高一数学-§2.2.1对数 精品

§2.2.1 对数与对数运算（二）

学习目标：⒈理解对数的运算性质，能够运用对数的运算性质进行对数运算；

⒉知道对数换底公式能将一般对数转化成常用对数或自然对数．

教学重点：对数的运算性质．

教学难点：用定义证明对数换底公式．

教学方法：讲授式．

教具准备：投影．

教学过程：

（I）复习引入：

师：上节课我们学习了对数的定义及其基本性质，请同学们回忆一下，什么叫对数？

生：如果xaN（0a且1a），那么数x叫做以a为底N的对数，记作logaxN，其中a叫对数的底数，N叫真数．

师：对数有哪些基本性质呢？

生：对数有下面的基本性质：

⑴负数和零没有对数；

⑵log10a，log1aa；

⑶logaNaN．

师：对数与指数之间有怎样的关系？

生：logxaaNxN．

师：这一节，我们将利用对数与指数之间的关系和幂的运算性质推导出对数的运算性质和对数换底公式．

（II）讲授新课：

⒈对数的运算性质：

师：根据对数与指数之间的关系，我们可以进行指数式与对数式的互相转化．例如：

设logaMm，logaNn，则有

maM，naN，

∴ mnaMN．

将上式化为对数形式，得 log()aMNmn． 这样我们就得到了对数的一个运算性质：

log()loglogaaaMNMN．

请同学们仿照上述过程，由mnMaN和mnnaM得出对数运算的另外两条性质．

生：（推导得出） logloglogaaaMMNN，

loglognaaMnM．

师：下面我们来看一下对数的运算性质的应用．

例题：课本71P例3、例4.

⒉对数换底公式：

师：有了对数的运算性质，我们就可以对一些特殊的对数式进行运算或化简了．但实际应用中多见的还是常用对数和自然对数，怎样才能将以其他底的对数转换为以10或e为底的对数，以方便我们的计算呢？

为了解决上述问题，我们有下面的对数换底公式：

第2课时 对数的运算

课时过关·能力提升

基础巩固

1.若a>0,且a≠1,x>y>0,则下列式子正确的个数是 ( )

①logax·logay=loga(x+y);②logax-logay=loga(x-y);③log𝑎𝑥𝑦=log𝑎𝑥÷log𝑎𝑦;④log𝑎(𝑥𝑦)=log𝑎𝑥·logay.

A.0 B.1 C.2 D.3

答案:A

2.2log510+log50.25等于( )

A.0 B.1 C.2 D.4

解析:原式=log5100+log50.25=log525=log552=2.

答案:C

3.计算log225·log32√2·log59的结果为( )

A.3 B.4 C.5 D.6

解析:原式=lg25lg2×lg2√2lg3×lg9lg5=2lg5lg2×32lg2lg3×2lg3lg5=6.

答案:D

4.计算823+log32−log36的结果是( )

A.16√2−1

B.4

C.3

D.1

解析:原式=(23)23+log326=4+log313=4−1=3.

答案:C

5.已知log23=a,log37=b,则log27等于( )

A.a+b B.a-b C.ab D.𝑎𝑏

解析:log27=log23·log37=ab.

答案:C

6.若lg x-lg y=t,则lg(𝑥2)3−lg(𝑦2)3=( )

A.3t

B.32𝑡

C.𝑡

D.𝑡2

解析:lg(𝑥2)3−lg(𝑦2)3=3lg𝑥2−3lg𝑦2=3lg𝑥𝑦=3(lg x-lg y)=3t.

答案:A

7.若lg x=lg m-2lg n,则x= .

解析:∵lg m-2lg n=lg m-lg n2=lg 𝑚𝑛2,∴𝑥=𝑚𝑛2.

答案:𝑚𝑛2

8.已知3a=2,用a表示log34-log36= .

解析:∵3a=2,∴a=log32,

一、选择题

1．将指数式2a=b写成对数式为

A．log2b=a B．logab=2 C．log2a=b D．logb2=a

【答案】A

【解析】指数式2a=b所对应的对数式是：log2b=a．故选A．

2．若logab•log3a=5，则b=

A．a3 B．a5 C．35 D．53

【答案】C

3．如果log3x=log6x，那么x的值为

A．1 B．1或0 C．3 D．6

【答案】A

【解析】∵log3x=log6x，36log1log1=0，而对数函数3logyx，6logyx在x>0时，具有单调性，因此x=1．故选A．

4．1411log9+1511log3=

A．lg3 B．–lg3 C．1lg3 D．–1lg3

【答案】C

【解析】原式=191log4+131log5=131log2+131log5=131log10=log310=1lg3．故选C．

5．若x=12log16，则x=

A．–4 B．–3 C．3 D．4

【答案】A

【解析】∵x=12log16，∴2–x=24，∴–x=4，解得x=–4．故选A．

6．log8127等于

A．34 B．43 C．12 D．13

【答案】A

【解析】log8127=3lg334lg34．故选A．

7．计算lg（103–102）的结果为

A．1

B．32 C．90 D．2+lg9

【答案】D

8．若xlog34=1，则4x+4–x的值为

A．3 B．4 C．174 D．103

【答案】D

【解析】∵xlog34=1，∴43logx=1，则4x=3，∴4x+4–x=3+11033，故选D．

9．273log16log4的值为

A．2 B．32 C．1 D．23

【答案】D

【解析】原式=164332734433log2loglog23loglog3．故选D．

2.2.1对数与对数运算（二）

教学目标

（一） 教学知识点

对数的运算性质．

（二） 能力训练要求

1．进一步熟悉对数定义与幂的运算性质； 2. 理解对数运算性质的推倒过程；

3．熟悉对数运算性质的内容； 4．熟练运用对数的运算性质进行化简求值；

5．明确对数运算性质与幂的运算性质的区别．

（三）德育渗透目标

1．认识事物之间的普遍联系与相互转化； 2．用联系的观点看问题．

教学重点

证明对数的运算性质．

教学难点

对数运算性质的证明方法与对数定义的联系．

教学过程

一、复习引入：

1．对数的定义 bNalog 其中 ),1()1,0(a与 ),0(N

2．指数式与对数式的互化

)10( logaabNNaab且

3.重要公式：

⑴负数与零没有对数； ⑵01loga，1logaa

⑶对数恒等式NaNalog

4．指数运算法则

)()(),()(),(RnbaabRnmaaRnmaaannnmnnmnmnm

二、新授内容：

1．积、商、幂的对数运算法则：

如果 a ＞ 0，a  1，M ＞ 0， N ＞ 0 有：

)()()(3R)M(nnlogMlog2NlogMlogNMlog1NlogMlog(MN)loganaaaaaaa

证明：①设alogM=p, alogN=q． 由对数的定义可以得：M=pa，N=qa．

∴MN= paqa=qpa ∴alogMN=p+q， 即证得alogMN=alogM + alogN．

②设alogM=p，alogN=q． 由对数的定义可以得M=pa，N=qa ． ∴qpqpaaaNM ∴qpNMalog 即证得NMNMaaalogloglog．

③设alogM=P 由对数定义可以得M=pa,

∴nM＝npa ∴alognM=np， 即证得alognM=nalogM．