高等数学上31中值定理

（2）记 f ( x) e x2 x , x 0,2 , 则 f ( x) e x2 x 2x 1 ,
令 f ( x) 0, 得唯一驻点 x 1 ,
2
又
f
(
1
)
e
1 4
,
f (0) 1, f (2) e 2 ,
2
1
所以 m e 4 , M e 2
1
e 4 2 0
y gx
推论1 若 f x gx, x a, b,
y
则
b
a
f xdx
b
a
g
x
dx
a b.
推论 2
b
a
f
xdx
b
a
f xdx
(a b).
性质6 (估值不等式)
y f x
O xa
xbx
设 M max f x, m min f x, 则
x[ a ,b ]
x[ a ,b ]
mb
a
b
a
f
xdx
加性
c
b
c
a f ( x)dx a f ( x)dx b f ( x)dx
b
a
f ( x)dx
c
a
c
f ( x)dx b
f ( x)dx
c
a
b
f ( x)dx c
f ( x)dx
1
性质4
b
b
1dx dx b a
a
a
性质5
若 f x 0, x a,b,
则
b
a
f
xdx
0
a b.
M b
a
a b.
如

F ( x )＝3 x 2 f ( x ) x 3 f ( x ) ，可以用罗尔定理证明. 提问 2：设 f ( x ) C [1, 2] , f ( x ) D (1, 2) ,且 f (2) 8 f (1) ， (1, 2) , s .t . 3 f ( ) f ( ) 0 . 3 提示：构造函数 F ( x ) x f ( x ) ， F ( x )＝-3 x 2 f ( x ) x 3 f ( x ) ，
f ( x ) f ( x0 ) [或 f ( x ) f ( x0 ) ], x U ( x0 ) ， O x 若 f ( x ) D ( x0 ) ，则 f ( x0 ) 0 . 证明：由于 f ( x ) f ( x0 ) f ( x ) f ( x0 ) 0 , x U ( x0 ) ，那么 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 ,(因 x x0 0 ) x x0 x x0 f ( x ) f ( x0 ) f ( x0 ) lim 0 ,(因 x x0 0 ) , x x0 x x0 所以 f ( x0 ) 0 . 2.【罗尔 Rolle 定理】 y C 设 f ( x ) C [a , b ] , y f (x) f ( x ) D( a , b ) ,且 A B f (a ) f (b) ，
2
在区间 [ 1, 3] 上罗尔定理成立. 提示： f ( x ) x 2 x 3 ( x 3)( x 1) C [ 1, 3]
2
f ( x ) 2 x 2 D( 1, 3) ， f ( 1) f (3) 0 满足罗尔定理的条件， 所以 1 ( 1, 3) ，使得 f (1) 0 例 2 不用求出 f ( x ) ( x 1)( x 2)( x 3) 的导数,试判 别方程 f ( x ) 0 有几个实根.以及根所在的范围. 解： 显然 f ( x) 在区间 [1, 2] , [2, 3] 上都连续, f ( x ) 在区间 (1, 2) , (2, 3) 内都可导,且 f (1) f (2) f (3) ,

6 6
（函数
即
6
,
y
5
6
ln sin x
是 y
是初等函数， 且当
x
6
ln sin x 定义域内的一部分；
,
5
6
时，cossixn
y'
sin x
x
0,
cot x.)
且ln s in
lnsin 5
ln 1 .
6
62
令 y' cos x cot x 0, sin x
得 x , 5 .
F(b) F(a)
( x) 满足罗尔定理的全部条件，且：
'(x) f '(x) f (b) f (a) F '(x)
F(b) F(a)
Y F , f Fb, f b
C•
•B
由罗尔定理，至少存在一点 ∈（a，b） ，
即：
使
f
'( )
'( ) 0,
f (b) f (a) F '( ) 0
即 1、 2、 3都是方程 f 'x 0 的根。 注意到 f ' x 0 为三次方程， 它最多有三个根。
我们已经找到它的三个实根
1、 2、 3 ,
所以这三个根就是方程
f 'x 0 的全部根。
14
例3 证明当x 0时， x ln1 x x
1 x
证 设f x ln1 x, 显然，函数 f x 在 0, x 上满足
f (b) f (a)
O a
bx
结论等价于： f f b f a
ba
或： f f b f a 0
ba
AB的方程为：

令y f g 取对数
0型
f g f 1g
导数的应用
单调性,极值与最值, 凹凸性,拐点,函数 图形的描绘; 曲率;求根方法.
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第三章 中值定理与导数的应用
1. 中值定理 2. 常用麦克劳林公式 3. 洛必达法则 4. 函数的单调性、凹凸性、极值与拐点 5. 函数图形性质的讨论 6. 判定极值的充分条件 7. 最值问题 8. 典型例题
单调性定理 设函数y f ( x)在[a, b]上连续，在(a, b)内可导，那么
(1) 如果在(a, b)内f ( x) 0，则函数y f ( x)在[a, b]上单调增加 (2) 如果在(a, b)内f ( x) 0，则函数y f ( x)在[a, b]上单调减少
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o( x 2n2 )
k0
(2k 1)!
cos x
n
( 1) k
x 2k
o( x 2n1 )
k0
(2k )!
ln(1 x) n (1)k1 x k o( x n )
k 1
k
1
n
x k o( x n )
1 x k0
(1
x)
n k0
k
x
k
o( x n )
k
(
1)(
k!
n
1)
(2)
如
果f
(
x0
)
0，
则f
(
x
)在x
取
0
极
大
值
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7. 最值问题
求最值的步骤：
1. 建立目标函数 2. 求最值可疑点：驻点、不可导点、边界点 3. 确定最值点：