 ： ．（3）可加性： ．（4）可积性：① ；②．（5）同向可加性： ；异向可减性：．（6）同向正数可乘性 ；异向异号可乘性：；异向正数可除性：．（7）乘方法则： （n +ÎN ，2n ³）．（8）开方法则： （n +ÎN ，2n ³）．（9）倒数法则： ；．4. 糖水不等式及其变形若实数a ，b ，c ，满足0a b >>，0m >，则ba _____b m a m ++，b a _____b －m a －m ，(b －m ＞0)；a b _____a ＋m b ＋m ；a b_____a －m b －m，(b －m ＞0)（用不等号填空）．5. 对数型糖水不等式及其变形（1）设 n N +Î, 且 1n >, 则有 12log log (1)n n n n ++<+ （2）设 1,0a b m >>>, 则有 log log ()a a m b b m +<+（3）上式的倒数形式：设 1,0a b m >>>, 则有 log log ()b b m a a m +>+1．（2024·上海杨浦·二模）已知实数a ，b ，c ，d 满足：0a b c d >>>>，则下列不等式一定正确的是（ ）A ．a d b c+>+B ．ad bc>C ．a c b d+>+D ．ac bd>2．（2024·广东广州·模拟预测）下列命题为真命题的是（ ）A ．若a b >，则b c ba c a+>+B ．若a b >，c d >，则a d b c->-C ．若0a b <<，则22a ab b <<D ．若a b >，则11a b a>-1．（2024·全国·模拟预测）已知x y >，则下列不等式正确的是（ ）A ．11x y-<-B ．22x y >C ．||1xy>D ．xz yz>2．（2024·北京丰台·二模）若,a b ÎR ，且a b >，则（ ）A ．221111a b <++B ．22a b ab >C ．22a ab b >>D ．2a ba b +>>1．（2023高三·全国·专题练习）已知4ππ3a b <+<，ππ3a b -<-<-，求2a b -的取值范围为 .2．（2024·河北石家庄·二模）若实数,,0x y z ³，且4,25x y z x y z ++=-+=，则435M x y z =++的取值范围是.1．（2024高三·全国·专题练习）已知1260,1536a b <<<<，则a b -的取值范围是 ，ab的取值范围是.2．（23-24高三·安徽·阶段练习）已知12x y £-£，24x y £+£，则3x y -的最小值.3．（2024·浙江·模拟预测）已知正数a b c ，，满足22221625a c b c +=+=，，则22=+k a b 的取值范围为．1．（2024高三·全国·专题练习）已知实数a ，b 满足a b >，求证：3322a b a b ab ->-.2．（上海浦东新·阶段练习）设0a b >>，比较2222a b a b -+与a b a b -+的大小1．（2024高三·全国·专题练习）已知,a b 为正实数．求证：22a b a b b a +>+.2．若0a b >>，求证：2()a ba ba b ab +>．1．（2023高三·全国·专题练习）证明命题：“若在ABC V 中a b c 、、分别为角、、A B C 所对的边长，则111c a bc a b<++++”1．（1）设0b a >>，0m >，证明：a a mb b m+<+；（2）设0x >，0y >，0z >，证明：12x y z x y y z z x<++<+++.1．（23-24高三上·河南·阶段练习）已知b 克糖水中含有a 克糖(0)b a >>，再添加m (0)m >克糖（假设全部溶解），糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为（ ）A ．bm am>B ．b m a m+>+C ．m ma b>D ．a m ab m b+>+2．（2023·四川凉山·一模）a 克糖水中含有b 克糖，糖的质量与糖水的质量比为ba，这个质量比决定了糖水的甜度，如果再添加m 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，对应的不等式为b m ba m a+>+(0a b >>，0m >).若13log 2x =，215log 10x =，345log 20x =，则A ．123x x x <<B ．132x x x <<C ．312x x x <<D ．321x x x <<2．（23-24高三·福建龙岩·阶段练习）若a 克不饱和糖水中含有b 克糖，则糖的质量分数为ba，这个质量分数决定了糖水的甜度.如果在此糖水中再添加m 克糖，生活经验告诉我们糖水会变甜，从而可抽象出不等式b b m a a m +<+（0a b >>，0m >）数学中常称其为糖水不等式.依据糖水不等式可判断3log 2与15log 10的大小：例如315ln 2ln 2ln 5ln10log 2log 10ln 3ln 3ln 5ln15+=<==+，试比较4log 3 5log 4的大小（填”<”或”>”或”=”）1．（2024·湖南长沙·二模）设a ，b ，c ，d 为实数，且0a b c d >>>>，则下列不等式正确的有（ ）A ．2c cd<B ．a c b d-<-C ．ac bd<D ．0c da b->2．（2024·广西·二模）已知实数a ，b ，c 满足a b c >>，且0a b c ++=，则下列结论中正确的是（ ）A ．0a b +>B ．ac bc>C ．11a b b c>--D ．()()294a cbc c <--1．（2024·福建龙岩·一模）下列命题正确的是（ ）A ．若0a b <<，则22a ab b >>B ．若0a b <<，则22ac bc <C ．若0a b c <<<，则c ca b>D ．若0a b <<，则22ba +>2．（2024·江西·模拟预测）已知0a b c d <<<<，则下列不等式一定正确的是（ ）A ．a b c d+<+B ．ac bc<C ．ab cd<D ．a ac d<3．（2024·安徽淮北·一模）已知a ，b ，c ÎR ，下列命题为真命题的是（ ）A ．若a b c >>，则a b c +>B ．若a b c >>，则222a b c >>C ．若0a b c <<<，则c c a b>D ．若0a b c >>>，则b b ca a c+<+一、单选题1．（2024·河南·模拟预测）“0a b >>，c d >是“ac bd >”的（ ）A ．充分不必要条件B ．充要条件C ．必要不充分条件D ．既不充分也不必要条件2．（2023·吉林长春·一模）若a ，b ，R c Î，且a b >，则下列不等式一定成立的是（ ）A ．ac bc >B ．22ac bc >C ．2()0b ac -<D ．2()0a b c -³3．（23-24高三上·江苏扬州·阶段练习）设a ，b ，c 为实数，且0a b >>，则下列不等式正确的是（ ）A ．22ac bc >B ．b aa b>C ．22a ab b >>D ．11a b>4．（2023·山东·模拟预测）对于实数a ，b ，c ，下列结论中正确的是（ ）A ．若a b >，则22>ac bc B ．若>>0a b ，则11>a b C ．若<<0a b ，则<a bb aD ．若a b >，11>a b，则<0ab 5．（23-24高三上·北京房山·期末）已知a ，b 为非零实数，且a b >，则下列结论正确的是（ ）A ．22a b >B ．11a b>C ．b a a b>D ．2211ab a b>6．（2023·广东·二模）若a b c === ）A ．a c b >>B ．a b c >>C ．c b a>>D ．b c a>>二、多选题7．（2023·湖南张家界·二模）下列命题正确的是（ ）A ．若a b >，则22ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若a b >，则33a b >D ．若a b >，则22a b >三、填空题8．（2023高三·全国·课后作业）已知01,23a b a b £+<£-<，则b 的取值范围是 ．9．（2023高三·全国·专题练习）若13a <<,42b -<<,则2a b +的取值范围是.10．（23-24高三上·海南海口·开学考试）已知14x -<<，23y <<，则32x y +的取值范围是.一、单选题1．（2024·山东聊城·三模）“2a b +<-，且1ab >”是“1a <-，且1b <-”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件2．（2024·山东滨州·二模）下列命题中，真命题的是（ ）A ．若a b >，则ac bc >B ．若a b >，则22a b >C ．若22ac bc ³，则a b³D ．若22a b +=，则244a b +³3．（2024·陕西铜川·三模）已知,a b 为正实数，则“1a b <”是“11a ab b +<+”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件4．（2024·福建福州·模拟预测）设a ，b ÎR ，则“0ab <”是“0a ba b+=”的（ ）A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件5．（2024·安徽淮北·二模）已知,R a b Î，下列命题正确的是（ ）A ．若1ab =，则2a b +³B ．若11a b <，则a b>C ．若a b >，则()ln 0a b ->D ．若0a b >>，则11a b b a+>+6．（2024·北京·三模）已知,R x y Î，且x y >，则（ ）A ．11x y -<0B ．tan tan 0x y ->C ．110e e xyæöæö-<ç÷ç÷èøèøD ．ln ||ln ||0x y ->7．（2024·四川成都·模拟预测）已知a ，b 为实数，则使得“0a b >>”成立的一个必要不充分条件为（ ）A ．11a b>B ．ln(1)ln(1)a b +>+C ．330a b >>D >8．（2024高三下·全国·专题练习）记{}123max ,,x x x 表示123,,x x x 这3个数中最大的数．已知a ，b ，c 都是正实数，12max ,,b c M a a c b ìü=+íýîþ，则M 的最小值为（ ）A B C ．D ．二、多选题9．（2024·辽宁·模拟预测）若,0a b >，则使“a b >”成立的一个充分条件可以是（ ）A ．11a b<B ．22a b ->-C ．22a b b a ab +>+D ．()()22ln 1ln 1a b +>+10．（2024·安徽合肥·三模）已知实数,a b 满足01a b <<<，则（ ）A ．11b b a a -<-B ．a b ab+>C ．b aa b <D ．112222log log a ba b-<-一、单选题1．（四川·高考真题）若0,0,a b c d >><<则一定有A ．a bc d>B ．a b c d<C ．a b d c>D ．a b d c<2．（浙江·高考真题）设a ，b 是实数，则“0a b +>”是“0ab >”的A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件3．（广东·高考真题）设,a b R Î，若0a b ->，则下列不等式中正确的是（ ）A ．0b a ->B ．330a b +<C ．220a b -<D ．0b a +>4．（上海·高考真题）已知,a b 为非零实数，且a b <，则下列命题成立的是A ．22a b <B ．22ab a b <C ．2211ab a b<D ．b a a b<5．（北京·高考真题）已知a ，b ，c ，d 均为实数，有下列命题：（1）若0ab >，0bc ad ->，则0c da b->；（2）若0ab >，0c da b->，则0bc ad ->；（3）若0bc ad ->，0c da b->，则0ab >，其中正确命题的个数是( )A ．0B ．1C ．2D ．36．（北京·高考真题）设,,,a b c d R Î，且,a b c d >>，则下列结论正确的是（ ）A ．a c b d+>+B ．a c b d->-C ．ac bd>D ．a cd b>7．（全国·高考真题）若1a b >>，01c <<，则A ．cc a b <B ．c cab ba <C ．log log b a a c b c<D ．log log a b c c<8．（重庆·高考真题）若0a b c >，，，且222412a ab ac bc +++=，则a b c ++的最小值是.A ．B ．3C ．2D 二、多选题9．（上海·高考真题）如果,00a b <>，那么下列不等式不正确的是( )A ．11a b <B <C ．22a b <D ．a b>三、填空题10．（辽宁·高考真题）已知14x y -<+<且23x y <-<，则 23z x y =-的取值范围是 （答案用区间表示）。

2023高考一轮复习讲与练04 二次函数与一元二次方程、不等式练高考 明方向1、【2022年新高考I 卷第15题】2、【2022年新高考II 卷第15题】3．(2020年高考数学课标Ⅰ卷理科)设集合A ={x |x 2–4≤0}，B ={x |2x +a ≤0}，且A ∩B ={x |–2≤x ≤1}，则a = ( )A ．–4B ．–2C ．2D ．44.【2019年高考天津卷理数】设，则“”是“”的 A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件 5．(2018全国卷Ⅰ)已知集合2{20}=-->A x x x ，则A =RA ．{12}-<<x xB ．{12}-≤≤x xC ．{|1}{|2}<->x x x xD ．{|1}{|2}-≤≥x x x x6．（2017山东）设函数24y x =-的定义域A ，函数ln(1)y x =-的定义域为B ，则A B ⋂=A ．(1,2)B ．(1,2]C ．(2,1)-D ．[2,1)-7．（2017江苏）记函数2()6f x x x =+-的定义域为D ．在区间[4,5]-上随机取一个数x ，则x D ∈的概率是 ．8．（2015山东）已知集合2{|430}A x x x =-+<，{|24}B x x =<<，则AB =A ．（1，3）B ．（1，4）C ．（2，3）D ．（2，4） 9．（2014新课标Ⅰ）已知集合A={x |2230x x --≥}，B={x |－2≤x ＜2}，则AB =A ．[－2, －1]B ．[－1,1]C ．[－1,2）D ．[1,2）10．（2013重庆）关于的不等式（）的解集为，且，则A ．B ．C ．D ．11．（2014江苏）已知函数若对于任意，都有成立，则实数的取值范围是 ．12．（2013重庆）设0απ≤≤，不等式28(8sin )cos 20x x αα-+≥对恒成立，则的取值范x ∈R 250x x -<|1|1x -<x 22280x ax a --<0a >12(,)x x 2115x x -=a =5272154152,1)(2-+=mx x x f ]1,[+∈m m x 0)(<x f m x R ∈a围为 ．13．（2012福建）已知关于x 的不等式220x ax a -+>在R 上恒成立，则实数a 的取值范围是_________．14．（2012江苏）已知函数2()()f x x ax b a b =++∈R ，的值域为[0)+∞，，若关于x 的不等式()f x c <的解集为(6)m m +，，则实数c 的值为 ．15．（2010江苏）设实数,x y 满足3≤2xy ≤8，4≤y x 2≤9，则43yx 的最大值是 ．16．（2010天津）设函数2()1f x x =-，对任意2,3x ⎡⎫∈+∞⎪⎢⎣⎭，24()x f m f x m ⎛⎫-⎪⎝⎭≤(1)4()f x f m -+ 恒成立，则实数m 的取值范围是 ．讲典例 备高考类型一、一元二次方程、不等式 基础知识：1．一元二次不等式只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式． 2．三个“二次”间的关系 判别式Δ＝b 2－4ac Δ＞0 Δ＝0 Δ＜0二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ＞0)的图象一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0 (a ＞0)的根有两相异实根x 1，x 2(x 1＜x 2)有两相等实根x 1＝x 2＝－b 2a没有实数根二次函数与一元二次方程、不等式一元二次不等式一元二次不等式恒成立一元二次方程根的分布三个二次之间的关系含参的一元二次不等式系注意：（1）记忆口诀：大于号取两边，小于号取中间．(2)解不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)时不要忘记当a ＝0时的情形．基本题型：1．不等式(x －2)(3－2x )≥0的解集为( )A.⎝⎛⎭⎫32，＋∞ B.⎣⎡⎦⎤32，2 C ．[2，＋∞)D ．⎝⎛⎦⎤－∞，32 2．若a <0，则关于x 的不等式(ax －1)(x －2)>0的解集为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪2<x <1a B.⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪1a <x <2 C ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪ x <1a 或x >2D ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x <2或x >1a 3．（多选题）下列不等式解集为空集的有（ ）A ．x 2+2x +2≤0B ．x 2+2x +1≤0C ．|x +1|+|x +2|＜1D ．|x +1x|＜24．（多选题）与不等式2230x x --<的解集相等的不等式为（ ）A ．()()3210x x --<B ．1023x x +<-C ．()32301x x -<+ D ．()()22310x x x -+< 基本方法：解一元二次不等式的4个步骤类型二、一元二次不等式恒成立基础知识：1、不等式ax 2＋bx ＋c ＞0(＜0)恒成立的条件要结合其对应的函数图象决定．①不等式ax2＋bx ＋c ＞0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＞0或⎩⎪⎨⎪⎧ a ＞0，Δ＜0.②不等式ax2＋bx ＋c ＜0对任意实数x 恒成立⇔⎩⎪⎨⎪⎧a ＝b ＝0，c ＜0或⎩⎪⎨⎪⎧a ＜0，Δ＜0.2、对于二次不等式恒成立问题常见的类型有两种，一是在全集R 上恒成立，二是在某给定区间上恒成立．对第一种情况，恒大于0就是相应的二次函数的图象全部在x 轴上方，恒小于0就是相应的二次函数的图象全部在x 轴下方；对第二种情况，要充分结合函数图象进行分类讨论(也可采用分离参数的方法)．基本题型：1．在R 上定义运算:a b ad bc c d ⎛⎫=- ⎪⎝⎭ ，若不等式1211x a a x --⎛⎫≥ ⎪+⎝⎭ 对任意实数x 恒成立，则实数a 的最大值为（ ）A ．12-B ．32-C ．12D ．322．设函数2()1f x mx mx =--，若对于任意的x ∈{x |1 ≤ x ≤ 3}，()4f x m <-+恒成立，则实数m 的取值范围为（ ）A ．m ≤0B ．0≤m <57C ．m <0或0<m <57D ．m <573．（多选题）下列条件中，为 “关于x 的不等式210mx mx -+>对R x ∀∈恒成立”的充分不必要条件的有（ ）A ．04m ≤<B ．02m <<C ．14m <<D ．16m -<<4．设函数2()6f x mx mx m =--+，若对于[]1,3x ∈，()0f x <恒成立，则实数m 的取值范围是（ ）A ．67m >B ．67m <C ．67m ≤D ．67m ≥5．已知函数()224f x x x k =+-，()22g x x x =-.（1）若对任意[]3,3x ∈-，都有()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； （2）若存在[]3,3x ∈-，使()()f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围； （3）若对任意[]12,3,3x x ∈-，都有()()12f x g x ≤成立，求实数k 的取值范围. 【基本方法】1、一元二次不等式恒成立问题求解思路：（1）一元二次不等式在R 上恒成立确定参数的范围时，结合一元二次方程，利用判别式来求解。

2.2 基本不等式(第1课时）一．引入问题1请写出我们上节课学习的重要不等式.问题2如果a>0,b>0,我们用√a,√b分别替换重要不等式中的a,b,能得到什么样的结论?问题3上述不等式是在重要不等式基础上转化出来的,是否对所有的a>0,b>0都能成立?请给出证明.二．新课知识点一基本不等式如果a＞0，b＞0，有√ab≤a＋b2，当且仅当时，等号成立.通常称不等式√ab≤a＋b2为基本不等式.其中，a＋b2叫做正数a，b的，√ab叫做正数a，b的.基本不等式表明：两个正数的算术平均数它们的几何平均数.提醒基本不等式的常见变形：①a＋b≥2√ab；②ab≤(a＋b2)2≤a2＋b22（其中a＞0，b＞0，当且仅当a＝b时等号成立）.知识点二基本不等式与最值已知x，y都是正数，则（1）如果积xy等于定值P，那么当时，和x＋y有最小值；（2）如果和x＋y等于定值S，那么当时，积xy有最大值.提醒利用基本不等式求最值时要牢记“一正、二定、三相等”：①一正：各项必须为正；②二定：各项之和或各项之积为定值；③三相等：必须验证取等号时条件是否具备.三.题型总结题型一：对基本不等式的理解例题1.给出下面三个推导过程：①∵a，b为正实数，∴ba ＋ab≥2√ba·ab＝2；②∵a∈R，a≠0，∴4a ＋a≥2√4a·a＝4；③∵x，y∈R，xy＜0，∴xy ＋yx＝－［［－xy［＋(－yx)［≤－2√(－xy)(－yx)＝－2.其中正确的推导为（）A.①②B.①③C.②③D.①②③练习1.下列不等式中正确的是（）A.当x＞0时，x2＋1x2≥2B.当x≥2时，x＋1x的最小值为2C.√ab≥a＋b2D.a2＋b2≥4ab题型二：直接法求最值例题2.已知m>0，n>0，mn＝81，则m＋n的最小值是()A．9 B．18 C．9 3 D．27例题3.已知x，y为正实数，且满足4x＋3y＝12，则xy的最大值为________．练习2.已知x>0,求x+4x的最小值.变式.将条件“x>0”改成“x<0”,求x+4x的最大值.题型三：配凑法求最值角度1 凑“积”为定值例题4.当x＞0时，y＝x 2+3x+42x的最小值为；例题5.已知函数y＝x＋4x－2(x>2)，则此函数的最小值等于()A.4x x －2 B.2x x －2C ．4D ．6 练习3.已知1x >，求11x x +-的最小值；角度2 凑“和”为定值例题6.当0<x <4时，则y ＝x (8－2x )的最大值为________．练习4：设0＜x ＜32，求函数y ＝4x （3－2x ）的最大值.例题7已知正数x ，y 满足x ＋2y ＝2，则xy 的最大值为( )A ．2B ．1 C.12 D.14练习5的最大值.题型四：常数代换法求最值例题8.已知正数a ，b 满足8b ＋4a＝1，则8a ＋b 的最小值为( ) A ．54 B ．56 C ．72 D ．81变式：已知正数a ，b 满足8a ＋4b ＝ab ，则8a ＋b 的最小值为________．四．课后练习1. 当x 取什么值时，221x x +取得最小值？最小值是多少？2. 已知11x -≤≤，求21x -的最大值.3. 已知0x >，求证：423x x--的最大值是2-.4.（1）已知x ＞0，求y ＝2－x －4x 的最大值；（2）已知0＜x ＜12，求y ＝12x （1－2x ）的最大值.5.已知x ，y 为正实数，3x ＋2y ＝10，则W ＝√3x ＋√2y 的最大值为 2√5 .6.已知x ，y 都是正数.（1）若xy ＝4，求2x ＋1y 的最小值；（2）若x ＋2y ＝3，求1x ＋1y 的最小值.7.下列各式中最小值为2的是（ ）A .y ＝t ＋1t （t ＞1）B .y ＝√t ＋√tC .y ＝t ＋1t －1（t ＞1） D .y ＝t ＋1t ＋1（t ＞0） 8.（多选）设正实数a ，b 满足a ＋b ＝1，则（ ）A .1a ＋1b 的最小值为4B .√ab 的最小值为12 C .√a ＋√b 的最大值为√2 D .a 2＋b 2的最大值为12。

《基本不等式》达标检测[A 组]—应知应会1．（2020春•南关区校级期中）若0x >，则212x x +的最小值为( )A B C ．1 D ．32【分析】由2211112222x x x x x +=++，然后利用基本不等式即可求解． 【解答】解：因为0x >，则32221111113322222222x x x x x x x x +=++=， 当且仅当21122x x=即1x =时取等号，故选：D ．2．（2020•历下区校级模拟）已知0x >，0y >，且191x y+=，则xy 的最小值为( ) A ．100B ．81C ．36D ．9【分析】由已知结合基本不等式即可直接求解zy 的最小值． 【解答】解：0x >，0y >，且191x y+=， 由基本不等式可得912xy ，当且仅当1912x y ==即2x =，18y =时取等号， 解可得36xy ，即xy 的最小值36． 故选：C ．3．（2020•海南一模）如图，矩形花园ABCD 的边AB 靠在墙PQ 上，另外三边是由篱笆围成的．若该矩形花园的面积为4平方米，墙PQ 足够长，则围成该花园所需要篱笆的( )A ．最大长度为8米B ．最大长度为C ．最小长度为8米D ．最小长度为【分析】根据已知条件建立关于篱笆长度的关系式，然后结合基本不等式即可求解． 【解答】解：设BC a =米，CD b =米，则4ab =， 所以围成矩形花园所需要的篱笆长度为44222242a b a a a a+=+=，当且仅当42a a=，即a = 故选：D ．4．（2020春•诸暨市校级期中）坐标(1,1)-满足1mx ny -=，且0m >，0n >，则14m n+的最小值为( )A ．9B ．6C ．8D ．【分析】利用“乘1法”与基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：由题意可得，1m n +=， 则14144()()5549n mm n m n m n m n+=++=+++=， 当且仅当4n mm n=且1m n +=即13m =，23n =时取等号，此时取得最小值9 故选：A ．5．（2020春•金华期中）已知实数x ，y 满足2xy x y -=+，且1x >，则(11)y x +的最小值为( ) A ．21B ．24C ．25D ．27【分析】根据题意，将2xy x y -=+变形可得21x y x +=-，据此可得(2)(11)(11)(1)1x x y x x x +++=>-，设1t x =-，则有36(11)15y x t t+=++，(0)t >，结合基本不等式性质分析可得答案． 【解答】解：根据题意，实数x ，y 满足2xy x y -=+，变形可得(1)2y x x -=+，则有21x y x +=-， 则2(2)(11)(11)(11)(1)11x x x y x x x x x ++++=+=>--， 设1t x =-，则有2(3)(12)153636(11)15t t t t y x t t t t+++++===++，(0)t >，又由3636212t t t t+⨯=， 则有(11)122527y x ++=，即(11)y x +的最小值为27，此时6t =，即7x =； 故选：D ．6．（2020•河东区一模）已知实数a 、b ，0ab >，则22224aba b a b +++的最大值为( )A ．16B ．14C ．17D ．6【分析】直接利用关系式的恒等变换的应用和基本不等式的应用求出结果． 【解答】解：由于2220a b ab +>， 所以222222424ababa b a b ab a b +++++，故：22114246222ab ab a b ab ababab==+++++，（当且仅当a b =时，等号成立）． 故选：A ．7．（2020春•顺庆区校级月考）在ABC ∆中，点F 为线段BC 上任一点（不含端点），若2(0,0)AF xAB y AC x y =+>>，则12x y+的最小值为( ) A ．1 B ．8C ．2D ．4【分析】由向量共线定理可得21x y +=，然后利用1的代换，结合基本不等式即可求解． 【解答】解：由于点F 在线段BC 上，由向量共线定理可得21x y +=， 则12124()(2)4448y x x y x y x y x y+=++=+++=， 故选：B ．8．（2019秋•开封期末）已知0m >，0n >，141m n+=，若不等式22m n x x a +-++对已知的m ，n 及任意实数x 恒成立，则实数a 的取值范围是( ) A ．[8，)+∞B ．[3，)+∞C ．(-∞，3]D ．(-∞，8]【分析】先结合基本不等式求出m n +的范围；再根据不等式恒成立结合二次函数即可求解 【解答】解：144()()5529n m n m n m n m n m n m +=++=+++=， 当且仅当4n mm n=时等号成立， 229x x a ∴-++，即2229(1)8a x x x -+=-+，8a ∴．故选：D ．9．（2020•中卫二模）《九章算术》中“勾股容方”问题：“今有勾五步，股十二步，问勾中容方几何？”魏晋时期数学家刘徽在其《九章算术注》中利用出入相补原理给出了这个问题的一般解法：如图1，用对角线将长和宽分别为b 和a 的矩形分成两个直角三角形，每个直角三角形再分成一个内接正方形（黄)和两个小直角三角形（朱、青）．将三种颜色的图形进行重组，得到如图2所示的矩形，该矩形长为a b +，宽为内接正方形的边长d．由刘徽构造的图形可以得到许多重要的结论，如图3．设D为斜边BC的中点，作直角三角形ABC的内接正方形对角线AE，过点A作AF BC⊥于点F，则下列推理正确的是()①由图1和图2面积相等可得abda b=+；②由AE AF2a b+；③由AD AE211a b+；④由AD AF可得222a b ab+．A．①②③④B．①②④C．②③④D．①③【分析】根据题意求出AD，AE，AF，然后可判断②③④对，根据面积相等，可判断①对．【解答】解：由图1和图2面积相等()ab a b d=+，可得abda b=+，①对；由题意知图3面积为12ab，AF=12AD BC==图3设正方形边长为x，由三角形相似，a x xx b x-=-，解之得abxa b=+，则AE=可以化简判断②③④对，故选：A．10．（多选）（2020•德州二模）若正实数a，b满足1a b+=，则下列说法正确的是() A．ab有最大值14BC．11a b+有最小值2D．22a b+有最大值12【分析】由已知结合基本不等式及其变形形式分别检验各选项即可判断．【解答】解：因为正实数a，b满足1a b+=，由基本不等式可得21()24a bab+=，当且仅当a b=时取等号，故A正确；因为2112a b a b =++=+++=，当且仅当a b =时取等号，B 正确； 1114a b a b ab ab++==，即有最小值4，故C 错误； 222()212a b a b ab ab +=+-=-，结合A 可知有最小值12，当且仅当a b =时取等号，故D 错误；故选：AB ．11．（多选）（2020春•锡山区校级期中）设正实数m 、n 满足2m n +=，则下列说法正确的是( )A ．12m n+ B 的最大值为12C 的最小值为2D ．22m n +的最小值为2【分析】m ，0n >，2m n +=，利用“乘1法”可得：1211212()()(3)22n mm n m n m n m n+=++=++，再利用基本不等式的性质可得其最小值．利用基本不等式的性质进而判断出BCD 的正误．【解答】解：m ，0n >，2m n +=，则12112121()()(3)(32)222n m m n m n m n m n m n +=++=+++=，当且仅当4n =-22m n mn +=，解得1mn ．∴12，222m n =+++，∴2． 222()22m n m n++=，当且仅当1m n ==时取等号． 综上可得：ABD 正确． 故选：ABD ．12．（2020•昌平区二模）已知1a >，则41a a +-的最小值为 ． 【分析】由441111a a a a +=-++--，然后结合基本不等式即可求解． 【解答】解：因为1a >， 则444112(1)1511a a a a a +=-++-+=--， 当且仅当411a a -=-即3a =时取等号， 故答案为：513．（2020•北京模拟）为净化水质，向一个游泳池加入某种化学药品，加药后池水中该药品的浓度C （单位：/)mg L 随时间t （单位：)h 的变化关系为2204tC t =+，则经过 h 后池水中药品的浓度达到最大． 【分析】利用基本不等式的性质即可得出． 【解答】解：2202054442t C t t tt===++，当且仅当2t =时取等号．因此经过2h 后池水中药品的浓度达到最大． 故答案为：2．14．（2020•江苏模拟）已知正实数x ，y 满足21()1x x y y -=，则1x y +的最小值为 ．【分析】直接利用关系式的变换和不等式的性质的应用求出结果．【解答】解：已知正实数x ，y 满足21()1x x y y -=，整理得：21()yx y x-=，所以2211444()()24x y x y xx x y y y x y x y+=-+=+=，所以12x y+（当且仅当2y x =等号成立） 故1x y+的最小值为2． 故答案为：215．（2020•南开区二模）已知0ab >，则22222(4)2(4)541a b a b ab +++++的最小值为 ．【分析】根据题意，由基本不等式的性质分析可得222424a b a ab +⨯⨯=，进而可得2222222(4)2(4)5(4)2(4)5(41)44(41)41414141a b a b ab ab ab ab ab ab ab ab ++++++++==++++++，据此由基本不等式的性质分析可得4(41)41ab ab +++的最小值，即可得答案．【解答】解：根据题意，0ab >，则有222424a b a ab +⨯⨯=，当且仅当2a b =时等号成立，则原式2222222(4)2(4)5(4)2(4)5(41)44(41)41414141a b a b ab ab ab ab ab ab ab ab ++++++++===++++++， 又由0ab >，则411ab +>， 则有4(41)2(4441ab ab ab ++⨯=+，当且仅当412ab +=，即41ab =时等号成立，综合可得：22222(4)2(4)541a b a b ab +++++的最小值为4，当且仅当2a b ==时等号成立故答案为：4．16．（2019秋•淄博期末）若两个正实数x ，y 1+=26m m >-恒成立，则实数m 的取值范围是 ．【分析】先利用乘126m m -恒成立，可得26min m m >-，解不等式可求． 【解答】解：正实数x ，y 1=，88816==+=．=1+=，即4y =，64x =时取等号，此时取得最小值16，26m m >-恒成立， 则2166m m >-， 解可得28m -<<． 故答案为：(2,8)-17．（2020春•克东县期中）已知21x y +=． （1）求xy 的最大值； （2）求22x y +的最小值．【分析】（1）由21x y +=，可知2112(2)()222x y xy x y +=⨯，即可求解；（2）22222(12)541x y x x x x +=+-=-+，结合二次函数的性质可求． 【解答】解：（1）21x y +=，所以21121(2)()2228x y xy x y +=⨯=，当且仅当122x y ==即12y =，14x =时取等号，则xy 的最大值为18；（2）22222(12)541x y x x x x +=+-=-+， 结合二次函数的性质可知，当25x =时，函数取得最小值15．18．（2019秋•历城区校级期末）有一批材料，可以建成长为240米的围墙如图，如果用材料在一面靠墙的地方围成一块矩形的场地，中间用同样材料隔成三个相等面积的矩形，怎样围法才可取得最大的面积？并求此面积．【分析】结合已知条 件，利用基本不等式即可求解面积的最大值及取得的条件． 【解答】解：设每个小矩形的长为x ，宽为y ，依题意可知43240x y +=， 2603(2404)4(60)4()36002x x S xy x x x x +-==-=-=， 当且仅当30x =取等号，所以30x =时，23600()max S m =当面积相等的小矩形的长为30时，矩形面积最大，23600()max S m =19．（2020•全国Ⅰ卷模拟）若0a >，0b >，且223a b ab ++=． （1）求2a b +的最小值；（2）是否存在a 、b ，使得33a b += 【分析】根据基本不等式求解ab 的值域，然后求解（1）（2）．【解答】解：（1）由322222ab a b ab =+++，得2ab ，当且仅当22a b ==时成立， 所以232624a b ab +=--=，当且仅当22a b ==时成立， 所以2a b +的最小值为4．（2）由（1）知3333242a b a b +，当且仅当22a b ==，a b =时成立， 因为22a b ==，a b =不同时成立，所以33a b +>a ，b 使33a b += 20．已知a ，b 均为正实数，且3a b +=． （Ⅰ）求111a b++的最小值；（Ⅱ）若11|2||3|1x x a b--+++对任意的a ，*b R ∈恒成立，求实数x 的取值范围． 【分析】()I 由已知结合基本不等式即可求解最小值；()II 结合()I 中最小值的求解及含绝对值不等式的求法即可求解．【解答】解：（Ⅰ）因为a ，*b R ∈且3a b +=，得(1)4a b ++=， 所以22(1)4(1)[]()422a b a b +++==（当且仅当1a =，2b =时取等号）． 所以41(1)a b+，所以11(1)411(1)(1)a b a b a b a b +++==+++成立． 故111a b++的最小值为1 （Ⅱ）由（Ⅰ）知11|2||3|1x x a b--+++对任意的a ，*b R ∈恒成立， 3|2||3|151x x x <-⎧⇔--+⇔⎨⎩或32211x x -<⎧⎨--⎩或251x ⎧⎨-⎩， x φ⇔∈，或12x -，或21x x ⇔-．故实数x 的取值范围为[1-，)+∞．21．（2020•赣州模拟）已知正实数a ，b 满足4a b +=． （1）求14a b+的最小值． （2）证明：221125()()2a b a b +++．【分析】（1）由已知可得，14114()()4a b a b a b+=++，展开后利用基本不等式可求； （2）由11111()()4a b a b a b+=++，展开后结合基本不等式可求范围，然后由22211()11()()2a b a b a b a b ++++++即可证明．【解答】解：（1）正实数a ，b 满足4a b +=， ∴141141419()()(5)(52)4444b a a b a b a b a b a b +=++=+++=， 当且仅当4b a a b =且4a b +=即43a =，83b =时取得最小值94； （2）证明：4a b +=， ∴1111111()()(2)(22)1444b a a b a b a b a b +=++=+++=，∴2211(4)(41)25222a b +++=， 22221111()(4)1125()()222a b a b a b a b a b+++++∴+++=（当且仅当2a b ==时取等号）[B 组]—强基必备1．（2019秋•南城县校级期末）已知正数x ，y 满足1x y +=，且2211x y m y x +++，则m 的最大值为( )A ．163 B ．13C ．2D ．4【分析】根据题意，分析可得2244()51111x y y x y x +=+-++++，由基本不等式的性质求出4411y x +++的最小值，即可得2211x y y x +++的最小值，据此分析可得答案． 【解答】解：根据题意，正数x ，y 满足1x y +=，则2222(1)(1)4444(1)4(1)4()511111111x y y x y x y x y x y x y x --+=+=++-+++-=+-++++++++， 又由4414414(1)4(1)16()[(1)(1)][8]113113113x x x y y x y x y y +++=++++=++++++++， 当且仅当12x y ==时等号成立， 则2244161()55111133x y y x y x +=+--=++++，即2211x y y x +++的最小值为13， 若2211x y m y x +++，则m 的最大值为13； 故选：B ．2．（2020春•武侯区校级期中）已知正数x ，y 满足2x y +=，若2212x y a x y +++恒成立，则实数a 的取值范围是 ． 【分析】首先对关系式进行恒等变换，进一步整理得2222(11)(22)(1)2(1)1(2)4(2)41212x y x x y y x y x y +-+-+-+++-+++=+++++，最后利用基本不等式的应用求出结果．【解答】解：已知正数x ，y 满足2x y +=， 所以(1)(2)5x y +++=， 所以：12155x y +++=第 11 页 / 共 11 页 则：2222(11)(22)1212x y x y x y x y +-+-+=+++++， 22(1)2(1)1(2)4(2)412x x y y x y +-+++-++=+++， 14122412x y x y =+-+++-+++， 14112x y =+-++， 1214()()15512x y x y ++=++-++， 14(1)24155(2)5(1)5x y y x ++=+++-++ 1)241125y +-+=， 要使2212x y a x y +++恒成立，只需满足22()12min x y a x y +++即可， 故45a ． 故答案为：4(,]5-∞．。