高等数学中值定理的题型与解题方法
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高等数学中值定理的题型与解题方法高数中值定理包含：1.罗尔中值定理(rolle); 2.拉格朗日中值定理(lagrange); 3.柯西中值定理(cauchy); 还有经常用到的泰勒展开式(taylor), 其中(,)a b ξ∈，一定是开区间.全国考研的学生都害怕中值定理，看到题目的求解过程看得懂，但是自己不会做，这里往往是在构造函数不会处理，这里给总结一下中值定理所涵盖的题型，保证拿到题目就会做。
题型一：证明：()0n f ξ=基本思路，首先考虑的就是罗尔定理(rolle)，还要考虑极值的问题。
例1. ()[,]f x C a b ∈在(,)a b 可导，()()0f a f b >>，()()02a bf a f +<， 证明：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=.分析：由()()0f a f b >>，()()02a bf a f +<，容易想到零点定理。
证明：()()02a b f a f +<，∴存在1(,)2a bx a +∈，使得1()0f x =，又()()0f a f b >>，∴(),()f a f b 同号，∴()()02a bf b f +<，∴存在2(,)2a bx b +∈，使得2()0f x =，∴12()()0f x f x ==，所以根据罗尔中值定理：存在(,)a b ξ∈，使得'()0f ξ=.例2. ()[0,3]f x C ∈在(0,3)内可导，(0)(1)(2)3f f f ++=，(3)1f =， 证明：存在(0,3)ξ∈，使得'()0f ξ= 证明：（1）()[0,3]f x C ∈，∴()f x 在[0,3]使得上有最大值和最小值,M m ，∴根据介值性定理(0)(1)(2)3f f f m M ++≤≤，即1m M ≤≤∴存在[0,3]c ∈，使得()1f c =，（2）()(3)1f c f ==，所以根据罗尔中值定理：存在(,3)(0,3)c ξ∈⊂，使得'()0f ξ=.例3. ()f x 在(0,3)三阶可导，[0,1]x ∈，(1)0f =，3()()F x x f x =证明：存在(0,1)ξ∈，使得'''()0F ξ= 证明：（1）(0)(1)0F F ==，∴存在1(0,1)ξ∈，使得1'()0F ξ=，（2）23'()3()'()F x x f x x f x =+，所以1'(0)'()0F F ξ==，∴存在21(0,)ξξ∈，使得2''()0F ξ=，（3）223''()6()3'()3'()''()F x xf x x f x x f x x f x =+++，所以2''(0)''()0F F ξ==，∴存在2(0,)(0,1)ξξ∈⊂，使得'''()0F ξ=，例3. ()[0,1]f x C ∈在(0,1)内可导，[0,1]x ∈，(0)1f =，11()22f =，(1)2f =证明：存在(0,1)ξ∈，使得'()0f ξ= 证明：(0)1f =，11()22f =，(1)2f =∴存在(0,1)ξ∈，使得()f m ξ=，又()f x 在(0,1)内可导，∴存在(0,1)ξ∈，使得'()0f ξ=题型二：证明：含ξ，无其它字母 基本思路，有三种方法： （1）还原法。
''()[ln ()]()f x f x f x =能够化成这种形式 例1. ()[0,1]f x C ∈在(0,1)可导，(1)0f =，证明：存在(0,1)ξ∈，使得'()3()0f f ξξξ+=.分析：由3'()3'()3()00[ln ()]'(ln )'0()f x xf x f x f x x f x x+=⇒+=⇒+=， 证明：令 3()()x x f x ϕ=，(0)(1)1ϕϕ==存在(0,1)ξ∴∈，使得'()0ϕξ=，而23'()3()'()0f f ϕξξξξξ=+= 存在(0,1)ξ∈，使得'()3()0f f ξξξ+=例2. ()[,]f x C a b ∈在(,)a b 可导，()()0f a f b ==，证明：存在(,)a b ξ∈，使得'()2()0f f ξξ-=.分析：由2'()'()2()020[ln ()]'(ln )'0()x f x f x f x f x e f x --=⇒-=⇒+=，证明：令 2()()x x f x e ϕ-=，()()0f a f b ==，()()0a b ϕϕ∴==存在(,)a b ξ∴∈，使得'()0ϕξ=，而 即存在(,)a b ξ∈，使得'()2()0f f ξξ-=例3. ()f x 在[0,1]上二阶可导，(0)(1)f f =，证明：存在(0,1)ξ∈，使得2'()''()1f f ξξξ=-. 分析：由22'()''()2''()0[ln '()]'[ln(1)]'01'()1f x f x f x f x x x f x x =⇒+=⇒+-=--， 证明：令 2()'()(1)x f x x ϕ=-，(0)(1)(0,1)f f c =⇒∃∈，使得'()0f c =，所以2()'()(1)0c f c c ϕ=-=，又因为(1)0ϕ=()(1)0c ϕϕ∴==∴由罗尔定理知，存在(0,1)ξ∈，使得2'()''()1f f ξξξ=-. 记：① '()()kx f kf x e f x ϕ+⇒=② '()()k f kf x x f x ξϕ+⇒= （2）分组构造法。
① ''()()f f ξξ=② ''()()10f f ξξ-+=（还原法行不通）例1. ()[0,1]f x C ∈，在(0,1)内可导，11(0)0,()1,(1)22f f f ===，证明：①存在(0,1)c ∈，使得()f c c =，②存在(0,1)c ∈，使得'()2[()]1f f ξξξ--=.证明：① 令 ()()x f x x ϕ=-，111(0)0,(),(1)222ϕϕϕ∴===-1()(1)02ϕϕ<，1(,1)(0,1)2c ∴∃∈⊂使得()0c ϕ=，即()f c c =② （分析）'()2[()]1[()]'2[()]0f x f x x f x x f x x --=⇒---=令 2()[()]x h x e f x x -=-，(0)()0h h c ∴==∴存在(0,1)c ∈，使得'()2[()]1f f ξξξ--=.题型三：证明：含,ξη.分几种情形：情形1：结论中只有'(),'()()f f ξη⎧⎨⎩找三句次La gr a nge点两话两例1. ()[0,1]f x C ∈，在(0,1)内可导，(0)0,(1)1f f ==，证明：①存在(0,1)c ∈，使得()1f c c =-，②存在,(0,1)ξη∈，使得'()'()1f f ξη=.证明：① 令 ()()1x f x x ϕ=-+，(0)1,(1)1ϕϕ∴=-=(0)(1)0ϕϕ< (0,1)c ∴∃∈使得()1f c c =- ②(0,),(,1)c c ξη∃∈∈,使得()(0)1'()f c f cf c cξ--==(1)()'()11f f c cf c cη-==--，所以存在,(0,1)ξη∈，使得'()'()1f f ξη= 例2. ()[0,1]f x C ∈，在(0,1)内可导，(0)0,(1)1f f ==，证明：①存在(0,1)c ∈，使得1()2f c =，②存在,(0,1)ξη∈，使得112'()'()f f ξη+=. 证明：① 令 1()()2x f x ϕ=-，11(0),(1)22ϕϕ∴=-=，(0)(1)0ϕϕ<(0,1)c ∴∃∈，使得1()2f c =②(0,),(,1)c c ξη∃∈∈,使得()(0)1'()2f c f f c cξ-==， (1)()1'()12(1)f f c f c c η-==--，所以存在,(0,1)ξη∈，使得112'()'()f f ξη+= 情形2：结论中含有,ξη，但是两者复杂度不同。
例1. ()[,]f x C a b ∈，在(,)(0)a b a >内可导证明：存在,(,)a b ξη∈，使得'()'()()2f f a b ηξη=+. 证明：① 令 2()F x x =，'()20F x x =≠由柯西中值定理(,)a b η∴∃∈使得22()()'()2f b f a f b a ηη-=-，所以()()'()()2f b f a f a b b a ηη-=+-(,)a b ξ∴∃∈使得()()'()f b f a f b aξ-=-，得证。
例2. ()[,]f x C a b ∈，在(,)(0)a b a >内可导证明：存在,(,)a b ξη∈，使得2'()'()abf f ξηη=. 证明：① 令 1()F x x =-，21'()0F x x =-≠由柯西中值定理 (,)a b η∴∃∈使得2()()'()111f b f a f b a ηη-=-+，所以2()()'()f b f a ab f b a ηη-=-(,)a b ξ∴∃∈使得()()'()f b f a f b aξ-=-，得证。
例3. ()[,]f x C a b ∈，在(,)a b 内可导, ()()1f a f b ==证明：存在,(,)a b ξη∈，使得['()()]1e f f ηξηη-+=. (分析：“留复杂”['()()]e f f ηηη+)证明：① 令 ()()x x e f x ϕ=，由拉格朗日中值定理(,)a b η∴∃∈使得()()['()()]b a e f b e f a e f f b aηηη-=+-， ['()()],(,)b a e e e e f f a b b aξηηηξ-∴==+∈-，即['()()]1e f f ηξηη-+=. 题型四：证明：拉格朗日中值定理的两惯性思维。
