高考数学总复习考点知识及题型专题讲义38 两条直线的位置关系

高考数学总复习考点知识及题型专题讲义 三十八 两条直线的位置关系 知识梳理 1．两直线平行、垂直与斜率的关系 条件 两直线位置关系 斜率的关系

两条不重合的直线l1，l2，斜率分别为k1， k2

平行 k1＝k2 k1与k2都不存在

垂直 k1k2＝－1 k1与k2一个为零、另一个不存在 说明：利用斜率判定平行应先判定两直线的斜率是否存在，若存在，可先化成斜截式，若k1＝k2，且b1≠b2，则两直线平行；若斜率都不存在，还要判定是否重合． 2．利用一般式方程系数判断平行与垂直 设直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0， l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0. l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 3．利用平行的直线系和垂直的直线系解题 设直线Ax＋By＋C＝0，则 与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线方程可设为Ax＋By＋m＝0； 与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线方程可设为Bx－Ay＋n＝0.

典例剖析 题型一 两直线平行与垂直的判定 例1 “a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”的________条件

答案 充分不必要 解析 当a＝2时，两直线平行；但两直线平行时，a＝2或者a＝－1.故“a＝2”是“直线(a2－a)x＋y＝0和直线2x＋y＋1＝0互相平行”的充分不必要条件． 变式训练 已知直线l1：x＋(a－2)y－2＝0，l2：(a－2)x＋ay－1＝0，则“a＝－1”是“l1⊥l2”的________条件 答案 充分不必要 解析 若a＝－1，则l1：x－3y－2＝0，l2：－3x－y－1＝0，显然两条直线垂直；若l1⊥l2，则(a－2)＋a(a－2)＝0，∴a＝－1或a＝2，因此，“a＝－1”是“l1⊥l2”的充分不必要条件. 解题要点 两直线平行、垂直的判定方法 (1)已知两直线的斜率存在 ①两直线平行⇔两直线的斜率相等且在坐标轴上的截距不等； ②两直线垂直⇔两直线的斜率之积等于－1. 注意 当直线斜率不确定时，要注意斜率不存在的情况． (2)已知两直线的一般方程 两直线方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0中系数A1，B1，C1，A2，B2，C2与垂直、平行的关系： A1A2＋B1B2＝0⇔l1⊥l2； A1B2－A2B1＝0且A1C2－A2C1≠0⇔l1∥l2.

题型二 根据平行与垂直求直线方程 例2 (1)求与直线3x＋4y＋1＝0平行且过点(1,2)的直线l的方程． (2) 求经过A(2,1)，且与直线2x＋y－10＝0垂直的直线l的方程． 解析 (1)依题意，设所求直线方程为3x＋4y＋c＝0 (c≠1)， 又因为直线过点(1,2)， 所以3×1＋4×2＋c＝0，解得c＝－11. 因此，所求直线方程为3x＋4y－11＝0. (2) 因为所求直线与直线2x＋y－10＝0垂直，所以设该直线方程为x－2y＋C1＝0，又直线过点(2,1)，所以有2－2×1＋C1＝0，解得C1＝0，即所求直线方程为x－2y＝0. 变式训练 过点(1,0)且与直线x－2y－2＝0平行的直线方程是________． 答案 x－2y－1＝0 解析 ∵所求直线与直线x－2y－2＝0平行，

∴所求直线的斜率为12，又直线过(1,0)点， 则直线方程为x－2y－1＝0. 解题要点 1.与直线Ax＋By＋C＝0平行的直线系方程为Ax＋By＋C1＝0 (C1≠C)，再由其他条件求C1. 2. 与直线Ax＋By＋C＝0垂直的直线系方程为Bx－Ay＋C1＝0，再由其他条件求出C1.

题型三 根据平行或垂直求参数 例3 (1)已知直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，则实数m的取值为________． (2) 若直线l1：ax＋2y＋6＝0与直线l2：x＋(a－1)y＋a2－1＝0垂直，则实数a＝________．

答案 (1) －12 (2) 23

解析 (1)因为直线l1：x＋2y－1＝0与直线l2：mx－y＝0平行，所以m1＝－12≠0， 解得m＝－12. (2) 由a×1＋(a－1)×2＝0，∴a＝23. 变式训练 若直线y＝2x与kx＋y＋1＝0垂直，则实数k＝________． 答案 12 解析 直线kx＋y＋1＝0斜率为－k，直线y＝2x斜率为2，由题两直线垂直，则－k·2＝－1，k＝12． 解题要点 已知平行与垂直求参数时，具体选择斜率还是选择利用一般式方程的系数因题而异．一般来说，若直线的斜率较易得出，则利用斜率关系：l1∥l2则k1＝k2，若l1⊥l2，则k1k2

＝－1．需注意的是，由一般式方程Ax＋By＋C＝0求斜率时，k＝－AB． 若已知直线l1：A1x＋B1y＋C1＝0，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A1，B1，C1，A2，B2，C2为常数)，则l1∥l2⇔A1B2－A2B1＝0，且B1C2－B2C1≠0；l1⊥l2⇔A1A2＋B1B2＝0. 当堂练习

1．下列命题 ①如果两条不重合的直线斜率相等，则它们平行； ②如果两直线平行，则它们的斜率相等； ③如果两直线的斜率之积为－1，则它们垂直； ④如果两直线垂直，则它们的斜率之积为－1． 其中正确的为________． 答案 ①③ 解析 当两直线l1，l2的斜率k1，k2都存在且不重合时，l1∥l2⇔k1＝k2，l1⊥l2⇔k1k2＝－1，故①③正确；当两直线都与x轴垂直时，其斜率不存在，但它们也平行，故②错；当两直线中一条直线与x轴平行(或重合)，另一条直线与x轴垂直时，它们垂直，但一条直线斜率为零，另一条直线斜率不存在，故④错． 2．经过两点A(2，3)，B(－1，x)的直线l1与斜率为－1的直线l2平行，则实数x的值为________． 答案 6

解析 直线l1的斜率k1＝x－3－1－2＝3－x3，由题意可知3－x3＝－1，∴x＝6． 3. 以A(－1，1)，B(2，－1)，C(1，4)为顶点的三角形是________． 答案 以A点为直角顶点的直角三角形

解析 kAB＝－1－12＋1＝－23，kAC＝4－11＋1＝32， ∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC，∠A为直角， ∴△ABC为以A点为直角顶点的直角三角形． 4．已知A(2，0)，B(3，3)，直线l∥AB，则直线l的倾斜角为________． 答案 60°

解析 ∵l∥AB，∴kl＝kAB＝3－03－2＝3，∴直线l的倾斜角为60°. 5．经过点M(m，3)和N(2，m)的直线l与斜率为－4的直线互相垂直，则m的值是________． 答案 145 解析 由题意知，直线MN的斜率存在，∵MN⊥l， ∴kMN＝m－32－m＝14，解得m＝145．

课后作业 一、 填空题 1．下列说法正确的有________． ①若两直线斜率相等，则两直线平行； ②若l1∥l2，则k1＝k2； ③若两直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则两直线相交； ④若两直线斜率都不存在，则两直线平行． 答案 1个 解析 当k1＝k2时，l1与l2平行或重合，①不成立；②中斜率不存在时，不正确；④同①也不正确．只有③正确． 2．若直线l1，l2的倾斜角分别为α1，α2，且l1⊥l2，则|α1－α2|＝________． 答案 |α1－α2|＝90° 解析 如图所示． 由图(1)可知α1＝α2＋90°，由图(2)可知α2＝α1＋90°， ∴|α1－α2|＝90°． 3．过点(3，6)，(0，3)的直线与过点(6，2)，(2， 0)的直线的位置关系为________． 答案 垂直

解析 过点(3，6)，(0，3)的直线的斜率k1＝3－60－3＝2－3；过点(6，2)，(2，0)

的直线的斜率k2＝2－06－2＝3＋2．因为k1·k2＝－1，所以两条直线垂直． 4．“λ＝3”是“直线λx＋2y＋3λ＝0与直线3x＋(λ－1)y＝λ－7平行”的________条件 答案 充要 解析 当λ＝3时，两直线平行．若直线λx＋2y＋3λ＝0与直线3x＋(λ－1)y＝λ－7平行，则λ(λ－1)＝6，且－λ(λ－7)≠3×3λ，解得λ＝3.

5．已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A(3,2)、B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b等于________． 答案 －2 解析 l的斜率为－1，则l1的斜率为1，

kAB＝2－－13－a＝1，a＝0.

由l1∥l2，－2b＝1，b＝－2，所以a＋b＝－2. 6．若l1：x＋(1＋m)y＋(m－2)＝0，l2：mx＋2y＋6＝0平行，则实数m的值是________． 答案 m＝1或m＝－2 解析 由1×2＝(1＋m)m，得m＝－2或m＝1. 当m＝－2时，l1：x－y－4＝0，l2：－2x＋2y＋6＝0，平行． 当m＝1时，l1：x＋2y－1＝0，l2：x＋2y＋6＝0，平行． 7．若直线mx＋4y－2＝0与直线2x－5y＋n＝0垂直，垂足为(1，p)，则实数n的值为________． 答案 －12 解析 由2m－20＝0，得m＝10. 由垂足(1，p)在直线mx＋4y－2＝0上，得10＋4p－2＝0. ∴p＝－2. 又垂足(1，－2)在直线2x－5y＋n＝0上，则解得n＝－12.

8．已知直线l的倾斜角为3π4，直线l1经过点A(3,2)，B(a，－1)，且l1与l垂直，直线l2：2x＋by＋1＝0与直线l1平行，则a＋b＝________． 答案 －2

解析 l的斜率为－1，则l1的斜率为1，kAB＝2－－13－a＝1，

∴a＝0.由l1∥l2，得－2b＝1，b＝－2. ∴a＋b＝－2. 9．经过点P(－2，－1)和点Q(3，a)的直线与倾斜角是45°的直线平行，则a＝________． 答案 4

解析 由题意，得tan45°＝a＋13＋2，解得a＝4． 10．若A(－4，2)，B(6，－4)，C(12，6)，D(2，12)，则下面四个结论：①AB∥CD；②AB⊥CD；③AC∥BD；④AC⊥BD．其中正确的序号是________． 答案 ①④

解析 ∵kAB＝－35，kCD＝－35，kAC＝14，kBD＝－4， ∴kAB＝kCD，kAC·kBD＝－1，∴AB∥CD，AC⊥BD． 11．经过点(3，2)和(m，n)的直线l， (1)若l与x轴平行，则m、n的取值情况是________； (2)若l与x轴垂直，则m、n的取值情况是________． 答案 (1)m∈R且m≠3，n＝2 (2)m＝3，n∈R且n≠2 解析 (1)l与x轴平行，则两点的纵坐标相等． (2)l与y轴平行，则两点的横坐标相等． 二、解答题 12．求过点(－1,2)且与直线2x－3y＋4＝0平行的直线方程．