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ItEsS /柚西祜站排酥福茂1. 二维形式的柯西不等式⑴定理1：若a, b, c, d都是实数，则(a2+ b2)(c2+ d2)>(ac+ bd)2，当且仅当ad= be时，等号成立.二维形式的柯西不等式(2)二维形式的柯西不等式的推论：(a + b)(c+ d) > ( ac+ bd)2(a, b, c, d 为非负实数);a2+ b2• c2+ d2> |ac+ bd|(a, b, c, d€ R);a2+ b2• c2+ d2> |ac| + |bd|(a, b, c, d€ R).2. 柯西不等式的向量形式定理2:设a, B是两个向量，则|a •澤| ” |件当且仅当B是零向量，或存在实数k, 使a= k B时，等号成立.［注意］柯西不等式的向量形式中a•其| a|B，取等号“=”的条件是B= 0或存在实数k,使a= k •3. 二维形式的三角不等式(1)定理3：也2+ y + v x2+ y2Z(X i —X2 2+ (y i —y2$(x i, y i, X2, R).当且仅当三点P i, P2与O共线，并且P i, P2点在原点O异侧时，等号成立.(2)推论：对于任意的X i, X2, X3, y i, y2,涉 R，有7 (x i —x3 2 +(y i —y3 2 +P(X2 - X3 f +( y2 - y3 2(x i —x?2+ (y i —y?2.事实上，在平面直角坐标系中，设点P i, P2, P3的坐标分别为(X i, y i), (X2, y2), (X3,y3),根据△ P i P2P3的边长关系有|P i P31+ |P2P3|> |P i P2|,当且仅当三点P i,卩2 ,卩3共线，并且点P i, P2在P3点的异侧时，等号成立.利用柯西不等式证明不等式a b2［例1］已知B为锐角，a, b€ R+,求证：一(a+ b)2.cos 0 sin 0［思路点拨］可结合柯西不等式，将左侧构造成乘积形式，利用“ 1 = sin20+ cos0”，然后用柯西不等式证明.a2b2［证明］J破+诙=為+滸0(8孑0+引『0》爲cos 0+盒sin 00=(a + b)2,2 b2：(a+b)2<cOs i+亦［右法-规律…卜结］----------------------------利用柯西不等式证明不等式的关键在于利用已知条件和所证不等式，把已知条件利用添项、拆项、分解、组合、配方、变量代换等，将条件构造成柯西不等式的基本形式，从而利用柯西不等式证明，但应注意等号成立的条件.1.已知a i, a2,切，b2为正实数.求证：(a i b i+ a2b2)畫+ 舊》(a i+ a?)2.证明：J (叭 + a2b2)b1+b•••原不等式成立.2.设a, b, c为正数，求证：a2+ b2+ b2+ c2+ a2+ c2> 2(a+ b+ c).证明：由柯西不等式，得a2+ b2• i2+ 12>a+ b,即 _ 2 • a2+ b2> a+ b.同理：，2 • b2+ c2> b+ c,2 • a2+ c2> a+ c,将上面三个同向不等式相加得:2(、J a 2+ b 2+ 工/b 2 + c 2 + --J a 2 + c 2) > 2(a + b + c)订a 2+ b 2 + p,b 2+ c 2 +、.../a 2+ c 2》；2(a + b +c).2 2a b+ > 2.2— a 2 — b证明：根据柯西不等式，有2 .2丄 +_b _2— a 2 — b声+戸厲丿2 =(a + b)2= 4. 2 2••亠 + 亠 > 4 = 2.2— a 2— b 2 — a + 2 — b 原不等式成立.［例2］ 求函数y = 3sin a+ 4cos a 的最大值.［思路点拨］函数的解析式是两部分的和，若能化为 ac + bd 的形式就能用柯西不等式求其最大值.［解］由柯西不等式得(3sin a+ 4cos a)2<(32+ 42)(sin 2 a+ cos a)= 25,• 3sin a+ 4cos a< 5.当且仅当sj y a= c os a>0即sin a= 5, cos a= 4时取等号，即函数的最大值为5.［方法•规律•小结〕利用柯西不等式求最值的注意点(1) 变形凑成柯西不等式的结构特征，是利用柯西不等式求解的先决条件；(2) 有些最值问题从表面上看不能利用柯西不等式，但只要适当添加上常数项或和为常 数的各项，就可以利用柯西不等式来解，这也是运用柯西不等式解题的技巧；(3)有些最值问题的解决需要反复利用柯西不等式才能达到目的，但在运用过程中，每 运用一次前后等号成立的条件必须一致，不能自相矛盾，否则就会出现错误.多次反复运 用柯西不等式的方法也是常用技巧之一.4.已知2x 2+ y 2 = 1,求2x + y 的最大值.3.设 a , b € R + ,且 a + b = 2.求证: [(2 — a + (2 - b )] 利用二维形式的柯西不等式求最值+解：••• 2x+ y= 2X 2x + 1X y w 厂22+ 12x 一2x 2+ y2= 3X 2x2+ y2= 3,当且仅当x= y=¥时取等号••• 2x+ y的最大值为 3.5.求函数y = x2—2x + 3+ x2—6x + 14的最小值.解：y= x— 1 2+ 2+ 3 —x 2+ 5,y2= (x—1)2+ 2 + (3 —x)2+ 5+ 2X 寸[(X—1 ：+ 2][(3—x$+ 5]》(x —1)2+ 2+ (3 —x)2 + 5 + 2X [(x—1)(3 —x) + 10]= [(x—1)+ (3 —x)]2+ (7 + 2 10) = 11 + 2 10.当且仅当即x=骰时等号成立.此时y min= 11+ 2一10= 10+ 1.1.已知a, b€ R +且a + b= 1,贝U P = (ax+ by)2与Q = ax2+ by2的大小关系是(A. P< QB. P v QC. P>QD. P>Q解析：选 A 设m= ( ax, , by), n = ( a, . b),则|ax + by| = |m-n|< |m||n| =旨上ax 2+ . by 2• a 2+ b 2= ax2+ by2• a + b = ax2+ by2,•(ax+ by)2w ax2+ by2,即P w Q.2. 若a, b€ R，且a2+ b2= 10,则a—b的取值范围是()A. [—2 5, 2 5 ]B. [—2 10, 2 10 ]C. [—10, 10 ]D. (—5, 5)解析：选 A (a2+ b2)[i2+ (—I)2] > (a—b)2,•/ a2+ b2= 10,•(a —b)2w 20.•••—2 5 w a —b w 25.3. 已知x+ y= 1，那么2x2+ 3,的最小值是()5A"625解析：选 B (2X 1 2+ 3y 2)[( 3)2+ ( 2)2]>( 6x + 6y)2=[ 6(x + y)]2= 6, 3 2当且仅当X = 5, y = 2时取等号， 即 2X 2 + 3y 2> 6.5故2X 2 + 3y 2的最小值为6.5 4. 函数y = X - 5+ 26 — x 的最大值是()A.3B. 5 C . 3D . 5解析：选B 根据柯西不等式，知y = 1X X — 5 + 2X 6— X <12+ 22x 寸&X —5 2 +(V 6 - x 2 = <5,当且仅当X = 26时取等号.5.设 xy>0,则 |x 2 + ___________ i'|y 2 + X 2 的最小值为 . 解析：原式=X 2+ £：+ y 2x £+ y y 2= 9,当且仅当xy=/2时取等号.答案：96. ______________________________________________ 设 a = (-2,1,2), |b|= 6，贝U a b 的最小值为 ________________________________________________ ，此时 b= ________ .解析：根据柯西不等式的向量形式，有 |a b|w |a| |b|,•••|a b|w - 2 2+ 12+ 22x 6= 18, 当且仅当存在实数 k , 使a = kb 时，等号成立.•••— 18W a b w 18,• a b 的最小值为一18, 此时 b =- 2a = (4, - 2,- 4). 答案：—18(4,- 2,- 4)7. _________________________________________________________ 设实数X , y 满足3X 2 + 2y 2w 6，贝V P = 2X + y 的最大值为 _______________________________ .解析：由柯西不等式得(2x + y)2w[( .3X )2+ ( 2y)2] • ： 2+ ： 2 = (3x 2+ 2y 2) £+ 1 w 6X f= 11,当且仅当C.3636 D.25y =爲时取等号，故P = 2x + y 的最大值为 11.4所以1 +丄》2.x y9.若x 2 + 4y 3 4= 5,求x + y 的最大值及此时 x , y 的值. 解：由柯西不等式得 [x 2+ (2y )2] 12+ j 1/ l> (x + y)2, 即(x + y)2w 5x 5 =严，x + y < 2.4 4 2 当且仅当x =空，即x = 4y 时取等号. 1 125••• x + y 的最大值为5， 1此时 x = 2, y = 2.10.求函数f(x)= 3cosx + 4, 1 + sin 2x 的最大值，并求出相应的 x 的值. 解：设 m = (3,4), n = (cosx , 1 + sin 2x),则 f(x) = 3cosx + 4 1 + sin 2x=|m n|w |m| |n|f(x)= 3cos x + 4 ・J 1 + sin 2x 取最大值 5 2.=^co&x + 1 + sin 2x • 32 + 42 =5 2,当且仅当m// n 时，上式取“=”. 此时，3 叮 1 + sin 2x — 4cos x = 0. 解得 sin x=-^, cosx = ^t^.5 5 故当 sin x =」,cosx = ^2时. 5 5「心=血 当且仅当 y .x' 时等号成立，此时 x = 1, y = 1. x + y = 2丄 x 2+ 4y 2= 5, 由彳x = 4y ,x = 2,得i 1l y= 1x — 2, 或丫 1 l y =- 1（舍去）.。
数学·选修4－5(人教A版)1.1不等式1.1.2 基本不等式一层练习1．设x,y∈R,且x＋y＝5,则3x＋3y的最小值为( ) A．10 B．6 3C．4 6 D．18 3答案：D2．下列不等式一定成立的是( )A．lg(x2＋14)>lg x(x>0)B．sin x＋1sin x≥2(x≠kπ,k∈Z) C．x2＋1≥2|x|(x∈R)D.1x2＋1>1(x∈R)不等式和绝对值不等式解析：应用基本不等式：x ,y ∈R ＋,x ＋y 2≥xy (当且仅当x ＝y 时取等号)逐个分析,注意基本不等式的应用条件及取等号的条件．当x >0时,x 2＋14≥2·x ·12＝x ,所以lg x 2＋14≥lg x (x >0),故选项A 不正确；运用基本不等式时需保证一正二定三相等,而当x ≠k π,k ∈Z 时,sin x 的正负不定,故选项B 不正确；由基本不等式可知,选项C 正确；当x ＝0时,有1x 2＋1＝1,故选项D 不正确．答案：C3．若a ,b ∈R ,且ab >0,则下列不等式中,恒成立的是( ) A ．a 2＋b 2>2ab B ．a ＋b ≥2ab C.1a ＋1b>2abD.b a ＋a b≥2解析：∵a 2＋b 2－2ab ＝(a －b )2≥0,∴A 错误． 对于B,C,当a <0时,b <0时,明显错误． 对于D,∵ab >0,∴b a ＋a b ≥2b a ·ab＝2. 答案：D二层练习4．(2013·福建卷)若2x ＋2y ＝1,则x ＋y 的取值范围是( ) A ．[0,2] B ．[－2,0]C ．[－2,＋∞) D．(－∞,－2]解析：利用基本不等式转化为关于x ＋y 的不等式,求解不等式即可． ∵2x ＋2y ≥22x ＋y ,2x ＋2y ＝1, ∴22x ＋y ≤1, ∴2x ＋y ≤14＝2－2,∴x ＋y ≤－2,即(x ＋y )∈(－∞,－2]． 答案：D5．(2013·山东卷)设正实数x ,y ,z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0,则当zxy取得最小值时．x ＋2y －z 的最大值为( ) A ．0 B.98 C ．2 D.94解析：含三个参数x ,y ,z ,消元,利用基本不等式及配方法求最值． z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x ,y ,z ∈R ＋),∴z xy ＝x 2－3xy ＋4y 2xy ＝x y ＋4y x －3≥2x y ·4yx－3＝1. 当且仅当x y ＝4yx ,即x ＝2y 时“＝”成立,此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2,∴x ＋2y －z ＝2y ＋2y －2y 2＝－2y 2＋4y ＝－2(y －1)2＋2. ∴当y ＝1时,x ＋2y －z 取最大值2. 答案：C6．(2013·山东卷)设正实数x 、y ,z 满足x 2－3xy ＋4y 2－z ＝0,则当xyz取得最大值时,2x ＋1y －2z的最大值为( )A ．0B ．1. C.94D ．3解析：含三个参数x ,y ,z ,消元,利用基本不等式及配方法求最值． z ＝x 2－3xy ＋4y 2(x >0,y >0,z >0), ∴xy z ＝xy x 2－3xy ＋4y 2＝1x y ＋4y x－3≤14－3＝1. 当且仅当x y ＝4yx,即x ＝2y 时等号成立,此时z ＝x 2－3xy ＋4y 2＝4y 2－6y 2＋4y 2＝2y 2,∴2x ＋1y －2z ＝22y ＋1y －22y 2＝－1y 2＋2y ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫1y －12＋1,∴当y ＝1时,2x ＋1y －2z 的最大值为1. 答案：B7．已知a >0,b >0,a ＋b ＝2,则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4 C.92 D ．5解析：∵a ＋b ＝2,∴a ＋b2＝1,∴1a ＋4b ＝1a ＋4b ⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 2＝52＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2a b ＋b 2a ≥52＋22a b ·b 2a ＝92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2a b ＝b 2a ，即b ＝2a 时，等号成立,故y ＝1a ＋4b 的最小值为92. 答案：C8．(2013·天津卷)设a ＋b ＝2,b >0,则12|a |＋|a |b 的最小值为________．解析：分a >0和a <0,去掉绝对值符号,用均值不等式求解． 当a >0时,12|a |＋|a |b ＝12a ＋a b ＝a ＋b 4a ＋a b ＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫b 4a ＋a b ≥54； 当a <0时,12|a |＋|a |b ＝1－2a ＋－a b ＝a ＋b －4a ＋－a b ＝－14＋⎝⎛⎭⎪⎫b －4a ＋－a b ≥－14＋1＝34. 综上所述,12|a |＋|a |b 的最小值是34.答案：349．(2013·天津卷)设a ＋b ＝2,b >0.则当a ＝______时,12|a |＋|a |b取得最小值．解析：利用已知条件将常数“1”代换,然后利用均值不等式求最值,同时对a 的正负进行分类讨论,得到a 的值． 由于a ＋b ＝2,所以12|a |＋|a |b ＝a ＋b 4|a |＋|a |b ＝a 4|a |＋b 4|a |＋|a |b,由于b >0,|a |>0时,所以b 4|a |＋|a |b ≥2b 4|a |·|a |b ＝1,因此当a >0时,12|a |＋|a |b 的最小值是14＋1＝54；当a <0时,12|a |＋|a |b 的最小值是－14＋1＝34,故12|a |＋|b |a 的最小值为34,此时⎩⎨⎧b 4|a |＝|a |b ，a <0，即a ＝－2.答案：－2三层练习10．若正数x ,y 满足x ＋3y ＝5xy .则3x ＋4y 的最小值是( ) A.245 B.285C ．5D ．6解析：将已知条件进行转化,利用基本不等式求解． ∵x >0,y >0,由x ＋3y ＝5xy 得15⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝1.∴3x ＋4y ＝15(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1y ＋3x ＝153xy ＋4＋9＋12y x ＝135＋15⎝ ⎛⎭⎪⎫3x y ＋12y x ≥135＋15×23x y ·12yx＝5(当且仅当x ＝2y 时取等号),∴3x ＋4y 的最小值为5.答案：C11．(2013·上海卷)设常数a >0,若9x ＋a 2x ≥a ＋1对一切正实数x 成立,则a 的取值范围是______．答案：⎣⎢⎡⎭⎪⎫15，＋∞12．设x ,y ∈R 且xy ≠0,则(x 2＋1y 2)(1x2＋4y 2)的最小值为________．解析：⎝ ⎛⎭⎪⎫x 2＋1y 2⎝ ⎛⎭⎪⎫1x 2＋4y 2＝5＋1x 2y 2＋4x 2y 2≥5＋21x 2y 2·4x 2y 2＝9,当且仅当x 2y 2＝12时,等号成立． 答案：913．提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况．在一般情况下,大桥上的车流速度v (单位：千米/时)是车流密度x (单位：辆/千米)的函数．当桥上的车流密度达到200辆/千米时,造成堵塞,此时车流速度为0；当车流密度不超过20辆/千米时,车流速度为60千米/时,研究表明：当20≤x ≤200时,车流速度v 是车流密度x 的一次函数．(1)当0≤x ≤200时,求函数v (x )的表达式；(2)当车流密度x 为多大时,车流量(单位时间内通过桥上某观点的车辆数,单位：辆/时)f (x )＝x ·v (x )可以达到最大,并求出最大值(精确到1辆/时)．解析：(1)由题意：当 0≤x ≤20时,v (x )＝60；当20≤x ≤200时,设v (x )＝ax ＋b .再由已知得⎩⎨⎧200a ＋b ＝0，20a ＋b ＝60，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－13，b ＝2003.故函数v (x )的表达式为v (x )＝⎩⎨⎧60，0≤x ≤20，13－x ，20<x ≤200.(2)依题意并由(1)可得f (x )＝⎩⎨⎧60x ，0≤x ≤20，13x－x ，20<x ≤200.当0≤x ≤20时,f (x )为增函数,故当x ＝20时,其最大值为60×20＝1200； 当20<x ≤200时,f (x )＝13x (200－x )≤13⎣⎢⎡⎦⎥⎤x ＋－x 22＝100003,当且仅当x ＝200－x ,即x ＝100时,等号成立．所以当x ＝100时,f (x )在区间(20,200]上取得最大值100003.综上,当x ＝100时,f (x )在区间[0,200]上取得最大值100003≈3333, 即当车流密度为100辆/千米时,车流量可以达到最大,最大值约为3333辆/时．1．在公式a 2＋b 2≥2ab 及a ＋b 2≥ab 的应用中,应注意三点：(1)a 2＋b 2≥2ab 和a ＋b 2≥ab 成立的条件是不同的,前者只要求a ,b 都是实数,而后者要求a ,b 都为正数,例如,(－1)2＋(－3)2≥2(－1)×(－3)成立,而－＋－2≥－－不成立．(2)关于不等式c ≥d 及c ≤d 的含义．不等式“c ≥d ”的含义是“或者c ＞d ,或者c ＝d ”,等价于“c 不小于d ”,即若c ＞d 或c ＝d 有一个正确,则c ≥d 正确．不等式“c ≤d ”读作c 小于或等于d ,其含义是“c <d 或者c ＝d ”,等价于“c 不大于d ”,即若c ＜d 或c ＝d 中有一个正确,则c ≤d 正确．(3)这两个公式都是带有等号的不等式,因此,对定理“当a ,b ∈R 时,a 2＋b 2≥2ab 当且仅当a ＝b 时等号成立”的含义要搞清楚．它的含义是： ①当a ＝b 时,a 2＋b 2＝2ab ； ②当a 2＋b 2＝2ab 时,a ＝b ； ③当a ≠b 时,a 2＋b 2＞2ab ； ④当a 2＋b 2＞2ab 时,a ≠b .对基本不等式：a ,b 为正数,则a ＋b 2≥ab 当且仅当a ＝b 时等号成立,作类似理解．2．解题时要注意考查“三要素”：①函数中的相关项必须都是正数；②变形后各项的和或积有一个必须是常数；③当且仅当各项相等时,“＝”号才能取到,可简化为“一正二定三相等”．求函数最值时,常将不满足上述条件的函数式进行“拆”、“配”等变形,使其满足条件,进而求出最值．有些题目,尽管形式上是x ＋p x型的式子,即两数之积为常数,但由于定义域的限制,不能使等号成立,如y ＝x ＋1x (x ≥5)的最小值,尽管x ＋1x ≥2,当x ＝1x 时,即x ＝1时取“＝”号,而x＝1不在其定义域[5,＋∞)内,因此不能使用基本不等式．这时可利用函数单调性来解：f (x )＝ax ＋bx (a ＞0,b ＞0),在⎝ ⎛⎦⎥⎤0，b a ,⎣⎢⎡⎭⎪⎫－b a ，0内是减函数,在 ⎣⎢⎡⎭⎪⎫ba ，＋∞,⎝⎛⎦⎥⎤－∞，－b a 内是增函数．函数图象如下图所示．另外,在证明或应用基本不等式解决一些较为复杂的问题时,需要同时或连续使用基本不等式,要注意保证取等号条件的一致性．。
授课主题不等式和绝对值不等式教学目标1．会用基本不等式证明一些简单问题．2．能够利用两项的平均值不等式求一些特定函数的最值，从而学会解决简单的应用问题．3．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：①|ax＋b|≤c；②|ax＋b|≥c.4．会利用绝对值的几何意义求解以下类型的不等式：|x－a|＋|x－b|≥c，|x－a|＋|x－b|≤c.教学内容1．两实数大小比较的三种情况．设a，b为两个实数，它们在实轴上的点分别记为A，B.如果A落在B的右边，则称a大于b，记为a＞b；如果A落在B的左边，则称a小于b，记作a＜b；如果A与B重合，则称a与b相等，记为a＝b.2．不等式的基本性质．(1)对称性：a＞b⇔b＜a.(2)传递性：a＞b，b＞c⇔a＞c.(3)加(减)：a＞b⇔a＋c＞b＋c.(4)乘(除)：a＞b，c＞0⇔ac＞bc；a＞b，c＜0⇔ac＜bc.(5)乘方：a＞b＞0⇒a n＞b n，其中n为正整数，且n≥2.(6)开方(取算术根)：a＞b＞0⇒na＞nb，其中n为正整数，且n≥2.(7)a＞b，c＞d⇒a＋c＞b＋d.本性质说明两个同向不等式相加，所得的不等式和原不等式同向．(8)a＞b＞0，c＞d＞0⇒ac＞bd.本性质说明两边都是正数的同时不等式两边分别相乘，所得的不等式和原不等式同向．3．基本不等式．定理1：设a，b∈R，则a2＋b2≥2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．定理2：如果a，b为正数，则a＋b2≥ab，当且仅当a＝b时，等号成立．我们称a＋b2为正数a，b的算术平均数，ab为正数a，b的几何平均数，因而这一定理可用语言叙述为：两个正数的算术平均数大于或等于它们的几何平均数．定理3：如果a ，b ，c 为正数，则a ＋b ＋c 3≥3abc ，当且仅当a ＝b ＝c 时，等号成立．我们称a ＋b ＋c 3为正数a ，b ，c 的算术平均数，3abc 为正数a ，b ，c 的几何平均数，定理3中的不等式为三个正数的算术—几何平均不等式，或简称为平均不等式．定理4(一般形式的算术—几何平均不等式)：如果a 1，a 2，…，a n 为n 个正数，则a 1＋a 2＋…＋a n n ≥na 1a 2…a n ，当且仅当a 1＝a 2＝…＝a n 时，等号成立． 4．绝对值的三角不等式．定理1：若a ，b 为实数，则|a ＋b |≤|a |＋|b |，当且仅当ab ≥0时，等号成立． 定理2：设a ，b ，c 为实数，则|a －c |≤|a －b |＋|b －c |. 等号成立⇔(a －b )(b －c )≥0，即b 落在a ，c 之间， 5．绝对值不等式的解法．(1)|ax ＋b |≤c ，|ax ＋b |≥c 型不等式的解法．①c ＞0，则|ax ＋b |≤c 的解为－c ≤ax ＋b ≤c ，|ax ＋b |≥c 的解为ax ＋b ≥c 或ax ＋b ≤－c ，然后根据a ，b 的值解出即可． ②c ＜0，则|ax ＋b |≤c 的解集为∅，|ax ＋b |≥c 的解集为R.(2)|x －a |＋|x －b |≥c ，|x －a |＋|x －b |≤c 型不等式的解法．解这类含绝对值的不等式的一般步骤是： ①令每个绝对值符号里的一次式为0，求出相应的根． ②把这些根由小到大顺序，它们把实数轴分为若干个区间．③在所分区间上，根据绝对值的定义去掉绝对值符号，讨论所得的不等式在这个区间上的解集． ④这些解集的并集就是原不等式的解集． 6．解不等式常用技巧．解不等式时，在不等式的两边分别作恒等变形，在不等式的两边同时加上(或减去)一个数或代数式，移项，在不等式的两边同时乘以(或除以)一个正数或一个正的代数式，得到的不等式都和原来的不等式等价．这些方法，也是利用综合法和分析法证明不等式时常常用到的技巧．题型一 用作差比较法比较大小例1 若x ∈R ，试比较(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)与(x ＋12)(x 2＋x ＋1)的大小．分析：根据这个式子的特点，先把代数式变形，再用作差法比较法比较大小． 解析：∵(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1－x 2)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x2(x ＋1)，(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1－12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x ＋1)． ∴(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)－(x ＋12)(x 2＋x ＋1)＝(x ＋1)(x 2＋x ＋1)－x 2(x ＋1)－(x ＋1)(x 2＋x ＋1)＋12(x 2＋x ＋1)＝12(x 2＋x ＋1)－12(x 2＋x )＝12>0. ∴(x ＋1)(x 2＋x 2＋1)>(x ＋12)(x 2＋x ＋1)．点评：比较大小的一般方法是作差比较法，先作差，再判断差与0的大小关系．若a －b >0.则a >b ；若a －b <0，则a <b ；若a －b ＝0，则a ＝b .作差比较法的步骤是①作差；②变形；③定号；④下结论． 巩 固 比较x 2－x 与x －2的大小．解析：(x 2－x )－(x －2)＝x 2－2x ＋2＝(x －1)2＋1，因为(x －1)2≥0， 所以(x －1)2＋1>0，即(x 2－x )－(x －2)>0. 所以x 2－x >x －2.题型二 用不等式性质证明或判断不等式 例2 已知a >b ，c <d ，求证，a －c >b －d ．证明：∵c <d ，∴－c >－d .又∵a >b ，∴a ＋(－c )>b ＋(－d )．即a －c >b －d .巩 固 设f (x )＝ax 2＋bx ，且－1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4.求证：－1≤f (－2)≤10.证明：设f (－2)＝mf (－1)＋nf (1)，即4a －2b ＝m (a －b )＋n (a ＋b )＝(m ＋n )a ＋(n －m )b .比较系数得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＝m ＋n ，2＝m －n ，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3，n ＝1.所以f (－2)＝3f (－1)＋f (1)． 又因为－1≤f (－1)≤2,2≤f (1)≤4， 所以－1≤f (－2)≤10.巩 固 如果a ，b ，c 均为正数且b <c ，则ab 与ac ＋bc 的大小关系是________．答案：ab <ac ＋bc题型三 利用基本不等式求函数的值域或最值 例3 已知x <54，求y ＝4x －2＋14x －5的最大值．解析：∵x <54，∴5－4x >0.∴y ＝4x －2＋14x －5＝－(5－4x ＋15－4x)＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x ＝15－4x，即x ＝1(x ＝32舍去)时等号成立，∴当x ＝1时，y max ＝1.巩 固 设x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1，则x1＋y 2的最大值为__________．分析：∵x 2＋y 22＝1是常数，∴x 2与y 22的积可能有最大值． ∴可把x 放到根号里面去考虑，即化为x 2(1＋y 2)， 注意到x 2与1＋y 2的积，应处理成2x 2·1＋y 22. 解析：方法一 ∵x ≥0，y ≥0，x 2＋y 22＝1， ∴x 1＋y 2＝x 2(1＋y 2)＝ 2x 2·1＋y 22≤2x 2＋1＋y 222＝2x 2＋y 22＋122＝324， 当且仅当x 2＝1＋y 22，即x ＝32，y ＝22时， x 1＋y 2取得最大值324.方法二 令 x ＝cos θ，y ＝2sin θ⎝⎛⎭⎫0≤θ≤π2， 则x1＋y 2＝cos θ1＋2sin 2θ＝2cos 2θ(1＋2sin 2θ)·12≤12·⎣⎡⎦⎤2cos 2θ＋(1＋2sin 2θ)22＝324.当2cos 2θ＝1＋2sin 2θ，即θ＝π6时，也即x ＝32，y ＝22时， x1＋y 2取得最大值324.答案：324题型四 利用基本不等式证明不等式例4 已知a ，b ∈(0，＋∞)且a ＋b ＝1，求证：(1)a 2＋b 2≥12；(2)1a 2＋1b2≥8.证明：由⎩⎪⎨⎪⎧a ＋b2≥ab ，a ＋b ＝1，a ，b ∈0，＋∞得ab ≤12.∴ab ≤14，1ab≥4.(1)∵a 2＋b 2＝(a ＋b )2－2ab ＝1－2ab ≥1－2×14＝12.∴a 2＋b 2≥12(2)∵1a 2＋1b 2≥2ab ≥8，∴1a 2＋1b2≥8 巩 固 已知x ，y >0且x ＋y ＝1.求证：(1＋1x )(1＋1y)≥9.证明：(1＋1x )(1＋1y )＝(x ＋1)(y ＋1)xy ＝(2x ＋y )(2y ＋x )xy ＝5xy ＋2(x 2＋y 2)xy ＝5＋2(x 2＋y 2)xy ≥5＋2×2xy xy ＝9.当且仅当x ＝y ＝12时取等号．∴(1＋1x )(1＋1y )≥9.题型五 证明不等式例5 设a ，b ，c ∈R ＋，求证：(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c)≥9.分析：观察式子的结构，通过变形转化来证明． 证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，∴a ＋b ＋c ≥33abc ，1a ＋1b ＋1c ≥33（abc ）－1，两不等式相乘，有：(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c )≥33abc ×33（abc ）－1＝9.∴(a ＋b ＋c )(1a ＋1b ＋1c)≥9.当且仅当a ＝b ＝c ＝0时，等号成立．巩 固 已知a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ＝1，求证：1a ＋1b ＋1c≥9.证明：∵a ，b ，c ∈R ＋，a ＋b ＋c ≥33abc .又a ＋b ＋c ＝1，∴3abc ≤13，∴13abc ≥3，∴1a ＋1b ＋1c ≥331abc ≥9. 即原不等式成立． 题型六 求函数的最值例6 已知x ∈R ＋，求函数y ＝x (1－x 2)的最大值．分析：为使数的“和”为定值，可以先平方，即y 2＝x 2(1－x 2)2＝x 2(1－x 2)(1－x 2)＝2x 2(1－x 2)(1－x 2)×12，求出最值后再开方．解析：∵y ＝x (1－x 2)， ∴y 2＝x 2(1－x 2)2＝12×2x 2(1－x 2)(1－x 2)≤12⎝⎛⎭⎫2x 2＋1－x 2＋1－x 233＝427.当且仅当2x 2＝1－x 2，即x ＝33时等号成立． ∴y ≤239.∴y max ＝239. 巩 固 设θ为锐角，求y ＝12sin 2 θ cos θ的最大值．解析：y 2＝14sin 4θcos 2θ＝18×2sin 2θ sin 2θ cos 2θ≤18⎝⎛⎭⎫sin 2θ＋sin 2θ＋2 cos 2θ33＝127.当且仅当sin 2 θ＝2cos 2θ＝2－2sin 2θ. 即sin θ＝63时取等号，此时y max ＝39. 题型七 利用绝对值三角不等式证明不等式例7 若|a －b |＞c ，|b －c |＜a ，求证：c ＜a .证明：由|a －b |＞c 及|b －c |＜a 得c －a ＜|a －b |－|b －c |≤|(a －b )＋(b －c )|＝|a －c |＝|c －a |. 由c －a ＜|c －a |知c －a ＜0，故c ＜a .点评：不等式的证明方法比较多．关键是从式子的结构入手进行分析．多联想定理的形式以便用好它． 巩 固 设ε＞0，|x －a |＜ε4，|y －b |＜ε6. 求证：|2x ＋3y －2a －3b |＜ε.分析：将2x ＋3y －2a －3b 写成2(x －a )＋3(y －b )的形式后利用定理1和不等式性质证明． 证明：|2x ＋3y －2a －3b |＝|2(x －a )＋3(y －b )|≤|2(x －a )|＋|3(y －b )|＝2|x －a |＋3|y －b |＜2×ε4＋3×ε6＝ε.巩 固 设m 等于|a |、|b |和1中最大的一个．当|x |>m 时，求证：⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2<2.分析：本题的关键是对题设条件的理解和运用，|a |、|b |和1这三个数中哪一个最大．如果两两比较大小，将十分复杂，我们可得到一个重要的信息：m ≥|a |，m ≥|b |，m ≥1.证明：∵m 等于|a |，|b |和1中最大的一个，|x |>m ， ∴⎩⎪⎨⎪⎧|x |>m ≥|a |，|x |>m ≥|b |，|x |>m ≥1⇒⎩⎪⎨⎪⎧|x |>|a |，|x |2>|b |.∴⎪⎪⎪⎪a x ＋b x 2≤⎪⎪⎪⎪a x ＋⎪⎪⎪⎪b x 2＝|a ||x |＋|b ||x |2<|x ||x |＋|x |2|x |2＝2，故原不等式成立．巩 固 设A 、ε>0，|x －a |<ε2，|y －b |<ε2，|b |≤A ，|x |≤A ，求证：|xy －ab |<Aε.证明：|xy －ab |＝|xy －bx ＋bx －ab |＝|x (y －b )＋b (x －a )|≤|x (y －b )|＋|b (x －a )| ≤|x ||y －b |＋|b ||x －a |<A ·ε2＋A ·ε2＝Aε.所以有|xy －ab |<Aε.巩 固 已知函数f (x )＝x 2－x ＋13，|x －a |<1，求证：|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．证明：|f (x )－f (a )|＝|x 2－x ＋13－(a 2－a ＋13)|＝|x 2－a 2－x ＋a |＝|(x －a )(x ＋a －1)|＝|x －a ||x ＋a －1|<|x ＋a －1| ＝|x －a ＋2a －1|≤|x －a |＋|2a －1|<1＋|2a |＋1＝2(|a |＋1)． ∴|f (x )－f (a )|<2(|a |＋1)．题型八 利用绝对值三角不等式求最值例8 设a ，b ∈R 且|a ＋b ＋1|≤1，|a ＋2b ＋4|≤4，求|a |＋|b |的最大值．解析：|a ＋b |＝|(a ＋b ＋1)－1|≤|a ＋b ＋1|＋|－1|≤1＋1＝2，|a －b |＝|3(a ＋b ＋1)－2(a ＋2b ＋4)＋5|≤3|a ＋b ＋1|＋2|a ＋2b ＋4|＋5≤3×1＋2×4＋5＝16. ①当ab ≥0时，|a |＋|b |＝|a ＋b |≤2； ②当ab <0时，则a (－b )>0， |a |＋|b |＝|a |＋|－b |＝|a ＋(－b )|≤16. 总之，恒有|a |＋|b |≤16. 而a ＝8，b ＝－8时，满足|a ＋b ＋1|＝1，|a ＋2b ＋4|＝4，且|a |＋|b |＝16. 因此|a |＋|b |的最大值为16.巩 固 求函数y ＝|x －3|－|x ＋1|的最大值和最小值．分析：若把x －3，x ＋1看作两个实数，则所给的代数式符合两个数绝对值的差的形式，因而可以联想到两个数和(差)的绝对值与两个数绝对值的和(差)之间的关系，进而可转化求解，另一思维是：含有这种绝对值函数式表示的是分段函数，所以也可以视为是分段函数求最值．解析：方法一 ∵||x －3|－|x ＋1||≤|(x －3)－(x ＋1)|＝4， ∴－4≤|x －3|－|x ＋1|≤4. ∴ymax＝4，ymin＝－4.方法二 把函数看作分段函数． y ＝|x －3|－|x ＋1|＝⎩⎪⎨⎪⎧4，x <－1，2－2x ，－1≤x ≤3，－4，x >3.∴－4≤y ≤4，∴y max ＝4，y min ＝－4.点评：对于含有两个以上绝对值的代数式，通常利用分段讨论的方法转化为分段函数，进而利用分段函数的性质解决相应问题．利用含绝对值不等式的性质定理进行“放缩”，有时也能产生比较好的效果，但这需要准确地处理“数”的差或和，以达到所需要的结果．题型九 |ax ＋b |≤e （或|ax ＋b |≥e ）（e >0）型不等式的解法 例9 解下列不等式．(1)⎪⎪⎪⎪x ＋12＞2； (2)|3x －1|≤6.分析：解两个不等式的关键是去掉绝对值符号．解析：(1)方法一 原不等式即⎪⎪⎪⎪x －⎝⎛⎭⎫－12＞2，它表示与点－12的距离大于2的点的集合，如下图所示，所以符合条件的x 的范围是x ＞2＋⎝⎛⎭⎫－12或x ＜－2＋⎝⎛⎭⎫－12，即原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＜－52或x ＞32.方法二 因为⎪⎪⎪⎪x ＋12＞2⇔x ＋12＞2或x ＋12＜－2⇔x ＞32或x ＜－52， 所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪x ＞32或x ＜－52. (2)由于|3x －1|≤6⇔－6≤3x －1≤6，即－5≤3x ≤7， ∴－53≤x ≤73，所以原不等式的解集是⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪－53≤x ≤73. 巩 固 解下列不等式(1)|1－2x |>5； (2)|4x －1|＋2≤10.解析：(1)|1－2x |>5⇔|2x －1|>5⇔2x －1>5或2x －1<－5⇔2x >6或2x <－4⇔x >3或x >－2. 所以原不等式的解集为{x |x >3或x <－2}(2)|4x －1|＋2≤10⇔|4x －1|≤10－2⇔|4x －1|≤8⇔－8≤4x －1≤8⇔－7≤4x ≤9⇔－74≤x ≤94.所以原不等式的解集为⎩⎨⎧⎭⎬⎫x －74≤x ≤94.题型十 绝对值不等式的综合性问题 例10 已知不等式|x ＋3|＞2|x |，①x ＋2x 2－3x ＋2≥1，②2x 2＋mx －1＜0，③若同时满足①②的x 值也满足③，求m 的取值范围． 解析：由|x ＋3|＞2|x |解得－1＜x ＜3， 由x ＋2x 2－3x ＋2≥1解得0≤x ＜1或2＜x ≤4，∴0≤x ＜1或2＜x ＜3.由2x 2＋mx －1＜0解得－m －m 2＋84＜x ＜－m ＋m 2＋84，满足①②的x 值也满足③，则有⎩⎪⎨⎪⎧－m －m 2＋84＜0，－m ＋m 2＋84≥3.∴m ≤－173，即m 的取值范围是⎝⎛⎦⎤－∞，－173. 巩 固 x 2－2|x |－15>0的解集是________．解析：∵|x |2－2|x |－15>0， ∴|x |>5或|x |<－3(舍去)．∴x <－5或x >5.故不等式的解集为{x |x <－5或x >5}． 答案：{x |x <－5或x >5}题型十一 |x －a |＋|x －b |≥c (或|x －a |＋|x －b |≤c )型不等式的解法 例11 解不等式|x ＋1|＋|x －1|≥3.分析：本题可以用分段讨论法或数形结合法求解．对于形如|x ＋a |＋|x ＋b |的代数式，可以认为是分段函数． 解析：方法一 如下图，设数轴上与－1,1对应的点分别为A ，B ，那么A ，B 两点的距离和为2，因此区间[－1,1]上的数都不是不等式的解．设在A 点左侧有一点A 1到A ，B 两点的距离和为3，A 1对应数轴上的x .∴－1－x ＋1－x ＝3，得x ＝－32，同理设B 点右侧有一点B 1到A ，B 两点距离和为3，B 1对应数轴上的x ， ∴x －1＋x －(－1)＝3.∴x ＝32.从数轴上可看到，点A 1，B 1之间的点到A ，B 的距离之和都小于3；点A 1的左边或点B 1的右边的任何点到A ，B 的距离之和都大于3.∴原不等式的解集是(－∞，－32]∪[32，＋∞).方法二 当x ≤－1时，原不等式可以化为－(x ＋1)－(x －1)≥3， 解得x ≤－32.当－1<x <1时，原不等式可以化为x ＋1－(x －1)≥3，即2≥3.不成立，无解． 当x ≥1时，原不等式可以化为x ＋1＋x －1≥3.所以x ≥32.综上，可知原不等式的解集为{x|x ≤－32或x ≥32}.方法三 将原不等式转化为|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.构造函数y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3，即y ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2x －3，x ≤－1，－1，－1<x <1，2x －3，x ≥1.作出函数的图象(如下图)． 函数的零点是－32，32.从图象可知，当x ≤－32或x ≥32时，y ≥0，即|x ＋1|＋|x －1|－3≥0.所以原不等式的解集为⎝⎛⎦⎤－∞，－32∪⎣⎡⎭⎫32，＋∞. 点评：这三种解法以第二种解法最重要，但是其中的分段讨论要遵循分类讨论的原则“不重不漏”；第一种解法中，关键是找到一些特殊的点如A 1，B 1；第三种解法中，准确画出图象，是y ＝|x ＋1|＋|x －1|－3的图象，而不是y ＝|x ＋1|＋|x －1|的，其次函数的零点要找准．这些都是求解集的关键． 巩 固 解不等式|x －1|＋|x －2|>5.解析：方法一 分类讨论|x －1|＝0.|x －2|＝0的根1,2把数轴分成三个区间．在这三个区间上，根据绝对值的定义．代数式|x －1|＋|x －2|有不同的解析表达式，因而原不等式的解集为以下三个不等式组解集的并集．(1)因为在x ≤1的限制条件之下：|x －1|＋|x －2|＝1－x ＋2－x ＝3－2x ，所以当x ≤1时，|x －1|＋|x －2|>5⇔3－2x >5⇔2x <－2⇔x <－1.因此不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ x ≤1，|x －1|＋|x －2|>5的解集为(－∞，－1)．(2)因为在1<x <2的限制条件之下： |x －1|＋|x －2|＝x －1＋2－x ＝1.所以当1<x <2时．不等式|x －1|＋|x －2|>5无解．因此不等式组⎩⎪⎨⎪⎧ 1<x <2，|x －1|＋|x －2|>5的解集为∅.(3)由于在x ≥2的限制条件之下： |x －1|＋|x －2|＝x －1＋x －2＝2x －3，所以当x ≥2时，|x －1|＋|x －2|>5⇔2x －3>5⇔2x >8⇔x >4.所以不等式组⎩⎪⎨⎪⎧x ≥2，|x －1|＋|x －2|>5的解集为(4，＋∞)．于是原不等式的解集为以上三个不等式组解集的并集，即(－∞，－1)∪∅∪(4，＋∞)＝(－∞，－1)∪(4，＋∞)．方法二 |x －1|＋|x －2|>5⇔|x －1|＋|x －2|－5>0.构造函数f (x )＝|x －1|＋|x －2|－5，于是原不等式的解集为{x |f (x )>0}．写出f (x )的分段解析表达式：f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧ －2x －2，x ≤1，－4，1<x <2，2x －8，x ≥2.作出函数f (x )的图象如下图所示．f (x )为分段函数，其零点为－1,4，于是f (x )>0⇔x <－1或x >4.所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．方法三 x 为不等式|x －1|＋|x －2|>5的解集⇔x 是与数轴的点A (1)及B (2)两点距离之和大于5的点．由于A 、B 两点的距离1，线段AB 上的点不符合要求，利用图形(如上图)，可知符合条件的点应该是在A 点的左侧离A 最近距离是2，在B 点的右侧离B 最近距离为2的点处，即x >4或x <－1，所以原不等式的解集为(－∞，－1)∪(4，＋∞)．题型十二 函数图象相关的应用题例12 解关于x 的不等式|log a ax 2|＜|log a x |＋2.分析：换元求解，令log a x ＝t .解析：原不等式化为|1＋2log a x |＜|log a x |＋2，令t ＝log a x ，所以|2t ＋1|＜|t |＋2，两边平方得：4t 2＋4t ＋1＜t 2＋4|t |＋4⇒3t 2＋4t －4|t |－3＜0.当t ≥0时，3t 2－3＜0⇒t 2＜1⇒－1＜t ＜1，所以0≤t ＜1；当t ＜0时，3t 2＋8t －3＜0⇒－3＜t ＜13， 所以－3＜t ＜0.综上所述，－3＜t ＜1.因为t ＝log a x ，所以－3＜log a x ＜1.当0＜a ＜1时，a ＜x ＜a －3，当a ＞1时，a －3＜x ＜a ，所以原不等式的解集为：当0＜a ＜1时，{x |a ＜x ＜a －3}；当a ＞1时，{x |a －3＜x ＜a }． 巩 固 已知y ＝log a (2－ax )在(0,1)上是增函数，则不等式log a |x ＋1|>log a|x －3|的解集为( )A ．{x |x <－1}B ．{x |x <1}C ．{x |x <1，且x ≠－1}D ．{x |x >1}解析：∵y ＝log a(2－ax )在(0,1)上是增函数， 又a >0，∴2－ax 为减函数．∴0<a <1，即y ＝log ax 为减函数． ∴|x ＋1|<|x －3|，且x ＋1≠0，x －3≠0，即x ≠－1，且x ≠3.由|x ＋1|<|x －3|，得(x ＋1)2<(x －3)2，∴x 2＋2x ＋1<x 2－6x ＋9.∴x <1.结上可得x <1且x ≠－1.答案：C不等式1．若a ，b ，c ，d ∈R ，且a ＞b ，c ＞d ，那么( )A ．a －c ＞b －dB ．ac ＞bdC ．－a d ＞－b cD ．a －d ＞b －c答案：D2．若1a <1b<0，则下列等式： ①1a ＋b <1ab ；②|a |＋b >0；③a －1a >b －1b ；④ln a 2>ln b 2. 其中，正确的不等式是( )A ．①④B ．②③C ．①③D ．②④ 答案：C3．若a ，b ∈R ，则不等式：①a 2＋3>2a ；②a 2＋b 2≥2(a －b －1)；③a 5＋b 5>a 3b 2＋a 2b 3；④a ＋1a≥2中一定成立的是( ) A ．①②③B ．①②④C ．①②D ．②④答案：C4．若x >54，则f (x )＝4x ＋14x －5的最小值为( ) A ．－3B ．2C ．5D ．7答案：D5．若a >0，b >0，且ln(a ＋b )＝0，则1a ＋1b的最小值是( ) A.14B ．1C ．4D ．8 答案：C6．当点(x ，y )在直线x ＋3y ＝2上移动时，表达式3x ＋27y ＋1的最小值为( )A ．3B ．5C ．1D ．7答案：D7．若1<a <3，－4<b <2，则a －|b |的取值范围是________答案：(－3,3)8．设正数x ，y 满足log 2(x ＋y ＋3)＝log 2x ＋log 2y ，则x ＋y 的最小值为________．答案：69．设x ，y ，z 为正实数，满足x －2y ＋3z ＝0，则y 2xz的最小值是________． 答案：310．若正实数x ，y ，满足2x ＋y ＋6＝xy ，则xy 的最小值是________．解析：由x >0，y >0,2x ＋y ＋6＝xy 得xy ≥22xy ＋6(当且仅当2x ＝y 时，取“＝”)，即(xy )2－22(xy )－6≥0.∴(xy －32)(xy ＋2)≥0.又∵xy >0，∴xy ≥32，即xy ≥18.∴xy 的最小值为18.答案：1811．已知a ，b ，c 均为正数，且a ＋b ＋c ＝1.求证：1a ＋1b ＋1c≥9. 证明：1a ＋1b ＋1c ＝a ＋b ＋c a ＋a ＋b ＋c b ＋a ＋b ＋c c＝3＋⎝⎛⎭⎫b a ＋a b ＋⎝⎛⎭⎫c a ＋a c ＋⎝⎛⎭⎫c b ＋b c ≥3＋2＋2＋2＝9. 当且仅当a ＝b ＝c ＝13时取等号． 12．已知x ，y ，z 都为正数，且xyz (x ＋y ＋z )＝1.求证：(x ＋y )(y ＋z )≥2.证明：由已知得xz ＞0，y (x ＋y ＋z )＞0.又xyz (x ＋y ＋z )＝1，所以(x ＋y )(y ＋z )＝xy ＋xz ＋y 2＋yz ＝xz ＋y (x ＋y ＋z )≥2xz ·y (x ＋y ＋z )＝2，即(x ＋y )(y ＋z )≥2.当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧xz ＝y (x ＋y ＋z )，xyz (x ＋y ＋z )＝1时取等号． 13．(1)已知x >1，求函数y ＝x 2x －1的最小值； (2)若x <12，求函数y ＝2x ＋2＋12x －1的最大值． 解析：(1)y ＝x 2x －1＝(x ＋1)(x －1)＋1x －1＝x ＋1＋1x －1＝x －1＋1x －1＋2. ∵x >1，∴x －1>0.∴y ＝x －1＋1x －1＋2≥2(x －1)·1x －1＋2＝4. 当且仅当x －1＝1x －1，即x ＝2时等号成立． ∴y min ＝4.(2)y ＝2x ＋2＋12x －1＝(2x －1)＋12x －1＋3 ∵x <12，∴2x －1<0.即1－2x >0. ∴y ＝2x ＋2＋12x －1＝－⎣⎡⎦⎤(1－2x )＋11－2x ＋3≤－2(1－2x )·1(1－2x )＋3＝1. 当且仅当1－2x ＝11－2x，即x ＝0时，等号成立． ∴y max ＝1.绝对值不等式1．已知集合A ＝{x |x 2－5x ＋6≤0}，B ＝x |2x －1|>3，则A ∩B 等于( )A ．{x |2≤x ≤3}B ．{x |2≤x <3}C ．{x |2<x ≤3}D ．{x |－1<x <3}答案：C2．不等式|x ＋3|－|x －3|>3的解集是( )A ．{x|x >32} B ．{x|32<x ≤3} C ．{x |x ≥3} D ．{x |－3<x ≤0}答案：A3．不等式|x ＋2|≥|x |的解集是________．答案：{x |x ≥－1}4．|x －1|＋|x ＋2|＋|x |>10的解集是________．答案：{x|x >3或x <－113} 5．x 2－2|x |－15>0的解集是________．答案：(－∞，－5)∪(5，＋∞)6．解不等式|x ＋5|－|x －3|>10.解析：|x ＋5|＝0，|x －3|＝0的根为－5,3.(1)当x ≤－5时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔－x －5＋x －3>10⇔－18>10.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≤－5，|x ＋5|－|x －3|>10的解集为∅. (2)当－5<x <3时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔x ＋5＋x －3>10⇔2x ＋2>10⇔x >4.所以⎩⎪⎨⎪⎧ －5<x <3，|x ＋5|－|x －3|>10的解集为∅. (3)当x ≥3时，|x ＋5|－|x －3|>10⇔x ＋5－x ＋3>10⇔8>10.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ≥3，|x ＋5|－|x －3|>0的解集为∅. 综上所述，原不等式的解集为∅.7．解不等式x ＋|2x －1|<3.解析：原不等式可化为⎩⎪⎨⎪⎧ 2x －1≥0，x ＋(2x －1)<3或⎩⎪⎨⎪⎧2x －1<0，x －(2x －1)<3. 解得12≤x <43或－2<x <12. 所以原不等式的解集是{x |－2<x <43}． 8．解不等式|x 2＋x －2|>x .解析：当x <0时，原不等式恒成立；当x ≥0时，原不等式可化为x 2＋x －2>x 或x 2＋x －2<－x .即x 2>2或x 2＋2x －2<0.∴x >2或x <－2或－1－3<x <－1＋ 3.又x ≥0，∴0≤x <3－1或x > 2.综上所述，原不等式的解集是{x |x <3－1或x >2}．9．解不等式|x 2－3x －4|＞x ＋2.解析：方法一 原不等式等价于x ＋2≤0①或⎩⎪⎨⎪⎧x ＋2＞0，x 2－3x －4＞x ＋2或x 2－3x －4＜－(x ＋2).② 由①⇔x ≤－2，由②⇔⎩⎨⎧x ＞－2，x ＞2＋10或x ＜2－10或1－3＜x ＜1＋3⇔－2＜x ＜2－10或x ＞2＋10或1－3＜x ＜1＋3，所以原不等式的解集为(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．方法二 原不等式等价于⎩⎪⎨⎪⎧ x 2－3x －4≥0，x 2－3x －4＞x ＋2或⎩⎪⎨⎪⎧x 2－3x －4＜0，－(x 2－3x －4)＞x ＋2. 即⎩⎨⎧ (x ＋1)(x －4)≥0，(x －2－10)(x －2＋10)＞0①或⎩⎨⎧(x ＋1)(x －4)＜0，(x －1－3)(x －1＋3)＜0，② ∴不等式组①的解集为(－∞，2－10)∪(2＋10，＋∞)，不等式组②的解集为(1－3，1＋3)．所以原不等式的解集为(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．方法三 原不等式等价于[(x 2－3x －4)＋(x ＋2)][(x 2－3x －4)－(x ＋2)]＞0即(x 2－2x －2)(x 2－4x －6)＞0，(x －1－3)(x －1＋3)(x －2－10)(x －2＋10)＞0，结合图形(如上图)可知原不等式的解集为(－∞，2－10)∪(1－3，1＋3)∪(2＋10，＋∞)．10．若x ∈R 不等式|x －1|＋|x －2|≤a 的解集为非空集合．求实数a 的取值范围．解析：要使|x －1|＋|x －2|≤a 的解集非空，只需a 不小于|x －1|＋|x －2|的最小值即可．由|x －1|，|x －2|可以看作数轴上的点到1,2两点的距离，可以看出|x －1|＋|x －2|的最小值为1.所以a ≥1.故a 的取值范围是[1，＋∞)．11．已知f (x )＝|ax ＋1|(a ∈R)，不等式f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}．(1)求a 的值；(2)若f (x )－2f ⎝⎛⎭⎫x 2≤k 恒成立，求k 的取值范围．解析：(1)由|ax ＋1|≤3得－4≤ax ≤2，又f (x )≤3的解集为{x |－2≤x ≤1}，所以当a ≤0时，不合题意．当a >0时，－4a ≤x ≤2a，得a ＝2.(2)记h(x)＝f(x)－2f(x2)，则h(x)＝⎩⎪⎨⎪⎧1，x≤－1，－4x－3，－1<x<－12，－1，x≥－12.所以|h(x)|≤1，因此k≥1.所以k的取值范围是[1，＋∞)．12．已知函数f(x)＝|2x－1|＋|2x＋a|，g(x)＝x＋3.(1)当a＝－2时，求不等式f(x)<g(x)的解集；(2)设a>－1，且当x∈－a2，12时，f(x)≤g(x)，求a的取值范围．解析：(1)当a＝－2时，不等式f(x)<g(x)化为|2x－1|＋|2x－2|－x－3<0，设函数y＝|2x－1|＋|2x－2|－x－3，y＝⎩⎪⎨⎪⎧－5x，x<12，－x－2，12≤x≤1，3x－6，x>1.其图象如图所示，从图象可知，当且仅当x∈(0,2)时，y<0，∴原不等式解集是{x|0<x<2}．(2)当x∈－a2，12时，f(x)＝1＋a，不等式f(x)≤g(x)化为1＋a≤x＋3，∴x≥a－2对x∈－a2，12都成立，故－a2≥a－2，即a≤43，∴a的取值范围为⎝⎛⎦⎤－1，43.13．如下图，O为数轴的原点，A，B，M为数轴上三点，C为线段OM上的动点，设x表示C与原点的距离，y表示C到A距离的4倍与C到B距离的6倍的和．(1)将y表示为x的函数．(2)要使y的值不超过70，x应该在什么范围内取值？解析：(1)由题设，CO＝x，CA＝|10－x|，CB＝|20－x|，故y＝4×|10－x|＋6×|20－x|，x∈[0,30]，即y＝⎩⎪⎨⎪⎧160－10x，x∈[0，10]，80－2x，x∈(10，20]，10x－160，x∈(20，30].(2)令y≤70，当x∈[0,10]时，由160－10x≤70得x≥9，故x∈[9,10]；当x∈(10,20]时，由80－2x≤70得x≥5，故x∈(10,20]；当x∈(20,30]时，由10x－160≤70得x≤23，故x∈(20,23]．综上知，x∈[9,23]．。
