精品高中数学第三章数系的扩充与复数的引入章末优化总结优化练习

第三章 数系的扩充与复数的引入 3．1.1 数系的扩充和复数的概念双基达标 限时20分钟1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( )．A ．3－3iB ．3＋iC ．－2＋2iD.2＋2i解析 3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 答案 A2．若复数cos θ＋isin θ和sin θ＋icos θ相等，则θ值为( )．A.π4B.π4或54π C ．2k π＋π4(k ∈Z )D ．k π＋π4(k ∈Z )解析 由复数相等定义得⎩⎪⎨⎪⎧cos θ＝sin θ，sin θ＝cos θ，∴tan θ＝1，∴θ＝k π＋π4(k ∈Z )．答案 D 3．下列命题中①若x ，y ∈C ，则x ＋y i ＝2＋i 的充要条件是x ＝2，y ＝1； ②纯虚数集相对复数集的补集是虚数集； ③若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3. 正确的命题个数是( )．A ．0B ．1C ．2D ．3解析 ①x ，y ∈C ，x ＋y i 不一定是代数形式，故①错．②③错；对于④，a ＝0时，a i ＝0，④错，故选A. 答案 A4．已知复数z ＝m 2(1＋i)－m (m ＋i)(m ∈R )，若z 是实数，则m 的值为________．解析 z ＝m 2＋m 2i －m 2－m i ＝(m 2－m )i ，∴m 2－m ＝0， ∴m ＝0或1. 答案 0或15．已知(1＋i)m 2＋(7－5i)m ＋10－14i ＝0，则实数m ＝________.解析 把原式整理得(m 2＋7m ＋10)＋(m 2－5m －14)i ＝0，∵m ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋7m ＋10＝0，m 2－5m －14＝0，∴m ＝－2.答案 －26．实数m 取什么值时，复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 分别是(1)纯虚数；(2)实数．解 (1)复数lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数．则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2＝1，m 2＋3m ＋2≠0，∴⎩⎪⎨⎪⎧m ＝3或m ＝－1，m ≠－2且m ≠－1，∴m ＝3.即m ＝3时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为纯虚数， (2)复数为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2－2m －2>0， ①m 2＋3m ＋2＝0， ②解②得m ＝－2或m ＝－1， 代入①检验知满足不等式，∴m ＝－2或m ＝－1时，lg(m 2－2m －2)＋(m 2＋3m ＋2)i 为实数．综合提高 限时25分钟7．已知集合M ＝{1，(m 2－3m －1)＋(m 2－5m －6)i}，N ＝{1,3}，M ∩N ＝{1,3}，则实数m 的值为( )．A ．4B ．－1C ．4或－1D ．1或6解析 由题意⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3 m －1＝3，m 2－5 m －6＝0，∴m ＝－1.答案 B8．如果关于x 的方程x 2－2x －a ＝0的一个根是i ，那么复数a( )．A ．一定是实数B ．一定是纯虚数C ．可能是实数，也可能是虚数D ．一定是虚数，但不是纯虚数解析 因为i 是方程x 2－2x －a ＝0的根，故代入整理得：a ＝x 2－2x ＝i 2－2i ＝－1－2i ，故选D.答案 D9．若4－3a －a 2i ＝a 2＋4a i ，则实数a 的值为________．解析 易知⎩⎪⎨⎪⎧4－3a ＝a 2，－a 2＝4a ，解得a ＝－4.答案 －410．若log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，则实数x 的取值范围是________．解析 ∵log 2(x 2－3x －2)＋ilog 2(x 2＋2x ＋1)>1，∴⎩⎪⎨⎪⎧log 2x 2－3x －2>1，log 2x 2＋2x ＋1＝0，∴x ＝－2.答案 －211．已知A ＝{1,2，(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A ∩B ＝{3}，求实数a 的值．解 按题意：(a 2－3a －1)＋(a 2－5a －6)i ＝3，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－5a －6＝0a 2－3a －1＝3，得a ＝－1.12．(创新拓展)若m 为实数，z 1＝m 2＋1＋(m 3＋3m 2＋2m )i ，z 2＝4m ＋2＋(m 3－5m 2＋4m )i ，那么使z 1>z 2的m 值的集合是什么？使z 1<z 2的m 值的集合又是什么？ 解 当z 1∈R 时，m 3＋3m 2＋2m ＝0，m ＝0，－1，－2，z 1＝1或2或5.当z 2∈R 时，m 3－5m 2＋4m ＝0，m ＝0,1,4，z 2＝2或6或18.上面m 的公共值为m ＝0， 此时z 1与z 2同时为实数， 此时z 1＝1，z 2＝2.所以z 1>z 2时m 值的集合为空集，z 1<z 2时m 值的集合为{0}．。

数系的扩充和复数的相关概念方法总结
1．虚数单位i具有两条性质：
(1)它的平方等于－1，即i2＝－1.
(2)实数可以与它进行四则运算，在进行四则运算时，原有的加、乘运算律仍成立．
2．关于复数的代数形式z＝a＋bi(a，b∈R)，注意以下几点：
(1)a，b∈R，否则不是代数形式．
(2)从代数形式可判定z是实数、虚数还是纯虚数．
反之，若z是纯虚数，可设z＝bi(b≠0，b∈R)；
若z是虚数，可设z＝a＋bi(b≠0，b∈R)；
若z是复数，可设z＝a＋bi(a，b∈R)．
(3)形如bi的数不一定是纯虚数，只有b≠0且b∈R时，才是纯虚数．
3．两个复数只能说相等或不相等，不一定能比较大小．
关于这一点的理解要注意以下几点：
(1)根据复数a＋bi与c＋di(a，b，c，d∈R)相等的定义，可知在a＝c，b＝d两式中，只要有一个不成立，那么就有a＋bi≠c＋di.
(2)如果两个复数都是实数，可以比较大小，否则是不能比较大小的．。

第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测(三)时间：120分钟 总分值：150分一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分．在每题给出的四个选项中，只有一项为哪一项符合题目要求的)1．复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，那么实数t 等于( ) A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.因为z 1·z 2是实数，所以4t －3＝0，所以t ＝34.因此选A.答案：A2．f (x )＝x 2，i 是虚数单位，那么在复平面中复数f 1＋i3＋i对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因为函数f (x )＝x 2，所以f (1＋i)＝(1＋i)2，化简得f (1＋i)＝2i ， 所以 f 1＋i3＋i ＝2i3＋i ＝2i 3－i 3＋i 3－i ＝2＋6i 10＝1＋3i 5＝15＋35i.根据复数的几何意义知，f 1＋i3＋i所对应的点的坐标为(15，35)，所以其对应的点在第一象限．故应选A.答案：A3．(2022·高考辽宁卷)设复数z 满足(z －2i)(2－i)＝5，那么z ＝( ) A ．2＋3i B ．2－3i C ．3＋2iD ．3－2i解析：由(z －2i)(2－i)＝5得z ＝52－i ＋2i ＝52＋i 2－i 2＋i ＋2i ＝52＋i5＋2i ＝2＋3i ，选A.答案：A4．复数z ＝－12＋32i ，那么z ＋|z |＝( )A ．－12－32iB ．－12＋32iC.12＋32iD.12－32i 解析：因为z ＝－12＋32i ，所以z ＋|z |＝－12－32i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－122＋⎝ ⎛⎭⎪⎫322＝12－32i.答案：D5．假设z ＝cos θ＋isin θ(i 为虚数单位)，那么使z 2＝－1的θ值可能是( ) A.π6 B.π4C.π3D. π2解析：∵z 2＝cos 2θ＋isin 2θ＝－1，∴⎩⎪⎨⎪⎧cos 2θ＝－1，sin 2θ＝0.∴2θ＝2k π＋π(k ∈Z)，∴θ＝k π＋π2.令k ＝0知，D 正确．答案：D6．假设关于x 的方程x 2＋(1＋2i)x ＋3m ＋i ＝0有实根，那么实数m 等于( ) A.112B.112i C ．－112D ．－112i解析：设方程的实数根为x ＝a (a 为实数)，那么a 2＋(1＋2i)·a ＋3m ＋i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋a ＋3m ＝0，2a ＋1＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－12，m ＝112.应选A.答案：A7．实数x ，y 满足(1＋i)x ＋(1－i)y ＝2，那么xy 的值是( ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：由题意得x ＋y ＋(x －y )i ＝2，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＋y ＝2，x －y ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝1，∴xy ＝1.。

第三章 数系的扩充与复数的引入章末检测时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共10小题，每小题5分，共50分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．i 是虚数单位，计算i ＋i 2＋i 3＝( ) A ．－1 B ．1 C ．－iD ．i解析：i ＋i 2＋i 3＝i ＋(－1)－i ＝－1. 答案：A2．已知i 为虚数单位，复数z ＝1－2i2－i ，则复数z 的虚部是( )A ．－35iB ．－35C.45 iD.45解析：1－2i 2－i ＝－＋－＋＝4－3i 5＝45－35i ，则复数z 的虚部是－35. 答案：B3．如图，在复平面内，点A 表示复数z ，则图中表示z 的共轭复数的点是( ) A ．A B ．B C ．CD ．D解析：设z ＝a ＋b i(a <0，b >0)∴z ＝a －b i 对应点的坐标是(a ，－b )，是第三象限点B . 答案：B4．i 是虚数单位，复数z ＝7＋i3＋4i的共轭复数z ＝( ) A ．1－i B ．1＋i C.1725＋3125i D ．－177＋257i解析：z ＝7＋i3＋4i ＝＋－25＝25－25i25＝1－i ∴z ＝1＋i. 答案：B5．若复数z ＝(1＋i)(x ＋i)(x ∈R)为纯虚数，则|z |等于( ) A ．2 B. 5 C. 2D ．1解析：∵z ＝x －1＋(x ＋1)i 为纯虚数且x ∈R ，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝0，x ＋1≠0，得x ＝1，z ＝2i ，|z |＝2.答案：A6．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B.43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i ， 依题意4t －3＝0，∴t ＝34.答案：A7．设z ∈C ，若z 2为纯虚数，则z 在复平面上的对应点落在( ) A ．实轴上B ．虚轴上C ．直线y ＝±x (x ≠0)上D ．以上都不对解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，∵z 2＝a 2－b 2＋2ab i 为纯虚数，∴⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝0，ab ≠0.∴a ＝±b ，即z 在直线y ＝±x (x ≠0)上． 答案：C8．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋iD ．1－3i解析：由定义知⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z z i ＝z i ＋z ，得z i ＋z ＝4＋2i ，∴z ＝4＋2i 1＋i ＝＋－2＝6－2i2＝3－i. 答案：A9．若复数x 0＝1＋2i 是关于x 的实系数方程x 2＋bx ＋c ＝0的一个根，则( )A ．b ＝2，c ＝3B ．b ＝－2，c ＝3C ．b ＝－2，c ＝－1D ．b ＝2，c ＝－1解析：因为1＋2i 是实系数方程的一个复数根，所以1－2i 也是方程的根，则1＋2i ＋1－2i ＝2＝－b ，(1＋2i)(1－2i)＝3＝c ，解得b ＝－2，c ＝3. 答案：B10．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A ，B ，C .若OC →＝λOA →＋μOB →(λ，μ∈R)，则λ＋μ的值是( )A ．1B ．2C ．3D ．4解析：3－4i ＝λ(－1＋2i)＋μ(1－i)＝μ－λ＋(2λ－μ)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧μ－λ＝3，2λ－μ＝－4，得⎩⎪⎨⎪⎧λ＝－1，μ＝2，∴λ＋μ＝1.答案：A二、填空题(本大题共5小题，每小题5分，共25分，把答案填在题中的横线上) 11．设i 为虚数单位，则1－i ＋2＝________. 解析：1－i＋2＝1－i 2i＝－－2＝－i 2－12.答案：－12－i212．已知复数z 1＝cos 23°＋sin 23°i 和复数z 2＝sin 53°＋sin 37°i，则z 1·z 2＝________.解析：z 1·z 2＝(cos 23°＋sin 23°i)·(sin 53°＋sin 37°i)＝(cos 23°sin 53°－sin 23°sin 37°)＋(sin 23°sin 53°＋co s 23°sin 37°)i ＝(cos 23°sin 53°－sin 23°cos 53°)＋i(sin 23°sin 53°＋cos 23°cos 53°) ＝sin 30°＋i cos 30°＝12＋32i.答案：12＋32i13．已知复数z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)且a 1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，则复数z ＝________.解析：∵a ，b ∈R 且a1－i ＋b 1－2i ＝53＋i，即a 1＋i2＋b 1＋2i5＝3－i2， ∴5a ＋5a i ＋2b ＋4b i ＝15－5i ，即⎩⎪⎨⎪⎧5a ＋2b ＝15，5a ＋4b ＝－5，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝7，b ＝－10，故z ＝a ＋b i ＝7－10i. 答案：7－10i14. 复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数在复平面内的对应点位于第一象限，则实数m 的取值范围是________．解析：复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(m 2－2m －8)i 的共轭复数为z ＝(m 2－3m ＋2)－(m 2－2m －8)i ， 又z 在复平面内对应的点在第一象限，得⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2>0，－m 2－2m －，解得－2<m <1或2<m <4. 答案：(－2,1)∪(2,4)15．若复数z ＝1＋2i ，其中i 是虚数单位，则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝________. 解析：∵z ＝1＋2i ，知z ＝1－2i则⎝ ⎛⎭⎪⎫z ＋1z ·z ＝z ·z ＋1＝(1＋2i)(1－2i)＋1＝6. 答案：6三、解答题(本大题共有6小题，共75分．解答时应写出文字说明、证明过程或运算步骤) 16．(12分)实数k 为何值时，复数z ＝ (k 2－3k －4)＋(k 2－5k －6)i 是： (1)实数；(2)虚数；(3)纯虚数；(4)0.解析：(1)当k 2－5k －6＝0，即k ＝6或k ＝－1时，z 是实数． (2)当k 2－5k －6≠0，即k ≠6且k ≠－1时，z 是虚数．(3)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6≠0，即k ＝4时，z 是纯虚数．(4)当⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k －4＝0，k 2－5k －6＝0，即k ＝－1时，z 是0.17．(12分)已知复数z 的共轭复数为z ，且z ·z －3i z ＝101－3i，求z .解析：设z ＝a ＋b i(a ，b ∈R)，则z ＝a －b i. 又z ·z －3i z ＝101－3i ，所以a 2＋b 2－3i(a ＋b i)＝＋10，所以a 2＋b 2＋3b －3a i ＝1＋3i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2＋b 2＋3b ＝1，－3a ＝3.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝0，或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－1，b ＝－3.所以z ＝－1，或z ＝－1－3i.18．(12分)已知z 是复数，z ＋2i ，z2－i 均为实数(i 为虚数单位)，且复数(z ＋a i)2在复平面上对应的点位于第一象限，求实数a 的取值范围． 解析：设z ＝x ＋y i(x ，y ∈R)，则z ＋2i ＝x ＋(y ＋2)i ， 由z ＋2i 为实数，得y ＝－2. ∵z2－i ＝x －2i 2－i ＝15(x －2i)(2＋i) ＝15(2x ＋2)＋15(x －4)i ， 由z2－i为实数，得x ＝4.∴z ＝4－2i. ∵(z ＋a i)2＝(12＋4a －a 2)＋8(a －2)i ，根据条件，可知⎩⎪⎨⎪⎧12＋4a －a 2>0，a －解得2<a <6.∴实数a 的取值范围是(2,6)．19．(12分)已知复数z 1满足(1＋i)z 1＝－1＋5i ，z 2＝a －2－i ，其中i 为虚数单位，a ∈R ，若|z 1－z 2|<|z 1|，求a 的取值范围．解析：∵z 1＝－1＋5i1＋i ＝2＋3i ，z 2＝a －2－i ，z 2＝a －2＋i ，∴|z 1－z 2|＝|(2＋3i)－(a －2＋i)|＝|4－a ＋2i| ＝－a2＋4，又∵|z 1|＝13，|z 1－z 2|<|z 1|， ∴－a2＋4<13，∴a 2－8a ＋7<0，解得1<a <7. ∴a 的取值范围是(1,7)．20．(13分)已知关于x 的方程x a ＋b x＝1，其中a ，b 为实数． (1)若x ＝1－3i 是该方程的根，求a ，b 的值．(2)当a >0且b a >14时，证明该方程没有实数根．解析：(1)将x ＝1－3i 代入x a ＋bx＝1， 化简得⎝ ⎛⎭⎪⎫1a ＋b 4＋⎝ ⎛⎭⎪⎫34b －3a i ＝1，∴⎩⎪⎨⎪⎧1a ＋b 4＝1，34b －3a ＝0，解得a ＝b ＝2.(2)原方程化为x 2－ax ＋ab ＝0， 假设原方程有实数解，那么Δ＝(－a )2－4ab ≥0，即a 2≥4ab .∵a >0，∴b a ≤14，这与题设b a >14相矛盾．故原方程无实数根． 21．(14分)复数z ＝＋3a ＋b1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解析：z ＝＋2＋1－i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4得a 2＋b 2＝4，①∵复数0，z ，z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得a 2＝3b 2，② 代入①得，|b |＝1. 又∵Z 点在第一象限， ∴a <0，b <0.由①②得⎩⎨⎧a ＝－3，b ＝－1，故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。

课时作业19 数系的扩充和复数的概念时间：45分钟 ——基础巩固类——一、选择题1．设集合A ＝{虚数}，B ＝{纯虚数}，C ＝{复数}，则A ，B ，C 间的关系为( B ) A ．A B C B ．B A C C ．B C AD ．A CB解析：根据复数的分类，复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系如图所示，故选B.2．以－5＋2i 的虚部为实部，以5i ＋2i 2的实部为虚部的复数是( A )A ．2－2iB ．2＋2iC ．－5＋5iD.5＋5i解析：－5＋2i 的虚部为2，5i ＋2i 2＝－2＋5i ，其实部为－2，故所求复数为2－2i.3．设a ，b ∈R .“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的( B ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：当a ＝0时，若b ＝0，则a ＋b i 是实数，不是纯虚数，因此“a ＝0”不是“复数a ＋b i 是纯虚数”的充分条件；而若a ＋b i 是纯虚数，则实部为0，虚部不为0，可以得到a＝0，因此“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要条件．故“a ＝0”是“复数a ＋b i 是纯虚数”的必要不充分条件．4．若复数2－b i(b ∈R )的实部与虚部互为相反数，则b 的值为( D ) A ．－2 B.23 C ．－23D ．2解析：复数2－b i 的实部为2，虚部为－b ，由题意知2＝－(－b )，所以b ＝2. 5．若复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数，则实数m 的值为( D ) A ．－1 B ．2 C ．1D ．－1或2解析：∵复数z ＝m 2－1＋(m 2－m －2)i 为实数， ∴m 2－m －2＝0，解得m ＝－1或m ＝2.6．若复数(a 2－3a ＋2)＋(a －1)i 是纯虚数，则实数a 的值为( B ) A ．1 B ．2 C ．1或2D ．－1解析：根据复数的分类知，需满足⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a ＋2＝0，a －1≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1或a ＝2，a ≠1，即a ＝2.7．若x i －i 2＝y ＋2i ，x ，y ∈R ，则复数x ＋y i ＝( B ) A ．－2＋i B ．2＋i C ．1－2iD ．1＋2i解析：由i 2＝－1得x i －i 2＝1＋x i ，则由题意得1＋x i ＝y ＋2i ，根据复数相等的充要条件得x ＝2，y ＝1，故x ＋y i ＝2＋i.8．给出以下命题：(1)在复数集中，任意两个数都不能比较大小；(2)若z ＝m ＋n i(m ，n ∈C )，则当且仅当m ＝0，n ≠0时，z 为纯虚数； (3)若(z 1－z 2)2＋(z 2－z 3)2＝0，则z 1＝z 2＝z 3； (4)x ＋y i ＝1＋i ⇔x ＝y ＝1. 其中正确命题的个数是( A ) A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：(1)当两个复数都是实数时，可以比较其大小，故(1)错误； (2)当m ＝0，n ＝i 时，z ＝0＋i 2＝－1∈R ，故(2)错误；(3)当z 1＝1，z 2＝0，z 3＝i 时满足条件，而结论不成立，故(3)错误； (4)只有当x ，y ∈R 时命题才正确，故(4)错误．故选A. 二、填空题9．已知复数z ＝k 2－3k ＋(k 2－5k ＋6)i(k ∈Z )，且z <0，则k ＝2.解析：因为z <0，k ∈Z ，所以⎩⎪⎨⎪⎧k 2－3k <0，k 2－5k ＋6＝0，所以k ＝2.10．已知(3x ＋y )＋(2x －y )i ＝(7x －5y )＋3i ，则实数x ＝94，y ＝32.解析：∵x ，y 是实数，∴根据两个复数相等的充要条件，可得⎩⎪⎨⎪⎧3x ＋y ＝7x －5y ，2x －y ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝94，y ＝32.11．若关于x 的方程x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0有一根为实数x 0，则x 0＝1.解析：因为x 2－(6＋i)x ＋5＋i ＝0的根为x ＝5＋i 或1，所以x 0＝1. 三、解答题12．已知复数z ＝(m 2－3m ＋2)＋(2m 2－3m －2)i ，当实数m 取什么值时，复数z 满足下列条件：(1)为零； (2)为纯虚数．解：(1)因为一个复数为0的充要条件是实部为0且虚部等于0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2＝0，2m 2－3m －2＝0，解得⎩⎪⎨⎪⎧ m ＝1，或m ＝2，m ＝－12，或m ＝2，所以m ＝2.(2)因为一个复数为纯虚数的充要条件是实部等于0且虚部不等于0，所以有⎩⎪⎨⎪⎧m 2－3m ＋2＝0，2m 2－3m －2≠0，解得⎩⎪⎨⎪⎧m ＝1，或m ＝2，m ≠－12，且m ≠2，所以m ＝1.13．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＋i ＝y －3－y i ，2x ＋ay －4x －y ＋b i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值．解：∵方程组有实数解，∴⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，y －3＝1，2x ＋ay ＝9，4x －y ＋b ＝8，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝1，b ＝2.——能力提升类——14．已知z 1＝－4a ＋1＋(2a 2＋3a )i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a )i ，其中a ∈R ，z 1>z 2，则a 的值为0.解析：由z 1>z 2，得⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1>2a ，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝0或a ＝－32，a ＝0或a ＝－1，a <16.解得a ＝0.15．已知复数z 1＝－a 2＋2a ＋a i ，z 2＝2xy ＋(x －y )i ，其中a ，x ，y ∈R ，且z 1＝z 2，求3x ＋y 的取值范围．解：由复数相等的充要条件，得⎩⎪⎨⎪⎧－a 2＋2a ＝2xy ，a ＝x －y ，消去a ，得x 2＋y 2－2x ＋2y ＝0， 即(x －1)2＋(y ＋1)2＝2.方法1：令t ＝3x ＋y ，则y ＝－3x ＋t .分析知圆心(1，－1)到直线3x ＋y －t ＝0的距离d ＝|2－t |10≤2，解得2－25≤t ≤2＋25，即3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．方法2：令⎩⎨⎧x －1＝2cos α，y ＋1＝2sin α，得⎩⎨⎧x ＝2cos α＋1y ＝2sin α－1(α∈R )，所以3x ＋y ＝2sin α＋32cos α＋2＝25sin(α＋φ)＋2(其中tan φ＝3)，于是3x ＋y 的取值范围是[2－25，2＋25]．。

高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（高中数学第三章数系的扩充与复数的引入3.2 复数代数形式的四则运算3.2.1 复数代数形式的加、减运算及其几何意义教案2 新人教A版选修1-2）的内容能够给您的工作和学习带来便利。

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3.2.1复数代数形式的加、减运算及其几何意义教学过程一、推进新课1.复数的加法探究新知我们规定，复数的加法法则如下：设bi a z +=1,di c z +=2是任意两个复数，那么()()()()i d b c a di c bi a +++=+++提出问题问题1：两个复数的和是个什么数，值唯一确定吗?问题2：当b=0,d=0时，与实数加法法则一致吗？问题3：它的实质是什么?类似于实数的哪种运算方法？活动设计:学生独立思考，口答。

活动成果：1．仍然是个复数，且是一个确定的复数。

2．一致。

3．实质是实部与实部相加，虚部与虚部相加，类比于实数运算中的合并同类项。

设计意图：加深对复数加法法则的理解,且与实数类比，了解规定的合理性。

提出问题:实数加法有交换律、结合律，复数满足吗?并试着证明。

活动设计：学生先独立思考，然后小组交流.活动成果：满足,对任意的,,,321C z z z ∈有交换律:1221z z z z +=+结合律：()()321321z z z z z z ++=++证明:设bi a z +=1，di c z +=2,()()i d b c a z z +++=+21x O y()b a Z ,1 ()d c Z ,2 Z ()()i b d a c z z +++=+12显然，1221z z z z +=+同理可得，()()321321z z z z z z ++=++设计意图:引导学生根据实数加法满足的运算律，大胆尝试推导复数加法的运算律，提高学生的建构能力及主动发现问题,探究问题的能力。

【高中数学】练习题：数系的扩充与复数的引入（含详解）一、选择题1．(2011·辽宁高考)a 为正实数，i 为虚数单位，|a ＋i i|＝2，则a ＝( ) A ．2 B. 3 C. 2 D ．12．(2012·武汉模拟)若复数2－b i 1＋2i(b ∈R)的实部与虚部互为相反数，则b 等于( ) A. 2 B.23 C ．－23 D ．23．(2012·皖南八校联考)复数z 满足z ＝2－i 1－i，则z 等于( ) A ．1＋3i B ．3－i C. 32－12i D. 12＋32i 4．(2012·广东六校联考)若(1＋2a i)i ＝1－b i ，其中a 、b ∈R ，i 是虚数单位，则|a ＋b i|＝( ) A.12＋i B. 5 C.52 D.54 5．定义：若z 2＝a ＋b i(a ，b ∈R ，i 为虚数单位)，则称复数z 是复数a ＋b i 的平方根．根据定义，则复数－3＋4i 的平方根是( )A ．1－2i 或－1＋2iB ．1＋2i 或－1－2iC ．－7－24iD ．7＋24i 二、填空题 6．在复平面内，复数1＋i 与－1＋3i 分别对应向量OA 和OB ，其中O 为坐标原点，则|AB |＝________.7．设复数z 满足|z |＝5且(3＋4i)z 是纯虚数，则z ＝________.三、解答题8．计算：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3(2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i (3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2.9．实数m 分别取什么数值时？复数z ＝(m 2＋5m ＋6)＋(m 2－2m －15)i(1)与复数2－12i 相等；(2)与复数12＋16i 互为共轭；(3)对应的点在x 轴上方。

10．复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a ＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值.题组专练：【题组一】复数的有关概念及复数的几何意义11.(2010·广州模拟)若复数a ＋3i 1＋2i(a ∈R ，i 为虚数单位)是纯虚数，则实数a 的值为( ) A ．－6 B ．13 C.32 D.1312．设a 是实数，且a 1＋i＋1＋i 2是实数，则a 等于 ( ) A.12B ．1 C.32 D ．2 13．(2009·江苏高考)若复数z 1＝4＋29i ，z 2＝6＋9i ，其中i 是虚数单位，则复数(z 1－z 2)i 的实部为________．【题组二】复数相等14.(2009·全国卷Ⅰ)已知z 1＋i ＝2＋i ，则复数z ＝( ) A ．－1＋3i B ．1－3i C ．3＋i D ．3－i 15．已知m 1＋i＝1－n i ，其中m 、n 是实数，i 是虚数单位，则m ＋n i ＝( ) A ．1＋2iB ．1－2iC ．2＋iD ．2－i 16．如果实数b 与纯虚数z 满足关系式(2－i)z ＝4－b i(其中i 为虚数单位)，那么b 等于( )A ．8B ．－8C ．2D ．－2 【题组三】复数的代数运算17.(2010·连云港模拟)复数3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i＝( ) A ．0 B ．2 C ．－2iD ．2i 18．(2009·浙江高考)设z ＝1＋i(i 是虚数单位)，则2z＋z 2＝( ) A ．－1－iB ．－1＋iC ．1－iD ．1＋i19．计算：(1)(2＋2i)4(1－3i)5(2)－23＋i 1＋23i ＋(21－i )2010 (3)(1＋i 1－i )6＋2＋3i 3－2i . 【题组四】复数的综合应用20.已知0＜a ＜2，复数z ＝a ＋i(i 是虚数单位)，则|z |的取值范围是( )A ．(1,5)B ．(1,3)C ．(1，5)D ．(1，3)21.已知z 1，z 2为复数，(3＋i)z 1为实数，z 2＝z 12＋i，且|z 2|＝52，则z 2＝ . 22.复数z 1＝3a ＋5＋(10－a 2)i ，z 2＝21－a＋(2a －5)i ，若z 1＋z 2是实数，求实数a 的值.参考答案：一、选择题1．解析：由已知|a ＋i i |＝2得|a ＋i i|＝|(a ＋i)·(－i)|＝|－a i ＋1|＝2， ∴1＋a 2＝2，∵a ＞0，∴a ＝ 3.答案：B2．解析：2－b i 1＋2i ＝(2－b i )(1－2i )(1＋2i )(1－2i )＝2－2b －(4＋b )i 5， 由题意得2－2b 5－4＋b 5＝0，得b ＝－23. 3．解析：∵z ＝2－i 1－i＝(2－i )(1＋i )2＝3＋i 2，∴z ＝32－12i. 4．解析：由(1＋2a i)i ＝1－b i 得，a ＝－12，b ＝－1， 所以|a ＋b i|＝a 2＋b 2＝52. 答案：C5．解析：设(x ＋y i)2＝－3＋4i ，则⎩⎪⎨⎪⎧x 2－y 2＝－3，xy ＝2， 解得⎩⎪⎨⎪⎧ x ＝1，y ＝2或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－2. 答案：B二、填空题6．解析：由题意知A (1,1)，B (－1,3)， 故|AB |＝(－1－1)2＋(3－1)2＝2 2.答案：2 27．解析：设z ＝a ＋b i(a 、b ∈R)，则有a 2＋b 2＝5.*于是(3＋4i)z ＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i.由题设得⎩⎪⎨⎪⎧ 3a －4b ＝04a ＋3b ≠0得b ＝34a 代入*得a 2＋⎝⎛⎭⎫34a 2＝25，a ＝±4，∴⎩⎪⎨⎪⎧ a ＝4，b ＝3或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－4，b ＝－3. ∴z ＝4－3i 或z ＝－4＋3i.答案：±(4－3i) 三、解答题8．解：(1)(－1＋i )(2＋i )i 3＝－3＋i －i＝－1－3i. (2)(1＋2i )2＋3(1－i )2＋i ＝－3＋4i ＋3－3i 2＋i ＝i 2＋i＝i (2－i )5＝15＋25i. (3)1－i (1＋i )2＋1＋i (1－i )2＝1－i 2i ＋1＋i －2i ＝1＋i －2＋－1＋i 2＝－1. 9．解：(1)根据复数相等的充要条件得⎩⎪⎨⎪⎧ m 2＋5m ＋6＝2，m 2－2m －15＝－12.解之得m ＝－1. (2)根据共轭复数的定义得⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋5m ＋6＝12，m 2－2m －15＝－16.解之得m ＝1. (3)根据复数z 对应点在x 轴上方可得m 2－2m －15＞0，解之得m ＜－3或m ＞5.＝⎝⎛⎭⎫3a ＋5＋21－a ＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0，解得a ＝－5或a ＝3. 又(a ＋5)(a －1)≠0，∴a ≠－5且a ≠1，故a ＝3.11.解析：∵a ＋3i 1＋2i ＝(a ＋3i)(1－2i)(1＋2i)(1－2i)＝6＋a ＋(3－2a )i 5是纯虚数，∴6＋a ＝0，即a ＝－6. 答案：A12．解析：∵a 1＋i＋1＋i 2＝a (1－i)2＋1＋i 2＝1＋a 2＋1－a 2i ∈R ， ∵a ∈R ，∴1－a 2＝0，解得a ＝1. 答案：B13．解析：(z 1－z 2)i ＝(－2＋20i)i ＝－20－2i ，故(z 1－z 2)i 的实部为－20.答案：－2014.解析：由已知得z ＝(1＋i)(2＋i)＝1＋3i ，∴z ＝1－3i.答案：B15．解析：m 1＋i＝m (1－i)2＝m 2－m 2i ＝1－n i ， ∴m 2＝1，n ＝m 2＝1. 故m ＝2，n ＝1，则m ＋n i ＝2＋i.答案：C16．解析：∵z 为纯虚数，∴可设z ＝a i(a ≠0)，由(2－i)z ＝4－b i ，得(2－i)a i ＝4－b i ，∴2a i ＋a ＝4－b i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4－b ＝2a ，即b ＝－8. 答案：B17.解析：3＋2i 2－3i －3－2i 2＋3i ＝(3＋2i)(2＋3i)(2－3i)(2＋3i)－(3－2i)(2－3i)(2－3i)(2＋3i)＝13i 13－－13i 13＝i ＋i ＝2i. 答案：D18．解析：2z ＋z 2＝21＋i＋(1＋i)2＝2(1－i)2＋1＋i 2＋2i ＝1＋i.19．解：(1)原式＝16(1＋i)4(1－3i)4(1－3i)＝16(2i)2(－2－23i)2(1－3i)＝－644(1＋3i)2(1－3i)＝－16(1＋3i)×4＝－41＋3i＝－1＋3i. (2)原式＝i(1＋23i)1＋23i＋[(21－i )2]1005＝i ＋(2－2i )1005＝i ＋i 1005＝i ＋i 4×251＋1＝i ＋i ＝2i. (3)原式＝[(1＋i)22]6＋(2＋3i)(3＋2i)(3)2＋(2)2＝i 6＋6＋2i ＋3i －65＝－1＋i. 20.解析：|z |＝a 2＋1，∵0＜a ＜2，∴1＜a 2＋1＜ 5.答案：C21.解析：z 1＝z 2(2＋i)，(3＋i)z 1＝z 2(2＋i)(3＋i)＝z 2(5＋5i)∈R ，∵|z 2|＝52，∴|z 2(5＋5i)|＝50，∴z 2(5＋5i)＝±50，∴z 2＝±505＋5i ＝±101＋i＝±(5－5i). 答案：±(5－5i)22.解：z 1＋z 2＝3a ＋5＋(a 2－10)i ＋21－a ＋(2a －5)i ＝(3a ＋5＋21－a)＋[(a 2－10)＋(2a －5)]i ＝a －13(a ＋5)(a －1)＋(a 2＋2a －15)i. ∵z 1＋z 2是实数，∴a 2＋2a －15＝0.解得a ＝－5或a ＝3.∵分母a ＋5≠0，∴a ≠－5，故a ＝3.。

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第三章复数一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1．设z1＝3－4i，z2＝－2＋3i,则z1－z2在复平面内对应的点位于（)A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限解析：z1－z2＝5－7i。

答案：D2．若复数(1＋b i）（2＋i)是纯虚数（i是虚数单位）,b是实数，则b等于（）A．2 B.错误!C．－错误!D．－2解析：∵(1＋b i)（2＋i)＝（2－b)＋(2b＋1）i是纯虚数,∴2－b＝0，且2b＋1≠0，∴b＝2.答案：A3．复数错误!（i为虚数单位）的模是( ）A. 5 B．2错误!C．5 D．8解析：错误!＝错误!＝错误!＝1＋2i,所以错误!＝｜1＋2i|＝错误!.答案：A4．已知i为虚数单位，复数z＝错误!,则复数z的虚部是( ）A．－错误!i B．－错误!C。

错误!i D．错误!解析：错误!＝错误!＝错误!＝错误!－错误!i,所以复数z的虚部是－错误!.答案：B5．若a，b∈R,i为虚数单位，且(a＋i）i＝b＋i，则( ）A．a＝1，b＝1 B．a＝－1，b＝1C．a＝－1,b＝－1 D．a＝1，b＝－1解析: ∵（a＋i)i＝－1＋a i＝b＋i,∴b＝－1，a＝1。

第三章数系的扩充与复数的引入习题课——复数运算的综合问题课后篇巩固提升1.若复数z 满足|z-1+i |=3,则复数z 对应的点的轨迹围成图形的面积等于() A.3 B.9 C.6π D.9π,复数z 对应的点的轨迹是以(1,-1)为圆心,以3为半径的圆,其面积等于π×32=9π.2.已知a ,b ∈R ,且2+a i,b+3i 是一个实系数一元二次方程的两个根,则a ,b 的值分别是() A .a=-3,b=2 B .a=3,b=-2 C .a=-3,b=-2 D .a=3,b=2,这两个复数一定是互为共轭复数,故a=-3,b=2.3.设x ,y ∈R ,i 为虚数单位,(x+i)x=4+2y i,则|x +4x i 1+i|=() A.√10B.√5C.2D.√2(x+i)x=4+2y i,x ,y ∈R ,∴x 2+x i =4+2y i,可得x 2=4,x=2y ,解得x=2,y=1,或x=-2,y=-1,则|x+4y i |=|2+4i |=√22+42=2√5,或|x+4y i |=|-2-4i |=√(-2)2+(-4)2=2√5.又|1+i |=√2,∴|x +4x i 1+i|=|x +4x i||1+i|=√5√2=√10,故选A .4.关于x 的方程3x 2-x2x-1=(10-x-2x 2)i 有实根,则实数a 的值等于.x=m ,则原方程可变为3m 2-x2m-1=(10-m-2m 2)i,所以{3x 2-x 2x -1=0,10-x -2x 2=0,解得a=11或a=-715.或-7155.关于复数z 的方程|z|+2z=13+6i 的解是.z=x+y i(x ,y ∈R ),则有√x 2+x 2+2x+2y i =13+6i,于是{√x 2+x 2+2x =13,2x =6,解得{x =4,x =3或{x =403,x =3.因为13-2x=√x 2+x 2≥0,所以x ≤132,故x=403舍去,故z=4+3i .4+3i6.已知z ∈C ,且|z+1|=|z-i |,则|z+i |的最小值等于.|z+1|=|z-i |表示以(-1,0),(0,1)为端点的线段的垂直平分线,而|z+i |=|z-(-i)|表示直线上的点到(0,-1)的距离,数形结合知其最小值为√22.7.已知复数z=3+i2-i ,z 1=2+m i . (1)若|z+z 1|=5,某某数m 的值;(2)若复数az+2i 在复平面上对应的点在第二象限,某某数a 的取值X 围.z=3+i 2-i=(3+i)(2+i)(2-i)(2+i)=5+5i 5=1+i .因为|z+z 1|=|1+i +2+m i |=|3+(m+1)i |=√32+(x +1)2=5,所以9+(m+1)2=25. 解得m=-5或m=3.(2)az+2i =a (1+i)+2i =a+(a+2)i,在复平面上对应的点在第二象限,所以{x <0,x +2>0,解得-2<a<0.8.已知关于x 的方程x 2-(6+i)x+9+a i =0(a ∈R )有实数根b. (1)某某数a ,b 的值.(2)若复数z 满足|x -a-b i |-2|z|=0,当z 为何值时,|z|有最小值?并求出|z|的最小值.因为b 是方程x 2-(6+i)x+9+a i =0(a ∈R )的实根,所以(b 2-6b+9)+(a-b )i =0,故{x 2-6x +9=0,x =x ,解得a=b=3. (2)设z=m+n i(m ,n ∈R ),由|x -3-3i |=2|z|,得(m-3)2+(n+3)2=4(m 2+n 2), 即(m+1)2+(n-1)2=8,所以Z 点的轨迹是以O 1(-1,1)为圆心,以2√2为半径的圆.如图,当Z 点在直线OO 1上时,|z|有最大值或最小值. 因为|OO 1|=√2,半径r=2√2,所以当z=1-i 时,|z|有最小值,且|z|min =√2.。

高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．0a =是复数()z a bi a b =+∈R ，为纯虚数的（ ）Ａ．充分条件但不是必要条件 Ｂ．必要条件但不是充分条件 Ｃ．充要条件Ｄ．既不是充分也不必要条件 答案：Ｂ2．若12z i =+，23()z ai a =+∈R ，12z z +的和所对应的点在实轴上，则a 为（ ） Ａ．3 Ｂ．2Ｃ．1Ｄ．1-答案：Ｄ3．复数22(2)(2)z a a a a i =-+--对应的点在虚轴上，则（ ） Ａ．2a ≠或1a ≠ Ｂ．2a ≠且1a ≠ Ｃ．0a = Ｄ．2a =或0a =答案：Ｄ4．设1z ，2z 为复数，则下列四个结论中正确的是（ ）Ａ．若22120z z +>，则2212z z >-Ｂ．12z z -Ｃ．22121200z z z z +=⇔== Ｄ．11z z -是纯虚数或零 答案：Ｄ5．设22(253)(22)z t t t t i =+-++-+，t ∈R ，则下列命题中正确的是（ ） Ａ．z 的对应点Z 在第一象限Ｂ．z 的对应点Z 在第四象限 Ｃ．z 不是纯虚数 Ｄ．z 是虚数 答案：Ｄ6．若1i +是实系数方程20x bx c ++=的一个根，则方程的另一个根为（ ） Ａ．1i - Ｂ．1i -+ Ｃ．1i -- Ｄ．i 答案：Ａ7．已知复数1cos z i θ=-，2sin z i θ=+，则12z z ·的最大值为（ ）Ａ．32 Ｄ．3答案：Ａ 8．已知m ∈R ，若6()64m mi i +=-，则m 等于（ ）Ａ．2-Ｂ．Ｃ．Ｄ．4答案：Ｂ9．在复平面内，复数12ω=-+对应的向量为OA u u u r ，复数2ω对应的向量为OB u u u r ．那么向量AB u u u r对应的复数是（ ）Ａ．1 Ｂ．1- Ｄ．答案：Ｄ10．在下列命题中，正确命题的个数为（ ） ①两个复数不能比较大小；②123z z z ∈C ，，，若221221()()0z z z z -+-=，则13z z =； ③若22(1)(32)x x x i -+++是纯虚数，则实数1x =±； ④z 是虚数的一个充要条件是z z +∈R ；⑤若a b ，是两个相等的实数，则()()a b a b i -++是纯虚数； ⑥z ∈R 的一个充要条件是z z =．Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．2 Ｄ．3 答案：Ｂ11．复数()a bi a b +∈R ，等于它共轭复数的倒数的充要条件是（ ） Ａ．2()1a b += Ｂ．221a b += Ｃ．221a b -= Ｄ．2()1a b -=答案：Ｂ12．复数z 满足条件：21z z i +=-，那么z 对应的点的轨迹是（ ） Ａ．圆 Ｂ．椭圆 Ｃ．双曲线 Ｄ．抛物线 答案：Ａ 二、填空题13．若复数cos sin z i θθ=-·所对应的点在第四象限，则θ为第 象限角． 答案：一14．复数z i =与它的共轭复数z 对应的两个向量的夹角为 ． 答案：60°15．已知2z i =-，则32452z z z -++= ． 答案：2 16．定义运算a b ad bc c c =-，则符合条件2132i z zi-=+的复数z = ． 答案：7455i -三、解答题17．已知复数(2)()x yi x y -+∈R ，的模为3，求yx的最大值． 解：23x yi -+=∵，22(2)3x y -+=∴，故()x y ，在以(20)C ，为圆心，3为半径的圆上，yx表示圆上的点()x y ，与原点连线的斜率． 如图，由平面几何知识，易知yx的最大值为3． 18．已知1z i a b =+，，为实数． （1）若234z z ω=+-，求ω；（2）若2211z az bi z z ++=--+，求a ，b 的值．解：（1）2(1)3(1)41i i i ω=++--=--， 2ω=∴；（2）由条件，得()(2)1a b a ii i+++=-，()(2)1a b a i i +++=+∴，121a b a +=⎧⎨+=⎩，，∴解得12a b =-⎧⎨=⎩，．19．已知2211z x x i =++，22()z x a i =+，对于任意x ∈R ，均有12z z >成立，试求实数a 的取值范围． 解：12z z >∵， 42221()x x x a ++>+∴，22(12)(1)0a x a -+->∴对x ∈R 恒成立．当120a -=，即12a =时，不等式成立； 当120a -≠时，21201124(12)(1)0a a a a ->⎧⇒-<<⎨---<⎩， 综上，112a ⎛⎤∈- ⎥⎝⎦，． 20．已知()z i z ω=+∈C ，22z z -+是纯虚数，又221116ωω++-=，求ω． 解：设()z a bi a b =+∈R ，2(2)2(2)z a bi z a bi--+=+++∴2222(4)4(2)a b bia b +-+=++． 22z z -+∵为纯虚数， 22400a b b ⎧+-=⎨≠⎩，．∴222211(1)(1)(1)(1)a b i a b i ωω++-=++++-++∴2222(1)(1)(1)(1)a b a b =++++-++ 222()44a b b =+++844b =++ 124b =+．12416b +=∴．1b =∴．把1b =代入224a b +=，解得a =．z i =∴．2i ω=∴．21．复数3(1)()1i a bi z i++=-且4z =，z 对应的点在第一象限内，若复数0z z ，，对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a ，b 的值．解：2(1)(1)()2()221i i z a bi i i a bi a bi i++=+=+=---···，由4z =，得224a b +=． ①∵复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，z z z =-∴，把22z a bi =--代入化简，得1b =． ② 又Z ∵点在第一象限内，0a <∴，0b <．由①②，得1a b ⎧=⎪⎨=-⎪⎩．故所求a =1b =-．22．设z 是虚数1z z ω=+是实数，且12ω-<<．（1）求z 的值及z 的实部的取值范围．（2）设11zzμ-=+，求证：μ为纯虚数； （3）求2ωμ-的最小值．（1）解：设0z a bi a b b =+∈≠R ，，，， 则1a bi a bi ω=+++2222a b a b i a b a b ⎛⎫⎛⎫=++- ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭．因为ω是实数，0b ≠，所以221a b +=，即1z =．于是2a ω=，即122a -<<，112a -<<．所以z 的实部的取值范围是112⎛⎫- ⎪⎝⎭，；（2）证明：2222111211(1)1z a bi a b bi bi z a bi a b a μ------====-++++++．因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，0b ≠，所以μ为纯虚数；（3）解：22222122(1)(1)b a a a a a ωμ--=+=+++1222111a a a a a -=-=-+++12(1)31a a ⎡⎤=++-⎢⎥+⎣⎦因为112a ⎛⎫∈- ⎪⎝⎭，，所以10a +>，故223ωμ-·≥431-=． 当111a a +=+，即0a =时，2ωμ-取得最小值1． 高中新课标数学选修（2-2）第三章测试题一、选择题1．实数x ，y 满足(1)(1)2i x i y ++-=，则xy 的值是（ ） Ａ．1 Ｂ．2Ｃ．2-Ｄ．1-答案：Ａ2．复数cos z i θ=，[)02πθ∈，的几何表示是（ ） Ａ．虚轴Ｂ．虚轴除去原点Ｃ．线段PQ ，点P ，Q 的坐标分别为(01)(01)-，，， Ｄ．（Ｃ）中线段PQ ，但应除去原点 答案：Ｃ3．z ∈C ，若{}22(1)1M z z z =-=-|，则（ ）Ａ．{}M =实数Ｂ．{}M =虚数Ｃ．{}{}M实数复数苘Ｄ．{}M ϕ=答案：Ａ4．已知复数1z a bi =+，21()z ai a b =-+∈R ，，若12z z <，则（ ） Ａ．1b <-或1b > Ｂ．11b -<< Ｃ．1b > Ｄ．0b >答案：Ｂ5．已知复数z 满足2230z z --=的复数z 的对应点的轨迹是（ ） Ａ．1个圆 Ｂ．线段Ｃ．2个点Ｄ．2个圆答案：Ａ6．设复数()z z ∈C 在映射f 下的象是zi ·，则12i -+的原象为（ ） Ａ．2i - Ｂ．2i + Ｃ．2i -+ Ｄ．13i +－答案：Ａ7．设A ，B 为锐角三角形的两个内角，则复数(cot tan )(tan cot )z B A B A i =-+-对应的点位于复平面的（ ）Ａ．第一象限 Ｂ．第二象限Ｃ．第三象限Ｄ．第四象限答案：Ｂ8．已知()22f z i z z i +=++，则(32)f i +=（ ） Ａ．9i Ｂ．93i +Ｃ．9i -Ｄ．93i -－答案：Ｂ 9．复数2()12miA Bi m AB i-=+∈+R ，，，且0A B +=，则m =（ ）Ｂ．23 Ｃ．23-Ｄ．2答案：Ｃ10．(32)(1)i i +-+表示（ ） Ａ．点(32)，与点(11)，之间的距离 Ｂ．点(32)，与点(11)--，之间的距离 Ｃ．点(32)，与原点的距离 Ｄ．点(31)，与点(21)，之间的距离 答案：Ａ11．已知z ∈C ，21z -=，则25z i ++的最大值和最小值分别是（ ）11 Ｂ．3和1Ｃ．和3答案：Ａ12．已知1z ，2z ∈C ，12z z +=1z =2z =12z z -=（ ）Ａ．1 Ｂ．12Ｃ．2答案：Ｄ 二、填空题13．若()1()f z z z =-∈C ，已知123z i =+，25z i =-，则12z f z ⎛⎫= ⎪ ⎪⎝⎭．答案：19172626i - 14．“复数z ∈R ”是“11z z=”的 ． 答案：必要条件，但不是充分条件 15．A ，B 分别是复数1z ，2z 在复平面上对应的两点，O 为原点，若1212z z z z +=-，则AOB △为 ． 答案：直角16．若n 是整数，则6(1)(1)nn i i -+-=· ． 答案：8±或8i ±三、解答题17．已知复数3z z -对应的点落在射线(0)y x x =-≤上，1z +=z ． 解：设()z a bi a b =+∈R ，，则33324z z a bi a bi a bi -=+-+=+， 由题意得4120ba b ⎧=-⎪⎨⎪>⎩，，①又由1z +=22(1)2a b ++=， ② 由①，②解得21a b =-⎧⎨=⎩，，2z i =-+∴．18．实数m 为何值时，复数216(815)55m z m i m i m m -⎛⎫=++++ ⎪++⎝⎭．（1）为实数； （2）为虚数； （3）为纯虚数；（4）对应点在第二象限．解：226(815)5m m z m m i m +-=++++．（1）z 为实数28150m m ⇔++=且50m +≠，解得3m =-； （2）z 为虚数2815050m m m ⎧++≠⇔⎨+≠⎩，，解得3m ≠-且5m ≠-；（3）z 为纯虚数226058150m m m m m ⎧+-=⎪⇔+⎨⎪++≠⎩，，解得2m =；（4）z 对应的点在第二象限226058150m m m m m ⎧+-<⎪⇔+⎨⎪++>⎩，，解得5m <-或32m -<<．19．设O 为坐标原点，已知向量1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r分别对应复数12z z ，，且213(10)5z a i a =+-+，22(25)1z a i a=+--，a ∈R ．若12z z +可以与任意实数比较大小，求1OZ u u u u r ，2OZ u u u u r 的值．解：213(10)5z a i a =--+，则31232[(10)(25)]51z z a a i a a+=++-+-+-的虚部为0， 22150a a +-=∴．解得5a =-或3a =． 又50a +≠∵，3a =∴．则138z i =+，21z i =-+，1318OZ ⎛⎫= ⎪⎝⎭u u u u r ，，2(11)OZ =-u u u u r ，． 1258OZ OZ =u u u u r u u u u r ∴·．20．已知z 是复数，2z i +与2zi-均为实数，且复数2()z ai +在复平面上对应的点在第一象限，求实数a 的取值范围．解：设()z x yi x y =+∈R ，，2(2)z i x y i +=++为实数，2y =-∴．211(22)(4)2255z x i x x i i i -==++---为实数， 4x =∴，则42z i =-．22()(124)8(2)z ai a a a i +=+-+-∵在第一象限， 212408(2)0a a a ⎧+->⎨->⎩，，∴解得26a <<． 21．已知关于x 的方程2(6)90()x i x ai a -+++=∈R 有实数根b ． （1）求实数a ，b 的值；（2）若复数z 满足2z a bi z --=，求z 为何值时，z 有最小值并求出最小值． 解：（1）将b 代入题设方程，整理得2(69)()0b b a b i -++-=， 则2690b b -+=且0a b -=，解得3a b ==；（2）设()z x yi x y =+∈R ，，则2222(3)(3)4()x y x y -++=+， 即22(1)(1)8x y ++-=．∴点Z 在以(11)-，为圆心，22为半径的圆上， 画图可知，1z i =-时，min 2z =．。

第 3 章 数系的扩充与复数的引入第1课时 数系的扩充教学过程随着生产和科学发展的需要数集逐步扩充,它的每一次扩充,对数学学科本身来说,也解决了在原有数集中某种运算不是永远可以实施的矛盾,分数解决了在整数集中不能整除的矛盾,负数解决了在正有理数集中不够减的矛盾,无理数解决了开方开不尽的矛盾.一、 问题情境怎样将实数集进行扩充,使得x 2=-1之类方程在新的数集中有解呢?二、 数学建构问题1 怎样解决-1也能开平方的问题?解 引入虚数单位i ,规定:① i 2=-1;① 实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有加、乘运算律仍然成立.i 是-1的一个平方根.问题2 根据虚数单位的规定,得到形如a+b i (a ,b ∈R )的数,这样的新数由两部分组成,用怎样的名词定义这样的新数?解 ① 复数的定义:形如a+b i (a ,b ∈R )的数叫复数,a 叫复数的实部,b 叫复数的虚部,全体复数所成的集合叫做复数集,用字母C 表示.① 复数的代数形式:复数通常用字母z 表示,即z=a+b i (a ,b ∈R ),把复数表示成a+b i 的形式,叫做复数的代数形式.问题3 复数与实数有什么关系?解 对于复数a+b i (a ,b ∈R ),当且仅当b=0时,复数a+b i (a ,b ∈R )是实数a ;当b ≠0时,复数z=a+b i 叫做虚数;当a=0且b ≠0时,z=b i 叫做纯虚数;当且仅当a=b=0时,z 就是实数0.(图1)学生分组活动活动1 复数集C 和实数集R 之间有什么关系? 活动2 如何对复数a+b i (a ,b ∈R )进行分类? 活动3 复数集、实数集、虚数集、纯虚数集之间的关系,可以用韦恩图表示出来吗? 问题4 a=0是z=a+b i 为纯虚数的充分条件吗? 解 是必要不充分条件. 问题5 两个复数相等的充要条件是什么? 解 两个复数相等的定义:如果两个复数的实部和虚部分别相等,那么我们就说这两个复数相等,如果a,b,c,d∈R,那么a+b i=c+d i∈a=c,b=d.问题6:任何两个复数都能比较大小吗?解如果两个复数都是实数,就可以比较大小;当两个复数不全是实数时,不能比较大小.三、数学运用【例1】(教材第110页例1)写出复数4,2-3i,0,-+i,5+i,6i的实部与虚部,并指出哪些是实数,哪些是虚数,哪些是纯虚数.[1](见学生用书P54)[处理建议]让学生口答,根据复数的定义,学生一般能回答这个问题,指出复数由两部分组成.[规范板书]解4,2-3i,0,-+i,5+i,6i的实部分别是4,2,0,-,5,0;虚部分别是0,-3,0,, ,6.4,0是实数;2-3i,-+i,5+i,6i是虚数,其中6i是纯虚数.[题后反思]对于复数z=a+b i(a,b∈R),既要从整体的角度去认识它,把复数z看成一个整体,又要从实部与虚部的角度分解成两部分去认识它.这是解复数问题的重要思路之一.变式实数0是复数吗?i2的实部与虚部分别是什么?[规范板书]解0是复数;由i2=-1知,i2实部为-1,虚部为0.【例2】(教材第110页例2)实数m取什么值时,复数z=m(m-1)+i(m-1)是:(见学生用书P54)(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?[2][处理建议]先分析,注意字母的取值范围.由m∈R可知(m-1),m(m-1)都是实数,根据复数的分类分别确定m的值.然后让学生上黑板板书,看学生是否是先列式后求解.尤其观察学生有没有对纯虚数分实部、虚部两个方面列式.[规范板书]解(1)当m-1=0,即m=1时,复数z是实数.(2)当m-1≠0,即m≠1时,复数z是虚数.(3)当m(m-1)=0,且m-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数.[题后反思]判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要观察参数的取值范围,然后正确列式、解方程或不等式.变式m取何实数时,复数z=+(m2-2m-15)i 是:(1)实数?(2)虚数?(3)纯虚数?[规范板书]解(1)由解得所以当m=5时,z是实数.(2)由得所以当m≠5且m≠-3时,z是虚数.(3)由得所以当m=3或m=-2时,z是纯虚数.[题后反思]判断一个含有参数的复数在什么情况下是实数、虚数、纯虚数,首先要保证参数值有意义,如果忽略了实部是含参数的分式中的分母m+3≠0,就会酿成根本性的错误;其次对参数值的取舍,是取“并”还是“交”,非常关键,多与少都是不对的,解答后进行验算是很有必要的.【例3】(教材第111页例3)已知(x+y)+(x-2y)i=(2x-5)+(3x+y)i,求实数x,y的值.[3](见学生用书P54)[处理建议]要让学生规范表达和书写,把复数相等转化为求实数方程组的解.[规范板书]解根据两个复数相等的充要条件,可得解得[题后反思]复数问题实数化.变式已知M={1,(m2-2m)+(m2+m-2)i},P={-1,1,4i},若M∈P=P,求实数m的值.[规范板书]解因为M∈P=P,所以M∈P.①由(m2-2m)+(m2+m-2)i=-1,得解得m=1.①由(m2-2m)+(m2+m-2)i=4i,得解得m=2.综上可知m=1或m=2.[题后反思](1)复数相等的条件,是求复数值及在复数集内解方程的重要依据.(2)根据复数相等的定义可知,在a=c,b=d中,只要有一个不成立,那么a+b i≠c+d i.所以,一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,例如,1+i和3+5i不能比较大小.*【例4】已知复数z=k2-3k+(k2-5k+6)i(k∈R),且z<0,求k的值.[4][处理建议]分析条件,由z<0知z∈R且实部为负数.[规范板书]解因为z<0,k∈R,所以所以k=2.[题后反思]只有两个复数都是实数时,才能比较大小.一般地,两个复数只有说相等或不相等,而不能比较大小,例如,2i和3i不能比较大小.四、课堂练习1.设C={x|x为复数},A={x|x为实数},B={x|x为纯虚数},全集U=C,那么下列结论正确的是①.(填序号)①A∈B=C;①∈U A=B;①A∩∈U B=∈;①B∈∈U B=C.2.已知a,b∈R,则a=b是(a-b)+(a+b)i为纯虚数的必要不充分条件.3.已知复数z=m2(1+i)-(m+i)(m∈R),若z是实数,则m的值为±1;若z是虚数,则m的取值范围是(-∞,-1)∈(-1,1)∈(1,+∞);若z是纯虚数,则m的值为0.提示z=(m2-m)+(m2-1)i.当m2-1=0,即m=±1时,复数z是实数.当m2-1≠0,即m≠±1时,复数z是虚数.当m2-m=0,且m2-1≠0,即m=0时,复数z是纯虚数.4.若实数x,y满足(x+y)+(x-y)i=2,则xy的值是1.提示由(x+y)+(x-y)i=2(x,y∈R)得所以所以xy=1.五、课堂小结1.本节课我们学习了虚数单位i及它的两条性质,复数的定义、实部、虚部及有关分类问题,复数相等的充要条件等概念.2.基本思想是:利用复数的概念,联系以前学过的实数的性质,对复数的知识形成较完整的认识,以及利用转化的思想将复数问题转化为实数问题.第2课时复数的四则运算(1)教学过程一、问题情境由(2+3x)+(1-4x)=3-x类比猜想,能否按同样的法则实施复数的加法呢?例如,(2+3i)+(1-4i)=3-i是否合理?二、数学建构问题1在复数集中两个复数如何进行加法运算?解在引入虚数单位i的过程中,规定i与实数一起可以按照实数的运算法则进行四则运算.在对复数的加法进行运算时,又作一次新的规定:规定:若z1=a+b i,z2=c+d i,则z1+z2=(a+b i)+(c+d i)=(a+c)+(b+d)i.问题2在实数范围内,两个数的加法满足哪些运算律?在复数范围内,能否也成立?问题3怎样理解复数的减法法则?解复数减法是复数加法的逆运算.设(a+b i)-(c+d i)=x+y i(x,y∈R),即复数x+y i为复数a+b i减去复数c+d i的差.由规定,得(x+y i)+(c+d i)=a+b i,依据加法法则,得(x+c)+(y+d)i=a+b i,依据复数相等定义,得即故(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d)i.从而记z1=a+b i,z2=c+d i,得z1-z2=(a+b i)-(c+d i)=(a-c)+(b-d)i.问题4初中学习了多项式乘以多项式,你们能化简(a+b)(c+d)吗(a,b,c,d是有理数)?积还是无理数吗?若将“”换为“i”,其中i是虚数单位,能化简吗?(a,b,c,d都是实数)解(a+b)(c+d)=ac+ad+bc+bd··=(ac+2bd)+(ad+bc).因为a,b,c,d∈Q,所以ac,2bd,ad,bc都是有理数.所以ac+2bd∈Q,ad+bc∈Q.而是无理数,当ad+bc≠0时,(a+b)(c+d)是无理数.又(a+b i)(c+d i)=ac+ad i+bc i+bd i2=(ac-bd)+(ad+bc)i.(因为i2=-1,所以才能合并)因为a,b,c,d∈R,所以ac-bd∈R,ad+bc∈R.所以(ac-bd)+(ad+bc)i是复数.这就是两个复数的代数形式的乘法运算法则,于是规定复数的乘法按照以下的法则进行:设z1=a+b i,z2=c+d i(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么它们的积(a+b i)(c+d i)=(ac-bd)+(bc+ad)i.其实就是把两个复数相乘,类似两个多项式相乘,在所得的结果中把i2换成-1,并且把实部与虚部分别合并.两个复数的积仍然是一个复数.问题5实数的乘法满足哪些运算律?复数中能类比吗?解实数中的乘法运算满足交换律、结合律以及分配律.这些在复数集中的乘法运算也是成立的,即z1,z2,z3∈C,有(1)z1·z2=z2·z1;(2)(z1·z2)·z3=z1·(z2·z3);(3)z1(z2+z3)=z1z2+z1z3.复数的代数式相乘,可按多项式类似的办法进行,只是在运算过程中把i2换成-1,然后把实部与虚部分别合并,不必去记公式.问题6复数z=a+b i的共轭复数是什么?特别地,实数a的共轭复数是什么?解=a-b i;实数的共轭复数是它本身.三、数学运用【例1】(教材第114页例1)计算:(1-3i)-(2+5i)+(-4+9i).[1](见学生用书P55)[处理建议]类比多项式合并同类项法则,把实部与虚部分别相加减.[规范板书]解原式=(1-2-4)+(-3-5+9)i=-5+i.[题后反思]不要省略步骤,提高运算的正确率.变式计算(1-2i)+(-2+3i)+(3-4i)+(-4+5i)+…+(-2019+2019i)+(2019-2019i).[规范板书]解法一原式=(1-2+3-4+...-2019+2019)+(-2+3-4+5+ (2019)2019)i=(2019-1001)+(1001-2019)i=1002-1003i.解法二因为(1-2i)+(-2+3i)=-1+i,(3-4i)+(-4+5i)=-1+i,…(2019-2019i)+(-2019+2019i)=-1+i,相加得(共有1001个式子):原式=1001(-1+i)+(2019-2019i)=(2019-1001)+(1001-2019)i=1002-1003i.【例2】(教材第114页例2)计算(-2-i)(3-2i)(-1+3i).[2](见学生用书P56)[处理建议]3个复数相乘,先计算其中两个复数的积,再与第3个复数相乘.[规范板书]解原式=(-8+i)(-1+3i)=5-25i.[题后反思]也可以计算后两个复数的积,再与第1个复数相乘,从而验证复数乘法满足结合律.【例3】(教材第114页例3)计算(a+b i)(a-b i).[3](见学生用书P56)[处理建议]类比多项式平方差公式,要记得把i2换成-1.[规范板书]解原式=a2-(b i)2=a2+b2.[题后反思]在复数集内,两个实数的平方和也能分解因式.变式在复数范围内分解因式:(1)x2+4;(2)x4-4.[规范板书]解(1)x2+4=(x+2i)(x-2i).(2)x4-4=(x2+2)(x2-2)=(x+i)(x-i)(x+)(x-).*【例4】已知z=(3i-1)i,则=-3+i.[4][处理建议]先进行乘法运算,然后根据共轭复数的定义求出结果.[规范板书]解z=(3i-1)i=-3-i,所以=-3+i.[题后反思]认清符号表示z的共轭复数.*【例5】已知z-3i=1+3i,求复数z.[5][处理建议]这是一道复数方程,利用复数相等的充要条件把复数方程转化为实数方程组.[规范板书]解设z=a+b i(a,b∈R),则a2+b2-3i(a-b i)=1+3i,所以有a2+b2-3b=1且-3a=3,解得a=-1,b=0或b=3,故z=-1或z=-1+3i.[题后反思]待定系数法解复数方程.四、课堂练习1.计算:(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=4+8i.提示(6+6i)+(3-i)-(5-3i)=(6+3-5)+(6-1+3)i=4+8i.2.复数z=i2(1+i)的虚部为-1.提示z=i2(1+i)=(-1)·(1+i)=-1-i,所以虚部为-1.3.若复数z=-1+2i,则复数的虚部是-2.提示因为z=-1+2i,所以=-1-2i,所以虚部为-2.4.把复数z的共轭复数记作,i为虚数单位,若z=1+i,则(1+z)·=3-i.提示(1+z)·=(2+i)(1-i)=3-i.5.(教材第115页练习6)求满足下列条件的复数z:(1)z+i-3=3-i;(2)+(3-4i)=1;(3)(3-i)z=4+2i;(4)(-i)z=+i.解(1)z=6-2i.(2)=-2+4i,z=-2-4i.(3)z===1+i.(4)z===+i.五、课堂小结1.这节课我们学习了复数代数形式的加、减法运算及乘法运算.2.基本思想是:类比多项式的运算,理解复数的相关运算.[6]第3课时复数的四则运算(2)教学过程一、问题情境在实数中,除法运算是乘法的逆运算.类似地,可以怎样定义复数的除法运算?二、数学建构问题1复数的除法法则是什么?解设复数a+b i(a,b∈R)除以c+d i(c,d∈R),其商为x+y i(x,y∈R),其中c+d i≠0,即(a+b i)÷(c+d i)=x+y i.因为(x+y i)(c+d i)=(cx-dy)+(dx+cy)i,所以(cx-dy)+(dx+cy)i=a+b i.由复数相等的定义可知解这个方程组,得于是有(a+b i)÷(c+d i)=+i.由于c+d i≠0,所以c2+d2≠0,可见两个复数的商仍是一个复数.利用待定系数法和等价转化的思想来推导除法法则,最后再利用两个复数相等的定义解.问题2初中我们学习的化简无理分式时,采用的分母有理化的思想方法,而c+d i的共轭复数是c-d i,能否模仿分母有理化的方法对复数商的形式进行分母实数化?解====+i.所以(a+b i)÷(c+d i)=+i.三、数学运用【例1】i+i2+i3+…+i2 010+i2 011+i2 012.[1](见学生用书P57)[处理建议]i n是周期出现的,i n+i n+1+i n+2+i n+3=0(n∈N*).[规范板书]解原式=(i+i2+i3+i4)+(i5+i6+i7+i8)+…+(i2 009+i2 010+i2 011+i2 012)=0.[题后反思]可能有学生考虑用等比数列求和公式.原式==0,这个方法也很好.变式计算i+2i2+3i3+…+1 997i1 997.[规范板书]解原式=(i-2-3i+4)+(5i-6-7i+8)+(9i-10-11i+12)+…+(1993i-1994-1995i+1996)+1 997i=499·(2-2i)+1 997i=998+999i.【例2】(教材第116页例4)设ω=-+i,求证:(1) 1+ω+ω2=0;(2)ω3=1;(3)ω2=,=ω.[2](见学生用书P57)[处理建议]先计算ω2,再做加法.[规范板书]证明(1) 1+ω+ω2=1++=+i+-2××i+=+i+-i-=0.(2)ω3==+3··i+3··+=-+i+-i=+i=1.(3)ω=1,由(2)知ω2===,同理=ω.[题后反思]对于第(2)小题,也可以这样做,要证ω3=1,只要证ω3-1=0即可.由ω3-1=(ω-1)·(ω2+ω+1)=(ω-1)·0=0,由此可知,1有3个立方根:1,ω,.变式设z=+i,求证:(1) 1-z+z2=0;(2)z3=1;(3)z2=-.[规范板书]解由例2知z=+i=-,所以=-ω.(1) 1-z+z2=1++(-)2=1++ω=0.(2)z3=(-)3=1.(3)z2=(-)2=ω=-.【例3】计算:(1+2i)÷(3-4i).[3](见学生用书P58)[处理建议]用两种方法做复数的除法运算.[规范板书]解法一设(1+2i)÷(3-4i)=x+y i,所以1+2i=(3-4i)(x+y i),1+2i=(3x+4y)+(3y-4x)i.所以3x+4y=1且3y-4x=2.所以x=-,y=.所以(1+2i)÷(3-4i)=-+i.解法二(1+2i)÷(3-4i)=====-+i.[题后反思]解法一根据复数相等的充要条件应用待定系数法求复数,是常用的方法之一;解法二体现了复数问题实数化的基本思想.变式计算.解原式======1-i.*【例4】计算+.[4][处理建议]先计算=-i,再利用i n的周期性;对于,不易发现分子与分母的关系,可先启发寻找a+b i与b-a i之间的关系.[规范板书]解原式=+=-i+(-i)1997=-2i.[题后反思]在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度.又如(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=-i,===i.变式计算:i2 007+(+i)8-+.解原式=i4×501+3+[2(1+i)2]4-+=i3+(4i)4-+i=-i+256++i=256+=256-i.*【例5】已知z2=8+6i,求复数f(z)=z3-16z-的值.[5][处理建议]利用待定系数法,求出z,再代入求f(z).[规范板书]解设z=x+y i(x,y∈R),所以由①得y=,代入①得x2-=8,所以x4-8x2-9=0,所以x2=9或x2=-1(舍去).所以x=±3.当x=3时,y=1;当x=-3时,y=-1.所以z=±(3+i).当z=3+i时,f(3+i)=(3+i)3-16(3+i)-=33+3·32·i+3·3·i2+i3-48-16i-=27+27i-9-i-48-16i-30+10i=-60+20i.当z=-3-i时,f(-3-i)=(-3-i)3-16(-3-i)-=-(27+27i-9-i)+48+16i+=60-20i.[题后反思]通过此例,会求任意一个复数的平方根,会在复数范围内求函数式的值.四、课堂练习1.复数-i+=-2i .提示-i+=-i-i=-2i.2.计算:(1);(2).解(1)===-i.(2)解法一====i.解法二===i.3.=-i.解=i2 011=i3=-i.4.在复数范围内写出方程x4=1的根.解x4-1=(x2-1)(x2+1)=(x+1)(x-1)(x+i)(x-i),所以方程x4=1的根为1,-1,i,-i.五、课堂小结1.在进行复数四则运算时,我们既要做到会做,会解,更要做到快速解答.在学习过程中积累一些常用结论,可以更有效地简化计算,提高计算速度,例如:(1+i)2=2i,(1-i)2=-2i,=i,=-i;若ω=-+i,则1+ω+ω2=0,ω3=1;===i.2.在进行复数的四则运算时,容易出现的错误有:(1)由于对i的性质掌握不准确致误.如“i2=1”“i4=-1”等在计算中是常见的错误.事实上,i2=-1,i4=1.(2)在计算除法运算时出错.因为复数的除法运算是四则运算中最麻烦的一种,常会出现一些计算上的错误.第4课时复数的几何意义教学过程一、问题情境实数可以用数轴上的点来表示.实数数轴上的点.类比实数的表示,复数能否也用点来表示?二、数学建构问题1怎样用平面内的点表示复数?怎样理解复平面、实轴、虚轴?解复数z=a+b i(a,b∈R)与有序实数对(a,b)是一一对应关系,而有序实数对(a,b)与平面直角坐标系中的点Z(a,b)是一一对应的,复数集与平面直角坐标系中的点集之间可以建立一一对应的关系.复数z=a+b i(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,也叫高斯平面,x轴叫做实轴,y轴叫做虚轴.实轴上的点都表示实数.因为原点对应的有序实数对为(0,0),它所确定的复数是z=0+0i=0表示是实数.故除了原点外,虚轴上的点都表示纯虚数.问题2复数与从原点出发的向量是如何对应的?解复数z=a+b i(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.问题3我们知道任何一个实数都有绝对值,它表示数轴上与这个实数对应的点到原点的距离;那么我们可以给出复数的绝对值的概念吗?复数可以用向量表示,任何一个向量都有模(或绝对值),它表示向量的长度,那么复数的模与向量的模有什么联系?复数的模的几何意义是什么?解|z|==||,表示复平面内该点到原点的距离.问题4既然复数可以用向量表示,那么复数的加法有什么几何意义呢?[1]问题5复数减法是复数加法的逆运算,怎样利用向量减法的几何意义来认识复数减法的几何意义?两个复数差的模有什么几何意义?[2]解|z1-z2|表示复平面内与这两个复数对应的两点间的距离.通过该部分内容的学习,认识到复数加、减法的法则与平面向量加、减法的坐标形式是完全一致的,将数学不同知识之间建立起了联系.三、数学运用【例1】(教材第121页例1)在复平面内,分别用点和向量表示下列复数:4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.[3](见学生用书P59)[处理建议]让学生上黑板画图,体会复数z=a+b i(a,b∈R)可用点Z(a,b)表示,也可以用原点O为起点的向量表示.[规范板书]如图,点A,B,C,D,E分别表示复数4,2+i,-i,-1+3i,3-2i.(例1)与之对应的向量可用,,,,来表示.[题后反思]了解复数的两种几何表示,常把复数z=a+b i说成点Z或向量.变式1在复平面内分别用点表示复数2-3i,5i,-3,-5+3i及其共轭复数.[规范板书]解复数2-3i,5i,-3,-5+3i表示的点分别为A,B,C,D,其对应的共轭复数表示的点分别为A',B',C',D'.作图如下:(变式)[题后反思]z,在复平面内对应的点关于x轴对称.变式2已知z=(x+1)+(y-1)i 在复平面所对应的点在第二象限,求x与y的取值范围.[规范板书]解由题得所以【例2】(教材第121页例2)已知复数z1=3+4i,z2=-1+5i,试比较它们模的大小.[4](见学生用书P60)[处理建议]要求学生口答复数模的计算公式.思考:z1,z2不能比较大小,为什么它们的模可以比较大小?[规范板书]解因为|z 1|==5,|z2|==,所以|z1|<|z2|.[题后反思]正确记忆复数模的计算公式,防止出现|z|=a2+b2;任意两个复数,它们的模都可以比较大小,但是两个复数,只要其中有一个不是实数,它们就不能比较大小.从自然数集逐步扩展到实数集,顺序性始终都是保持着的,但是在复数集中这一性质失去了.变式1已知复数z=(x-1)+(2x-1)i的模小于,那么实数x的取值范围是.提示由题意知(x-1)2+(2x-1)2<10,解得-<x<2.变式2已知复数z1=a+b i,z2=1+a i(a,b∈R),若|z1|<z2,则b的取值范围是(-1,1).提示因为|z1|<z2,所以z2为实数,故a=0,所以<1,即|b|<1,-1<b<1,所以b的取值范围是(-1,1).【例3】(教材第121页例3)设z∈C,满足下列条件的点Z的集合是什么图形?[5](1)|z|=2;(2) 2<|z|<3.(见学生用书P60)[处理建议]区分关于复数模的等式与不等式的几何意义.[规范板书](1)因为|z|=2,即||=2,所以满足|z|=2的点Z的集合是以原点为圆心、以2为半径的圆,如图(1).(例3(1))(例3(2))(2)不等式2<|z|<3可化为不等式组,不等式|z|>2的解集是圆|z|=2外部所有点组成的集合,不等式|z|<3的解集是圆|z|=3内部所有点组成的集合,这两个集合的交集就是上述不等式组的解集.因此,满是条件2<|z|<3的点Z的集合是以原点为圆心、分别以2和3为半径的两个圆所夹的圆环,但不包括圆环的边界,如图(2).[题后反思]了解复数模的几何意义,|z|表示复平面内该点到原点的距离.关于复数模的不等式组的几何意义是圆环(要区分是否包括边界).变式已知复数z满足条件z=x+y i,x<0,y>0,且x2+y2<9,求此复数在复平面内表示的图形.[规范板书]解如图所示,所求图形是以原点O为圆心的半径为3个单位长度的扇形OAB的内部,不包括边界和半径OA,OB.(变式)*【例4】设全集U=C,A={z|||z|-1|=1-|z|,z∈C},B={z||z|<1,z∈C},若z∈A∩(∈U B),求复数z 在复平面内对应的点的轨迹.[6][处理建议]求复数z在复平面内对应的点的轨迹,由复数模的几何意义可知,只需求出|z|所满足的条件即可.而这由z∈A∩(∈U B)及集合的运算即可得出.[规范板书]解因为z∈C,所以|z|∈R,所以1-|z|∈R,由||z|-1|=1-|z|,得1-|z|≥0,即|z|≤1,所以A={z||z|≤1,z∈C}.又因为B={z||z|<1,z∈C},所以∈U B={z||z|≥1,z∈C}.因为z∈A∩(∈U B)等价于z∈A 且z∈∈U B,所以成立,则有|z|=1,由复数模的几何意义知,复数z在复平面内对应的点的轨迹是以原点为圆心、以1为半径的圆.[题后反思]对于复数的模,可以从以下两个方面进行理解:一是任何复数的模都表示一个非负的实数;二是复数的模表示该复数在复平面内对应的点到原点的距离.所以复数的模是实数的绝对值概念由一维空间向二维空间的一种推广.四、课堂练习1.下面给出4个不等式,其中正确的是①.(填序号)①3i>2i;①|2+3i|>|1-4i|;①|2-i|>2i4;①i2>-i.提示由两个复数如果不都是实数就不能比较大小可知①①错误.又因为|2+3i|=== ,|1-4i|==,所以|2+3i|<|1-4i|,故①错误.|2-i|=>2i4=2,故①正确.2.复数z=(i为虚数单位)在复平面内对应的点所在的象限为第四象限.提示因为z===-i,所以复数z对应的点的坐标为,在第四象限.3.若复数3-5i,1-i和-2+a i在复平面上对应的点在同一条直线上,则实数a的值为5.提示复数3-5i,1-i和-2+a i在复平面内对应的点分别为(3,-5),(1,-1),(-2,a),所以由三点共线的条件可得=,解得a=5.4.已知z1,z2为复数,且|z1|=1,若z1+z2=2i,则|z1-z2|的最大值是4.提示由z1+z2=2i得z1=2i-z2,代入|z1|=1得|2i-z2|=1,所以|z2-2i|=1,即z2轨迹是以(0,2)为圆心、以1为半径的圆(如图).又z1轨迹为以原点为圆心、以1为半径的圆,故|z1-z2|为两圆上点的距离,最大值为4.(第4题)五、课堂小结1.复数z=a+b i(a,b∈R)的对应点的坐标为(a,b),而不是(a,b i).2.复数z=a+b i(a,b∈R)的对应向量是以原点O为起点的,否则就谈不上一一对应.3.|z|==||.4.复数z=a+b i、点Z(a,b)和向量之间的关系如下图所示.正因如此,常把复数z=a+b i说成点Z或向量.这种对应关系架起了联系复数与解析几何之间的桥梁,使得复数问题可以用几何方法解决,而几何问题也可以用复数方法解决(即数形结合法),这增加了解决复数问题的途径.(图1)。

第三章 数系的扩充与复数的引入(A)(时间：120分钟 满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分)1．复数z ＝1＋cos α＋isin α (π<α<2π)的模为( )A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α22．下列说法正确的是( )A ．0i 是纯虚数B ．原点不是复平面内直角坐标系的实轴与虚轴的公共点C ．实数的共轭复数一定是实数，虚数的共轭复数一定是虚数D ．i 2是虚数3．若θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，则复数(cos θ＋sin θ)＋(sin θ－cos θ)i 在复平面内所对应的点在( ) A ．第一象限 B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限4．一元二次方程x 2－(5＋i)x ＋4－i ＝0有一个实根x 0，则( )A ．x 0＝4B ．x 0＝1C ．x 0＝4或x 0＝1D ．x 0不存在5．复数z 1＝a ＋4i ，z 2＝－3＋b i ，若它们的和为实数，差为纯虚数，则实数a ，b 的值为( )A ．a ＝－3，b ＝－4B ．a ＝－3，b ＝4C ．a ＝3，b ＝－4D ．a ＝3，b ＝46．已知复数z ＝3＋i (1－3i )2，z 是z 的共轭复数，则z ·z 等于( ) A ．14 B ．12C ．1D ．2 7．在复平面上复数－1＋i 、0、3＋2i 所对应的点分别是A 、B 、C ，则平行四边形ABCD 的对角线BD 的长为( )A ．5B ．13C ．15D ．178．已知复数z 对应的点在第二象限，它的模是3，实部是－5，则z 为( )A ．－5＋2iB ．－5－2iC.5＋2i D ．5－2i9．1＋2i ＋3i 2＋…＋2 005i 2 004的值是( )A ．－1 000－1 000iB ．－1 002－1 002iC ．1 003－1 002iD ．1 005－1 000i10．设复数z 满足1－z 1＋z＝i ，则|1＋z |等于( ) A ．0 B ．1 C ． 2 D ．211．若z 1＝(2x －1)＋y i 与z 2＝3x ＋i (x ，y ∈R )互为共轭复数，则z 1对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限12．f (n )＝i n ＋i －n (n ∈N ＋)的值域中的元素个数是( )A ．2B ．3C ．4D ．无穷多个二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分)13．z 1是复数，z 2＝z 1－i z 1(其中z 1表示z 1的共轭复数)，已知z 2的实部是－1，则z 2的虚部为______．14．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是________．15．若复数z ＝2i 1－i，则|z ＋3i|＝________. 16．已知复数z 1＝2＋3i ，z 2＝a ＋b i ，z 3＝1－4i ，它们在复平面上所对应的点分别为A 、B 、C .若OC →＝2OA →＋OB →，则a ＝________，b ＝________.三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知复数z ＝(2＋i)m 2－6m 1－i－2(1－i)，当实数m 取什么值时，复数z 是 (1)虚数，(2)纯虚数．18．(12分)设复数z 满足|z |＝5，且(3＋4i)z 在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上，|2z －m |＝52(m ∈R )，求z 和m 的值．19．(12分)复数z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i，若z 2＋a z <0，求纯虚数a .20．(12分)已知复数z 的模为2，求复数1＋3i ＋z 的模的最大值、最小值．21．(12分)已知z 是虚数，证明：z ＋1z为实数的充要条件是|z |＝1.22．(12分)复数z ＝(1＋i )3(a ＋b i )1－i且|z |＝4，z 对应的点在第一象限，若复数0，z ，z 对应的点是正三角形的三个顶点，求实数a 、b 的值．第三章 数系的扩充与复数的引入(A)答案1．B [|z |＝(1＋cos α)2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos 2α2＝2⎪⎪⎪⎪cos α2 ∵π<α<2π，∴π2<α2<π，∴cos α2<0， ∴2⎪⎪⎪⎪cos α2＝－2cos α2.] 2．C [0i ＝0∈R ，故A 错；原点为实轴和虚轴的交点，故B 错，i 2＝－1∈R ，故D 错，所以答案为C.]3．B [cos θ＋sin θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ＋π4， sin θ－cos θ＝2sin ⎝⎛⎭⎫θ－π4. 因为θ∈⎝⎛⎭⎫34π，54π，所以θ＋π4∈⎝⎛⎭⎫π，32π，θ－π4∈⎝⎛⎭⎫π2，π，因此，cos θ＋sin θ<0，sin θ－cos θ>0，所以复数在平面内对应的点在第二象限．]4．D [由已知可得x 20－(5＋i)x 0＋4－i ＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧ x 20－5x 0＋4＝0－x 0－1＝0，该方程组无解．] 5．A [z 1＋z 2＝a －3＋(4＋b )iz 1－z 2＝a ＋3＋(4－b )i ，由已知得⎩⎪⎨⎪⎧ 4＋b ＝0a ＋3＝0，∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－4.] 6．A [∵z ＝3＋i (1－3i )2＝3＋i －2－23i， ∴|z |＝|3＋i||－2－23i|＝24＝12. ∴z ·z ＝|z |2＝14.] 7．B [BA →对应的复数为－1＋i ，BC →对应的复数为3＋2i ，∵BD →＝BA →＋BC →，∴BD →对应的复数为(－1＋i)＋(3＋2i)＝2＋3i.∴BD 的长为13.]8．A [设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R )，则x ＝－5，由|z |＝3，得(－5)2＋y 2＝9，即y 2＝4，∴y ＝±2，∵复数z 对应的点在第二象限，∴y ＝2.∴z ＝－5＋2i.]9．C [1＋2i ＋3i 2＋4i 3＝1＋2i －3－4i ＝－2－2i.周期出现，原式＝501×(－2－2i)＋2 005i 2 004＝－1 002－1 002i ＋2 005＝1 003－1 002i.]10．C [由1－z 1＋z ＝i ，得z ＝1－i 1＋i＝－i ， ∴|1＋z |＝|1－i|＝ 2.]11．C [由z 1，z 2互为共轭复数，得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝3x ，y ＝－1， 解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝－1，所以z 1＝(2x －1)＋y i ＝－3－i.由复数的几何意义知z 1对应的点在第三象限．]12．B [根据i 的周期性，当n ＝4k (k ∈N )时，f (n )＝i 4k ＋i －4k ＝1＋1＝2，当n ＝4k ＋1 (k ∈N )时，f (n )＝i 4k ＋1＋i －(4k ＋1)＝i ＋1i＝0， 当n ＝4k ＋2 (k ∈N )时，f (n )＝i 4k ＋2＋i －(4k ＋2)＝－2，当n ＝4k ＋3 (k ∈N )时，f (n )＝i 4k ＋3＋i －(4k ＋3)＝－i －1i＝0. 故值域中元素个数为3.]13．1解析 设z 1＝a ＋b i ，则z 2＝a ＋b i －i(a －b i)＝a －b ＋(b －a )i ，又a －b ＝－1，∴b －a ＝1.14．115＋3i 解析 设z ＝a ＋b i (a 、b ∈R )，根据题意得a ＋b i ＋a 2＋b 2＝5＋3i ，所以有⎩⎨⎧ b ＝3a ＋a 2＋b 2＝5，解之得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝115b ＝3， ∴z ＝115＋3i. 15． 5 解析 ∵z ＝2i 1－i＝2i (1＋i )2＝－1＋i. ∴z ＝－1－i ，∴|z ＋3i|＝|－1＋2i|＝ 5.16．－3 －10解析 ∵OC →＝2OA →＋OB →∴1－4i ＝2(2＋3i)＋(a ＋b i)即⎩⎪⎨⎪⎧ 1＝4＋a －4＝6＋b ∴⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－3b ＝－10.17．解 由于m ∈R ，复数z 可表示为z ＝(2＋i)m 2－3m (1＋i)－2(1－i)＝(2m 2－3m －2)＋(m 2－3m ＋2)i ，(1)当m 2－3m ＋2≠0，即m ≠2且m ≠1时，z 为虚数．(2)当⎩⎪⎨⎪⎧2m 2－3m －2＝0m 2－3m ＋2≠0， 即m ＝－12时，z 为纯虚数． 18．解 设z ＝a ＋b i (a ，b ∈R )．因为|z |＝5，所以a 2＋b 2＝25.因为(3＋4i)z ＝(3＋4i)(a ＋b i)＝(3a －4b )＋(4a ＋3b )i ，又(3＋4i)z 在复平面内的对应点在第二、四象限的角平分线上， 所以3a －4b ＋4a ＋3b ＝0，得b ＝7a ，所以a ＝±22，b ＝±722，即z ＝±⎝⎛⎭⎫22＋722i ， 所以2z ＝±(1＋7i)．当2z ＝1＋7i 时，有|1＋7i －m |＝52，即(1－m )2＋72＝50，得m ＝0，或m ＝2. 当2z ＝－(1＋7i)时，同理可得m ＝0，或m ＝－2.∴z ＝±⎝⎛⎭⎫22＋722i ，m ＝0或m ＝2或m ＝－2. 19．解 z ＝(1＋i )2＋3(1－i )2＋i＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i 2＋i＝1－i. ∵a 为纯虚数，∴设a ＝m i (m ≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋m i 1－i＝－2i ＋m i －m 2 ＝－m 2＋⎝⎛⎭⎫m 2－2i<0， ∴⎩⎨⎧ －m 2<0，m 2－2＝0， ∴m ＝4.∴a ＝4i.20．解 利用公式||z 1|－|z 2||≤|z 1＋z 2|≤|z 1|＋|z 2|.∵|z |＝2，∴||z |－|1＋3i||≤|z ＋1＋3i|≤|z |＋|1＋3i|.∴0≤|z ＋1＋3i|≤2＋2，∴|z ＋1＋3i|min ＝0，|z ＋1＋3i|max ＝4.21．证明 设z ＝x ＋y i (x ，y ∈R 且y ≠0)，则z ＋1z ＝x ＋y i ＋1x ＋y i ＝x ＋y i ＋x －y i x 2＋y2 ＝x ＋x x 2＋y 2＋⎝⎛⎭⎫y －y x 2＋y 2i.当|z |＝1，即x 2＋y 2＝1时，z ＋1z＝2x ∈R . 当z ＋1z ∈R ，即y －y x 2＋y 2＝0时，又y ≠0， ∴x 2＋y 2＝1，即|z |＝1.∴z ＋1z为实数的充要条件是|z |＝1. 22．解 z ＝(1＋i )2·(1＋i )1－i(a ＋b i) ＝2i·i(a ＋b i)＝－2a －2b i.由|z |＝4，得a 2＋b 2＝4.①∵复数0、z 、z 对应的点构成正三角形， ∴|z －z |＝|z |.把z ＝－2a －2b i 代入化简得|b |＝1. ② 又∵z 对应的点在第一象限，∴－2a >0，－2b >0，∴a <0，b <0. ③由①②③得⎩⎨⎧ a ＝－3，b ＝－1.故所求值为a ＝－3，b ＝－1.。

数系的扩充和复数的概念[A 组 学业达标]1．以3i －2的虚部为实部，以3i 2＋2i 的实部为虚部的复数是( ) A ．3－3i B ．3＋i C ．－2＋2iD.2＋2i解析：3i －2的虚部为3,3i 2＋2i ＝－3＋2i 的实部为－3，故选A. 答案：A2．用C ，R 和I 分别表示复数集、实数集和虚数集，那么有( ) A ．C ＝R∩I B ．R∩I＝{0} C ．R ＝C∩ID ．R∩I＝∅解析：由复数的概念可知R ⊂C ，I ⊂C ，R∩I＝∅.选D. 答案：D3．若复数z ＝(x 2－1)2＋(x －1)i 为纯虚数，则实数x 的值为( ) A ．－1 B ．0 C ．1D ．－1或1解析：因为z 为纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧x 2－12＝0，x －1≠0，解得x ＝－1.答案：A4．复数z ＝(a ＋1)＋(a 2－3)i ，若z ＜0，则实数a 的值是( ) A. 3 B ．－ 3 C ．－1D ．1解析：由题意得a 2－3＝0，解得a ＝±3，而a ＋1＜0，故a ＝－ 3. 答案：B5．若复数z ＝a 2－3＋2ai 的实部与虚部互为相反数，则实数a 的值为________． 解析：由条件知a 2－3＋2a ＝0，所以a ＝1或a ＝－3. 答案：1或－36．设复数z ＝1m ＋5＋(m 2＋2m －15)i 为实数，则实数m 的值是________．解析：依题意知⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －15＝0，m ＋5≠0，解得m ＝3.答案：37．x ，y 为实数，如果x －1＋yi 与i －3x 为相等复数，则x ＋y ＝________.解析：由复数相等可知，⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝1，所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝1，所以x ＋y ＝54.答案：548．已知m ∈R ，复数z ＝mm ＋2m －1＋(m 2＋2m －1)i ，当m 为何值时：(1)z ∈R ；(2)z 是虚数；(3)z 是纯虚数．解析：(1)因为z ∈R ，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －1＝0，m －1≠0，解得m ＝－1± 2.(2)因为z 是虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m －1≠0，m －1≠0，解得m≠－1＋2，m≠－1－2且m≠1.(3)因为z 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧m m ＋2m －1＝0，m －1≠0，m 2＋2m －1≠0，解得m ＝0或m ＝－2.9．已知A ＝{1,2，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i}，B ＝{－1,3}，A∩B＝{3}，求实数a 的值． 解析：由题意知，a 2－3a －1＋(a 2－5a －6)i ＝3(a ∈R)，所以⎩⎪⎨⎪⎧a 2－3a －1＝3，a 2－5a －6＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧a ＝4或a ＝－1，a ＝6或a ＝－1，所以a ＝－1.[B 组 能力提升]10．已知复数z ＝cos α＋icos 2α(0＜α＜2π)的实部与虚部互为相反数，则α的取值集合为( )A.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，2π3，4π3B ．⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，5π3C.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π，π6，11π6 D.⎩⎨⎧⎭⎬⎫π3，π，5π3 解析：由条件知，cos α＋cos 2α＝0，所以2cos 2α＋cos α－1＝0，所以cos α＝－1或12.因为0＜α＜2π，所以α＝π，π3或5π3.故选D. 答案：D11．复数z 1，z 2满足z 1＝m ＋(4－m 2)i ，z 2＝2cos θ＋(λ＋3sin θ)i(m，λ，θ∈R)，并且z 1＝z 2，则λ的取值范围是( ) A ．[－1,1]B ．⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，1C.⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7 D.⎣⎢⎡⎦⎥⎤916，1解析：因为z 1＝z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧m ＝2cos θ，4－m 2＝λ＋3sin θ，所以4sin 2θ＝λ＋3sin θ，所以λ＝4⎝ ⎛⎭⎪⎫sin θ－382－916，因为－1≤sin θ≤1，所以当sin θ＝38时，λ取得最小值－916；当sin θ＝－1时，λ取得最大值7. 所以－916≤λ≤7，即λ的取值范围是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－916，7.故选C. 答案：C12．已知z 1＝(－4a ＋1)＋(2a 2＋3a)i ，z 2＝2a ＋(a 2＋a)i ，其中a ∈R.若z 1＞z 2，则a 的取值集合为________． 解析：因为z 1＞z 2，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a 2＋3a ＝0，a 2＋a ＝0，－4a ＋1＞2a ，所以a ＝0，故所求a 的取值集合为{0}．答案：{0}13．已知关于x ，y 的方程组⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＋i ＝y ＋3－y i ，2x ＋ay －4x －y ＋b i ＝9－8i有实数解，求实数a ，b 的值．解析：由(2x －1)＋i ＝y ＋(3－y)i ，可得⎩⎪⎨⎪⎧2x －1＝y ，1＝3－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝32，y ＝2.由(2x ＋ay)－(4x －y ＋b)i ＝9－8i 可得⎩⎪⎨⎪⎧2x ＋ay ＋9，4x －y ＋b ＝8，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝4.14．实数m 为何值时，z ＝lg(m 2＋2m ＋1)＋(m 2＋3m ＋2)i 是： (1)实数？(2)虚数？(3)纯虚数？ 解析：(1)若z 为实数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1＞0，m 2＋3m ＋2＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧m≠－1，m ＝－2或m ＝－1，解得m ＝－2.因此当m ＝－2时，z 为实数．(2)若z 是虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1＞0，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m≠－1，m≠－2且m≠－1，解得m≠－2且m≠－1，因此当m≠－2且m≠－1时，z 为虚数．(3)若z 为纯虚数，则⎩⎪⎨⎪⎧lg m 2＋2m ＋1＝0，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m 2＋2m ＋1＝1，m 2＋3m ＋2≠0，即⎩⎪⎨⎪⎧m ＝0或m ＝－2，m≠－1且m≠－2.解得m ＝0.因此当m ＝0时，z 为纯虚数.复数的几何意义[A 组 学业达标]1．已知复数z ＝1＋i ，则下列命题中正确的个数为( ) ①|z|＝2；②z 的虚部为i ；③z 在复平面上对应点在第一象限． A ．0 B ．1 C ．2D ．3解析：|z|＝12＋12＝2，故①正确；z 的虚部为1，故②错误；z 在复平面上对应点是(1,1)，在第一象限，故③正确． 答案：C2．复数z ＝cos 2π3＋isin π3在复平面内对应的点在( )A ．第一象限B ．第二象限C ．第三象限D ．第四象限解析：因cos 2π3＜0，sin π3＞0，故复数z ＝cos 2π3＋isin π3对应的点在第二象限．答案：B3．在复平面内，复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A ，B.若C 为线段AB 的中点，则点C 对应的复数是( ) A ．4＋i B ．2＋4i C ．8＋2iD ．4＋8i解析：因为复数6＋5i ，－2＋3i 对应的点分别为A(6,5)，B(－2,3)，且C 为线段AB 的中点，根据中点坐标公式可得C(2,4)，则点C 对应的复数是2＋4i. 答案：B4．若复数z 满足方程|z ＋1－3i|＝2，则z 在复平面上表示的图形是( ) A ．椭圆 B ．圆 C ．抛物线D ．双曲线解析：原方程可化为|z －(－1＋3i)|＝2，其几何意义表示z 的坐标和(－1,3)之间的距离为2，满足圆的定义，故表示的图形是圆． 答案：B5．在复平面内，复数z 1，z 2对应点分别为A ，B.已知A(1,2)，|AB|＝25，|z 2|＝41，则z 2等于( ) A ．4＋5i B ．5＋4iC ．3＋4iD ．5＋4i 或15＋325i解析：设z 2＝x ＋yi(x ，y ∈R)，由条件得⎩⎪⎨⎪⎧x －12＋y －22＝20，x 2＋y 2＝41.所以⎩⎪⎨⎪⎧x ＝5，y ＝4或⎩⎪⎨⎪⎧x ＝15，y ＝325.故选D.答案：D6．已知3－4i ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则|1－5i|，|x －yi|，|y ＋2i|的大小关系为________． 解析：由3－4i ＝x ＋yi(x ，y ∈R)， 得x ＝3，y ＝－4，而|1－5i|＝1＋－52＝26，|x －yi|＝|3＋4i|＝32＋42＝5， |y ＋2i|＝|－4＋2i|＝－42＋22＝20.因为20＜5＜26，所以|y ＋2i|＜|x －yi|＜|1－5i|. 答案：|y ＋2i|＜|x －yi|＜|1－5i|7．复数z ＝3＋4i 对应的向量OZ →所在直线的斜率为________． 解析：由z ＝3＋4i 知，OZ →＝(3,4)，所以直线的斜率：k ＝43.答案：438．已知复数z 1＝－1＋2i ，z 2＝1－i ，z 3＝3－2i ，它们所对应的点分别是A ，B ，C ，若OC →＝xOA →＋yOB →(x ，y ∈R)，则x ＋y 的值是________．解析：由复数的几何意义可知，OC →＝xOA →＋yOB →，即3－2i ＝x(－1＋2i)＋y(1－i)，所以3－2i ＝(y －x)＋(2x －y)i.由复数相等可得，⎩⎪⎨⎪⎧y －x ＝3，2x －y ＝－2，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝1，y ＝4.所以x ＋y ＝5.答案：59．实数m 取什么值时，复数z ＝2m ＋(4－m 2)i 在复平面内对应的点： (1)位于虚轴上？ (2)位于第一、三象限？(3)位于以原点为圆心，4为半径的圆上？解析：(1)若复数z 在复平面内的对应点位于虚轴上，则2m ＝0，即m ＝0.(2)若复数z 在复平面内的对应点位于第一、三象限，则2m(4－m 2)＞0，解得m ＜－2或0＜m ＜2. 故满足条件的实数m 的取值范围为(－∞，－2)∪(0,2)．(3)若复数z 的对应点位于以原点为圆心，4为半径的圆上，则4m 2＋4－m 22＝4，即m 4－4m 2＝0，解得m ＝0或m ＝±2.10．复数i,1,4＋2i 分别对应平面上A ，B ，C 三点，另取一点D 作平行四边形ABCD ，求BD 的长． 解析：由题意得向量AB →对应的复数为1－i ，设D 对应的复数为x ＋yi(x ，y ∈R)，则DC →＝(4－x,2－y)，由AB →＝DC →，得⎩⎪⎨⎪⎧1＝4－x ，－1＝2－y ，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝3，y ＝3.所以D 对应的复数为3＋3i ，所以BD →＝(2,3)，则|BD →|＝13，即BD 的长为13.[B 组 能力提升]11．复数z ＝1＋cos α＋isin α(π＜α＜2π)的模为( ) A ．2cos α2B ．－2cos α2C ．2sin α2D ．－2sin α2解析：|z|＝1＋cos α2＋sin 2α＝2＋2cos α＝4cos2α2＝2⎪⎪⎪⎪⎪⎪cos α2.因为π＜α＜2π，所以π2＜α2＜π，cos α2＜0，于是|z|＝－2cos α2.故选B.答案：B12．满足条件|z －i|＝|3＋4i|的复数z 在复平面内对应点的轨迹是( ) A ．一条直线 B ．两条直线 C ．圆D ．椭圆解析：设z ＝x ＋yi ，因为|z －i|＝|3＋4i|，所以x 2＋y －12＝5.则x 2＋(y －1)2＝25，所以复数z 对应点的轨迹是圆． 答案：C13．若t ∈R ，t≠－1，t≠0，则复数z ＝t 1＋t ＋1＋tt i 的模的取值范围是________．解析：|z|2＝⎝⎛⎭⎪⎫t 1＋t 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋t t 2≥2·t 1＋t ·1＋t t ＝2.(当且仅当t 1＋t ＝1＋t t ，即t ＝－12时，等号成立)．所以|z|≥ 2.答案：[2，＋∞)14．设z ＝log 2(m 2－3m －3)＋i·log 2(m －3)(m ∈R)，若z 对应的点在直线x －2y ＋1＝0上，则m 的值是________．解析：因为log 2(m 2－3m －3)－2log 2(m －3)＋1＝0， 整理得 log 22m 2－3m －3m －32＝0， 所以2m 2－6m －6＝m 2－6m ＋9， 即m 2＝15，m ＝±15.又因为m －3＞0且m 2－3m －3＞0， 所以m ＝15. 答案：1515．已知复数z 1＝3－i ，z 2＝co s θ＋isin θ. (1)求|z 1|及|z 2|，并比较大小；(2)设z ∈C ，满足条件|z 2|≤|z|≤|z 1|的点Z 的集合是什么图形？ 解析：(1)|z 1|＝32＋－12＝2，|z 2|＝cos 2θ＋sin 2θ＝1，所以|z 1|＞|z 2|. (2)由|z 2|≤|z|≤|z 1|，得1≤|z|≤2.因为|z|≥1表示圆|z|＝1外部及圆上所有点组成的集合，|z|≤2表示圆|z|＝2内部及圆上所有点组成的集合，故符合题设条件的点的集合是以O 为圆心，以1和2为半径的圆所夹的圆环(包括圆)． 16．已知复数z 0＝a ＋bi(a ，b ∈R)，z ＝(a ＋3)＋(b －2)i ，若|z 0|＝2，求复数z 对应点的轨迹．解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则复数z 的对应点为P(x ，y)，由题意知⎩⎪⎨⎪⎧x ＝a ＋3，y ＝b －2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝x －3，①b ＝y ＋2.②因为z 0＝a ＋bi ，|z 0|＝2，所以a 2＋b 2＝4. 将①代入②得(x －3)2＋(y ＋2)2＝4.所以点P 的轨迹是以(3，－2)为圆心，2为半径的圆.复数代数形式的加、减运算及其几何意义[A 组 学业达标]1．已知复数z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，则复数z ＝z 1－z 2在复平面内对应的点Z 位于复平面内的( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：因为z 1＝3＋2i ，z 2＝1－3i ，所以z ＝z 1－z 2＝3＋2i －(1－3i)＝(3－1)＋(2＋3)i ＝2＋5i.所以点Z 位于复平面内的第一象限． 答案：A2．已知x ，y ∈R ，i 为虚数单位，若1＋xi ＝(2－y)－3i ，则|x ＋yi|＝( ) A.10 B ．3 C. 5D. 2解析：1＋xi ＝(2－y)－3i ⇒⎩⎪⎨⎪⎧2－y ＝1，x ＝－3⇒⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－3，y ＝1，则|x ＋yi|＝10.答案：A3．如果一个复数与它的模的和为5＋3i ，那么这个复数是( ) A.115B ．3i C.115＋3i D.115＋23i 解析：设这个复数为a ＋bi(a ，b ∈R)，则|a ＋bi|＝a 2＋b 2. 由题意知a ＋bi ＋a 2＋b 2＝5＋3i ， 即a ＋a 2＋b 2＋bi ＝5＋3i所以⎩⎨⎧a ＋a 2＋b 2＝5，b ＝3，解得a ＝115，b ＝ 3.所以所求复数为115＋3i.答案：C4．在平行四边形ABCD 中，对角线AC 与BD 相交于点O ，若向量OA →，OB →对应的复数分别是3＋i ，－1＋3i ，则CD →对应的复数是( ) A ．2＋4i B ．－2＋4i C ．－4＋2iD ．4－2i解析：在平行四边形ABCD 中，CD →＝BA →＝OA →－OB →，故CD →对应的复数是3＋i －(－1＋3i)＝4－2i ，故选D. 答案：D5．A ，B 分别是复数z 1，z 2在复平面内对应的点，O 是坐标原点，若|z 1＋z 2|＝|z 1－z 2|，则△AOB 一定是( ) A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等边三角形D ．等腰直角三角形解析：复数z 1对应向量OA →，复数z 2对应向量OB →，则|z 1＋z 2|＝|OA →＋OB →|，|z 1－z 2|＝|OA →－OB →|，依题意有|OA →＋OB →|＝|OA →－OB →|. 所以以OA →，OB →为邻边所作的平行四边形是矩形，所以△AOB 是直角三角形．故选B. 答案：B6．设复数z 满足z ＋|z|＝2＋i ，则z ＝________. 解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则|z|＝x 2＋y 2. 所以x ＋yi ＋x 2＋y 2＝2＋i.所以⎩⎨⎧x ＋x 2＋y 2＝2，y ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝34，y ＝1.所以z ＝34＋i.答案：34＋i7．已知复数z 1＝2＋ai ，z 2＝a ＋i(a ∈R)，且复数z 1－z 2在复平面内对应的点位于第二象限，则a 的取值范围是________．解析：∵复数z 1－z 2＝2＋ai －a －i ＝(2－a)＋(a －1)i 在复平面内对应的点位于第二象限，∴⎩⎪⎨⎪⎧2－a ＜0，a －1＞0，解得a ＞2.答案：(2，＋∞)8．若复数z 1＝1＋3i ，z 2＝－2＋ai ，且z 1＋z 2＝b ＋8i ，z 2－z 1＝－3＋ci ，则实数a ＝________，b ＝________，c ＝________.解析：z 1＋z 2＝(1－2)＋(3＋a)i ＝－1＋(3＋a)i ＝b ＋8i ，z 2－z 1＝(－2－1)＋(a －3)i ＝－3＋(a －3)i ＝－3＋ci ，所以⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，3＋a ＝8，a －3＝c ，解得⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－1，a ＝5，c ＝2.答案：5 －1 29．已知z 1＝32a ＋(a ＋1)i ，z 2＝－33b ＋(b ＋2)i ，(a ，b ∈R)，且z 1－z 2＝43，求复数z ＝a ＋bi. 解析：z 1－z 2＝⎣⎢⎡⎦⎥⎤32a ＋a ＋1i －[－33b ＋(b ＋2)i] ＝⎝⎛⎭⎪⎫32a ＋33b ＋(a －b －1)i ＝43， 所以⎩⎪⎨⎪⎧32a ＋33b ＝43，a －b －1＝0.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1，所以z ＝2＋i.[B 组 能力提升]10．复数z ＝(a 2－2a)＋(a 2－a －2)i(a ∈R)在复平面内对应的点位于虚轴上，则z －1－i 等于( ) A ．－1－3i 或－1－i B ．－1－iC ．－1－3iD ．－1＋i 或－1＋3i解析：因为复数z 在复平面内对应的点位于虚轴上，所以复数z 的实部为0，所以a 2－2a ＝0，解得a ＝0或a ＝2.当a ＝0时，z ＝－2i ，z －1－i ＝－2i －1－i ＝－1－3i ；当a ＝2时，z ＝0，z －1－i ＝0－1－i ＝－1－i.综上，z －1－i ＝－1－3i 或z －1－i ＝－1－i.故选A. 答案：A11．如果复数z 满足|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，那么|z ＋i ＋1|的最小值是( ) A ．1 B ． 2 C ．2D. 5解析：设复数－2i,2i ，－(1＋i)在复平面内对应的点分别为Z 1，Z 2，Z 3，因为|z ＋2i|＋|z －2i|＝4，|Z 1Z 2|＝4，所以复数z 的集合为线段Z 1Z 2，如图所示，问题转化为：动点Z 在线段Z 1Z 2上移动，求|ZZ 3|的最小值．因此作Z 3Z 0⊥Z 1Z 2，则Z 3与Z 0的距离即为所求的最小值，|ZZ 3|取得最小值|Z 0Z 3|＝1，故选A. 答案：A12．已知在复平面内的正方形ABCD 有三个顶点对应的复数分别是1＋2i ，－2＋i ，－1－2i ，则第四个顶点对应的复数是________．解析：设复平面内正方形ABCD 的三个顶点A ，B ，C 对应的复数分别为1＋2i ，－2＋i ，－1－2i ，则OA →＝(1,2)，OB →＝(－2,1)，OC →＝(－1，－2)，设OD →＝(a ，b)．∵AB →＝OB →－OA →＝(－3，－1)，BC →＝OC →－OB →＝(1，－3)，且1×(－3)＋(－1)×(－3)＝0， ∴AB →⊥BC →，∴AB →＝DC →，即向量AB →与DC →对应的复数相等， ∴－3－i ＝－1－a －(2＋b)i ，∴⎩⎪⎨⎪⎧－2－b ＝－1，－1－a ＝－3，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝－1.∴OD →＝(2，－1)．故第四个顶点对应的复数是2－i. 答案：2－i13．若|z －1|＝|z ＋1|，则|z －1|的最小值是________． 解析：法一：设z ＝a ＋bi ，(a ，b ∈R)， 则|(a －1)＋bi|＝|(a ＋1)＋bi|， 所以a －12＋b 2＝a ＋12＋b 2，即a ＝0，所以z ＝bi ，b ∈R ，所以|z －1|min ＝|bi －1|min ＝(－12＋b 2)min ，故当b ＝0时，|z －1|的最小值为1. 法二：因为|z －1|＝|z ＋1|，所以z 的轨迹为以(1,0)，(－1,0)为端点的线段的垂直平分线，即y 轴，|z －1|表示y 轴上的点到(1,0)的距离，所以最小值为1. 答案：114．已知|z|＝2，求|z ＋1＋3i|的最大值和最小值．解析：设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R)，则由|z|＝2知x 2＋y 2＝4，故z 对应的点在以原点为圆心，2为半径的圆上，又|z ＋1＋3i|表示点(x ，y)到点(－1，－3)的距离，点(－1，－3)在圆x 2＋y 2＝4上，所以圆上的点到点(－1，－3)的距离的最小值为0，最大值为圆的直径4，即|z ＋1＋3i|的最大值和最小值分别为4和0.15．已知在复平面内的平行四边形ABCD 中，A 点对应的复数为2＋i ，向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i. (1)求点C ，D 对应的复数； (2)求平行四边形ABCD 的面积．解析：(1)∵向量BA →对应的复数为1＋2i ，向量BC →对应的复数为3－i ，又AC →＝BC →－BA →， ∴向量AC →对应的复数为(3－i)－(1＋2i)＝2－3i. ∵OC →＝OA →＋AC →，∴点C 对应的复数为(2＋i)＋(2－3i)＝4－2i.∵BD →＝BA →＋BC →，∴向量BD →对应的复数为(1＋2i)＋(3－i)＝4＋i. ∵OB →＝OA →－BA →，∴向量OB →对应的复数为(2＋i)－(1＋2i)＝1－i. ∵OD →＝OB →＋BD →，∴向量OD →对应的复数为(1－i)＋(4＋i)＝5， 故点D 对应的复数为5. (2)∵BA →·BC →＝|BA →||BC →|cos B ， 又BA →＝(1,2)，BC →＝(3，－1)， ∴cos B ＝BA →·BC →|BA →||BC →|＝3－25×10＝152，∴sin B ＝752，∴S ＝|BA →||BC →|sin B ＝5×10×752＝7，故平行四边形ABCD 的面积为7.复数代数形式的乘除运算[A 组 学业达标]1．已知复数f(n)＝i n(n ∈N *)，则集合{z|z ＝f(n)}中元素的个数是( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．无数解析： f(n)＝i n＝⎩⎪⎨⎪⎧i ，n ＝4k ＋1，－1，n ＝4k ＋2，－i ，n ＝4k ＋3，1，n ＝4k ＋4，k ∈N ，故集合中有4个元素．答案：A2．如果x －1＋yi 与i －3x(x ，y 是实数)是共轭复数，则x ＋y ＝( ) A ．－1 B ．1 C.34D ．－34解析：∵x －1＋yi 与i －3x(x ，y 是实数)是共轭复数，∴⎩⎪⎨⎪⎧x －1＝－3x ，y ＝－1，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝14，y ＝－1.则x ＋y ＝－34.答案：D3．设z 的共轭复数为z ，若z ＋z ＝4，z·z ＝8，则zz等于( )A ．1B ．－iC ．±1D ．±i解析：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z ＝a －bi ，由条件可得⎩⎪⎨⎪⎧2a ＝4，a 2＋b 2＝8.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝±2.因此⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2＋2i ，z ＝2－2i ，或⎩⎪⎨⎪⎧z ＝2－2i ，z ＝2＋2i.所以zz ＝2－2i 2＋2i ＝1－i1＋i＝1－i 21＋i 1－i ＝－2i 2＝－i ，或z z ＝2＋2i 2－2i ＝1＋i 1－i ＝1＋i 21－i 1＋i ＝2i2＝i ，所以zz＝±i.故选D.答案：D 4．复数z ＝32－ai ，a ∈R ，且z 2＝12－32i ，则a 的值为( ) A ．1 B ．2 C.12 D.14解析：由z ＝32－ai ，a ∈R 得z 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫322－2×32×ai＋(ai)2＝34－a 2－3ai ，因为z 2＝12－32i ， 所以⎩⎪⎨⎪⎧34－a 2＝12，－3a ＝－32，解得a ＝12.故选C.答案：C5．设z 1，z 2是复数，则下列命题中的假命题是( ) A ．若|z 1－z 2|＝0，则z 1＝z 2 B ．若z 1＝z 2，则z 1＝z 2C ．若|z 1|＝|z 2|，则z 1·z 1＝z 2·z 2D ．若|z 1|＝|z 2|，则z 21＝z 22解析：A ，|z 1－z 2|＝0⇒z 1－z 2＝0⇒z 1＝z 2⇒z 1＝z 2，真命题；B ，z 1＝z 2⇒z 1＝z 2＝z 2，真命题； C ，|z 1|＝|z 2|⇒|z 1|2＝|z 2|2⇒z 1·z 1＝z 2·z 2，真命题；D.当|z 1|＝|z 2|时，可取z 1＝1，z 2＝i ，显然z 21＝1，z 22＝－1，即z 21≠z 22，假命题．故选D. 答案：D6．设复数z ＝－2＋i ，若复数z ＋1z的虚部为b ，则b 等于________．解析：∵z ＝－2＋i ，∴z ＋1z ＝－2＋i ＋1－2＋i ＝－2＋i ＋－2－i －2＋i －2－i ＝－2＋i －25－15i ＝－125＋45i ， ∴b ＝45.答案：457．设复数z 满足z 2＝3＋4i(i 是虚数单位)，则z 的模为________．解析：设复数z ＝a ＋bi ，a ，b ∈R ，则z 2＝a 2－b 2＋2abi ＝3＋4i ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2＝3，2ab ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝1或⎩⎪⎨⎪⎧a ＝－2，b ＝－1，则z ＝±(2＋i)，故|z|＝ 5. 答案： 58．若3＋bi1－i ＝a ＋bi(a ，b 为实数，i 为虚数单位)，则a ＋b ＝________.解析：由3＋bi1－i ＝3＋bi 1＋i 1－i 1＋i ＝3－b ＋3＋b i 2＝a ＋bi ，得a ＝3－b 2，b ＝3＋b2，解得b ＝3，a ＝0，所以a ＋b ＝3. 答案：39．计算下列各题： (1)1＋i 71－i ＋1－i71＋i－3－4i 2＋2i 34＋3i；(2)()2＋2i 4i ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫21＋i 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 1－i 7. 解析：(1)原式＝[(1＋i)2]3·1＋i 1－i ＋[(1－i)2]3·1－i 1＋i －83－4i1＋i 21＋i3－4i i＝(2i)3·i＋(－2i)3·(－i)－82i1＋ii＝8＋8－16－16i ＝－16i. (2)原式＝42i 2i＋1i＋i 7＝16i －i －i ＝14i. 10．已知z 1＝2＋i ，z 1·z 2＝6＋2i. (1)求z 2；(2)若z ＝z 1z 2，求z 的模．解析：(1)设z 2＝a ＋bi(a ，b ∈R)，因为z 1·z 2＝6＋2i ，所以(2－i)(a ＋bi)＝6＋2i ，即(2a ＋b)＋(2b－a)i ＝6＋2i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝6，2b －a ＝2，所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＝2，b ＝2，所以z 2＝2＋2i.(2)因为z ＝z 1z 2＝2＋i 2＋2i ＝2＋i2－2i 2＋2i 2－2i ＝6－2i 8＝34－14i ，所以|z|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫342＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－142＝104.[B 组 能力提升]11．设a ，b ∈R ，i 是虚数单位，则“ab＝0”是“复数a ＋bi 为纯虚数”的( )A ．充分不必要条件B ．必要不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件解析：若ab ＝0，则a ＝0或b ＝0，所以a ＋b i 是纯虚数或实数，不是充分条件；若复数a ＋bi 为纯虚数，a＋bi ＝a －bi ，所以a ＝0且b≠0，所以ab ＝0，是必要条件．故选B. 答案：B12．已知z ＝a ＋bi(a ，b ∈R ，i 是虚数单位)，z 1，z 2∈C ，定义：D(z)＝||z||＝|a|＋|b|，D(z 1，z 2)＝||z 1－z 2||.给出下列命题：(1)对任意z ∈C ，都有D(z)＞0；(2)若z 是复数z 的共轭复数，则D(z )＝D(z)恒成立； (3)若D(z 1)＝D(z 2)(z 1，z 2∈C)，则z 1＝z 2；(4)对任意z 1，z 2∈C ，结论D(z 1，z 2)＝D(z 2，z 1)恒成立． 则其中的真命题是( ) A ．(1)(2)(3)(4) B ．(2)(3)(4) C ．(2)(4)D ．(2)(3)解析：对于(1)，由定义知当z ＝0时，D(z)＝0，故(1)错误，排除A ；对于(2)，由于共轭复数的实部相等而虚部互为相反数，所以D(z )＝D(z)恒成立，故(2)正确；对于(3)，两个复数的实部与虚部的绝对值的和相等，并不能得到实部与虚部分别相等，所以两个复数也不一定相等，故(3)错误，排除B ，D ；选C. 答案：C13．如果z ＝21－i ，那么z 100＋z 50＋1的值是________．解析：z ＝21－i ＝1＋i2，z 100＋z 50＋1＝⎝⎛⎭⎪⎫1＋i 2100＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1＋i 250＋1 ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 250＋⎝ ⎛⎭⎪⎫2i 225＋1＝i 50＋i 25＋1＝i 2＋i ＋1＝i. 答案：i14．设x ，y 为实数，且x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i ，则x ＋y ＝________.解析：x 1－i ＋y 1－2i ＝51－3i可化为x 1＋i 1－i 1＋i＋y 1＋2i1－2i 1＋2i＝51＋3i1－3i 1＋3i，即x ＋xi 2＋y ＋2yi 5＝5＋15i10，从而5(x ＋xi)＋2(y ＋2yi)＝5＋15i ， 于是⎩⎪⎨⎪⎧5x ＋2y ＝5，5x ＋4y ＝15，解得⎩⎪⎨⎪⎧x ＝－1，y ＝5，所以x ＋y ＝4.答案：4 15．设复数z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ，若z 2＋a z＜0，求纯虚数a.解析：由z 2＋a z ＜0可知z 2＋a z 是实数且为负数．z ＝1＋i2＋31－i 2＋i ＝2i ＋3－3i 2＋i ＝3－i2＋i＝1－i.因为a 为纯虚数，所以设a ＝mi(m ∈R 且m≠0)，则z 2＋a z ＝(1－i)2＋mi 1－i ＝－2i ＋mi －m 2＝－m 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫m 2－2i＜0，所以⎩⎪⎨⎪⎧－m2＜0，m2－2＝0，所以m ＝4，所以a ＝4i.16．设z 是虚数，ω＝z ＋1z 是实数，且－1＜ω＜2，(1)求|z|的值及z 的实部的取值范围； (2)设μ＝1－z1＋z ，求证：μ为纯虚数．解析：因为z 是虚数，所以可设z ＝x ＋yi(x ，y ∈R ，且y≠0)，则ω＝z ＋1z ＝(x ＋yi)＋1x ＋yi ＝x ＋yi ＋x －yi x 2＋y 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫x ＋x x 2＋y 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －y x 2＋y 2i.(1)因为ω是实数，且y≠0，所以y －yx 2＋y2＝0， 即x 2＋y 2＝1.所以|z|＝1，此时ω＝2x.又－1＜ω＜2，所以－1＜2x ＜2，所以 －12＜x ＜1，即z 的实部的取值范围是⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，1. (2)证明：μ＝1－z1＋z＝1－x ＋yi1＋x ＋yi＝1－x－yi1＋x－yi1＋x2＋y2＝1－x2－y2－2yi 1＋2x＋x2＋y2.又x2＋y2＝1，所以μ＝－y1＋xi. 因为y≠0，所以μ为纯虚数．章末测试卷(三)时间：120分钟 满分：150分一、选择题(本大题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的)1．在复平面内，复数(2－i)2对应的点位于( ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限D ．第四象限解析：(2－i)2＝4－4i ＋i 2＝3－4i ，在复平面内对应的点为(3，－4)，位于第四象限． 答案：D2．已知a ，b ∈C ，下列命题正确的是( ) A ．3i ＜5iB ．a ＝0⇔|a|＝0C ．若|a|＝|b|，则a ＝±bD ．a 2≥0解析：A 选项中，虚数不能比较大小；B 选项正确；C 选项中，当a ，b ∈R 时，结论成立，但在复数集中不一定成立，如|i|＝⎪⎪⎪⎪⎪⎪－12＋32i ，但i≠－12＋32i 或12－32i ；D 选项中，当a ∈R 时结论成立，但在复数集中不一定成立，如i 2＝－1＜0.故选B. 答案：B 3.1＋2i1－i2的虚部为( ) A ．－12iB ．12i C.12 D ．－12解析：1＋2i 1－i 2＝1＋2i－2i＝1＋2ii 2＝－2＋i 2＝－1＋12i ，故其虚部为12.答案：C4．已知集合M ＝{1,2，zi}(i 为虚数单位)，N ＝{3,4}，M∩N＝{4}，则复数z ＝( )A ．－2iB ．2iC ．－4iD ．4i解析：由M∩N＝{4}，知4∈M ，故zi ＝4，故z ＝4i ＝4ii 2＝－4i.答案：C 5.1－i 1＋i4＋1＋i 1－i4＝( )A ．－12B ．12 C.12i D ．－12i解析：因为(1±i)2＝±2i，所以1－i 1＋i4＋1＋i 1－i4＝1－i 2i 2＋1＋i－2i2＝1－i －4＋1＋i －4＝－12. 答案：A6．a 为正实数，i 为虚数单位，⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝2，则a ＝( )A ．2B ． 3 C. 2D ．1解析：a ＋i i ＝a ＋i ·－i i·－i ＝1－ai ，则⎪⎪⎪⎪⎪⎪a ＋i i ＝|1－ai|＝a 2＋1＝2，所以a 2＝3.又a 为正实数，所以a ＝ 3. 答案：B7．已知复数z 1＝3＋4i ，z 2＝t ＋i ，且z 1·z 2是实数，则实数t 等于( ) A.34 B ．43 C ．－43D ．－34解析：z 1·z 2＝(3＋4i)(t －i)＝(3t ＋4)＋(4t －3)i.因为z 1·z 2是实数，所以4t －3＝0，所以t ＝34.故选A. 答案：A8．在复平面内，O 为原点，向量OA →对应的复数为－1－2i ，若点A 关于直线y ＝x 的对称点为B ，则向量OB →对应的复数为( ) A ．－2－i B ．2＋i C ．1＋2iD ．－1＋2i解析：由题意知，A 点坐标为(－1，－2)，B 点坐标为(－2，－1)，故OB →对应的复数为－2－i.故选A. 答案：A9．已知i 为虚数单位，a 为实数，复数z ＝(a －2i)(1＋i)在复平面内对应的点为M ，则“a＝1”是“点M 在第四象限”的( ) A ．充分不必要条件 B ．必要不充分条件 C ．充要条件D ．既不充分也不必要条件解析：z ＝(a －2i)(1＋i)＝(a ＋2)＋(a －2)i ，所以点M 在第四象限的充要条件是⎩⎪⎨⎪⎧a ＋2＞0，a －2＜0，即－2＜a＜2，所以“a＝1”是“点M 在第四象限”的充分不必要条件．故选A. 答案：A 10．定义运算⎪⎪⎪⎪⎪⎪ab cd ＝ad －bc ，则符合条件⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z zi ＝4＋2i 的复数z 为( ) A ．3－i B ．1＋3i C ．3＋i D ．1－3i解析：⎪⎪⎪⎪⎪⎪1 －1z zi ＝zi ＋z ＝z(1＋i)＝4＋2i ，所以z ＝4＋2i 1＋i ＝4＋2i 1－i 2＝4＋2－2i 2＝3－i.故选A. 答案：A11．已知复数z ＝(x －2)＋yi(x ，y ∈R)在复平面内对应的向量的模为3，则yx 的最大值是( )A.32B ．33 C.12D. 3 解析：因为|(x －2)＋yi|＝3， 所以(x －2)2＋y 2＝3，所以点(x ，y)在以C(2,0)为圆心， 3为半径的圆上，如图，令yx ＝k ，kx －y ＝0，则|2k|k 2＋1＝3，得k ＝± 3.由平面几何知识得－3≤yx ≤ 3.所以最大值为3，故选D. 答案：D12．在实数集R 中，我们定义的大小关系“＞”为全体实数排了一个序，类似地，我们在复数集C 上也可以定义一个称为“序”的关系，记为“＞”，定义如下：对于任意两个复数z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，(a 1，b 1，a 2，b 2∈R ，i 为虚数单位)，“z 1＞z 2”当且仅当“a 1＞a 2”或“a 1＝a 2且b 1＞b 2”．给出下面命题：①1＞i ＞0；②若z 1＞z 2，z 2＞z 3，则z 1＞z 3；③若z 1＞z 2，则对于任意z ∈C ，z 1＋z ＞z 2＋z ；④对于复数z ＞0，则z·z 1＞z·z 2.其中真命题是( ) A ．①②④ B ．①②③ C ．②③D ．①②③④解析：对命题①，1的实部是1，i 的实部是0，故①正确；对命题②，设z 1＝a 1＋b 1i ，z 2＝a 2＋b 2i ，z 3＝a 3＋b 3i ，由已知得a 1＞a 2或a 1＝a 2且b 1＞b 2，a 2＞a 3或a 2＝a 3且b 2＞b 3，显然有a 1≥a 3，若a 1＞a 3，则z 1＞z 3，若a 1＝a 3，则a 1＝a 2＝a 3，b 1＞b 2＞b 3，也有z 1＞z 3，故②正确；对命题③，设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，由z 1＞z 2得a 1＞a 2或a 1＝a 2且b 1＞b 2，从而a 1＋a ＞a 2＋a 或a 1＋a ＝a 2＋a 且b 1＋b ＞b 2＋b ，∴z 1＋z ＞z 2＋z ，故③正确；对命题④，z 1＝1＋i ，z 2＝－2i ，z ＝2i ，则有z 1＞z 2，但z·z 1＝－2＋2i ，z·z 2＝4，显然有z·z 2＞z·z 1，故④错误． 答案：B二、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中的横线上)13．若复平面上的平行四边形ABCD 中，AC →对应的复数为6＋8i ，BD →对应的复数为－4＋6i ，则DA →对应的复数为________．解析：法一：由复数加、减法的几何意义，可得AB →＋AD →＝AC →，AD →－AB →＝BD →，两式相加，可得2AD →＝AC →＋BD →＝2＋14i ，所以DA →＝－1－7i.法二：如图，把向量BD →平移到向量EA →的位置，可得DA →＝12CE →＝－12(AC →＋BD →)＝－1－7i. 答案：－1－7i14．设a ∈R ，若复数(1＋i)(a ＋i)在复平面内对应的点位于实轴上，则a ＝________. 解析：(1＋i)(a ＋i)＝a －1＋(a ＋1)i ，由题意得a ＋1＝0，a ＝－1. 答案：－115．若复数z ＝sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，则tan θ＝________.解析：因为z ＝sin θ－35＋⎝ ⎛⎭⎪⎫cos θ－45i 是纯虚数，所以⎩⎪⎨⎪⎧sin θ－35＝0，cos θ－45≠0，则⎩⎪⎨⎪⎧sin θ＝35，cos θ≠45，所以cos θ＝－45，所以tan θ＝－34.答案：－3416．已知复数z ＝(2a ＋i)(1－bi)的实部为2，其中a ，b 为正实数，则4a＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121－b 的最小值为________．解析：因为复数z ＝(2a ＋i)(1－bi)＝2a ＋b ＋(1－2ab)i 的实部为2，其中a ，b 为正实数， 所以2a ＋b ＝2，所以4a ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫121－b ＝22a ＋2b －1≥222a ·2b －1＝222a ＋b －1＝2 2.当且仅当a ＝14，b ＝32时取等号．答案：2 2三、解答题(本大题共6小题，共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 17．(本小题满分10分)已知(2＋i)z ＝7＋i ，求z 及z z .解析：设z ＝a ＋bi(a ，b ∈R)，则z ＝a －bi.所以 (2＋i)(a －bi)＝7＋i ， 所以(2a ＋b)＋(a －2b)i ＝7＋i ，所以⎩⎪⎨⎪⎧2a ＋b ＝7，a －2b ＝1.解得⎩⎪⎨⎪⎧a ＝3，b ＝1，所以z ＝3＋i.所以z ＝3－i ，所以zz ＝3＋i 3－i＝3＋i 210＝45＋35i. 18．(本小题满分12分)已知A(1,2)，B(a,1)，C(2,3)，D(－1，b)(a ，b ∈R)是复平面上的四个点，且向量AB →，CD →对应的复数分别为z 1，z 2. (1)若z 1＋z 2＝1＋i ，求z 1，z 2；(2)若|z 1＋z 2|＝2，z 1－z 2为实数，求a ，b 的值．解析：向量AB →＝(a －1，－1)，CD →＝(－3，b －3)对应的复数分别为z 1＝(a －1)－i ，z 2＝－3＋(b －3)i. (1)若z 1＋z 2＝(a －4)＋(b －4)i ＝1＋i. 所以a －4＝1，b －4＝1. 解得a ＝b ＝5.所以z 1＝4－i ，z 2＝－3＋2i. (2)若|z 1＋z 2|＝2，z 1－z 2为实数， 所以a －42＋b －42＝2，(a ＋2)＋(2－b)i ∈R ，所以2－b ＝0，解得b ＝2， 所以(a －4)2＋4＝4，解得a ＝4. 所以a ＝4，b ＝2.19．(本小题满分12分)已知复数z 1，z 2在复平面内对应的点分别为A(－2,1)，B(a,3)，a ∈R. (1)若|z 1－z 2|＝5，求a 的值；(2)若复数z ＝z 1·z 2对应的点在第二、四象限的角平分线上，求a 的值． 解析：由复数的几何意义可知z 1＝－2＋i ，z 2＝a ＋3i. (1)因为|z 1－z 2|＝5，所以|－2－a －2i|＝－2－a2＋－22＝5，即(a ＋1)(a ＋3)＝0，解得a＝－1或a ＝－3.(2)复数z ＝z 1·z 2＝(－2＋i)(a －3i)＝(－2a ＋3)＋(a ＋6)i.由题意可知，点(－2a ＋3，a ＋6)在直线y ＝－x 上，所以a ＋6＝－(－2a ＋3)，解得a ＝9.20．(本小题满分12分)已知平行四边形ABCD 中，AB →与AC →对应的复数分别是3＋2i 与1＋4i ，两对角线AC 与BD 相交于P 点．(1)求AD →对应的复数； (2)求DB →对应的复数； (3)求△APB 的面积．解析：(1)由于四边形ABCD 是平行四边形，所以AC →＝AB →＋AD →，于是AD →＝AC →－AB →＝(－2,2)． 即AD →对应的复数是－2＋2i.(2)由于DB →＝AB →－AD →＝(3,2)－(－2,2)＝(5,0)． 即DB →对应的复数是5.(3)由于PA →＝12CA →＝－12AC →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－12，－2，PB →＝12DB →＝⎝ ⎛⎭⎪⎫52，0，于是PA →·PB →＝－54，而|PA →|＝172，|PB →|＝52，所以172×52·cos ∠APB ＝－54， 因此cos ∠APB ＝－1717，故sin ∠APB ＝41717， 故S △APB ＝12|PA →||PB →|sin ∠APB＝12×172×52×41717＝52. 即△APB 的面积为52.21．(本小题满分12分)已知|z ＋1－i|＝1，求|z －3＋4i|的最大值和最小值． 解析：法一：设ω＝z －3＋4i ，所以z ＝ω＋3－4i ， 所以z ＋1－i ＝ω＋4－5i ， 又|z ＋1－i|＝1， 所以|ω＋4－5i|＝1.可知ω对应的点的轨迹是以(－4,5)为圆心，1为半径的圆，如图(1)所示，所以|ω|max ＝41＋1，|ω|min ＝41－1.图(1) 图(2)法二：由条件知复数z 对应的点的轨迹是以(－1,1)为圆心，1为半径的圆，而|z －3＋4i|＝|z －(3－4i)|表示复数z 对应的点到点(3，－4)的距离，在圆上与(3，－4)距离最大的点为A ，距离最小的点为B ，如图(2)所示，所以|z －3＋4i|max ＝41＋1，|z －3＋4i|min ＝41－1. 22．(本小题满分12分)已知关于x 的方程x 2－(tan θ＋i)x －(2＋i)＝0. (1)若方程有实数根，求锐角θ和实数根； (2)证明：对任意θ≠kπ＋π2(k ∈Z)，方程无纯虚数根． 解析：(1)原方程可化为x 2－xtan θ－2－(x ＋1)i ＝0，设方程的实数根为x 0，则⎩⎪⎨⎪⎧x 20－x 0tan θ－2＝0，x 0＋1＝0，即⎩⎪⎨⎪⎧x 0＝－1，tan θ＝1.又θ是锐角，故θ＝π4.(2)证明：假设方程有纯虚数根，可设为bi ，b≠0，b ∈R ，则－b 2－(tan θ＋i)bi －(2＋i)＝0，即－b2－ibtan θ＋b －2－i ＝0，可得－b 2＋b －2＝0，解得b ＝1±7i 2，与假设矛盾，所以方程无纯虚数根．。