【高考精品复习】第七篇 不等式 第4讲 基本不等式

第4讲 基本不等式基础知识整合1．重要不等式a 2＋b 2≥012ab (a ，b ∈R )(当且仅当02a ＝b 时等号成立)．2．基本不等式ab ≤a ＋b2(1)基本不等式成立的条件：03a >0，b >0；(2)等号成立的条件：当且仅当04a ＝b 时等号成立； (3)其中a ＋b2叫做正数a ，b 的05算术平均数，ab 叫做正数a ，b 的06几何平均数．3．利用基本不等式求最大、最小值问题 (1)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且xy ＝P (定值)，那么当07x ＝y 时，x ＋y 有08最小值2P .(简记：“积定和最小”) (2)如果x ，y ∈(0，＋∞)，且x ＋y ＝S (定值)，那么当09x ＝y 时，xy 有10最大值S 24.(简记：“和定积最大”)1．常用的几个重要不等式 (1)a ＋b ≥2ab (a >0，b >0)； (2)ab ≤⎝⎛⎭⎪⎫a ＋b 22(a ，b ∈R )；(3)⎝ ⎛⎭⎪⎫a ＋b 22≤a 2＋b 22(a ，b ∈R )； (4)b a ＋a b≥2(a ，b 同号)．以上不等式等号成立的条件均为a ＝b . 2．利用基本不等式求最值的两个常用结论(1)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若ax ＋by ＝1，则有1x ＋1y＝(ax ＋by )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋1y ＝a ＋b ＋by x ＋ax y≥a ＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.(2)已知a ，b ，x ，y ∈R ＋，若a x ＋b y＝1，则有x ＋y ＝(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫a x ＋b y ＝a ＋b ＋ay x ＋bx y≥a＋b ＋2ab ＝(a ＋b )2.1．已知a ，b ∈R ＋，且a ＋b ＝1，则ab 的最大值为( ) A ．1 B.14 C.12 D.22答案 B解析 ∵a ，b ∈R ＋，∴1＝a ＋b ≥2ab ，∴ab ≤14，当且仅当a ＝b ＝12时等号成立，即ab的最大值为14.故选B.2．已知a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，下列各式中最大的是( ) A ．a 2＋b 2B ．2abC ．2abD ．a ＋b答案 D解析 ∵a ，b ∈(0,1)且a ≠b ，则显然有a ＋b >2ab ，a 2＋b 2>2ab .下面比较a 2＋b 2与a ＋b 的大小．由于a ，b ∈(0,1)，∴a 2<a ，b 2<b ，∴a 2＋b 2<a ＋b .故各式中最大的是a ＋b .3．下列函数中，最小值为4的是( ) A ．y ＝x ＋4xB ．y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π)C ．y ＝4e x＋e －xD ．y ＝log 3x ＋log x 3(0<x <1)答案 C解析 A 中x 的定义域为{x |x ∈R ，且x ≠0}，函数没有最小值；B 中若y ＝sin x ＋4sin x(0<x <π)取得最小值4，则sin 2x ＝4，显然不成立；D 中由0<x <1，则log 3x ∈(－∞，0)，y ＝log 3x ＋log x 3＝log 3x ＋1log 3x 没有最小值；C 中y ＝4e x ＋e －x ＝4e x ＋1e x ≥4，当且仅当4e x ＝e －x，即x ＝－ln 2时，函数的最小值为4.故选C.4．(2019·山西晋城模拟)已知a >0，b >0，a ＋b ＝2，则y ＝1a ＋4b的最小值是( )A.72 B ．4C.92 D ．5答案 C解析 y ＝12(a ＋b )⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋4b ＝12⎝ ⎛⎭⎪⎫5＋4a b ＋b a ≥92⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＝23，b ＝43时等号成立，即1a ＋4b 的最小值是92.故选C.5．若x ，y 是正数，则⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是( ) A ．3B.72 C ．4 D.92答案 C解析 原式＝x 2＋x y ＋14y 2＋y 2＋y x ＋14x 2≥4.当且仅当x ＝y ＝22时取“＝”号，即⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y ＋12x 2的最小值是4. 6.3－aa ＋6(－6≤a ≤3)的最大值为________．答案 92解析 当a ＝－6或a ＝3时，3－aa ＋6＝0；当－6<a <3时，3－a a ＋6≤3－a ＋a ＋62＝92， 当且仅当3－a ＝a ＋6，即a ＝－32时取等号．故3－aa ＋b (－6≤a ≤3)的最大值为92.核心考向突破精准设计考向，多角度探究突破考向一 利用基本不等式求最值 角度1 利用配凑法求最值例1 (1)已知0<x <1，则x (3－3x )取得最大值时x 的值为( ) A.13 B.12 C.34 D.23答案 B解析 ∵0<x <1，∴x ·(3－3x )＝13·3x ·(3－3x )≤13⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋3－3x 22＝34，当且仅当3x ＝3－3x ，即x ＝12时，x (3－3x )取得最大值．故选B.(2)设x >0，则函数y ＝x ＋22x ＋1－32的最小值为________．答案 0解析 y ＝x ＋22x ＋1－32＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12＋1x ＋12－2≥2⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋12·1x ＋12－2＝0，当且仅当x ＋12＝1x ＋12，即x ＝12时等号成立．所以函数的最小值为0.通过拼凑法利用基本不等式求最值的策略拼凑法的实质在于代数式的灵活变形，拼系数、凑常数是关键，利用拼凑法求解最值应注意以下几个方面的问题：(1)拼凑的技巧，以整式为基础，注意利用系数的变化以及等式中常数的调整，做到等价变形．(2)代数式的变形以拼凑出和或积的定值为目标． (3)拆项、添项应注意检验利用基本不等式的前提．[即时训练] 1.设a ，b 均大于0，a ＋b ＝5，则a ＋1＋b ＋3的最大值为________． 答案 3 2解析 ∵(a ＋1＋b ＋3)2＝a ＋1＋b ＋3＋ 2a ＋1b ＋3＝9＋2a ＋1b ＋3，又2a ＋1b ＋3≤a ＋1＋b ＋3＝9⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当a ＋1＝b ＋3，即a ＝72，b ＝32时取“＝”， ∴(a ＋1＋b ＋3)2≤18， ∴a ＋1＋b ＋3的最大值为3 2.角度2 利用常数代换法求最值 例2 (1)(2019·绵阳诊断)若θ∈⎝ ⎛⎭⎪⎫0，π2，则y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ的取值范围为( )A ．[6，＋∞)B ．[10，＋∞)C ．[12，＋∞)D ．[16，＋∞)答案 D解析 ∵θ∈⎝⎛⎭⎪⎫0，π2，∴sin 2θ，cos 2θ∈(0,1)，∴y ＝1sin 2θ＋9cos 2θ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1sin 2θ＋9cos 2θ(sin 2θ＋cos 2θ)＝10＋cos 2θsin 2θ＋9sin 2θcos 2θ≥10＋2cos 2θsin 2θ·9sin 2θcos 2θ＝16，当且仅当cos 2θsin 2θ＝9sin 2θcos 2θ，即θ＝π6时等号成立．故选D. (2)已知a ＋2b ＝2，且a >1，b >0，则2a －1＋1b的最小值为( ) A ．4 B ．5 C ．6 D ．8答案 D解析 因为a >1，b >0，且a ＋2b ＝2，所以a －1>0，(a －1)＋2b ＝1，所以2a －1＋1b＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2a －1＋1b ·[(a －1)＋2b ]＝4＋4b a －1＋a －1b ≥4＋24b a －1·a －1b ＝8，当且仅当4b a －1＝a －1b，即a ＝32，b ＝14时取等号，所以2a －1＋1b的最小值是8，故选D.常数代换法求最值的步骤常数代换法适用于求解条件最值问题．运用此种方法求解最值的基本步骤为： (1)根据已知条件或其变形确定定值(常数)． (2)把确定的定值(常数)变形为1.(3)把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式． (4)利用基本不等式求解最值．[即时训练] 2.(2020·正定模拟)若正数x ，y 满足x ＋3y ＝5xy ，则3x ＋4y 的最小值是________．答案 5解析 由x ＋3y ＝5xy ，可得15y ＋35x＝1， 所以3x ＋4y ＝(3x ＋4y )⎝ ⎛⎭⎪⎫15y ＋35x ＝95＋45＋3x 5y ＋12y 5x ≥135＋2 3x 5y ·12y 5x ＝135＋125＝5，当且仅当x ＝1，y ＝12时取等号，故3x ＋4y 的最小值是5.角度3 利用消元法求最值例3 (1)(2019·江西上饶联考)已知正数a ，b ，c 满足2a －b ＋c ＝0，则acb2的最大值为( )A ．8B ．2 C.18 D.16答案 C解析 因为a ，b ，c 都是正数，且满足2a －b ＋c ＝0，所以b ＝2a ＋c ，所以ac b 2＝ac 2a ＋c2＝ac 4a 2＋4ac ＋c 2＝14a c ＋ca＋4≤124a c ·ca＋4＝18，当且仅当c ＝2a >0时等号成立，即acb 2的最大值为18.故选C.(2)已知x >54，则函数y ＝16x 2－28x ＋114x －5的最小值为________．答案 5解析 令4x －5＝t ，则x ＝t ＋54(t >0)，∴y ＝t 2＋3t ＋1t ＝t ＋1t ＋3(t >0)，又t ＋1t≥2(当且仅当t ＝1时，取“＝”)，∴y 的最小值为5.通过消元法利用基本不等式求最值的方法消元法，即根据条件建立两个量之间的函数关系，然后代入代数式转化为函数的最值求解．有时会出现多元的问题，解决方法是消元后利用基本不等式求解．[即时训练] 3.(2019·安徽阜阳模拟)若直线x a ＋yb＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，则a ＋b ＋3ba的最小值为________． 答案 6解析 因为直线x a ＋y b ＝1(a >0，b >0)过点(1,1)，所以1a ＋1b ＝1，所以b ＝aa －1>0，所以a >1，所以a ＋b ＋3b a ＝(a －1)＋4a －1＋2≥4＋2＝6，当且仅当a ＝3时等号成立，所以a ＋b ＋3ba 的最小值是6.考向二 求参数值或取值范围例4 (1)(2019·山西长治模拟)已知不等式(x ＋y )·⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，则正实数a 的最小值为( )A ．2B ．4C ．6D ．8答案 B解析 (x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ＝1＋a ·x y ＋y x ＋a ≥1＋a ＋2a ＝(a ＋1)2，当且仅当a ·x y ＝y x，即ax 2＝y 2时“＝”成立．∵(x ＋y )⎝ ⎛⎭⎪⎫1x ＋a y ≥9对任意正实数x ，y 恒成立，∴(a ＋1)2≥9.∴a ≥4，即正实数a 的最小值为4.故选B.(2)当0<m <12时，若1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，则实数k 的取值范围是( )A ．[－2,0)∪(0,4]B ．[－4,0)∪(0,2]C ．[－4,2]D ．[－2,4]答案 D解析 因为0<m <12，所以m (1－2m )＝12×2m ×(1－2m )≤12×⎣⎢⎡⎦⎥⎤2m ＋1－2m 22＝18⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当2m ＝1－2m ，即m ＝14时取等号，所以1m ＋21－2m ＝1m 1－2m ≥8.又1m ＋21－2m ≥k 2－2k 恒成立，所以k 2－2k －8≤0，所以－2≤k ≤4.所以实数k 的取值范围是[－2,4]．故选D.(1)要敏锐地洞察到已知条件与所求式子的联系，并能灵活地进行转化． (2)利用基本不等式确立相关成立条件，从而得到参数的值或取值范围．[即时训练] 4.设a >0，b >0且不等式1a ＋1b ＋ka ＋b ≥0恒成立，则实数k 的最小值等于( )A ．0B ．4C ．－4D ．－2答案 C解析 由1a ＋1b ＋ka ＋b≥0得k ≥－a ＋b 2ab，又a ＋b 2ab＝a b ＋b a＋2≥4(当且仅当a ＝b 时取等号)，所以－a ＋b2ab≤－4，因此要使k ≥－a ＋b2ab恒成立，应有k ≥－4，即实数k 的最小值等于－4.故选C.5．(2019·珠海模拟)已知x >0，y >0，x ＋3y ＋xy ＝9，则x ＋3y 的最小值为( ) A ．2 B ．4 C ．6 D ．8答案 C解析 解法一：由已知得xy ＝9－(x ＋3y )，即3xy ＝27－3(x ＋3y )≤⎝⎛⎭⎪⎫x ＋3y 22，当且仅当x ＝3y ，即x ＝3，y ＝1时取等号，令x ＋3y ＝t ，则t >0，且t 2＋12t －108≥0，解得t ≥6，即x ＋3y ≥6.故x ＋3y 的最小值为6.解法二：∵x ＋3y ＝9－xy ≥23xy ，∴(xy )2＋23·xy －9≤0，∴(xy ＋33)(xy －3)≤0，∴0<xy ≤3，∴x ＋3y ＝9－xy ≥6，即x ＋3y 的最小值为6.故选C. 考向三 基本不等式的实际应用例5 (2019·辽宁沈阳质检)某工厂某种产品的年固定成本为250万元，每生产x 千件，需另投入成本为C (x )(万元)，当年产量不足80千件时，C (x )＝13x 2＋10x ；当年产量不小于80千件时，C (x )＝51x ＋10000x－1450.每件商品售价为0.05万元．通过市场分析，该厂生产的商品能全部售完．(1)写出年利润L (x )(万元)关于年产量x (千件)的函数解析式； (2)当年产量为多少千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大？解 (1)因为每件商品售价为0.05万元，则x 千件商品的销售额为0.05×1000x 万元，依题意得，当0<x <80时，L (x )＝(0.05×1000x )－⎝ ⎛⎭⎪⎫13x 2＋10x －250＝－13x 2＋40x －250；当x ≥80时，L (x )＝(0.05×1000x )－⎝⎛⎭⎪⎫51x ＋10000x－1450－250＝1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x . 所以L (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧－13x 2＋40x －250，0<x <80，1200－⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ，x ≥80.(2)当0<x <80时，L (x )＝－13(x －60)2＋950.则当x ＝60时，L (x )取得最大值L (60)＝950万元；当x ≥80时，L (x )＝1200－⎝⎛⎭⎪⎫x ＋10000x ≤1200－2x ·10000x＝1200－200＝1000⎝⎛⎭⎪⎫当且仅当x ＝10000x，即x ＝100时取等号，则当x ＝100时，L (x )取得最大值1000万元．由于950<1000，所以，当年产量为100千件时，该厂在这一商品的生产中所获利润最大，最大利润为1000万元．有关函数最值的实际问题的解题技巧(1)根据实际问题建立函数的解析式，再利用基本不等式求得函数的最值． (2)设变量时一般要把求最大值或最小值的变量定义为函数． (3)解应用题时，一定要注意变量的实际意义及其取值范围．(4)在应用基本不等式求函数最值时，若等号取不到，可利用函数的单调性求解．[即时训练] 6.某厂家拟在2020年举行促销活动，经调查测算，该产品的年销售量(即该厂的年产量)x 万件与年促销费用m 万元(m ≥0)满足x ＝3－km ＋1(k 为常数)，如果不搞促销活动，则该产品的年销售量只能是1万件．已知2020年生产该产品的固定投入为8万元．每生产1万件该产品需要再投入16万元，厂家将每件产品的销售价格定为每件产品年平均成本的1.5倍(产品成本包括固定投入和再投入两部分资金)．(1)将2020年该产品的利润y 万元表示为年促销费用m 万元的函数； (2)该厂家2020年的促销费用投入多少万元时，厂家的利润最大？ 解 (1)由题意知，当m ＝0时，x ＝1， ∴1＝3－k ⇒k ＝2，∴x ＝3－2m ＋1， 每件产品的销售价格为1.5×8＋16xx(元)，∴2020年的利润y ＝1.5x ×8＋16xx－8－16x －m＝4＋8x －m ＝4＋8⎝ ⎛⎭⎪⎫3－2m ＋1－m ＝－⎣⎢⎡⎦⎥⎤16m ＋1＋m ＋1＋29(m ≥0)． (2)∵当m ≥0时，16m ＋1＋(m ＋1)≥216＝8， ∴y ≤－8＋29＝21，当且仅当16m ＋1＝m ＋1⇒m ＝3(万元)时，y max ＝21(万元)． 故该厂家2020年的促销费用投入3万元时，厂家的利润最大为21万元．若a ，b ∈R ，ab >0，则a 4＋4b 4＋1ab的最小值为________． 答案 4解析 ∵a 4＋4b 4≥2a 2·2b 2＝4a 2b 2(当且仅当a 2＝2b 2时“＝”成立)， ∴a 4＋4b 4＋1ab ≥4a 2b 2＋1ab ＝4ab ＋1ab， 由于ab >0，∴4ab ＋1ab ≥24ab ·1ab＝4 ⎝ ⎛⎭⎪⎫当且仅当4ab ＝1ab 时“＝”成立， 故当且仅当⎩⎪⎨⎪⎧ a 2＝2b 2，4ab ＝1ab 时，a 4＋4b 4＋1ab的最小值为4. 答题启示利用基本不等式求函数或代数式的最值时一定要注意验证等号是否成立，特别是当连续多次使用基本不等式时，一定要注意每次是否能保证等号成立，并且注意取等号的条件的一致性，因此在利用基本不等式处理问题时，列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤，也是检验转换是否有误的一种方法．对点训练已知a >b >0，求a 2＋16b a －b的最小值． 解 ∵a >b >0，∴a －b >0.∴b (a －b )≤⎣⎢⎡⎦⎥⎤b ＋a －b 22＝a 24. ∴a 2＋16ba －b ≥a 2＋64a 2≥2a 2·64a 2＝16. 当a 2＝64a 2且b ＝a －b ，即a ＝22，b ＝2时等号成立． ∴a 2＋16b a －b 的最小值为16.。

第4讲基本不等式[基础题组练] 1．当x ＞0时，函数f (x )＝22x有( )x ＋1A ．最小值1B ．最大值1C ．最小值2D ．最大值22 1≤ 2＝1. 分析：选B.f (x )＝x ＋x2x · 1x1当且仅当x ＝x ，x ＞0即x ＝1时取等号．所以f (x )有最大值1.22ab2．设非零实数a ，b ，则“a ＋b ≥2ab ”是“b ＋a ≥2”成立的( )A ．充分不用要条件B ．必需不充分条件C ．充要条件D ．既不充分也不用要条件22222ab分析：选B.因为a ，b ∈R 时，都有a ＋b －2ab ＝(a －b )≥0，即a ＋b ≥2ab ，而b ＋a22ab≥2?ab >0，所以“a ＋b ≥2ab ”是“b ＋a ≥2”的必需不充分条件．3．(2020·嘉兴期中)若正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，则x ＋2y 的最小值为()A ．3B ．4 9 11 C.2D.2分析：选B.因为正实数x ，y 满足x ＋2y ＋2xy －8＝0，所以x＋2＋x ＋2y 2－8≥0，y2设x ＋2y ＝t ＞0，12所以t ＋4t －8≥0，所以t 2＋4t －32≥0， 即(t ＋8)(t －4)≥0， 所以t ≥4，故x ＋2y 的最小值为4. 4．若log 4 (3 a ＋4)＝log 2ab ，则 a ＋ b 的最小值是( )bA ．6＋2 3B ．7＋2 3C ．6＋43D ．7＋4 3分析：选D.由题意得ab ＞0， a ＞0， 3＋4＞0，所以b ＞0.ab又log(3a ＋4b )＝log2ab ，4所以log 4(3a ＋4b )＝log 4(ab )，4 3 即3a ＋4b ＝ab ，故a ＋b ＝1.所以＋＝(＋) 4 33a 4b＋b ＝7＋＋a bab aba3 a 4≥7＋2b ·a ＝7＋43.3a 4bD.当且仅当b ＝a 时取等号．应选2a b5．不等式x＋x <b ＋a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则实数x 的取值范围是()A ．(－2，0)B ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)C ．(－2，1)D ．(－∞，－4)∪(2，＋∞)2ab2分析：选C.依据题意，因为不等式x ＋x <b ＋a 对任意a ，b ∈(0，＋∞)恒成立，则xa ba ba b2＋x <b ＋a min ，因为b ＋a ≥2 b ·a ＝2，当且仅当a ＝b 时等号成立，所以x ＋x <2，求解此一元二次不等式可知－2<x <1，所以x 的取值范围是(－2，1)．6．(2020·绍兴市高三教课质量议论1 221)若正数a ，b 满足： ＋ ＝1，则－1＋－2的最a bab小值为()3 2 A ．2B.2C. 5D ．1＋3224122a2 1分析：选A.由a ，b 为正数，且a ＋b ＝1，得b ＝a －1>0，所以a －1>0，所以a －1＋b －22＋1＝ 2＋ a －12 · a －1 2 a －112 同＝a － 2 ≥2a － ＝2，当且仅当 ＝ 2 和＋＝1 a －12a11 2a －1 ab－1－2a时成立，即a ＝b ＝3时等号成立，所以21a －1＋b －2的最小值为2，应选A.7．已知a ，b ∈(0，＋∞)，若ab ＝1，则a ＋b 的最小值为________；若a ＋b ＝1，则 ab 的最大值为________．分析：由基本不等式得 a ＋b ≥2ab ＝2，当且仅当a ＝b ＝1时取到等号；ab ≤a ＋b2＝2114，当且仅当a ＝b ＝2时取到等号．1 答案：2458．(2020·嘉兴期中)已知0＜x ＜4，则x (5－4x )的最大值是________．5 分析：因为0＜x ＜4， 所以0＜5－4x ＜5，114＋5－ 4 x 2 255所以x (5－4x )＝4·4x (5－4x )≤4·2＝16，当且仅当x ＝8时取等号，故最25大值为16.25答案：16xy9．(2020·温州市瑞安市高考模拟 )若x ＞0，y ＞0，则x ＋2y ＋x 的最小值为________．分析：设 y ＝t ＞0，则 x ＋ y 1 ＋t ＝1 1 1 1 1＋2t x x ＋2y x ＝ 2t 1＋2t ＋(2 t ＋1)－≥2 1＋2t ×1＋ 2 2 2 112－1y－2＝ 2－2，当且仅当t ＝2 ＝x 时取等号．答案：2－12a 2＋110．(2020·宁波十校联考)已知a ，b 均为正数，且a ＋b ＝1，c ＞1，则(2ab －1)·c2＋ c －1的最小值为________．分析：因为a ＋b ＝1，a 2＋1a 2＋（a ＋b ）2所以2ab －1＝2ab－1＝a ＋b≥2a ·b ＝2，b 2ab 2a当且仅当a＝ b 即 a ＝ 2－1，＝2－2时取等号，b 2aba 2＋122 1所以(2ab －1)·c ＋c －1≥ 2c ＋c －1＝2(c －1＋c －1＋1)≥3 2，当且仅当 c ＝2时取等号．答案：3 211．已知x >0， >0，且2＋8 y － xy ＝0，求y x(1) xy 的最小值；(2) x ＋y 的最小值．8 2解：(1)由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＋y ＝1，82 828又x >0，y >0，则 1＝x ＋y ≥2 x ·y ＝xy.得xy ≥64，当且仅当x ＝16，y ＝4时，等号成立．所以xy 的最小值为64.8 2(2) 由2x ＋8y －xy ＝0，得x ＋y ＝1，8 2则x ＋y ＝x ＋y ·(x ＋y )2x8y 2x 8y ＝10＋y ＋ x ≥10＋2 y ·x ＝18.当且仅当x ＝12且y ＝6时等号成立， 所以x ＋y 的最小值为18.12. 行驶中的汽车，在刹车时因为惯性作用，要连续往前滑行一段 距离才能停下，这段距离叫做刹车距离．在某种路面上，某种型号汽 车的刹车距离s (m)与汽车的车速 v (km/h)满足以下关系：nvv 2＝＋s 100 4006＜s 1＜8， (n 为常数，且n ∈N)，做了两次刹车试验，有关试验数据以以下图，此中14＜s 2＜17.(1) 求n 的值；(2) 要使刹车距离不超出12.6m ，则行驶的最大速度是多少？ 解：(1)由试验数据知，1＝ 2 ＋4， 2＝ 7 ＋ 49 ，s5ns10n426＜n ＋4＜8，5所以49714＜10n ＋4＜17，5＜n ＜10，解得5 95 .2＜n ＜14 又n ∈N ，所以n ＝6.(2)由(1) 知，s ＝ 3v ＋v 2，v ≥0.50 400 3vv 2依题意，s ＝＋≤12.6，50 400即v 2＋24v －5040≤0，解得－84≤v ≤60. 因为v ≥0，所以0≤v ≤60. 故行驶的最大速度为60km/h.[综合题组练]1. 以以下图，已知点G 是△ABC 的重心，过点G 作直线与AB ，AC两边分别交于 M ，N → → → →两点，且AM ＝xAB ，AN ＝yAC ，则x ＋2y 的最小值 为()1A ．2B.33＋2 23C.3D.4→21→→ 1→1→1→ 1→分析：选 C.由已知可得AG ＝3×2(AB ＋AC )＝3AB ＋3AC ＝3x AM ＋3y AN ，又M 、G 、N 三点1 1 11 11 112yx 3＋22 共线，故3＋3 y ＝1，所以＋＝3，则x ＋2y ＝(x ＋2y )·x ＋y ·3＝3 3＋x ＋y ≥ 3xxy (当且仅当x ＝ 2y 时取等号)．应选C.2．已知 x >0，>0，2＋＝1，若4 2＋ y 2＋ xy －<0恒成立，则的取值范围是( )yx yxmmA ．(－1，0)∪17B. 17，＋∞，＋∞16161717C. 16，2D. 1，16分析：选 B.4x 2＋y 2＋xy －m <0恒成立，即 m >4x 2＋y 2＋ xy 恒成立．因为x >0，y >0，212x ＋y ＝1，所以1＝2x ＋y ≥22xy ，所以0<xy ≤4 (当且仅当 2x ＝y ＝2时，等号成立)．因为4x 2＋y 2＋ xy ＝(2x ＋y )2－4xy ＋xy ＝1－4xy ＋xy ＝－4xy －1 2 ＋17，所以 4x 2＋y 28 1617 17＋ xy 的最大值为16，故m >16，选B.3．(2020·杭州学军中学考试 )已知a ＜b ，若二次不等式ax 2＋bx ＋c ≥0对任意实数x恒成立，则M ＝a＋2＋4 c 的最小值为________．bb －a分析：由条件知a ＞0， b－＞0.由题意得＝ 2－4ac ≤0，解得c≥b 2，所以＝ab4aMb 2a ＋2b ＋4c a ＋2b ＋4·4aa 2＋2ab ＋b 2 [2a ＋（b －a ）]2（b －a ）2＋4a （b －a ）＋4a 2 b －a≥b －a＝a （b －a ）＝a （b －a ）＝a （b －a ）b －a4ab －a4a＝ a ＋b －a ＋4≥2a ·b －a ＋4＝4＋4＝8，当且仅当b ＝3a 时等号成立，所以M 的最小值为8.答案：8a 2＋2b 24．(2020·浙江省名校联考)已知a ＞0，b ＞－1，且a ＋b ＝1，则a ＋b ＋1的最小值 为____________．分析： a 2＋2 b 2 2 （b ＋1）2－2（b ＋1）＋1 2 1＋ ＝a ＋＋ b ＋ 1 ＝a ＋＋b ＋1－2＋，又a ＋ a b ＋ 1 a ab ＋1 2 1 2 12 1 a ＋13 b ＋1 ＝1，＞0，＋1＞0，所以 a ＝ ＋ ＋＋＋1－2＋ ＝＋ ＋ a ＋ 2＝＋ b abab ＋1a b 1b ＋122 a b＋2（ a 3 b ＋1 a 3＋22 b ＋1 a ＋1）≥2＋2 a · 2（＋1）＝2 ，当且仅当＝ 2（ ＋1）即a ＝4－bbab2 2，b ＝22－3时取等号，所以a 2＋2b 23＋2 2＋的最小值为2.ab ＋1答案：3＋2 225．已知x >0，y >0，且2x ＋5y ＝20. 求：(1)u ＝lg x ＋lg y 的最大值；11(2) x ＋y 的最小值． 解：(1)因为x >0，y >0，所以由基本不等式，得2x ＋5y ≥210xy .因为2x ＋5y ＝20，所以210xy ≤20，xy ≤10， 当且仅当2x ＝5y 时，等号成立．2x ＋5y ＝20，x ＝5，所以有解得2x ＝5y ，y ＝2，此时xy 有最大值10.所以u ＝lg x ＋lg y ＝lg(xy )≤lg10＝1.所以当x ＝5，y ＝2时，u ＝lg x ＋lg y 有最大值1. (2) 因为x >0，y >0，11 11 2x ＋5y 1 5y 2x 所以x ＋y ＝x ＋y · 20 ＝207＋x ＋y ≥15y 2x 7＋210 207＋2x ·y＝ 20.5y 2x当且仅当x ＝y 时，等号成立．2x ＋5y ＝20，x ＝ 1010－203 ，由 5 y 2解得＝ x，20－410 x yy ＝3.1 17＋2 10所以x ＋y 的最小值为 20 .6. (2020·义乌模拟)如图，某生态园将一三角形地块ABC的一角APQ 开拓为水果园种植桃树，已知角A 为 120°，AB ，AC 的长度均大于200米，此刻界限 AP ，AQ 处建围墙，在 PQ 处围篱笆笆．(1)若围墙AP ，AQ 总长度为 200米，如何围可使得三角形地块 APQ 的面积最大？(2)已知AP 段围墙高1米，AQ 段围墙高 1.5米，造价均为每平方米 100元．若围围墙用了20000元，问如何围可使篱笆笆用料最省？解：设 ＝ x 米， ＝ 米．APAQy1 33 x ＋y2(1)则x ＋y ＝200，△APQ 的面积S ＝2xy ·sin120°＝ 4xy .所以S ≤42 ＝2500 3.x ＝y ，当且仅当x ＋y ＝200，即x ＝y ＝100时取“＝”．(2) 由题意得100×(x ＋1.5y )＝20000，即x ＋1.5y ＝200.要使篱笆笆用料最省，只需222 2 2 2 2－其长度PQ 最短，所以PQ ＝x＋y －2xy cos120 °＝x ＋y ＋xy ＝(200－1.5y ) ＋y ＋(200＝ 2＋ ＝8002120000400 ，当 ＝ 800 时， 有1.5y )y 1.75y1.75y 400y 400007737PQ最小值 200 212007 ，此时x ＝.7。

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第4讲基本不等式一、选择题1．若x＞0，则x＋错误!的最小值为( ）．A．2 B．3 C．2错误!D．4解析∵x＞0，∴x＋错误!≥4.答案D2．已知a＞0，b＞0，a＋b＝2,则y＝错误!＋错误!的最小值是( ）．A。

错误! B．4 C。

错误! D．5解析依题意得1a＋错误!＝错误!错误!(a＋b）＝错误!错误!≥错误!错误!＝错误!，当且仅当错误!，即a＝错误!，b＝错误!时取等号，即错误!＋错误!的最小值是错误!.答案C3．小王从甲地到乙地的时速分别为a和b(a〈b），其全程的平均时速为v,则( ）．A．a〈v<ab B．v＝错误!C。

错误!<v<错误!D．v＝错误!解析设甲、乙两地之间的距离为s.∵a<b，∴v＝错误!＝错误!〈错误!＝错误!。

又v－a＝错误!－a＝错误!〉错误!＝0，∴v〉a.答案A4．若正实数a，b满足a＋b＝1，则（）．A.错误!＋错误!有最大值4 B．ab有最小值错误!C。

错误!＋错误!有最大值错误! D．a2＋b2有最小值错误!解析由基本不等式，得ab≤错误!＝错误!,所以ab≤错误!，故B错；错误!＋错误!＝错误!＝错误!≥4，故A错；由基本不等式得错误!≤ 错误!＝错误!，即错误!＋错误!≤错误!，故C 正确;a2＋b2＝(a＋b)2－2ab＝1－2ab≥1－2×错误!＝错误!，故D错．答案C5．已知x>0,y〉0，且错误!＋错误!＝1,若x＋2y>m2＋2m恒成立，则实数m的取值范围是（）．A．(－∞，－2］∪［4,＋∞）B．（－∞,－4]∪［2，＋∞）C．（－2,4）D．（－4，2)解析∵x〉0，y>0且2x＋错误!＝1，∴x＋2y＝(x＋2y）错误!＝4＋错误!＋错误!≥4＋2 错误!＝8，当且仅当错误!＝错误!，即x＝4，y＝2时取等号，∴（x＋2y）min＝8，要使x＋2y〉m2＋2m恒成立，只需(x＋2y）min〉m2＋2m恒成立,即8〉m2＋2m,解得－4<m<2。