uy fuu 2uyvy fuv Yy fvv 7 yy fu Yyy fv
多元微分学的基本概念、计算与应用
一、考试内容
(一)多元函数微分学计算法则
1记忆下述推理框图：
且偏导连续
z可偏导- ------------ - z可微 ------- 二 ---- 方向导数存在(数一)
z连续 \
2、记忆二元函数的偏导数定义：
f(X0)-f(0,0) f(O,y)-f(O,O) 「 f (0,x)- f(0,0) fx(O,O) =1” , fy(0,0^lim lim
f (X) h,y)-f(x°,y) f(x,y。h)-f(x,y。)
fx(x°,y) =lhi勒 ------------ h ----------- ，fy(x°$)巳勒 ------------ h ----------- ；
fx(XO,y°)=g ㈣ f(x0+mh，y0)[f(x0—nh，y0)=(m + n)a，对 fy(x0,y0)=a 类似; lim fx(x°,y) = fx(XO,y°)=
fx(x°,y)在 y=y°处连续，对 fy(x,y°)在X=XO处连续类似； y—0 '
lim fx(x,y) = fx(x,y°)：= fx(x,y)在 y=y)处连续，对 fy(x,y)在 x=x 处连续类似；
—yo
呵、fx(y)(x,y) = fx(y)(Xo,y°)= fx(y)(x,y)在(xo，yo)处连续.
(x,y)「(xo，yo)
3、记忆多元复合函数的求导法：
dz cz du cz dv 亠”、 ”、， ”、，
z = f[u(x),v(x)]，则全导数 ，或 z (x) = u (x) fu v (x) fv. dx cu dx cv dx
z= f[u(x),v(x, y)]，则 Zx =u'(x) fu +vxfv, zy =vy fv.
z= f[u(x,y),v(x, y)]，则 z^ =uxf^vxfv, Zy f.+v『
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精品文档 第八章 多元函数微分法及其应用
Chapter8 Differentiation of Functions of Several Variables and Its Application
8.1多元函数的基本概念（The Basic Concepts of Functions of Several Variables）
定义1 设D是2R的一个非空子集，称映射:fDR为定义在D上的二元函数，通常记为,,,zfxyxyD或,zfPPD。其中点集D称为该函数的定义域，x、y称为自变量，z称为因变量。
Definition 1 Let D be a nonempty subset of 2R,we call the mapping :fDR the function
of two variables defined on ,usually denoted by ,,,zfxyxyD,or ,zfPPD.The
set D is called the domain of the function .We call xand ythe independent variables and zthe
dependent variable.
定义2 设二元函数,fPfxy的定义域为D，000,Pxy是D的聚点。如果存在常数A，对于任意给定的正数，总存在正数，使得当点00,,PxyDUP，都有
,fPAfxyA成立，那么就称常数A为函数,fxy当00,,xyxy时的极限，记作
00,,lim,xyxyfxyA或00,,,fxyAxyxy，
也记作0limPPfPA或0fPAPP。
Definition 2 Let D be the domain of the function ,fPfxy of two variables,
微分几何意义
微分的几何意义就是：直角三角形的高（dy）等于正切值（斜率导数即f'（x））乘以该三角形的底边（dx）。把这些微分即微小的dy累积起来就得到三角形的高或着说得到了函数值的本身即y=f（x）。
微分是函数改变量的线性主要部分。微积分的基本概念之一。
学微分的方法
1、听讲：应抓住听课中的主要矛盾和问题，在听讲时尽可能与老师的讲解同步思考，必要时做好笔记。每堂课结束以后应深思一下进行归纳，做到一课一得。
3、探究：要学会思考，在问题解决之后再探求一些新的方法，学会从不同角度去思考问题，甚至改变条件或结论去发现新问题，经过一段学习，应当将自己的思路整理一下，以形成自己的思维规律。
4、作业：要先复习后作业，先思考再动笔，作业要认真、书写要规范，只有这样脚踏实地才能学好数学。总之，在学习数学的过程中，要认识到数学的重要性，充分发挥自己的主观能动性，从小的细节注意起，养成良好的数学学习习惯，进而培养思考问题、分析问题和解决问题的能力，最终把微积分学好。
多元函数微分公式法
多元函数微分公式法是微积分中的一个重要概念，它是研究多元函数的微分和导数的一种方法。在多元函数微分公式法中，我们可以通过对多元函数的各个自变量进行微分，来求出函数的全微分和偏导数，从而更好地理解和分析多元函数的性质和变化规律。
我们来看一下多元函数的全微分。对于一个多元函数f(x1,x2,...,xn)，它的全微分df可以表示为：
df = ∂f/∂x1 dx1 + ∂f/∂x2 dx2 + ... + ∂f/∂xn dxn
其中，dx1,dx2,...,dxn分别表示x1,x2,...,xn的微小变化量。这个公式告诉我们，一个多元函数的全微分可以通过对各个自变量进行微分来求得。全微分可以用来描述函数在某一点的变化率，它是一个标量，表示函数在该点的变化量。
接下来，我们来看一下多元函数的偏导数。对于一个多元函数f(x1,x2,...,xn)，它的偏导数∂f/∂xi表示在其他自变量不变的情况下，函数f关于xi的变化率。偏导数可以用来描述函数在某一点的局部变化率，它是一个标量，表示函数在该点在xi方向上的变化量。
在多元函数微分公式法中，我们可以通过对全微分进行求导，来得到函数的偏导数。具体来说，对于一个多元函数f(x1,x2,...,xn)，它的偏导数可以表示为：
∂f/∂xi = (∂f/∂x1)dx1/dxi + (∂f/∂x2)dx2/dxi + ... + (∂f/∂xn)dxn/dxi
这个公式告诉我们，一个多元函数的偏导数可以通过对全微分进行求导来得到。偏导数可以用来描述函数在某一点的局部变化率，它是一个标量，表示函数在该点在xi方向上的变化量。
多元函数微分公式法是一种重要的微积分方法，它可以用来求解多元函数的全微分和偏导数，从而更好地理解和分析多元函数的性质和变化规律。在实际应用中，多元函数微分公式法被广泛应用于物理、工程、经济等领域，为我们提供了强有力的工具和方法。
