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第八章 空间解析几何与向量代数
§8.1向量及其线性运算 1.填空题
（1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）.
（2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）.
2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角.
解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21=M M ，方向余弦为2
2
cos =
α，2
2
cos =
β，0cos =γ，方向角为4πα=，4πβ=， 2πγ=.
3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则
222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ，
即?????-+-+=-+-+-+=-+2
2222
2)
3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点为)3,3,0(.
4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式.
解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为
29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29
1k j i e a -+±
=.
5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量.
解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为
9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为k k a z 7-=.
6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.
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解：设所求的点为),,0(z y P ，由||||||CM BM AM ==可得
?????-+++=+-++-+=-+-+2
22222222222)
1()1(1)1(2)1(2)1()2(1z y z y z
y z y ，解之得21=y ，0=z 故所求的点为)0,2
1,0(.
7. 已知点)6,2,1(-B 且向量在x 轴、y 轴和z 轴上的投影分别为1,4,4-，求点A 的坐标.
解：设点A 的坐标为),,(z y x ，由题意可知)1,4,4()6,2,1(-=----z y x ，则5,6,5=-==z y x ，即点A 的坐标为)5,6,5(-.
8.试用向量法证明：三角形各边依次以同比分之，则三个分点所成的三角
形必与原三角形有相同的重心.
证明：若),,(111z y x A 、),,(222z y x B 、),,(333z y x C 是一个FGH ?的三个
顶
点
，
设
三
角
形
的
重
心
为
E
，则
),,(3
1
)(31321321321z z z y y y x x x C B A E ++++++=++=
设ABC ?的同比n
m
之分点分别为F 、G 、H ，分点的坐标为
),,(
2
12121m
n mz nz m n my ny m n mx nx F ++++++
),,(
3
23232m
n mz nz m n my ny m n mx nx G ++++++
),,(
1
31313m
n mz nz m n my ny m n mx nx H ++++++
则三角形FGH ?的重心为
,()(31
133221m
n mx nx m n mx nx m n mx nx H G F ++++++++=++)
,1
33221133221m n mz nz m n mz nz m n mz nz m n my ny m n my ny m n my ny ++++++++++++++++),,(3
1
321321321z z z y y y x x x ++++++=. 所以三个分点所成的三角形必与原三角形有相同的重心. §8.2 数量积 向量积 1.若3
),(,4||,3||π
=
==Λ
b a b a ，求b a
c 23-=的模.
解：b b b a a b a a b a b a c 22233233)23()23(||2?+?-?-?=-?-=
73443
cos
431239||412||92222=?+???-?=+?-=π
b b a a
所以73||=c .
2.已知||||b a b a -=+，证明：0=?b a .
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证明：由||||b a b a -=+，可得22||||b a b a -=+，可知
)
()()()(b a b a b a b a -?-=+?+，展开可得
b a b a b a b a ?-+=?++2||||2||||2222，即04=?b a ，故0=?b a .
3.已知20||,18||,10||=+==b a b a ，求||b a -. 解：因为
b a b a b a b a b a b a ?++=?++=+?+=+=23241002||||)()(||400222
所以242-=?b a ，)()(||b a b a b a -?-=-b a b a ?-+=
2||||22
7824324100=++=.
4.已知)4,2,1(=a ，)3,3,3(-=b ，求a 与b 的夹角及a 在b 上的投影.
解：934)3(231=?+-?+?=?b a ，
7
79
9916419
cos =
++?++=
θ，7
7arccos
=θ. 因为
a j
b b a b Pr ||=?，所以33
39
Pr ==
a j
b .
5.已知a ,b ,c 为单位向量，且满足0=++c b a ，计算a c c b b a ?+?+?.
解：因为0)()(=++?++c b a c b a ，所以
0222||||||222=?+?+?+++a c c b b a c b a ，
而1||||||222===c b a ，所以2
3-
=?+?+?a c c b b a . 6.求与k j i b k j i a 32,2-+=++=都垂直的单位向量. 解：
k
j i k j i k j i b a c 3571
2213
21
13
11
23
1212
1-+-=+
--
-=
-=?=而83)3(5)7(||222=-++-=
c ，所以)3,5,7(83
1--±
=c e .
7.设)(8,186,5b a b a b a -=+-=+=，试证A 、B 、D 三
点共线.
证明：只需证明//.
因为b a b a 2)5(2102=+=+=+=，所以//.
8.已知)3,2,1(-=a ，=b )0,,2(m ，)9,3,9(-=c （1）确定m 的值，使得b a +与c 平行.
4 / 16
（2）确定m 的值，使得b a -与c 垂直.
解：（1）要使b a +与c 平行，只需0=?+c b a )(，因为
b a +)3,2,3(-=m ，而
c b a ?+)
()99,0,99(32m m m j --=--=，
所以当1=m 时b a +与c 平行.
（2）要使b a -与c 垂直，只需0)(=?-c b a ，因为b a -)3,2,1(---=m ，而c b a ?-)(24327639)9,3,9()3,2,1(+=+++-=-?---=m m m ，所以当8-=m 时，b a -与c 垂直. §8.3 曲面及其方程 1.填空题
（1）将xOz 坐标面上的抛物线x z 42
=绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程为（x y z 422=+），绕z 轴旋转一周，所生成的旋转曲面的方程
为（2
224y x z +=）.
（2）以点)2,3,2(-为球心，且通过坐标原点的球面方程为
（17)2()3()2(222=-+++-z y x ）.
（3）将xOy 坐标面的圆422=+y x 绕x 轴旋转一周，所生成的旋转曲面
的方程为（4222=++z y x ）.
2.求与点)1,2,1(A 与点)2,0,1(B 之比为2:1的动点的轨迹，并注明它是什么曲面.
解：设动点为),,(z y x P ，由于2:1||:||=PB PA ，所以
222222)2()0()1()1()2()1(2-+-+-=-+-+-z y x z y x ，解
之
，
可
得
194166333222=+---++z y x z y x ，即
920)32()38()1(222=-+-+-z y x ，所以所求的动点的轨迹为以点
)32,38,1(为心，半径为3
5
2的球面. 3.求与点)3,1,2(和点)4,2,4(等距离的动点的轨迹. 解：设动点为),,(z y x P ，由题意知
222222)4()2()4()3()1()2(-+-+-=-+-+-z y x z y x ，
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整理得0112=-++z y x .
4. 写出下列曲面的名称，并画出相应的图形. （1）259916222-=--z y x . 解：该曲面为单叶双曲面. （2）259916222=--z y x . 解：该曲面为双叶双曲面.
（3）
125
42
22=++z y x . 解：该曲面为旋转椭球面. （4）x y x 922=-. 解：该曲面为双曲柱面. （5）x z y 922=+. 解：该曲面为椭圆抛物面.
（6）0)3()2()1(4222=---+-z y x . 解：该曲面为椭圆锥面.
§8.4 空间曲线及其方程 1. 填空题
（1）二元一次方程组??
?-=+=3
41
2x y x y 在平面解析几何中表示的图形是（两相
交直线的交点)5,2(）；它在空间解析几何中表示的图形是（两平面的交线，平行于z 轴且过点)0,5,2(）.
（2）旋转抛物面)20(22≤≤+=z y x z 在xOy 面上的投影为
（???=+=2
2
2z y x z ），在x O z 面上的投影为（22≤≤z x ），在yOz 面上的投
影为（22≤≤z y ）.
2.求球面4222=++z y x 与平面1=+z x 的交线在xOy 面上的投影方程.
解：将x z -=1代入4222=++z y x ，得4)1(222=-++x y x ，因此投影方程为??
?=+-=3
220
2
2y x x z . 3.分别求母线平行于x 轴、y 轴及z 轴且通过曲线?????=+-=++0
24
22
22222z y x z y x 的柱面方程.
6 / 16
解：在?????=+-=++02422
22222z y x z y x 中消去x 得432
2=-z y ，即为母线平行于x 轴且通过曲线的柱面方程.
在?????=+-=++0
2422
222
22z y x z y x 中消去y 得4532
2=+z x ，即为母线平行于y 轴且通过曲线的柱面方程.
在?????=+-=++0
2422
22222z y x z y x 中消去z 得8522=+y x ，即为母线平行于z 轴且通过曲线的柱面方程.
4.将下列曲线的一般方程化为参数方程：
（1）???-==++-1
4)1(222x y z y x .
解：将1-=x y 代入4)1(222=++-z y x 得4)1(22
2=+-z x ，即
14
)2()1(22
2=+-z x . 令θcos 21=-x ，θsin 2=z ，所求的参数方程为 ???
?
???==+=θθ
θsin 2cos 2cos 21z y x . （2）?????=+=++4
92
22
22z x z y x . 解：做变换???==θθ
sin 2cos 2z x ，将其带入方程9222=++z y x ，即得52=y . 所
以参数方程为??
?
??=±==θθsin 25cos 2z y x （πθ20≤≤）.
5.求螺旋线??
?
??===θθθ3sin 2cos 2z y x 在三个坐标面上的投影曲线的直角坐标方程.
解：螺旋线在xOy 面上的投影为
??
?
??===0sin 2cos 2z y x θθ
，直角坐标方程为??
?==+0422z y x . 螺旋线在yOz 面上的投影为
??
???===03sin 2x z y θ
θ，直角坐标方程为?????
==03sin
2x z y .
7 / 16
螺旋线在zOx 面上的投影为
??
???===03cos 2y z x θ
θ，直角坐标方程为?????==03cos
2y z x . 6.画出下列方程所表示的曲线：
（1）???==++1
16
4222z z y x .
（2）?????=-+=+1
)2(2
22
2
y x y z x . （3）??
???==-
411642
2y z x .
§8.5 平面及其方程 1. 填空题
（1）一平面过点)4,1,1(-且平行于向量)1,1,2(-=a 和)1,0,1(=b ，平面的点法式方程为（0)4()1(3)1(=+----z y x ）,平面的一般方程为（023=---z y x ）,平面的截距式方程（
12
232=-+-+z y x ）,平面的一个单位法向量为（
)1,3,1(11
11
-）. （2）设直线L 的方程为???=+++=+++00
2222
1111D z C y B x A D z C y B x A ，当（021==D D ）
时，直线L 过原点；当（021==A A ）且（01≠D 或02≠D 有一个成立）时，直线L 平行于x 轴但不与x 轴相交；当（
2
1
21D D B B =
）时，直线L 与y 轴相交；当（02121====D D C C ）时，直线L 与z 轴重合. 2.求过三点)1,1,1(-，)3,1,3(-和)2,1,0(的平面方程. 解：由平面的三点式方程知，所求的平面方程为
1
31313121212111z z y y x x z z y y x x z z y y x x ---------1
21
110131
113111-+---+--+-=z y x 1
2
1
422
111---+-=z y x =0，即0735=-++z y x . 3.求过点)1,1,1(-且垂直于两平面02=-+z y x 和052=+-z y x 的平面
8 / 16
方程.
解：该平面的法向量为k j i k
j i
375
2
121
1
--=--，平面的方程为0)1(3)1(7)1(=--+--z y x ，即0537=---z y x .
4.求点)1,2,1(到平面01022=-++z y x 的距离.
解：点),,(0000z y x P =到平面0=+++D Cz By Ax 的距离公式是
2
2
2
000|
|C
B A D Cz By ax d +++++=
，因此点)1,2,1(到平面0
1022=-++z y x 的距离为12
21|
10122211|2
2
2
=++-?+?+?=
d .
5.求平面052=-+-z y x 与各坐标面的夹角的余弦.
解：所给平面的法向量为)1,2,1(-=n ，设该平面与xOy 面、yOz 面和zOx 面的夹角为z θ、x θ和y θ，于是
=
z θcos ||||n k n ?61
1
)2(1|110201|222=
+-+?+?-?=， =
x θcos ||||n i n ?61
1)2(1|010211|222=
+-+?+?-?=， =
y θcos ||||n j n ?62
1
)2(1|011201|222=
+-+?+?-?=. 6.求过点)5,4,1(-且在三个坐标轴上的截距相等的平面的方程.
解：设所求平面的方程为
1=++a
y
a y a x ，由于点)5,4,1(-在平面上，则1541=+-+a
a a ，2=a ，所求方程为02=-++z y x . 7.分别按下列条件求平面方程：
（1）平行于yOz 平面且经过点)2,3,2(--；
（2）通过y 轴和点)1,1,2(-；
（3）求平行于x 轴，且经过两点)2,1,2(-和)1,0,4(-的平面方程. 解：（1）yOz 平面的法向量是)0,0,1(=n ，可作为所求平面的法向量，因此所求平面的方程为0)2(0)3(0)2(1=+?++?+-?z y x ，即2=x . （2）所求平面的法向量即垂直于y 轴又垂直于向量)1,1,2(-=n ，所以所
9 / 16
求平面的法向量为k i k j i
20
1
112
+-=-，因此所求平面的方程为
0)1(2)1(0)2(1=-?++?+-?-z y x ，即02=-z x .
（3）由于所求平面平行于x 轴，故设所求平面方程为0=++D Cz By . 将
点)2,1,2(-和)1,0,4(-分别代入0=++D Cz By 得02=+-D C B 及
0=+-D C ，解得D C =及D B =. 因此所得方程为0=++D Dz Dy ，
即01=++z y . §8.6 空间直线及其方程 1. 填空题
（1）直线4
21z
y x =-=
和平面442=+-z z x 的关系是（平面与直线互相垂直）.
（2）过点)0,1,1(-且与直线
3
2
1123-+=-=-z y x 平行的直线的方程是（3
1121-=+=-z
y x ）. （3）直线182511+=--=-z y x 与直线???=+=-3
26z y y x 的夹角为（3π
）. 2.化直线??
?=++=+-5
22
z y x z y x 为对称式方程和参数方程.
解：直线的方向向量为k j i k j i
n n s 321
1
2
111
21++-=-=?=. 取
10=x ，代入直线方程可得10=y ，20=z . 所以直线的对称式方程为
3
2
1121-=-=--z y x . 令t z y x =-=-=--321121，所给直线的参数方程为??
?
??+=+=-=t
z t y t x 32121. 3.求过点)3,0,2(且与直线?
?
?-=-+=+-12537
42z y x z y x 垂直的平面方程.
解：直线的方向向量可作为所求平面的法向量，即
21n n n ?=)11,14,16(2
53421-=--=k
j i .
所求平面的方程为0)3(11)0(14)2(16=-+-+--z y x ，即
01111416=+--z y x .
10 / 16
4. 求直线???=---=-+-01023z y x z y x 与直线???=-+=+-+0
120
2z y z y x 夹角的余弦.
解：因为两直线的方向向量为k j i k
j
i
n 2241
1113
11++=---=，
k j i k
j
i
n +-=-=232101112，设两直线的夹角为θ，则
42
21
51)2(3224|122234|cos 2
22222=+-+++?+?-?=
θ. 5. 求点)5,1,2(P 在直线:L
1
3111-=-=-z
y x 上的投影. 解：过)5,1,2(P 作垂直于已知直线L 的平面∏，则其法向量)1,3,1(-=n ，于是平面的方程为0)5()1(3)2(=---+-z y x ，即03=-+z y x .
将已知直线的参数方程??
?
??-=+=+=t
z t y t
x 311代入03=-+z y x ，可得114-=t ，因
此点)5,1,2(P 在直线L 上的投影即为平面∏与直线L 的交点
)11
4
,111,117(
-. 6. 求直线:L ?
??=---=+-0830
32z y x z y x 在平面:∏12=+-z y x 上的投影直线
的方程.
解：设所给直线L 的平面束方程为0)83(32=---++-z y x z y x λ，即
08)1()3()32(=--++-+λλλλz y x ，其中λ为待定常数，要使该平
面与已知平面∏垂直，则有0)1()3()32(2=-++++λλλ，解得
3
4
-
=λ，将其代入08)1()3()32(=--++-+λλλλz y x ，可得32756=-+z y x ，因此直线L 在平面∏上的投影直线方程为
?
?
?=+-=-+1232
756z y x z y x . 7.确定λ的值，使直线:L ??
?=-+=-+0
20
12z x y x 与平面1:=-+∏z y x λ平行，
并求直线L 与平面∏之间的距离.
11 / 16
解：直线L 的方向向量n k j i k
j i
--==21
01012
，要使直线L 与平面∏
平行，只要0=?s n （其中=s )1,,1(-λ为平面∏的法向量），即
0121=+-λ，解得1=λ. 令10=x ，代入直线L 的方程可得10-=y ，
10=z ，直线L 与平面∏之间的距离3
3
)1(11|
)1(11111|2
22=
-++-?+?-?=
d . 8.求通过直线???=-++=-+-0
220
1:z y x z y x L 的两个互相垂直的平面，其中一个平
面平行于直线
1
1
1121-=-+=-z y x . 解：设平面束方程为0)22(1=-+++-+-z y x z y x λ，即
012)1()1()12(=--++-++λλλλz y x ，=n )1,1,12(+-+λλλ.
设平行于直线
1
1
1121-=-+=-z y x 的平面为1∏，由0)1()1(2)12(=++--+λλλ，可知1-=λ，令10=x ，代入直线L 的
方程，可得000==z y 平面1∏的方程为02)1(=---y x ，即
012=-+y x . 设垂直于平面1∏的平面为2∏，由0)1(2)12(=-++λλ，可得4
1
=
λ，平面2∏的方程为04
5
43)1(23=+--z y x ，即06536=-+-z y x . 第八章 空间解析几何与向量代数综合练习 1.填空题：
（1）已知1||=a ，2||=b ，且a 与b 夹角为3
π
θ=
，则=-||b a （3）.
（2）若向量)1,2,1(-=a ，=b ),,3(μλ-平行，则=),(μλ（)3,6(-）. （3）已知向量的模为10，且与x 轴的夹角为
6π，与y 轴的夹角为3
π
，与z 轴的夹角为锐角，则=（) 0 5, , 3(5）.
（4）曲线??
?
??===θθθ
b z a y a x sin cos (a 、b 为常数)在xOy 平面上投影曲线是
（???==+0
222z a y x ）. （5）xOy 平面上曲线1642
2
=-y x 绕x 轴旋转一周所得旋转曲面方程是
12 / 16
（16)(4222=+-z y x ）. （6）直线
p
z z n y y m x x 1
11-=-=-与平面0=+++D Cz By Ax 的夹角θ 的正弦=θsin （
2
222
2
2
C
B A p
n m pC nB mA ++++++）.
（7）方程y z x =-22所表示的曲面名称为（双曲抛物面）. （8）与两直线??
?
??+=+-==t
z t y x 122
及112212-=-=+z y x 都平行，且过原点的平面方程是（0=+-z y x ）.
（9）已知动点),,(z y x P 到yOz 平面的距离与点P 到点)2,1,1(-的距离相等，则点P 的轨迹方程为（012)2()1(22=++-+-x z y ）.
（10）与两平面012=--+z y x 和032=+-+z y x 等距离的平面方程为（012=+-+z y x ）.
2. 设k i a -=，k j i b ++=，求向量c ，使得b c a =?成立，这样的c
有多少个，求其中长度最短的c .
解：设=c ),,(z y x ，则
c a
?y x z y z
y k
j ++-=-=)(10，则1,1-=+=x z y ，因此这样的c )1,1,(x x --=，有无穷个.
由于||c 2
3
)21(2)1(1222++=--++=x x x ，因此，当21-=x 时， 即c )2
1
,1,21(--
=长度最短. 3. 已知点)0,1,1(A 和点)2,1,0(B ，试在x 轴上求一点C ，使得ABC ?的面积最小.
解：设)0,0,(x C ，则)2,0,1(-=，)0,1,1(--=x
，
k j x i x AC AB +-+=---=?)1(221101，故A B C ?的面积为
1)]1(2[22
1||2122+-+=?=
x AC AB S ，显然，当1=x 时，ABC ?的
13 / 16
面积最小，为2
5
，所求点为)0,0,1(.
4. 求曲线?????+==+-2
22224
2y
x z z y x 在各坐标平面上的投影曲线方程.
解：在xOy 平面投影为???==-04
222z y x ；在yOz 平面投影为
??
?==-043222x y z ；在zOx 平面投影为???==-0
4
322y z x . 5.求原点关于平面:∏0=+++D Cz By Ax 的对称点的坐标.
解：过原点作垂直于平面0=+++D Cz By Ax 的直线，该直线的方向向
量等于平面∏的法向量),,(C B A ，所求直线的对称式方程为
C z B y A x ==，即???
??===Ct
z Bt y At
x 为其参数方程. 将此参数方程代入平面∏，有0)(222=+++D t C B A ，解得2
22
C
B A D
t ++-=，即直线与平面的交点为),,(2
22222222
C B A CD
C B A B
D C B A AD ++-++-++-. 设所求的对称点为),,(000z y x ，则
222020C B A AD x ++-=+，2
22020C
B A BD
y ++-=+，222
020C B A CD
z ++-=+，
即
所
求
的
对
称
点
为
)2,2,2(
2
22222222C
B A CD
C B A B
D C B A AD ++-++-++-. 6.求直线1
1
111:--==-z y x L 在平面012:=-+-∏z y x 上的投影直线绕x 轴线转一周所成曲面的方程.
解：过L 作垂直于平面∏的平面0∏，所求的直线L 在平面∏上的投影就是平面∏和0∏的交线. 平面0∏的法向量为：
k j i k
j i
n 232
1
112
1
0--=--=，则过点),,(101的平面0∏的方程为： 0)1(23)1(=----z y x ，即0123=+--z y x . 所以投影线为
??
?=+--=-+-0
1230
12z y x z y x . 将投影线表示为以x 为参数的形式：
14 / 16
??
???
--==)
12(212x z x y ，则绕x 轴的旋转面的方程为2222)]12
(21[)2(--+=+x
x z y ，即0416*******=+---z y x x .
7.求球心在直线1
1
212--==-z y x 上，且过点)1,2,1(-和点)1,2,1(--的球面方程.
解：设球心为),,(z y x ，则
222222)1()2()1()1()2()1(-++++=++-+-z y x z y x ，即
02=-+z y x .
又因为球心在直线上，直线的参数方程为???
??-==+=t z t y t x 122，将直线的参数方程
代入02=-+z y x ，可得61-=
t ，球心坐标为)6
7
,31,
611(-，所求球面方程为6
65
)67()31()611(222=-+++-z y x .
8.已知两条直线的方程是1
4
2211:1--=+=-z y x L ，1
0122:
2z
y x L =-=-，求过1L 且平行于2L 的平面方程. 解：因为所求平面过1L ，所以点)4,2,1(-在平面上. 由于平面的法向量垂
直于两直线的方向向量，因此平面的法向量为k j i k j i
4321
2121
--=-.
因此所求平面的方程为0)4(4)2(3)1(2=--+--z y x ，即
08432=+--z y x .
9. 在过直线??
?=++=+++0
20
1z y x z y x 的所有平面中，求和原点距离最大的平面.
解：设平面束方程为0)2(1=++++++z y x z y x λ，即
01)1()1()12(=++++++z y x λλλ，平面与原点的距离为
3
1
)32(61)
1()1()12(|
10)1(0)1(0)12(|22
2
2
+
+=
++++++?++?++?+=
λλλλλλλd
要使平面与原点的距离最大，只要3
2
-
=λ，即该平面方程为03=---z y x .
15 / 16
10. 设两个平面的方程为052=---z y x 和062=--+z y x （1）求两个平面的夹角. （2）求两个平面的角平分面方程. （3）求通过两个平面的交线，且和yOz 坐标面垂直的平面方程. 解：（1）两个平面的法向量为)1,1,2(1--=n 和)2,1,1(2-=n ，设两个平面的夹角为θ，则
2
1
)2(111)1(2|)2()1(1112|||||||cos 2222222121=-+++-+-?-+?-?=?=
n n n n θ，
所以3
π
θ=
.
（2）因为角平分面上任意一点),,(z y x 到两个平面的距离相等，由点到平
面的距离公式，可得
2
2
2
2
2
2
)
2(11|62|)
1()1(2|52|-++--+=
-+-+---z y x z y x ，即
)
62(52--+±=---z y x z y x ，所求的角平分面方程为
12=+-z y x 或1133=-z x .
（3）设通过两个平面的交线的平面方程为
)62(52=--++---z y x z y x λ，即0)65)12()1()2(=--+--++λλλλz y x ，由于该平面垂直于yOz 坐
标面，所以00)12(0)1(1)2(=?+-?-+?+λλλ，可得2-=λ，因此所求的平面方程为0733=--z y . 11. 求直线
3
21z
y x =-=绕z 轴旋转所得旋转曲面的方程. 解：由于空间曲线??
?
??===)()()
(t z z t y y t x x )(+∞<<-∞t 绕z 轴旋转所得旋转曲面的方
程为??
?=+=+)
()()(2
222t z z t y t x y x )(+∞<<-∞t ，消去参数t 即可. 此直线的参数方程为 ??
?
??=-==t z t y t x 32，故该直线绕z 轴旋转所得旋转曲面的方
程为???=-+=+t
z t t y x 3)2()(2
222，消去参数t ，旋转曲面的方程为
2229
5z y x =
+. 12. 画出下列各曲面所围立体的图形：
16 / 16
（1）0,0,0,12643====++z y x z y x . （2）2,222=+=z y x z . （3）22224,y x z y x z --=+=. （4）2222,2y x z y x z +=--=
.
（5）222y x z +=，2
2x z -=. （6）2x y =，0=z ，y z =，1=y .
1. 过点M o （1，1-，1）且垂直于平面01201=+++=+--z y x z y x 及的平面方程． 39．02=+-z y 3． 在平面02=--z y x 上找一点p ，使它与点),5,1,2()1,3,4(-)3,1,2(--及之间的距离 相等． 7．)5 1,1,57 (． 5．已知：→ → -AB prj D C B A CD ，则)2,3,3(),1,1,1(),7,1,5(),3,2,1(= （ ） A ．4 B ．1 C ． 2 1 D ．2 7．设平面方程为0=-y x ，则其位置（ ） A ．平行于x 轴 B ．平行于y 轴 C ．平行于z 轴 D ．过z 轴． 8．平面0372=++-z y x 与平面0153=-++z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．相交 D ．重合 9．直线 3 7423z y x =-+=-+与平面03224=---z y x 的位置关系（ ） A ．平行 B ．垂直 C ．斜交 D ．直线在平面内 10．设点)0,1,0(-A 到直线?? ?=-+=+-0 720 1z x y 的距离为（ ） A ．5 B ． 6 1 C ． 51 D ．8 1 5．D 7．D 8．B 9．A 10．A ． 3．当m=_____________时，532+-与m 23-+互相垂直． 4 ． 设 ++=2， 22+-=， 243+-=，则 )(b a p r j c += ． 4． 过点），，（382-且垂直平面0232=--+z y x 直线方程为______________． 10．曲面方程为：442 2 2 =++z y x ，它是由曲线________绕_____________旋转而成的． 3．34-=m ； 4．29 19 9．332212--=+=-x y x ； 10．曲线 1422 =+z y 绕z 轴
第七章 空间解析几何与向量代数 A 一、 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模，方向余弦和方向角. 3、 设k j i p k j i n k j i m 45,742,853-+=--=++=，求向量p n m a -+=34在x 轴 上的投影，及在y 轴上的分向量. 二、 1、设k j i b k j i a -+=--=2,23，求(1)b a b a b a b a 23)2)(2(??-??及；及(3)a 、b 的夹角的余弦. 2、知)3,1,3(),1,3,3(),2,1,1(321M M M -，求与3221,M M M M 同时垂直的单位向量.
3、设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ. 三、 1、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 2、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 3、1)将xOy 坐标面上的x y 22=绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程为 __ _____________，曲面名称为___________________. 2)将xOy 坐标面上的x y x 222=+绕x 轴旋转一周，生成的曲面方程 _____________，曲面名称为___________________. 3)将xOy 坐标面上的369422=-y x 绕x 轴及y 轴旋转一周，生成的曲面方 程为_____________，曲面名称为_____________________. 4）在平面解析几何中2 x y =表示____________图形。在空间解析几何中 2x y =表示______________图形. 5）画出下列方程所表示的曲面 (1))(42 2 2 y x z += (2))(42 2 y x z += 四、
空间解析几何试卷 一、填空题（本大题共计30分，每空3分。请把正确答案填在横线上） 1. 设向量{}{}1,1,2,0,1,1=--=→→b a ，则→→b a 在上的射影是_____________,→ a 是_______________. 2. 设向量{}3,5,4-=→a ,向量225共线，反向且模为与→→a b ,那么向量→ b 的坐标是 ________________. 3. 已知向量{}{}3,2,,1,1,1x b a ==→→, 如果→ →b a ,垂直, 那么x =_________. 4. 已知向量{}{},0,3,2,1,0,1=-=→→b a {}2,1,0=→c ，则由这3个向量张成的平行六面体的体积是_________. 5. 直线z y x -=-+=-3212与直线2 112-+=-=z y x 间的距离是_____________. 6. 若直线1 23z y a x ==- 与平面x-2y+bz=0平行，则a,b 的值分别是______________. 7. 经过直线???=-+-=-+0 201z y x y x 且与直线z y x 2==平行的平面的方程是_________________. 8. 空间曲线? ??+==-+1022x z z y x 在y x 0坐标面上的射影曲线和射影柱面的
方程分别是_____________________________. 9. 顶点在原点、准线为抛物线???==1 22z x y 的锥面方程是 ________________(请用x y x ,,的一个方程表示). 10.曲线?????==-0 19422y z x 绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__________________,此曲面表示______________曲面. 二、单项选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分） 1. 若=?-+=+-=→ →→→→→→→→→b a k j i b k j i a 则,23,532( ) A. 7 B. -7 C. -1 D. 0 2. 已知→→b a ,不共线, 与→→b a ,同时垂直的单位向量是( ) A. →→?b a B. →→?a b C. ||→→→ →??±b a b a D. ||→→→→??b a b a 3. 在空间右手直角坐标系下，点P(-1,2,-3)在第( )卦限. A. II B. III C. V D. VI 4. 若两个非零向量→→b a ,满足|→→+b a |=|→→-b a |，则一定有( ) A. →→⊥b a B. →→b a // C. →→b a 与同向 D. → →b a 与反向 5. 点M(1,-3,-2)关于y 轴的对称点N 的坐标是( )
第六章 要求与练习 一、学习要求 1、理解空间直角坐标系，理解向量的概念及其表示. 2、掌握向量的运算（线性运算、数量积、向量积），两个向量垂直、平行的条件.掌握单位向量、方向数与方向余弦、向量的坐标表达式，以及用坐标表达式进行向量运算的方法. 3、掌握平面方程和直线方程及其求法，会利用平面、直线的相互关系（平行、垂直、相交等）解决有关问题. 7、了解空间曲线在坐标平面上的投影，会求其方程. 二、练习 1、一向量起点为A （2，－2，5），终点为B （－1，6，7），求 （1）AB 分别在x 轴、y 轴上的投影，以及在z 轴上的分向量； （2）AB 的模；（3）AB 的方向余弦；（4）AB 方向上的单位向量. 解：（1）()3,8,2AB =-，AB 分别在x 轴的投影为-3，在y 轴上的投影为8，在z 轴上的 分向量2k ；（2）AB = ；（3）AB ； （4）AB 382) i j k -++. 2、设向量a 和b 夹角为60o ，且||5a =，||8b =，求||a b +，||a b -. 解：()2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b += +=++= ( ) 2 220||||||2||||cos60a b a b a b a b -= -=+-=7. 3、已知向量{2,2,1}a =，{8,4,1}b =-，求 （1）平行于向量a 的单位向量； （2）向量b 的方向余弦. 解（1）2223a = +=平行于向量a 的单位向量221 {,,}333±； （2）2849b =+=，向量b 的方向余弦为：841,,999 -. 4、一向量的终点为B （2，－1，7），该向量在三个坐标轴上的投影依次为4、－4和7.求该向量的起点A 的坐标. 解：AB =(4，-4，7)=(2，-1，7)-(x ，y ，z),所以(x ，y ，z)=（－2，3，0）； 5、已知{2,2,1}a =-，{3,2,2}b =，求 （1）垂直于a 和b 的单位向量； （2）向量a 在b 上的投影；
第八章 空间解析几何与向量代数 §8.1向量及其线性运算 1.填空题 （1）点)1,1,1(关于xoy 面对称的点为（)1,1,1(-），关于yoz 面对称的点为（)1,1,1(-），关于xoz 面对称的点为（)1,1,1(-）. （2）点)2,1,2(-关于x 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于y 轴对称的点为（)2,1,2(---），关于z 轴对称的点为（)2,1,2(-），关于坐标原点对称的点为（)2,1,2(--）. 2. 已知两点)1,1,1(1M 和)1,2,2(2M ，计算向量21M M 的模、方向余弦和方向角. 解：因为)0,1,1(21=M M ，故2||21= M M ，方向余弦为2 2 cos = α，22cos = β，0cos =γ，方向角为4πα=，4π β=， 2 πγ=. 3. 在yoz 平面上，求与)1,1,1(A 、)2,1,2(B 、)3,3,3(C 等距离的点. 解：设该点为),,0(z y ，则 222222)3()3(9)2()1(4)1()1(1-+-+=-+-+=-+-+z y z y z y ， 即?????-+-+=-+-+-+=-+2 2222 2) 3()3(9)2()1(4)2(4)1(1z y z y z z ，解得???==33y z ，则该点 为)3,3,0(. 4. 求平行于向量k j i a 432-+=的单位向量的分解式. 解：所求的向量有两个，一个与a 同向，一个与a 反向. 因为 29)4(32||222=-++=a ，所以)432(29 1k j i e a -+± =. 5.设k j i m 22-+=，k j i n ++=2，求向量n m a +=4在各坐标轴上的投影及分向量. 解：因为k j i k j i k j i n m a 796)2()22(44-+=+++-+=+=， 所以在x 轴上的投影为6=x a ，分向量为i i a x 6=，y 轴上的投影为 9=y a ，分向量为j j a y 9=，z 轴上的投影为7-=z a ，分向量为 k k a z 7-=. 6. 在yOz 平面上，求与)1,2,1(A 、)0,1,2(B 和)1,1,1(-C 等距离的点.
第八章 空间解析几何与向量代数答案 一、选择题 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 的模是（A ） A 5 B 3 C 6 D 9 2. 设a =（1,-1,3）, b =（2,-1,2），求c =3a -2b 是（ B ） A （-1,1,5）. B （-1,-1,5）. C （1,-1,5）. D （-1,-1,6）. 3. 设a =（1,-1,3）, b =（2, 1,-2），求用标准基i , j , k 表示向量c=a-b 为（A ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D -2i -j +5k 4. 求两平面032=--+z y x 和052=+++z y x 的夹角是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是（ C ） A 2π B 4π C 3 π D π 6. 求点)10,1,2(-M 到直线L ：12 213+= -=z y x 的距离是：（ A ） A 138 B 118 C 158 D 1 7. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ?是：（ D ） A -i -2j +5k B -i -j +3k C -i -j +5k D 3i -3j +3k 8. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ A ） A 2 B 364 C 3 2 D 3 9. 求平行于z 轴，且过点)1,0,1(1M 和)1,1,2(2-M 的平面方程是：（ D ） A 2x+3y=5=0 B x-y+1=0 C x+y+1=0 D 01=-+y x ． 10、若非零向量a,b 满足关系式-=+a b a b ，则必有（ C ）； A -+a b =a b ； B =a b ； C 0?a b =； D ?a b =0． 11、设,a b 为非零向量，且a b ⊥, 则必有（ C ） A a b a b +=+ B a b a b -=-
习题一 空间解析几何 一、填空题 1、过两点(3,-2)和点(-1,0)的直线的参数方程为 。 2、直线2100x y --=方向向量为 。 3、直角坐标系XY 下点在极坐标系中表示为 。 4、平行与()6,3,6a =-的单位向量为 。 5、过点(3,-2,1)和点(-1,0,2)的直线方程为 。 6、过点(2,3)与直线2100x y +-=垂直的直线方程为 。 7、向量(3,-2)和向量(1,-5)的夹角为 。 8、直角坐标系XY 下区域01y x ≤≤≤≤在极坐标系中表示为 。 9、设 (1,2,3),(5,2,1)=-=-a b , 则(3)?a b = 。 10、点(1,2,1)到平面2100x y z -+-=的距离为 。 二、解答题 1、求过点(3,1,1)且与平面375120x y z -+-=平行的平面方程。 2、求过点(4,2,3) 且平行与直线 31215 x y z --==的直线方程。 3、求过点(2,0,-3) 且与直线247035210x y z x y z -+-=??+-+=? 垂直的平面方程。 4、一动点与两定点(2,3,2)和(4,5,6)等距离, 求这动点的方程。
5、求222,01z x y z =+≤≤在XOZ 平面上的投影域。 6、求222 19416 x y z ++=在XOY 平面上的投影域。 7、求2z z =≤≤在XOZ 平面上的投影域。 8、求曲线222251x y z x z ?++=?+=? 在XOY 平面上的投影曲线。 9、求曲线 22249361x y z x z ?++=?-=? 在XOY 平面上的投影曲线。 10、求由曲面22z x y =+与曲面2222x y z ++=所围成的区域在柱面坐标系下的表示。
第七章 向量代数与空间解析几何 （一） 空间直角坐标系、向量及其线性运算 一、判断题 1． 点（-1，-2，-3）是在第八卦限。 （ ） 2． 任何向量都有确定的方向。 （ ） 3． 任二向量, =.则a =b 同向。 ( ) 4． 若二向量, + ,则,同向。 （ ） 5． 若+=+,则= ( ) 6． 向量b a , b a ,同向。 （ ） 7．若={ z y x a a a ,,}，则平行于向量的单位向量为| |a a x a | |a z }。（ ） 8．若一向量在另一向量上的投影为零，则此二向量共线。 ( ） 二、填空题 1． 点（2，1，-3）关于坐标原点对称的点是 2． 点（4，3，-5）在 坐标面上的投影点是M （0，3，-5） 3． 点（5，-3，2）关于 的对称点是M （5，-3，-2）。 4． 设向量a 与b 有共同的始点，则与,共面且平分a 与b 的夹角的向量为 5． 已知向量与方向相反，且||2||a b =，则由表示为= 。 6． ，与轴l 的夹角为 6 π，则a l prj = 7． 已知平行四边形ABCD 的两个顶点A （2，-3，-5）、B （-1，3，2）。 以及它的对角线 交点E （4，-1，7），则顶点C 的坐标为 ，则顶点D 的坐标为 。 8． 设向量与坐标轴正向的夹角为α、β、γ，且已知α =ο 60，β=ο 120。则γ= 9． 设a 的方向角为α、β、γ，满足cos α=1时，a 垂直于 坐标面。 三、选择题
1．点（4，-3，5）到oy 轴的距离为 （A ）2225)3(4+-+ （B ） 225)3(+- （C ）22)3(4-+ （D ）2254+ 2 ． 已 知 梯 形 OABC 、 2 12 1 -21--2121-, ⊥ b + + - + < - +>-yoz 2AOB ∠42222)(b a b a ?=?a ?b a ???2 a b ??a ??b ωc a ρρ?0??≠a c b ??=b a ??=b a ?? ?22 2b b a a +?+??a b b a ???ρ?=?c b a ???、、a c b c b a ???????=?=,c b a ???、、b a ??,111,,γβα2 22,,γβαb a ∧ (2 12121cos cos cos cos cos cos γγββαα++) (b a ?∧3 π,8,5==b a ??b a ??-24,19,13=+==b a b a ??ρ?a b -v v 32)(π=∧b ?2 ,1==b a ??a b ?v v 72,26,3=?==b a b a ????b a ???}1,2,2{},4,3,4{=-=b a ??a }4,6,4{},2,3,2{--=-=b a ?? )(b ?∧b a ??,λb a P ???5+=λb a Q ???-=3MNP ∠π 4 3π2π 4π2a =0=?b a ??0??=a 0??=b c a b a c b a ???????-=-)(0??≠a c a b a ????=c b ??=}. 4,4,1{},2,3,{-==b x a ?? b a ??//}1,3,1{1},1,1,2{-=-= b a ?? b a ??、}2,1,2{}3,2,1{}1,3,2{=-=-=c b a ? ??、、d ?b a ??,. 14d c ?? ，求向量上的投影是312123 a a a b b b == 2222222 123123112233()()()a a a b b b a b a b a b ++++=++?..a C B c A B ????= =c a c a S ABD ρ?????= ?l l πππ⊥πππθ2 π πππ5πd 2 2212C B A D D ++-5 1 232-==-z y x { 7 421 253=+--=-+z y x z y x 1 3241z y x =+=-300 { x y z x y z ++=--={ 1240 322=+--=+-+z y x z y x 2 33211+=+=-z y x 1 0101z y x =-=+{ 0440 4=--=--y x z x ?? ? ??==+=4321z t y t x { 7 27 2=-+=++-z y x z y x
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 、计算题与证明题 1．已知 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0． 计算 a b b c c a ． 解：因为 |a| 1, |b| 4, |c| 5, 并且 a b c 0 所以 a 与 b 同向，且 a b 与 c 反向 因此 a b 0 ， b c 0 ， c a 0 所以 a b b c c a 0 2．已知 |a b| 3, |a b| 4, 求 |a| |b|． 解： |a b| a b cos 3 （1） |a b| a bsin 4 （ 2） （1）2 2 2 得 a b 2 25 所以 a b 5 4．已知向量 x 与 a （,1,5, 2） 共线 , 且满足 a x 3, 求向量 x 的坐标． 解：设 x 的坐标为 x,y,z ，又 a 1,5, 2 则 a x x 5y 2z 3 又 x 与 a 共线，则 x a 0 ij xy 15 2y 5zi z 2x j 5x y k 0 所以 2y 5z 2 z 2x 2 5x y 2 0 即 29x 2 5y 2 26z 2 20yz 4xz 10xy 0 （2） 又 x 与 a 共线， x 与 a 夹角为 0或 22 yz cos0 1 xa x 2 y 2 z 2 12 52 2 2 1) xy 15 整理得
WORD 格式整理 . 2 30 x 3 3) 10 联立 1、2 、3 解出向量 x 的坐标为 1 ,1, 1 10,2, 5
6．已知点 A(3,8,7) , B( 1,2, 3) 求线段 AB 的中垂面的方程． 解：因为 A 3,8,7 ,B( 1,2, 3) AB 中垂面上的点到 A 、B 的距离相等，设动点坐标为 M x,y,z ，则由 MA MB 得 x 3 2 y 8 2 z 7 2 x 1 2 y 2 2 z 3 2 化简得 2x 3y 5z 27 0 这就是线段 AB 的中垂面的方程。 7． 向量 a , b , c 具有 相 同的 模 , 且两 两 所成 的角 相 等 , 若 a , b 的 坐 标分 别 为 (1,1,0)和(0,1,1), 求向量 c 的坐标． 解： abc r 且它们两两所成的角相等，设为 则有 a b 1 0 1 1 0 1 1 则 cos 设向量 c 的坐标为 x, y,z c x 2 y 2 z 2 r 12 12 02 2 所以 x 2 y 2 z 2 2 3 8．已知点 A(3,6,1) , B(2, 4,1) , C(0, 2,3), D( 2,0, 3)， (1) 求以 AB , AC , AD 为邻边组成的平行六面体的体积． (2) 求三棱锥 A BCD 的体积． x1 联立( 1)、(2)、(3)求出 y 0 或 z1 则 a c 1 x 1 y 0 z x y a bcos r r 12 1 r b c 0 x 1 y 1 z y z b c cos r 1 r 2 r 1) 2) 所以向量 c 的坐标为 1,0,1 或 1 4 1 ,, 3,3, 3 3)
军教院 第八章空间解析几何测试题 一、填空题（共7题，2分/空，共20分） 1.四点(0,0,0)O ,(1,0,0)A ,(0,1,1)B ,(0,0,1)C 组成的四面体的体积是______. 2.已知向量(1,1,1)a → =,)3,2,1(=→b ,(0,0,1)c →=,则→ →→??c b a )(=__(-2,-1,0)____. 3.点)1,0,1(到直线???=-=03z x y x 的距离是___66 ___________. 4.点)2,0,1(到平面321x y z ++=的距离是__ 3 147 ___________. 5.曲线C:220 1 x y z z x ?+-=?=+?对xoy 坐标面的射影柱面是___2210x x y -+-=____, 对yoz 坐标面的射影柱面是__22(1)0z y z -+-=_________,对xoz 坐标面的射影柱面是____10z x --=__________. 6.曲线C:220 x y z ?=?=?绕x 轴旋转后产生的曲面方程是__4224()x y z =+_____，曲线 C 绕y 轴旋转后产生的曲面方程是___222x z y +=_______________. 7.椭球面125 492 22=++z y x 的体积是_________________. 二、计算题（共4题,第1题10分,第2题15分,第3题20分, 第4题10分,共55分） 1. 过点(,,)P a b c 作3个坐标平面的射影点,求过这3个射影点的平面方程.这里 ,,a b c 是3个非零实数. 解: 设点(,,)P a b c 在平面0z =上的射影点为1(,,0)M a b ，在平面0x =上的射影 点为2(0,,)M a b ，在平面0y =上的射影点为3(,0,)M a c ，则12(,0,)M M a c =-u u u u u u r ，13(0,,)M M b c =-u u u u u u r
一、计算题与证明题 1.已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a . 计算a c c b b a ?+?+?. 解:因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向,且b a +与c 反向 因此0=?b a ,0=?c b ,0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a 2.已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?. 解:3cos ||=?=?θb a b a (1) 4sin ||=?=?θb a b a (2) ()222)1(+得()252 =?b a 所以 5=?b a 4.已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a ρ ρ, 求向量x 的坐标. 解:设x 的坐标为()z y x ,,,又()2,5,1-=a 则325=-+=?z y x x a (1) 又x 与a 共线,则0=?a x 即 ()()()0 52525121252 51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k y x j y x i z y z y x k j i 所以()()()052522 22=-+++--y x x z z y 即01042026529222=-++++xy xz yz z y x (2) 又x 与a 共线,x 与a 夹角为0或π ()30325110cos 22222 2222?++=-++?++?==z y x z y x a x 整理得 10 3222=++z y x (3) 联立()()()321、、 解出向量x 的坐标为??? ??-51,21,101
第七章 空间解析几何 一、选择题 1. 在空间直角坐标系中，点（1，－2，3）在[ D ] A. 第一卦限 B. 第二卦限 C. 第三卦限 D. 第四卦限 2.方程2222=+y x 在空间解析几何中表示的图形为[ C ] A. 椭圆 B. 圆 C. 椭圆柱面 D. 圆柱面 3.直线3 1 2141: 1+= +=-z y x l 与?? ?=-++=-+-0 20 1:2z y x y x l ，的夹角是 [ C ] A. 4 π B. 3π C. 2 π D. 0 4. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于xoy 平面的对称点是[ D ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 5.将xoz 坐标面上的抛物线x z 42=绕z 轴旋转一周，所得旋转曲面方程是[B ] A. )(42y x z += B. 2224y x z +±=
C. x z y 422=+ D. x z y 422±=+ 6.平面2x-2y+z+6=0与xoy 平面夹角的余弦是[B ] A. 13 - B. 13 C. 23 - D. 23 7. 在空间直角坐标系中，点（1，2,3）关于yoz 平面的对称点是[ A ] A. (-1,2,3) B. (1,-2,3) C. (-1,-2,3) D. (1,2,-3) 8.方程22 222x y z a b +=表示的是 [ B ] A.椭圆抛物面 B.椭圆锥面 C. 椭球面 D. 球面 9. 已知a ={0, 3, 4}, b ={2, 1, -2},则=b proj a [ C ] A. 3 B.3 1- C. -1 10．已知,a b 为不共线向量，则以下各式成立的是 D A. 222()a b a b =? B. 222()a b a b ?=? C. 22()()a b a b ?=? D. 2222()()a b a b a b ?+?= 11．直线1l 的方程为0 3130290 x y z x y z ++=?? --=?，直线2l 的方程为
题型 1.向量的线性运算（三角形法则、平行四边形法则）；向量的坐标运算 2.向量的平行、垂直以及它们之间的夹角、向量的投影 3.向量的数量积（点积）；向量的向量积（叉积）4．直线方程、平面方程 5.曲线方程、曲面方程 内容 一．向量的概念及其运算 1.向量的概念 6.数乘向量 2.向量的模7.向量的数量积 3.单位向量8.向量的向量积 4.方向角9.向量的混合积 5.向量的加减运算10.向量之间的关系 二．平面与直线 1.平面方程 2.直线方程 3.平面束 4.两平面的位置关系
5.平面与直线的位置关系 6.两直线的位置关系 7.点到平面的距离 三．曲面方程 1.球面方程 2.柱面方程 3.旋转方程 4.锥面 5.其他二次曲面 四．空间曲线方程 1.空间曲线的一般方程（面交式） 2.空间曲线的参数方程 3.空间曲线在平面上的投影方程 典型例题向量I 向量的概念与运算 向量II 平面与直线方程 向量III 曲面与空间曲线方程 自测题七综合题与方法相结合
4月6日向量练习题 基础题： 1. 已知A (1,0,2), B (1,2,1)是空间两点，向量 AB 的模是：（ ） A ）5 B ） 3 C ） 6 D ）9 2. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求c =3a -2b 是：（ ） A ）{-1,1,5}. B ） {-1,-1,5}. C ） {1,-1,5}. D ）{-1,-1,6}. 3. 设a ={1,-1,3}, b ={2,-1,2}，求用标准基i , j , k 表示向量c ; A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）-2i -j +5k 4. 一质点在力F =3i +4j +5k 的作用下，从点A （1,2,0）移动到点B (3, 2,-1)，求力F 所作的功是：（ ） A ）5焦耳 B ）10焦耳 C ）3焦耳 D ）9焦耳 5. 已知空间三点M (1,1,1)、A (2,2,1)和B （2，1，2），求∠AMB 是：（ ） A ） 2π B ）4π C ）3 π D ）π 6. 设,23,a i k b i j k =-=++求a b ?是：（ ） A ）-i -2j +5k B ）-i -j +3k C ）-i -j +5k D ）3i -3j +3k 7. 设⊿ABC 的顶点为(3,0,2),(5,3,1),(0,1,3)A B C -，求三角形的面积是：（ ） A ）362 B ）3 64 C ）32 D ）3 8.点P(-3,2,-1)关于平面XOY 的对称点是_______，关于平面YOZ 的对称点是_________，关于平面ZOX 的对称点是__________，关于X 轴的对称点是__________，关于Y 轴的对称点是____________，关于Z 轴的对称点是____________。 9.设)4,1,2(),2,5,3(=-=b a ，问μλ与满足_________时，轴z b a ⊥+μλ 10. 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 11.设向量的模是4，它与轴的夹角是3 π，则它在轴上的投影为_________。 12.已知A(4，0，5)，B （7，1，3），则=→-0AB ____ _____。 13.已知5,3==b a ，问________=λ时，b a λ+与b a λ-相互垂直。 14.已知7,3,2=-==b a b a ，则.________ ),(=∧b a 15．已知a 与b 垂直，且,12,5==b a 则._____________,=-=+b a b a 16．向量c b a ,,两两垂直，且3,2,1===c b a ，则c b a s ++=的长度为______.
空间解析几何与矢量代数小练习 一填空题 5 ’x9=45 分 1、平行于向量a(6,7, 6) 的单位向量为______________. 2、设已知两点M1( 4, 2 ,1)和 M 2 (3,0,2) ，计算向量M1M2的模_________________，方向余弦 _________________和方向角 _________________ 3、以点 (1,3,-2) 为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 4、方程x2 y 2 z 2 2x 4 y 2z 0 表示______________曲面. 5、方程x2 y2 z 表示______________曲面. 6、x2 y2 z2 表示 ______________曲面 . 7、在空间解析几何中y x2 表示 ______________图形 . 二计算题11 ’x5=55 分 1、求过点 (3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 2、求平行于x 轴且过两点 (4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 3、求过点 (1,2,3) 且平行于直线x y 3 z 1 的直线方程 . 2 1 5 4、求过点 (2,0,-3) x 2 y 4z 7 0 且与直线 5 y 2z 1 垂直的平面方3x 0 5、已知：OA i 3k ，OB j 3k ，求OAB 的面积。 1
参考答案 一 填空题 1、 6 , 7 , 6 11 11 11 2、 M 1 M 2 =2, cos 1 ,cos 2 ,cos 1 , 2 , 3 , 2 2 2 3 4 3 3、 ( x 1) 2 ( y 3) 2 ( z 2) 2 14 4、以 (1,-2,-1) 为球心 , 半径为 6 的球面 5、旋转抛物面 6、 圆锥面 7、 抛物柱面 二 计算题 1、 3x 7y 5 z 4 0 2 、 9 y z 2 0 3、 x 1 y 2 z 3 4 、 16x 14y 11z 65 0 2 1 5 5 S 1 OA OB 19 2 2 2
空间解析几何与矢量代数小练习 一 填空题 5’x9=45分 1、 平行于向量)6,7,6(-=a 的单位向量为______________. 2、 设已知两点)2,0,3()1,2,4(21M M 和，计算向量21M M 的模_________________， 方向余弦_________________和方向角_________________ 3、以点(1,3,-2)为球心，且通过坐标原点的球面方程为__________________. 4、方程0242222=++-++z y x z y x 表示______________曲面. 5、方程22x y z +=表示______________曲面. 6、222x y z +=表示______________曲面. 7、 在空间解析几何中2x y =表示______________图形. 二 计算题 11’x5=55分 1、求过点(3,0,-1)且与平面3x-7y+5z-12=0平行的平面方程. 2、求平行于x 轴且过两点(4,0,-2)和(5,1,7)的平面方程. 3、求过点(1,2,3)且平行于直线51 132-=-=z y x 的直线方程. 4、求过点(2,0,-3)且与直线???=+-+=-+-012530 742z y x z y x 垂直的平面方 5、已知：k i 3+=，k j 3+=，求OAB ?的面积。
参考答案 一 填空题 1、?????? -±116,117,116 2、21M M =2,21cos ,22 cos ,21 cos ==-=γβα,3 ,43,32π γπ βπ α=== 3、14)2()3()1(222=++-+-z y x 4、以(1,-2,-1)为球心,半径为6的球面 5、旋转抛物面 6、 圆锥面 7、 抛物柱面 二 计算题 1、04573=-+-z y x 2、029=--z y 3、53 1221-=-=-z y x 4、065111416=---z y x 5 219 ==?S
第4章 向量代数与空间解析几何习题解答 习题4.1 一、计算题与证明题 1．已知1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a ． 计算a c c b b a ?+?+?． 解：因为1||=a , 4||=b , 5||=c , 并且0=++c b a 所以a 与b 同向，且b a +与c 反向 因此0=?b a ，0=?c b ，0=?a c 所以0=?+?+?a c c b b a 2．已知3||=?b a , 4||=?b a , 求||||b a ?． 解：3cos ||=?=?θb a b a （1） 4sin ||=?=?θb a b a （2） ()2 22)1(+得()252 =?b a 所以 5=?b a 3．设力k j i F 532++-=作用在点)1,6,3(A , 求力F 对点)2,7,1(,-B 的力矩的大小． 解：因为()1,6,3A ,()2,7,1-B 所以()31,2--= 力矩()()k j i k j i F AB M 53232++-?-+-=?= k j i k j i k j i 41614321 2523253315 32312-+=--+-----=---= 所以，力矩的大小为 ()136416142 22=-++=M 4．已知向量x 与)2,5,1(,-a 共线, 且满足3=?x a , 求向量x 的坐标． 解：设x 的坐标为()z y x ,,，又()2,5,1-=a 则325=-+=?z y x x a （1）
又x 与a 共线，则0=?a x 即 ()()()0 52525121252 51=-+++--=+---=-k y x j x z i z y k y x j y x i z y z y x k j i 所以 ()()()052522 22=-+++--y x x z z y 即010********* 2 2 =-++++xy xz yz z y x （2） 又x 与a 共线，x 与a 夹角为0或π () 30 3 25110cos 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ?++= -++?++?= =z y x z y x a x 整理得 10 3 2 2 2 = ++z y x （3） 联立()()()321、、 解出向量x 的坐标为?? ? ??-51,21,101 5．用向量方法证明, 若一个四边形的对角线互相平 分, 则该四边形为平行四边形． 证明：如图所示，因为平行四边形ABCD 的对角线 互相平分，则有 MA CN ND BM ==, 由矢量合成的三角形法则有MA BM BA += MA BM BM MA MD CM CD +=+=+= 所以CD BA = 即BA 平行且等于CD 四边形ABCD 是平行四边形 6．已知点)7,8,3(A , )3,2,1(--B 求线段AB 的中垂面的方程． 解：因为()7,8,3A ,)3,2,1(--B AB 中垂面上的点到B A 、的距离相等，设动点坐标为()z y x M ,,，则由MB MA =得 ()()()()()()2 222 22321783++-++= -+-+-z y x z y x
向量代数与空间解析几何 第一部分 向量代数___线性运算 [内容要点]: 1. 向量的概念. 2. 向量的线性运算. 3. 向量的坐标，利用坐标作向量的线性运算. [本部分习题] 1. 指出下列各点所在的坐标轴、坐标面或哪个卦限. (2,3,5);(0,4,3);(0,3,0)A B C --- 2. 求点(1,3,2)--关于点(1,2,1)-的对称点坐标. 3. 求点(4,3,5)M --到各坐标轴的距离. 4. 一向量的起点为(1,4,2)A -,终点为(1,5,0)B -,求AB →在x 轴、y 轴、z 轴上的投影,并求||AB →。 5. 已知两点1M 和2(3,0,2)M ,计算向量12M M ??→的模、方向余弦和方向角. 6． 已知{3,5,4},{6,1,2},{0,3,4},a b c →→→==-=--求234a b c →→→ -+及其单位向量. 7．设358,247,54,a i j k b i j k c i j k →→→→→→→→→→→→=++=--=--求向量43l a b c →→→→=+-在x 轴上的投影以及在y 轴上的分向量. 第二部分 向量代数___向量的“积” [内容要点]: 1.向量的数量积、向量积的概念、坐标表示式及其运算
规律。 2.向量的混合积的概念、坐标表示式及其几何意义。 3.向量垂直、平行、共面的条件. [本部分习题] 1． 设{3,1,2},{1,2,1},a b →→=--=-求： （1）;(2);(3)cos(,);(4)Pr ;(5)Pr .a b a b a b a b j b j a →→→→→→→→ ?? 2． 设{2,3,1},{1,1,3},{1,2,0},a b c →→→=-=-=-求： (1)();(2)();(3)(a b c a b c a b c →→→→→→→→→?????? 3． 112233a b a b a b ++ 其中,(1,2,3)i i a b i =均为实数，并指出等号成立的条件. 4．设{3,5,2},{2,1,9},a b →→=-=试求λ的值,使得: （1）a b λ→→+与z 轴垂直； （2）a b λ→→+与a →垂直，并证明此时||a b λ→→ +取最大值。 5．已知||3,||36,||72,a b a b →→→→==?=求a b →→?。 6． 判断向量,,a b c →→→是否共面。 (1){3,2,5},{1,1,2},{9,7,16};a b c →→→ ===- (2){1,2,3},{3,3,1},{1,7,5};a b c →→→=-==- (3){1,1,2},{2,4,5},{3,9,8};a b c →→→=-== 第三部分 空间解析几何 [内容要点]: