第三章《导数及其应用》章末总结

优化问题用函数表示数学问题 建立数学模型用导数解决数学问题 作答优化问题答案 解决数学模型阿尔山市一中高二年级数学学科导学案主备人 代丽艳课时1时间45分钟课题第三章 导数及其应用的小结学习目标 1、 知识与技能：学生能正确地理解导数的定义及几何意义与物理意义，理解用导数的定义求某些基本初等函数的导数和方法。

熟记这些函数和导数公式，掌握可导与连续的关系。

2、 过程与方法：提高学生综合、灵活运用导数的知识解决有关函数问题的能力3、 情感态度价值观：进一步感受数学的应用价值，提高数学的应用意识，坚定学好数学的信心。

重点 导数和定义。

几个基本初等函数的导数公式。

难点导数的定义，用导数定义求函数的导数。

导 学 设 计1.本章知识结构2.知识点总结（1）导数与函数单调性导函数的符号与函数的单调性之间具有如下的关系：ⅰ．如果在某个区间内，函数()x f y =的导数________，则在这个区间上，函数()x f y =是________，该区间是函数的_______。

ⅱ．如果在某个区间内，函数()x f y =的导数________，则在这个区间上，函数()x f y =是________，该区间是函数的_______。

ⅲ. 如果在某个区间内，函数()x f y =恒有导数________，则()x f 为_______。

注：①)(x f '＞0（或)(x f '＜0)是()x f 在某一区间上是增加的（或减少的）的充分不必要条件.,②在利用导数讨论函数的单调区间时，首先要确定函数的定义域，在解决问题的过程中，只能在定义域内，通过讨论导数的符号来判断函数的单调区间. ⑵函数的极值与导数一般情况下，求函数()x f y =的极值点的步骤如下： ⅰ求出导数________； ⅱ解方程________；ⅲ对于方程)(x f '=0的每一个解x 0，分析)(x f '在x 0左、右两侧的_______（即()x f 的单调性），确定极值点：若)(x f '在x 0两侧的符号“左正右负”，则x 0为______；若)(x f '在x 0两侧的符号“左负右正”， 则x 0为______；若)(x f '在x 0两侧的符号相同，则x 0_______极值点 注：极值反映的是函数在某一点附近的大小情况，函数应在极值点附近有定义，端点绝对不是极值点⑶函数最值的实际应用（优化问题的解决） ① 求连续函数()x f 在[]b a ,上上最值的步骤： ⅰ求()x f 在（a,b ）上的极值；ⅱ将()x f 的各极值与)(),(b f a f 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值. ② 最值与极值的区别与联系：ⅰ最值是整体性概念，极值是局部的概念ⅱ最大（小）值不一定是极大（小）值，极大（小）值也不一定是最大（小）值.函数在某一区间上的极值可能有多个，但在某一区间上存在最大（小）值时，最大（小）值只能有一个 ⅲ极值有可能成为最值，最值存在且不在端点处取得，则必是极值③ 解决优化问题的方法：解决优化问题的基本思路是注：用导数的方法解决实际问题，可归纳为：费用最省问题；面积、体积最大问题；利润最大问题等 三、合作、探究、展示导数应用函数的单调性与极值函数的单调性（用导数的符号判断单调性） 函数的极值（利用导数确定函数的极值点和极值）导数在实际问题中的应用 实际问题中的导数的意义 最大、最小值问题（最优化问题）1．求下列函数的单调区间和极值 ⑴x x y -= ⑵x x y sin += ⑶x x y cos sin +=2.设函数2()ln(23)f x x x =++ （Ⅰ）讨论()f x 的单调性；（Ⅱ）求()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值和最小值．解：()f x 的定义域为32⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞． （Ⅰ）224622(21)(1)()2232323x x x x f x x x x x ++++'=+==+++． 当312x -<<-时，()0f x '>；当112x -<<-时，()0f x '<；当12x >-时，()0f x '>． 从而，()f x 分别在区间312⎛⎫-- ⎪⎝⎭，，12⎛⎫-+ ⎪⎝⎭，∞单调增加，在区间112⎛⎫-- ⎪⎝⎭，单调减少． （Ⅱ）由（Ⅰ）知()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最小值为11ln 224f ⎛⎫-=+ ⎪⎝⎭．又31397131149ln ln ln 1ln 442162167226f f ⎛⎫⎛⎫⎛⎫--=+--=+=- ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭0<． 所以()f x 在区间3144⎡⎤-⎢⎥⎣⎦，的最大值为117ln 4162f ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．2. 已知函数处取的极值在13)(23±=-+=x x bx ax x f（1）求()x f 的极值（2）当[]2,2-∈x 时，求()x f 的最大值和最小值2..已知函数c bx x ax x f -+=44ln )((x>0)在x = 1处取得极值c --3，其中a,b,c 为常数。

第 1 页 共 3 页选修1－1选修1-2知识点总结复习第三部分 导数及其应用1、函数()f x 从1x 到2x 的平均变化率：()()2121f x f x x x --2、导数定义：()f x 在点0x 处的导数记作xx f x x f x f y x x x ∆-∆+='='→∆=)()(lim)(00000；．3、函数()y f x =在点0x 处的导数的几何意义是曲线()y f x =在点()()00,x f x P 处的切线的斜率．4、常见函数的导数公式：①'C 0=；②1')(-=n n nx x ； ③x x cos )(sin '=；④x x sin )(cos '-=；⑤a a a x x ln )('=；⑥xx e e =')(； ⑦a x x a ln 1)(log '=；⑧xx 1)(ln '= 5、导数运算法则：()1 ()()()()f x g x f x g x '''±=±⎡⎤⎣⎦； ()2 ()()()()()()f x g x f x g x f x g x '''⋅=+⎡⎤⎣⎦；()3()()()()()()()()()20f x f x g x f x g x g x g x g x '⎡⎤''-=≠⎢⎥⎡⎤⎣⎦⎣⎦．6、在某个区间(),a b 内，若()0f x '>，则函数()y f x =在这个区间内单调递增； 若()0f x '<，则函数()y f x =在这个区间内单调递减．7、求函数()y f x =的极值的方法是：解方程()0f x '=．当()00f x '=时：()1如果在0x 附近的左侧()0f x '>，右侧()0f x '<，那么()0f x 是极大值； ()2如果在0x 附近的左侧()0f x '<，右侧()0f x '>，那么()0f x 是极小值．8、求函数()y f x =在[],a b 上的最大值与最小值的步骤是：()1求函数()y f x =在(),a b 内的极值；第 2 页 共 3 页()2将函数()y f x =的各极值与端点处的函数值()f a ，()f b 比较，其中最大的一个是最大值，最小的一个是最小值．9、导数在实际问题中的应用：最优化问题。

第三章 章末总结知识点一　导数与曲线的切线利用导数的几何意义求切线方程时关键是搞清所给的点是不是切点，常见的类型有两种，一类是求“在某点处的切线方程”，则此点一定为切点，先求导，再求斜率代入直线方程即可得；另一类是求“过某点的切线方程”，这种类型中的点不一定是切点，可先设切点为Q (x 1，y 1)，则切线方程为y －y 1＝f ′(x 1)(x －x 1)，再由切线过点P (x 0，y 0)得y 0－y 1＝f ′(x 1)(x 0－x 1) ①又y 1＝f (x 1) ②由①②求出x 1，y 1的值．即求出了过点P (x 0，y 0)的切线方程．例1　已知曲线f (x )＝x 3－3x ，过点A (0,16)作曲线f (x )的切线，求曲线的切线方程．知识点二　导数与函数的单调性利用导数研究函数的单调区间是导数的主要应用之一，其步骤为：(1)求导数f ′(x )；(2)解不等式f ′(x )>0或f ′(x )<0；(3)确定并指出函数的单调增区间、减区间．特别要注意写单调区间时，区间之间用“和”或“，”隔开，绝对不能用“∪”连接．例2　求下列函数的单调区间：(1)f (x )＝＋sin x ；x 2(2)f (x )＝x (x －a )2.知识点三　导数与函数的极值、最值利用导数研究函数的极值和最值是导数的另一主要应用．1．应用导数求函数极值的一般步骤：(1)确定函数f (x )的定义域；(2)解方程f ′(x )＝0的根；(3)检验f ′(x )＝0的根的两侧f ′(x )的符号．若左正右负，则f (x )在此根处取得极大值；若左负右正，则f (x )在此根处取得极小值；否则，此根不是f (x )的极值点．2．求函数f (x )在闭区间[a ，b ]上的最大值、最小值的方法与步骤：(1)求f (x )在(a ，b )内的极值；(2)将(1)求得的极值与f (a )、f (b )相比较，其中最大的一个值为最大值，最小的一个值为最小值；特别地，①当f (x )在(a ，b )上单调时，其最小值、最大值在区间端点处取得，②当f (x )在(a ，b )内只有一个极值点时，若在这一点处f (x )有极大(小)值，则可以断定f (x )在该点处取得最大(小)值，这里(a ，b )也可以是(－∞，＋∞)．例3　设<a <1，函数f (x )＝x 3－ax 2＋b (－1≤x ≤1)的最大值为1，最小值为－，233262求常数a ，b .知识点四　导数与参数的范围已知函数的单调性求参数的取值范围时，可以有两种方法：一是利用函数单调性的定义，二是利用导数法．利用导数法更为简捷．在解决问题的过程中主要处理好等号的问题，因为f ′(x )>0(或f ′(x )<0)仅是一个函数在某区间上递增(或递减)的充分不必要条件，而其充要条件是：f ′(x )≥0(或f ′(x )≤0)，且f ′(x )不恒为零．利用导数法解决取值范围问题时可以有两个基本思路：一是将问题转化为不等式在某区间上的恒成立问题，即f ′(x )≥0或f ′(x )≤0恒成立，用分离参数或函数性质求解参数范围，然后检验参数取“＝”时是否满足题意；另一思路是先令f ′(x )>0(或f ′(x )<0)，求出参数的取值范围后，再令参数取“＝”，看此时f (x )是否满足题意．例4　已知函数f (x )＝x 2＋ (x ≠0，常数a ∈R )．若函数f (x )在x ∈[2，＋∞)上是单调a x 递增的，求a 的取值范围．例5　已知f (x )＝x 3－x 2－2x ＋5，当x ∈[－1,2]时，f (x )<m 恒成立，求实数m 的取值12范围．章末总结 答案重点解读例1　解　设切点为(x 0，y 0)，则由导数定义得切线的斜率k ＝f ′(x 0)＝3x －3，20∴切线方程为y ＝(3x －3)x ＋16，20又切点(x 0，y 0)在切线上，∴y 0＝3(x －1)x 0＋16，20即x －3x 0＝3(x －1)x 0＋16，3020解得x 0＝－2，∴切线方程为9x －y ＋16＝0.例2　解　(1)函数的定义域是R ，f ′(x )＝＋cos x ，令＋cos x >0，1212解得2k π－<x <2k π＋ (k ∈Z )，2π32π3令＋cos x <0，12解得2k π＋<x <2k π＋ (k ∈Z )，2π34π3因此，f (x )的单调增区间是(k ∈Z )，单调减区间是(2k π－2π3，2k π＋2π3) (k ∈Z )．(2k π＋2π3，2k π＋4π3)(2)函数f (x )＝x (x －a )2＝x 3－2ax 2＋a 2x 的定义域为R ，由f ′(x )＝3x 2－4ax ＋a 2＝0，得x 1＝，x 2＝a .a 3①当a >0时，x 1<x 2.∴函数f (x )的单调递增区间为，(a ，＋∞)，(－∞，a 3)单调递减区间为.(a 3，a )②当a <0时，x 1>x 2，∴函数f (x )的单调递增区间为(－∞，a )，，(a 3，＋∞)单调递减区间为.(a ，a 3)③当a ＝0时，f ′(x )＝3x 2≥0，∴函数f (x )的单调区间为(－∞，＋∞)，即f (x )在R 上是增加的．例3　解　令f ′(x )＝3x 2－3ax ＝0，得x 1＝0，x 2＝a .当变化时，从上表可知，当x ＝0时，f (x )取得极大值b ，而f (0)>f (a )，f (1)>f (－1)，故需比较f (0)与f (1)的大小．因为f (0)－f (1)＝a －1>0，所以f (x )的最大值为f (0)＝b .所以b ＝1.32又f (－1)－f (a )＝(a ＋1)2(a －2)<0，12所以f (x )的最小值为f (－1)＝－1－a ＋b ＝－a ，3232所以－a ＝－，所以a ＝.326263例4　解　f ′(x )＝2x －＝.a x 22x 3－ax 2要使f (x )在[2，＋∞)上是单调递增的，则f ′(x )≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立，即≥0在x ∈[2，＋∞)上恒成立．2x 3－ax 2∵x 2>0，∴2x 3－a ≥0，∴a ≤2x 3在x ∈[2，＋∞)上恒成立．∴a ≤(2x 3)min .∵x ∈[2，＋∞)，y ＝2x 3是单调递增的，∴(2x 3)min ＝16，∴a ≤16.当a ＝16时，f ′(x )＝≥0 (x ∈[2，＋∞))有且只有f ′(2)＝0，∴a 的取值范围2x 3－16x 2是a ≤16.例5　解　∵f (x )＝x 3－x 2－2x ＋5，12∴f ′(x )＝3x 2－x －2.令f ′(x )＝0，即3x 2－x －2＝0，∴x ＝1或x ＝－.23当x ∈时，f ′(x )>0，f (x )为增函数；(－1，－23)当x ∈时，f ′(x )<0，f (x )为减函数；(－23，1)当x ∈(1,2)时，f ′(x )>0，f (x )为增函数．所以，当x ＝－时，f (x )取得极大值f ＝；23(－23)15727当x ＝1时，f (x )取得极小值f (1)＝.72又f (－1)＝，f (2)＝7，112因此，f (x )在[－1,2]上的最大值为f (2)＝7.要使f (x )<m 恒成立，需f (x )max <m ，即m >7.所以，所求实数m 的取值范围是(7，＋∞)．。