选修2-2——第三章章末优化总结

章末优化总结

利用复数的基本概念解题

正确确定复数的实、虚部是准确理解复数的有关概念(如实数、虚数、纯虚数、相等复数、共轭复数、复数的模)的前提．在处理涉及复数的概念的同时，可依据概念建立等式或不等式，然后通过解方程(组)或不等式(组)求解．

(1)设m∈R，复数z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)，

①若z为实数，则m＝________；

②若z为纯虚数，则m＝________．

[解析] ①z＝(2＋i)m2－3(1＋i)m－2(1－i)

＝(2m2－3m－2)＋(m2－3m＋2)i，

由题意m2－3m＋2＝0，即当m＝1或m＝2时，z是实数．

②依题意2m2－3m－2＝0，m2－3m＋2≠0，解得m＝－12.

∴当m＝－12时，z是纯虚数．

[答案] ①1或2 ②－12

(2)已知复数z与(z＋2)2＋8i均为纯虚数，求复数z.

[解] 设z＝bi(b∈R，且b≠0)，

则(z＋2)2＋8i＝(2＋bi)2＋8i

＝(4－b2)＋(4b＋8)i，∵(z＋2)2＋8i为纯虚数，

∴4－b2＝0，且4b＋8≠0，∴b＝2，∴z＝2i，∴z＝－2i.

利用复数相等的充要条件解题

对于两个复数z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，我们规定：a＋bi＝c＋di(a，b，c，d∈R)⇔a＝c，b＝d.

(1)根据两个复数相等的定义知，在a＝c，b＝d两式中，如果有一个不成立，那么a＋bi≠c＋di. (2)复数相等的充要条件是把复数问题转化为实数问题的重要依据，是复数问题实数化这一重要数学思想的体现．把复数问题实数化处理，主要根据复数相等建立方程或方程组，通过解方程或方程组，达到解题的目的．

已知复数z＝1＋i，求实数a，b使az＋2bz＝(a＋2z)2.

[解] ∵z＝1＋i，∴az＋2bz＝(a＋2b)＋(a－2b)i，

(a＋2z)2＝(a＋2)2－4＋4(a＋2)i

＝(a2＋4a)＋4(a＋2)i.

∵a，b都是实数，

∴由az＋2bz＝(a＋2z)2，得a＋2b＝a2＋4a，a－2b＝4（a＋2），

两式相加，整理得a2＋6a＋8＝0，

解得a1＝－2，a2＝－4，对应得b1＝－1，b2＝2.

∴所求实数为a＝－2，b＝－1或a＝－4，b＝2.

复数代数形式的四则运算

复数加、减、乘、除运算的实质是实数的加、减、乘、除运算，加、减法是对应的实部、虚部分别相加、减，而乘法类似于多项式乘法，除法类似于根式的分子、分母有理化．注意i2＝－1的运用．

在运算的过程中常用到的公式有：

(1)i的乘方：i4n＋1＝i，i4n＋2＝－1，i4n＋3＝－i，i4n＋4＝1，(n∈N)；

(2)(1±i)2＝±2i；

(3)设ω＝－12±32i，则ω3＝1，ω2＝ω，1＋ω＋ω2＝0，1ω＝ω2，ω3n＝1，ω3n＋1＝ω(n∈N*)等；

(4)12±32i3＝－1；

(5)进行复数除法运算时，有如下技巧：

a＋bib－ai＝（a＋bi）i（b－ai）i＝（a＋bi）ia＋bi＝i，利用此结论可使一些特殊的计算过程简化．

(1)计算(4－i5)(6＋2i7)＋(7＋i11)(4－3i)．

[解] 原式＝2(4－i)(3－i)＋(7－i)(4－3i)

＝2(12－3i－4i＋i2)＋(28－4i－21i＋3i2)

＝2(11－7i)＋25(1－i)

＝47－39i.

(2)已知复数z＝（1＋i）2＋3（1－i）2＋i，若z2＋az＋b＝1＋i(a，b∈R)，求a＋b的值．

[解] 由z＝（1＋i）2＋3（1－i）2＋i，

得z＝2i＋3－3i2＋i＝3－i2＋i＝1－i，

又z2＋az＋b＝1＋i，∴(1－i)2＋a(1－i)＋b＝1＋i，

∴(a＋b)＋(－2－a)i＝1＋i，∴a＋b＝1.

复数的几何意义及应用

复数的几何意义包括三个方面：复数的表示(点和向量)、复数的模的几何意义及复数的加减运算的几何意义．复数的几何意义充分体现了数形结合这一重要的数学思想方法，即通过几何图形来研究代数问题．

(1)复数的加减法的几何意义实质上是平行四边形法则和三角形法则．由减法的几何意义知|z－z1|表示复平面上两点Z与Z1之间的距离． (2)复数形式的基本轨迹

①|z－z1|＝r表示复数对应的点的轨迹是以z1对应的点为圆心，半径为r的圆；

②|z－z1|＝|z－z2|表示以复数z1，z2的对应点为端点的线段的垂直平分线；

③|z－z1|＋|z－z2|＝2a(2a>|Z1Z2|>0)表示以复数z1，z2的对应点Z1，Z2为焦点的椭圆．

(1)在复平面内，复数z＝cos 3＋isin 3(i是虚数单位)对应的点位于( )

A．第一象限 B．第二象限

C．第三象限 D．第四象限

[解析] 因为π2<30，所以复数z＝cos 3＋isin 3(i是虚数单位)对应的点位于第二象限．

[答案] B

(2)已知关于x的方程x2－(6＋i)x＋9＋ai＝0(a∈R)有实数根b.

①求实数a，b的值；

②若复数z满足|z－a－bi|＝2|z|，求z为何值时，|z|有最小值并求出最小值．

[解] ①将b代入题设方程，整理得(b2－6b＋9)＋(a－b)i＝0，则b2－6b＋9＝0，且a－b＝0，解得a＝b＝3.

②设z＝x＋yi(x，y∈R)，

则(x－3)2＋(y＋3)2＝4(x2＋y2)，

即(x＋1)2＋(y－1)2＝8.

∴点Z在以(－1，1)为圆心，22为半径的圆上．画图可知，当z＝1－i时，|z|min＝2.

有关复数的综合问题

复数的综合问题涉及到复数的概念、性质、运算、几何意义，与其他知识交汇后考查综合运用知识的能力，解决此类问题的关键是用转化思想．

(1)已知复数z的共轭复数为z，且z·z－3iz＝101－3i，①求z；②当z∈{虚数}，求z对应的向量OZ→绕O逆时针旋转90°所得向量OZ′→对应的复数．

[解] ①设z＝a＋bi(a，b∈R)，则z＝a－bi.

又z·z－3iz＝101－3i，

∴a2＋b2－3i(a＋bi)＝10（1＋3i）10，

∴a2＋b2＋3b－3ai＝1＋3i，

∴a2＋b2＋3b＝1，－3a＝3.∴a＝－1b＝0或a＝－1，b＝－3.

∴z＝－1或z＝－1－3i.

②∵z∈{虚数}，∴z＝－1－3i，即OZ→＝(－1，－3)，

设OZ′→＝(x，y)，则OZ→⊥OZ′→，且|OZ→|＝|OZ′→|，

∴－x－3y＝0x2＋y2＝10， 解之得x＝－3y＝1或x＝3，y＝－1.

∴OZ′→＝(－3，1)或OZ′→＝(3，－1)，

由于OZ′→是由OZ→逆时针旋转90°得到，

所以OZ′→＝(3，－1)．

即OZ′→对应的复数为3－i.

(2)若复数z满足|z＋i|＋|z－i|＝2，求|z＋i＋1|的最小值．

[解] 法一：设复数－i，i，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z1，Z2，Z3，如图．

∵|z＋i|＋|z－i|＝2，|Z1Z2|＝2，

∴复数z对应的点Z的集合为线段Z1Z2.

问题转化为：动点Z在线段Z1Z2上移动，求|ZZ3|的最小值，则|ZZ3|min＝1.

法二：设z＝x＋yi(x，y∈R)．

∵|z＋i|＋|z－i|＝2，

∴x2＋（y＋1）2＋x2＋（y－1）2＝2，

又x2＋（y＋1）2＝2－x2＋（y－1）2≥0，

∴0≤1－y＝x2＋（y－1）2≤2，

即(1－y)2＝x2＋(y－1)2，且0≤1－y≤2.

∴x＝0且－1≤y≤1，

则z＝yi(－1≤y≤1)．

∴|z＋i＋1|＝|1＋(y＋1)i|＝12＋（y＋1）2≥1，等号在y＝－1即z＝－i时成立．

∴|z＋i＋1|的最小值为1.

(时间：100分钟，满分：120分)

一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)

1．复数1＋i＋i2＋i3等于( )

A．2i B．2

C．0 D．－2i

解析：选C.1＋i＋i2＋i3＝1＋i－1＋i2·i＝0.

2．复数z＝a＋i1＋i(a∈R)是纯虚数，则a的值为( )

A．1 B．－1

C．0

D．2

解析：选B.z＝a＋i1＋i＝（a＋i）（1－i）（1＋i）（1－i）＝（a＋1）＋（1－a）i2

＝a＋12＋1－a2i为纯虚数． ∴a＋12＝01－a2≠0，解得a＝－1.

3．复数52－i的共轭复数为( )

A．2－i B．2＋i

C．－2＋i D．－2－i

解析：选A.52－i＝5（2＋i）（2－i）（2＋i）＝5（2＋i）5＝2＋i.

∴52－i的共轭复数为2－i.

4．复数m(3＋i)－(2＋i)在复平面上表示的点位于第三象限，则实数m的取值范围为( )

A.23，1 B.－∞，23

C．(1，＋∞) D．(－∞，－1)

解析：选B.m(3＋i)－(2＋i)

＝(3m－2)＋(m－1)i，

由题意得3m－2<0m－1<0.∴m<23.

故实数m的取值范围为－∞，23.

5．(a＋bi)(c＋di)∈R的充要条件是( )

A．ad＋bc＝0 B．ad－bc＝0

C．ac＋bd＝0 D．ac－bd＝0

解析：选A.(a＋bi)(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i，

由题意得ad＋bc＝0.

6．复数z的共轭复数为z，且(1＋2i)z＝4＋3i，则zz等于( )

A．5 B．10

C．25 D.5

解析：选A.z＝4＋3i1＋2i＝（4＋3i）（1－2i）（1＋2i）（1－2i）＝10－5i5＝2－i.

∴z＝2＋i，故zz＝(2＋i)(2－i)＝5.

7．在复平面上向量OA→对应的复数为zA＝1＋2i，A点关于直线x－y＝0的对称点为B，设向量OB→对应的复数为zB，则zAzB＝( )

A．5 B．－5

C．5i D．－5i

解析：选C.由对称性可得A(1，2)关于y＝x的对称点为(2，1)，

∴zAzB＝(1＋2i)(2＋i)＝5i.

8.1＋7i2－i＝a＋bi(a，b∈R)，则a＋b为( )

A．1 B．2

C．－1 D．－2

解析：选B.由1＋7i2－i＝a＋bi，得

1＋7i＝(a＋bi)(2－i)＝(2a＋b)＋(2b－a)i，

∴2a＋b＝12b－a＝7，解得a＝－1，b＝3.