浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考版

浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考数学（理科）试题卷命题人：黄岩中学 许志锋 王 诚 冯海容 校审：余姚中学 刘浩文 元济高级中学 檀奇斌本试题卷分选择题和非选择题两部分．满分150分，考试时间120分钟． 参考公式：如果事件A ，B 互斥，那么 棱柱的体积公式 ()()()P A B P A P B +=+ V Sh =如果事件A ，B 相互独立，那么 其中S 表示棱柱的底面积，h 表示棱柱的高 ()()()P A B P A P B ⋅=⋅ 如果事件A 在一次试验中发生的概率是p ，那么 3V Shn 次独立重复试验中事件A 恰好发生k 次的概率 其中S 表示棱锥的底面积，h 表示棱锥的高()()()1,0,1,2,,n kk kn n P k C p k k n -=-=L 棱台的体积公式球的表面积公式 24S R π= ()112213V h S S S S =++球的体积公式 343V R π= 其中12,S S 分别表示棱台的上底、下底面积，其中R 表示球的半径 h 表示棱台的高第I 卷(选择题 共50分)一、选择题（共10小题，每小题5分，共50分，在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求．请将你认为正确的选项答在指定的位置上。

）1．已知函数⎪⎩⎪⎨≤>=，，0,)21(0,)(21x x x x f x则=-)]4([f f ( )A ．4-B ．4C ．41- D ． 412．设.R a ∈则”“0112<+--a a a 是“1<a ”成立的 ( ) A ．充分必要条件 B ．充分不必要条件 C ．必要不充分条件 D ．既非充分也非必要条件3．设,m n 是两条异面直线，下列命题中正确的是 ( ) m n B ．过m 且与n 垂直的平面有且只有一个 C ．m 与n 所成的角的范围是()π，0D ．过空间一点P 与m 、n 均平行的的平面有且只有一个4． 若两个函数的图象经过若干次平移后能够重合，则称这两个函数为“同形”函数.给出四个函数： ()x x f 21log 2=，()()2log 22+=x x f ，223log )(）（x x f =，()x x f 2log )(24=. 则“同形”函数是(第8题)( )A ．()x f 1与()x f 2B ．()x f 2与()x f 3C ．()x f 1与()x f 4D ．()x f 2与()x f 45．右面的程序框图输出的数值为( ) A ．62B ．126C ．254D ．5106．甲、乙两人独立地从六门选修课程中任选三门进行学习，记两人所选课程相同的门数为ξ，则ξE 为 ( ) A ．1 B ．5.1 C ．2D ．5.27．P 是双曲线116922=-y x 的右支上一点，点N M ,分别是圆4)5(22=++y x 和1)5(22=+-y x 上的动点，则PN PM -的最小值为 ( )A ． 1B ． 2C ． 3D ．4 8．函数 )2||,0()sin()(πϕωϕω<>+=x A x f 的部分图象如图所示，则=)(πf （ ） A ．4 B ．32 C ．2 D ．3 9．已知集合{}2224312(,),,,(,)()(),,,04312x y M x y x y R N x y x a y b r a b R r x y ⎧⎫⎧-≤⎪⎪⎪=∈=-+-=∈>⎨⎨⎬+≤⎪⎪⎪⎩⎩⎭若存在R b a ∈,，使得M N ⊆，则r 的最大值是 ( ) A ．3 B ．5.2 C . 4.2 D . 2q px x x f ++=2)()))(((x f f f y =有一个相同的零点，则)0(f 与)1(fA ．均为正值B ．均为负值C . 一正一负D . 至少有一个等于0( )第Ⅱ卷（非选择题，共100分）二、填空题（本题共7道小题，每题4分，共28分；将答案直接答在答题卷上指定的位置）开始1,0n S ==6?n ≤否2n S S =+1n n =+是输出S结束(第5题)O125π12π-xｙ２11．复数iiz-+=23的模是_______.12．已知一个几何体的三视图及其长度如图所示，则该几何体的体积为.13．正三棱锥的侧面与底面所成二面角的大小为α，侧棱与底面所成的角为β，则=βαtantan.14．二项式103)21(xx-的展开式中，常数项的值为.15．如果一个平面与一个圆柱的轴成α（︒<<︒900α）角，且该平面与圆柱的侧面相交，则它们的交线是一个椭圆.当=α︒30时，椭圆的离心率是.16．设函数.)(,3)(2axxgaaxxxf-=++-=若不存在．．．Rx∈，使得0)(<xf与0)(<xg同时成立，则实数a的取值范围是.17．已知三点),3(),,2(),,1(21yCyByA不共线，其中iy{}9,8,7,6,5,4∈)3,2,1(=i. 若对于ABC∆的内心I，存在实数λ，使得IBICIA⋅=+λ，则这样的三角形共有个. 三、解答题（本大题共72分，解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）：18．（本题满分14分）设函数.cos2)42cos()(2xxxf+-=π（Ⅰ）求)(xf的最大值，并写出使)(xf取最大值是x的集合；（Ⅱ）已知ABC∆中，角CBA,,的对边分别为.,,cba若.2,23)(=+=+cbCBf求a的最小值.19．（本题满分14分）已知数列{}n a，{}n b满足：31=a，当2≥n时，naann41=+-；对于任意的正整数n，11222nn nb b b na-+++=L．设{}n b的前n项和为n S.（Ⅰ）计算32,aa，并求数列{}n a的通项公式；（Ⅱ）求满足1413<<nS的n的集合.20．（本题满分14分）如图，在正三棱柱DEFABC—中，.1,2==ADAB P是CF的沿长线上一点，.tFP=过PBA,,三点的平面交FD于M，交FE于.N（Ⅰ）求证：MN∥平面CDE；NMPF D俯视图正视图侧视图11（第12题）12（Ⅱ）当平面⊥PAB 平面CDE 时，求t 的值.21．（本题满分15分）如图，已知点)0,2(-A ，点P 是⊙B ：36)2(22=+-y x 上任意一点，线段AP 的垂直平分线交BP 于点Q ，点Q 的轨迹记为曲线C .（Ⅰ）求曲线C 的方程；（Ⅱ）已知⊙O ：222r y x =+（0>r ）的切线l 总与曲线C 有两个交点N M 、，并且其中一条切线满足090>∠MON ，求证：对于任意一条切线l 总有090>∠MON .22．（本题满分15分）已知函数ax x x a x f ---=2)1(ln )(（常数a R ∈）. （Ⅰ）求)(x f 的单调区间；（Ⅱ）设.0>a 如果对于)(x f 的图象上两点))(,()),(,(222111x f x P x f x P )(21x x <，存在),(210x x x ∈，使得)(x f 的图象在0x x =处的切线m ∥21P P ，求证：2210x x x +<.浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考数学（理科）答题卷题号一二三总分1～10 11～17181920 212221题一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。

在每小题给出的四个选项中，只题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10答案二、填空题：本大题共7小题，每小题4分，共28分，请将答案填在下面横线上。

11、12、13、14、15、16、17、三、解答题：本大题有5小题，共72分，解答应写出文字说明、演算步骤或证明过程。

18、（本小题满分14分）19、（本小题满分14分）得分20、（本小题满分14分）21、（本小题满分15分）NMPFEDCBA20题21题22、（本小题满分15分）浙江省名校新高考研究联盟2012届第一次联考试题数学（理科）答案及评分标准一、选择题：BCADB BCACD 二、填空题：112 122113 2 14 32105 152316 []6,3- 17 30 三、解答题c18（Ⅰ）)2cos 1()34sin 2sin 34cos 2(cos cos 2)342cos()(2x x x x x x f +++=+-=πππ 1)32cos(12sin 232cos 21++=+-=πx x x ……………………3 )(x f 的最大值为2……………………4分要使)(x f 取最大值， )(232,1)32cos(Z k k x x ∈=+=+πππ故x 的集合为⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈-=Z k k x x ,6ππ ……………………6分 注：未写“Z k ∈”扣1分；结果未写成集合形式扣1分.如果两者都不符合也扣1分.（Ⅱ）由题意，231]3)(2cos[)(=+++=+πC B C B f ，即.21)322cos(=+-ππA 化简得21)32cos(=-πA ……………………8分()0A π∈Q ，，)35,3(32πππ-∈-∴A ，只有332ππ=-A ，.3π=A …………………10分在ABC ∆中，由余弦定理，bc c b bc c b a 3)(3cos 22222-+=-+=π……………12分由2=+c b 知1)2(2=+≤c b bc ，即12≥a ，当1==c b 时a 取最小值.1……………14分注：不讨论角的范围扣1分.19（Ⅰ）在n a a n n 41=+-中，取2=n ，得821=+a a ，又，31=a ，故.52=a 同样取3=n 可得.73=a ……………………2分由n a a n n 41=+-及)1(41+=++n a a n n 两式相减可得：411=--+n n a a ，所以数列{}n a 的奇数项和偶数项各自成等差数列，公差为4，而212=-a a ，故{}n a 是公差为2的等差数列，∴.12+=n a n ……………………5分注：猜想12+=n a n 而未能证明的扣2分；用数学归纳法证明不扣分.（Ⅱ）在1122+2n n n b b b na -++=L 中令1=n 得.311==a b ……………………6分又121122(1)n n n b b b n a +++++=+L ，与11222n n n b b b na -+++=L 两式相减可得：34)12()32)(1()1(211+=+-++=-+=++n n n n n na a n b n n n n ，nn n b 2341+=+，即当2≥n 时，1214--=n n n b 经检验，31=b 也符合该式，所以，{}n b 的通项公式为1214--=n n n b ………………9分 11137(41)()22n n S n -=+⋅++-⋅L .2121111137()(45)()(41)().2222n n n S n n -=⋅+⋅++-⋅+-⋅L 相减可得：211111134[()()](41)()22222n nn S n -=++++--⋅L利用等比数列求和公式并化简得：127414-+-=n n n S ……………………11分可见，+∈∀N n ，14<n S ……………………12分经计算，13323114,1316271465>-=<-=S S ，注意到 {}nb 的各项为正，故nS单调递增，所以满足1413<<n S 的n 的集合为{}.,6N n n n ∈≥……………………14分20（Ⅰ）因为AB ∥DE ，AB 在平面FDE 外，所以AB ∥平面FDE ；…………2分MN 是平面PAB 与平面FDE 的交线，所以AB ∥MN ，故MN ∥DE ；…………4分而MN 在平面CDE 外，所以MN ∥平面.CDE ……6分 注：不写“AB 在平面FDE 外”等条件的应酌情扣分；向量方法按建系、标点、求向量、算结果这四个步骤是否正确来评分.（Ⅱ）解法一：取AB 中点G 、DE 中点H 则由GH ∥PC 知H G C P ,,在同一平面上，并且由PB PA =知.AB PG ⊥而与（Ⅰ）同理可证AB 平行于平面PAB 与平面CDE 的交线，因此，PG 也垂直于该交线，但平面⊥PAB 平面CDE ，所以⊥PG 平面CDE ，∴CH PG ⊥…………10分 于是，CGH ∆∽PCG ∆∴GHCGCG PC =…………12分 即.2,1331==+t t …………14分 注：几何解法的关键是将面面垂直转化为线线垂直，阅卷时应注意考生是否在运用相关的定理.（Ⅱ）解法二：如图，取AB 中点G DE 中点H .以G 为原点，GB 为x 轴、GC 为y 轴、GH 为z 轴建立空间直角坐标系.则在平面PAB 中,),3,0(),0,0,1(t P B +， 向量1,3,0(),0,0,1(t GP GB +==)111,，则由⎪⎩⎪⎨⎧=⋅=⋅0011n GB n 即⎩⎨⎧=++⋅=⋅0)1(301111t z y x 得)3,1,0(1-+=t n ……………………9分在平面CDE 中,)0,3,0(),1,0,0(C H ，向量).0,0,1(),1,3,0(==-=GB HE CHHGNMPFDCAzyHG NMPFEDCBA设平面CDE 的法向量),,(2222z y x n =，由⎩⎨⎧=⋅=+-⋅010)3(222x z y得)3,1,0(2=n ……………………12分Θ平面⊥PAB 平面CDE ，021=⋅∴n n ，即.2,031=∴=-+t t ……………………14分注：使用其它坐标系时请参考以上评分标准给分. 21、（I ）由题意，6||||||||=+=+QB QP QB QA ， ∴Q 点轨迹是以A 、B 为焦点的椭圆，且2,3==c a ,∴曲线C 的轨迹方程是15922=+y x .………………5分（II ）先考虑切线的斜率存在的情形. 设切线l ：m kx y +=，则由l 与⊙O 相切得r k m =+21|| 即)1(222k r m +=①……………7分由⎪⎩⎪⎨⎧=++=15922y x mkx y ，消去y 得，0)5(918)95(222=-+++m kmx k ,设),(11y x M ，),(22y x N ，则由韦达定理得2219518k kmx x +-=+，222195)5(9k m x x +-=……………………9分 ))((21212121m kx kx x x y y x x ON OM +++=+=⋅221212)()1(m x x km x x k ++++=2222222951895)5)(1(9m km k k m k ++-+-+= 22295)1(4514kk m ++-=②……………………10分 由于其中一条切线满足090>∠MON ，对此图1图2ON OM ⋅095)1(4514222<++-=k k m 结合①式)1(222k r m +=可得14452>r …………………………………………12分 于是，对于任意一条切线l ，总有)1(144522k m +>，进而⋅095)1(4514222<++-=k k m 故总有090>∠MON . …………………………………………14分最后考虑两种特殊情况：（1的那条切线斜率不存在时，切线方程为.r x ±=代入椭圆方程可得交点的纵坐标9552r y -±=，因090>∠MON ，故9552r r -<，得到14452>r ，同上可得：任意一条切线l 均满足090>∠MON ；（2）当满足090>∠MON 的那条切线斜率存在时，14452>r ，9552r r -<，对于斜率不存在的切线r x ±=也有090>∠MON .…………………………………………22、（I ）)(x f 的定义域为),0(+∞xx a x x a x f )(1()1(2)('-=---=…………………………..………..…….2分 ①0≥a 时，)(x f 的增区间为)1,0(，减区间为），（∞+1 ②02<<-a 时，)(x f 的增区间为），（a -，减区间为），（∞+-1),2,0(a③2-=a 时，)(x f 减区间为，（+0④2-<a 时，)(x f 的增区间为），（21a -，减区间为），（∞+-2),1,0(a …………6分（II ）由题意a x x x x x x a x x ax x x a ax x x a x x x f x f k x f P P --+--=--------=--==)2(ln])1(ln [])1(ln [)()()(211212121211222212120'21又：a x x x x ax x f --+-+=+)2(2)2(212121'…………………………..…………….9分 a x xax f ---=)1(2)('Θ（0>a ）在），（∞+0上为减函数 要证2210x x x +<,只要证)2()(21'0'x x f x f +> 即2112122lnx x ax x x x a +>-, 即证21122)(2ln x x x x x x +->……………....…….13分 令1)1ln )(,112+-=>=t t t g x x t ，0)1()1()1(41)(222'>+-=+-=t t t t t t g )(t g ∴在),1(+∞为增函数 0)1()(=>∴g t g1)1(2ln +->∴t t t ，即121ln +>-t t t 即211212)(2lnx x x x x x +-> 2210x x x +<∴得证………………………..………15分。