高中数学必修5)单元测试-第三章不等式

第三章综合检测

(时间：120分钟 满分：150分)

一、选择题(本大题共12个小题，每个小题5分，共60分，每小题给出的四个备选答案中，有且仅有一个是符合题目要求的)

1．a、b∈R下列命题正确的是

( )

A．若a＞b，则a2＞b2

B．若|a|＞b，则a2＞b2

C．若a＞|b|，则a2＞b2

D．若a≠|b|，则a2≠b2

[答案] C

[解析] 由不等式的可乘方性质知a＞|b|≥0⇒a2＞b2.

2．设M＝2a(a－2)＋7，N＝(a－2)(a－3)，则有

( )

A．M＞N B．M≥N

C．M＜N D．M≤N

[答案] A

[解析] M－N＝(2a2－4a＋7)－(a2－5a＋6)＝a2＋a＋1＝(a＋12)2＋34＞0，∴M＞N.

3．(2018·宁夏、海南文)已知a1>a2>a3>0，则使得(1－aix)2<1(i＝1,2,3)都成立的x的取值范围是

( )

A.0，1a1 B.0，2a1

C.0，1a3 D.0，2a3

[答案] B

[解析] 本小题主要考查不等式的解法．

由题意得 －2<－a1x<0－2<－a2x<0－2<－a3x<0，∴ 0

∵a1>a2>a3>0，∴2a1<2a2<2a3，

∴0

4．设M＝a＋1a－2(2＜a＜3)，N＝log0.5(x2＋116)(x∈R)那么M、N的大小关系是( )

A．M＞N B．M＝N

C．M＜N D．不能确定

[答案] A

[解析] M＝a＋1a－2＝a－2＋1a－2＋2＞4，

(∵2＜a＜3)

N＝log0.5(x2＋116)＜log0.5116＝4，∴M＞N.

5．(2018·天津文)已知函数f(x)＝ x＋2 x≤0－x＋2 x>0则不等式f(x)≥x2的解集为 ( )

A．[－1,1] B．[－2,2]

C．[－2,1] D．[－1,2]

[答案] A

[解析] 本题考查分段函数的概念及一元二次不等式的解法．

解法一：(排除法)当x＝2时，f(x)＝0，不等式f(x)≥x2不成立，排除B、D选项；当x＝－2时f(x)＝0，不等式f(x)≥x2不成立，排除C选项．

解法二：(直接法)当x≤0时，原不等式化为x＋2≥x2，

∴－1≤x≤2，

又∵x≤0，∴－1≤x≤0；

当x>0时，原不等式化为－x＋2≥x2，

∴－2≤x≤1，

又∵x>0，∴0

综上可知，不等式f(x)≥x2的解集为[－1,1]．

6．如果函数y＝ax2＋bx＋a的图象与x轴有两个交点，则点(a，b)在aOb平面上的区域(不含边界)为

(

)

[答案] C

[解析] 由题意知Δ＝b2－4a2>0

∴(b－2a)(b＋2a)>0

∴ b－2a>0b＋2a>0或 b－2a<0b＋2a<0画图知选C.

7．已知a＞0，b＞0，a，b的等差中项是12，且α＝a＋1a， β＝b＋1b则α＋β的最小值是( )

A．3 B．4

C．5 D．6

[答案] C

[解析] 由题意a＋b＝1，则α＋β＝a＋1a＋b＋1b＝1＋1ab≥1＋1(a＋b2)2＝5.

8．设b＞a＞0，a＋b＝1，则下列四个数12，2ab，a2＋b2，b中，最大的数是 ( )

A.12 B．b

C．2ab D．a2＋b2

[答案] B

[解析] 因为b＞a＞0，a＋b＝1，

所以0＜a＜12＜b＜1，a2＋b2＞2ab.

又因为a2＋b2－b＝a2＋b(b－1)＝a2－ab＝a(a－b)＜0.

所以a2＋b2＜b，故四个数中最大的数是b.

9．(2018·湖北理)函数f(x)＝1xln(x2－3x＋2＋－x2－3x＋4)的定义域为 ( )

A．(－∞，－4]∪[2，＋∞) B．(－4,0)∪(0,1)

C．[－4,0)∪(0,1] D．[－4,0)∪(0,1)

[答案] D

[解析] 特值检验法．x＝1时，

x2－3x＋2＋－x2－3x＋4＝0无意义，排除C；

x＝3时，－x2－3x＋4<0，排除A；

x＝－4时，f(x)有意义，排除B，∴选D.

直接解法：要使函数有意义，须

 x≠0x2－3x＋2≥0－x2－3x＋4≥0x2－3x＋2＋－x2－3x＋4≠0，

∴－4≤x<0或0

10．不等式组 (x－2)(x－5)≤0x(x－a)≥0与不等式(x－2)(x－5)≤0同解，则a的取值范围是

( )

A．a＞5 B．a＜2

C．a≤5 D．a≤2

[答案] D

[解析] 由(x－2)(x－5)≤0可得

2≤x≤5，所以不等式组 (x－2)(x－5)≤0x(x－a)≥0的解集为{x|2≤x≤5}．

∴[2,5]⊆[a，＋∞)，

故a≤2.

11．设f(x)＝3ax－2a＋1，若存在x0∈(－1,1)，使f(x0)＝0则实数a的取值范围是

( )

A．－1＜a＜15

B．a＜－1

C．a＜－1或a＞15 D．a＞15

[答案] C

[解析] 由题意知f(－1)f(1)＜0，

∴(－5a＋1)(a＋1)＜0，

∴a＜－1或a＞15.

12．在“家电下乡”活动中，某厂要将100台洗衣机运往邻近的乡镇，现有4辆甲型货车和8辆乙型货车可供使用．每辆甲型货车运输费用400元，可装洗衣机20台；每辆乙型货车运输费用300元，可装洗衣机10台．若每辆至多只运一次，则该厂所花的最少运输费用为

( )

A．2000元 B．2200元

C．2400元 D．2800元

[答案] B

[解析] 设需甲型货车x辆，乙型货车y辆，由题意知

 x≤4，x∈N*y≤8，y∈N*20x＋10y≥100，

作出其可行域如图所示．

可知目标函数z＝400x＋300y在点A处取最小值，z＝400×4＋300×2＝2200(元)．

二、填空题(本大题共4个小题，每个小题4分，共16分．将正确答案填在题中横线上)

13．(2018·江西文)不等式2x2＋2x－4≤12的解集为____________．

[答案] [－3,1]

[解析] 不等式2x2＋2x－4≤12化为2x2＋2x－4≤2－1，

∴x2＋2x－4≤－1，∴x2＋2x－3≤0，

∴－3≤x≤1，

∴原不等式的解集为[－3,1]．

14．关于x的不等式ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}则关于x的不等式bx2－ax－2＞0的解集为________________．

[答案] {x|x＞1或x＜－2}

[解析] ∵ax2＋bx＋2＞0的解集为{x|－1＜x＜2}，

∴ 2a＝－2－ba＝1，解得 a＝－1b＝1.

∴bx2－ax－2＞0，即x2＋x－2＞0，

解得x＞1或x＜－2.

15．已知实数x，y满足2x＋y≥1，则u＝x2＋y2＋4x－2y的最小值为________．

[答案] －95

[解析] 由u＝x2＋y2＋4x－2y＝(x＋2)2＋(y－1)2－5知，u表示点P(x，y)与定点A(－2,1)

的距离的平方与5的差．又由约束条件2x＋y≥1知，点P(x，y)在直线l：2x＋y＝1上及其上方．

问题的转化为求定点A(－2,1)到由2x＋y≥1所确定的平面区域G的最近距离．故A到直线l的距离为A到区域G上点的距离的最小值．

d＝|2×(－2)＋1－1|22＋12＝45，

∴d2＝165，∴umin＝d2－5＝－95.

16．当x＞1时，不等式x＋1x－1≥a恒成立，则实数a的最大值为________．

[答案] 3

[解析] x＋1x－1≥a恒成立⇔(x＋1x－1)min≥a

∵x＞1即x－1＞0

∴x＋1x－1＝x－1＋1x－1＋1≥2(x－1)·1x－1＋1＝3，当且仅当x－1＝1x－1，即x＝2时，等号成立．

∴a≤3即a的最大值为3.

三、解答题(本大题共6个小题，共74分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤)

17．(本小题满分12分)已知关于x的不等式(a2－4)x2＋(a＋2)x－1≥0的解集是空集，求实数a的取值范围．

[解析] 当a2－4＝0，即a＝±2.

若a＝2时，原不等式化为4x－1≥0，∴x≥14.

此时，原不等式的解集不是空集．

若a＝－2时，原不等式化为－1≥0，无解．

此时，原不等式的解集为空集．

当a2－4≠0时，由题意，得

 a2－4<0Δ＝(a＋2)2－4(a2－4)×(－1)<0，

∴－2

综上所述，a的取值范围为－2≤a<65.

18．(本小题满分12分)已知x，y都是正数．

(1)若3x＋2y＝12，求xy的最大值；

(2)若x＋2y＝3，求1x＋1y的最小值．

[解析] (1)xy＝16·3x·2y≤163x＋2y22＝6.

当且仅当 3x＝2y，3x＋2y＝12，即 x＝2y＝3时取“＝”号．

所以当x＝2，y＝3时，xy取得最大值6.

(2)1x＋1y＝13(x＋2y)1x＋1y

＝133＋xy＋2yx≥133＋2xy·2yx

＝1＋223.

当且仅当 xy＝2yxx＋2y＝3即 x＝－3＋32y＝3－322时，取“＝”号．

所以，当x＝－3＋32，y＝3－322时，1x＋1y取得最小值1＋223.

19．(本小题满分12分)设z＝2x＋y，变量x，y满足条件 x－4y≤－33x＋5y≤25，x≥1求z的最大值与最小值．

[解析] 满足条件 x－4y≤－33x＋5y≤25x≥1的可行域如图，将目标函数z＝2x＋y变形为y＝－2x＋z，直线y＝－2x＋z是斜率k＝－2的平行线系，z是它们的纵戴距．作平行直线过平面区域内的点A、B时直线的纵截距取最值．求A、B点坐标，代入z＝2x＋y，过A点时zmax＝12，过B点时zmin＝3.

20．(本小题满分12分)(2018·湖北文)如图，要设计一张矩形广告，该广告含有大小相等的左右两个矩形栏目(即图中阴影部分)，这两栏的面积之和为18000cm2，四周空白的宽度为10cm，两栏之间的中缝空白的宽度为5cm.怎样确定广告的高与宽的尺寸(单位：cm)，能使矩形广告面积最小？