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三角向量与解三角形提高复习教材7

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复习七 班序号： 姓名：
考点一：平面向量的概念与运算。
1、下列命题正确的有 ：

（1）若ba，则ba； （2）向量就是有向线段；

（3）若CDAB，则ABCD是平行四边形； （4）若ABCD是平行四边形，则CDAB；
（5）若ba，cb，则ca； （6）若ba//，cb//，则ca//
2、已知向量||||abpab，其中a、b均为非零向量，则||p的取值范围是（ ）
A、[0,2] B、[0,1] C、(0,2] D、[0,2]

3、如图，平面内的两条相交直线OP1和OP2将该平面分割成四个部分Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ、Ⅳ（不包含边界），设
12
OPmOPnOP
，且点P落在第Ⅲ部分，则实数m、n满足（ ）
A．m>0, n>0 B．m>0, n<0 C．m<0, n>0 D．m<0, n<0

4、已知向量a≠e，|e|＝1，对任意t∈R，恒有|a－te|≥|a－e|，则( )
A.a⊥e B.e⊥(a－e) C.a⊥(a－e) D.(a＋e)⊥(a－e)

5、已知P，A，B，C是平面内四点，且PAPBPCACuuruuruuuruuur，那么一定有 （ ）
A．2PBCPuuruur B．2CPPBuuruur C．2APPBuuuruur D．2PBAPuuruuur

6、如图，半圆的直径AB＝6，O为圆心，C为半圆上不同于A、B的任意一点，若P为半径OC上的动点，
则PAPBPC的最小值为（ ）

A.92； B.9； C.92； D.－9；
7、已知点G是ABC的重心， ()AGABACR，，那么_____；若120A，
2ABAC
，则AG的最小值是__________ .

O
P
C
B
A
8、21,ee是平面内不共线两向量，已知2121213,2,eeCDeeCBekeAB，若DBA,,三点共
线，则k的值是（ ）
A．2 B．3 C．2 D．3

9、点O为△ABC内一点，且存在正数0,,321321OCOBOA使，设△AOB，△AOC的面积
分别为S1、S2，则S1：S2＝（ ）
A．λ1：λ2 B．λ2：λ3 C．λ3：λ2 D．λ2：λ1

10、已知△OAB中，点C是以A为中心的B的对称点，D点满足2ODDB，DC和OA交于E，设
,,bOBaOA（1）用a和b表示向量;,DCOC （2）若,OAOE
求实数的值。

11、如图所示，在ABC中，060A，AB=2，AC=4，AM∶AB1∶2，AN∶AC1∶3，BN与
CM
交于点E，求MEEN。

12、如图，已知正六边形ABCDEF，下列向量的数量积中最大的是（ ）
A．ACAB B．ADAB

C．AEAB D．AFAB

D
B
O
A
C
E

A
E
N
M

C

B

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高考数学大一轮专题复习 专题二 三角函数与平面向量配套课件 文

高考数学大一轮专题复习 专题二 三角函数与平面向量配套课件 文


则cos∠MNP＝|NN→→MM|··N|→N→PP|＝
Hale Waihona Puke －6 5×25＝－35.
由∠MNP∈[0，π]，得sin∠MNP＝ 1－cos2∠MNP＝45.
2 值；最后由点M在图象上求得φ的值，进而得到函数的解析 式；先由x的范围，求得2x＋ π 的范围，把ωx＋φ看作一个整
6 体，再求得fx的值域.
第十一页，共36页。
【互动(hù dònɡ)探究】
2．(2012年湖北八校联考)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) A>0，ω>0，|φ|<π2，x∈R图象的一部分如图2-1.
第七页，共36页。
题型 2 三角变换与三角函数(sānjiǎhánshù)性质的整合 例2：(2012年陕西西安模拟)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)， x∈R 其中A＞0，ω＞0，0＜φ＜π2 的图象与x轴的交点中，相邻两 个交点之间的距离为π2，且图象上的一个最低点为M23π，－2. (1)求f(x)的解析式； (2)当x∈1π2，π2时，求f(x)的值域．
对广东的试题而言，2008 年、2009 年、2010 年、2011 年、 2012 年、2013 年连续六年都是考查三角变换及三角函数求值． 这个数据足以说明广东对该题型的情有独钟，但绝对不能因此
还有两个现象也应该引起(yǐnqǐ)我们备考时注意：①三角函数与 而放松对整章知识系统而全面地复习． 平面向量的综合，是近几年全国各地高考试题中的一种重要题 型，已成为热点．而广东高考仅在 2007 年、2009 年在三角函
第三页，共36页。
题型 1 三角变换(biànhuàn)与求值的整合
例1：(2012年广东)已知函数f(x)＝Acos4x＋π6
高中数学专题复习《向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇》

高中数学专题复习《向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇》

向量与三角形内心、外心、重心、垂心知识的交汇一、四心的概念介绍1.定义：我们把三角形三个内角的角平分线的交点叫做三角形的内心,即三角形内切圆圆心;三角形三条边上的中垂线的交点叫做三角形的外心,即三角形外接圆圆心;三角形三条边上的中线的交点叫做三角形的重心;三角形三条高线的交点叫做三角形的垂心.我们将三角形的“内心”、“外心”、“重心”、“垂心”合称为三角形的“四心”.（1）重心——中线的交点：重心将中线长度分成2：1； （2）垂心——高线的交点：高线与对应边垂直；（3）内心——角平分线的交点（内切圆的圆心）：角平分线上的任意点到角两边的距离相等； （4）外心——中垂线的交点（外接圆的圆心）：外心到三角形各顶点的距离相等。

2.应用:三角形的内心到三角形三边的距离相等;三角形的外心到三角形三个顶点的距离相等;三角形的重心到三角形的顶点的距离是相应中线长的三分之二;三角形的垂心与顶点的连线垂直于该顶点的对边.3.注意点:三角形的“四心”与平面向量知识的结合.二、四心与向量的结合（1）⇔=++0OC OB OA O 是ABC ∆的重心.证法1：设),(),,(),,(),,(332211y x C y x B y x A y x O⇔=++0OC OB OA ⎩⎨⎧=-+-+-=-+-+-0)()()(0)()()(321321y y y y y y x x x x x x ⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧++=++=⇔33321321y y y y x x x x ⇔O 是ABC∆的重心. 证法2：如图OC OB OA ++02=+=OD OA ∴OD AO 2=∴D O A 、、三点共线，且O 分AD 为2：1 ∴O 是ABC ∆的重心（2）⇔⋅=⋅=⋅OA OC OC OB OB OA O 为ABC ∆的垂心.证明：如图所示O 是三角形ABC 的垂心，BE 垂直AC ，AD 垂直BC ， D 、E 是垂足.0)(=⋅=-⇔⋅=⋅CA OB OC OA OB OC OB OB OAAC OB ⊥⇔同理BC OA ⊥，AB OC ⊥⇔O 为ABC ∆的垂心（3）设a ,b ,c 是三角形的三条边长，O 是∆ABC 的内心O OC c OB b OA a ⇔=++0为ABC ∆的内心.证明：bACc AB 、分别为AC AB 、方向上的单位向量， ∴bAC c AB +平分BAC ∠, (λ=∴AO b AC c AB +)，令cb a bc++=λ ∴cb a bcAO ++=（b AC c AB +) 化简得0)(=++++AC c AB b OA c b a ∴0=++OC c OB b OA a（4==⇔O 为ABC ∆的外心。

2024届一轮复习数学新教材人教A版 第七章立体几何与空间向量必刷小题13 立体几何 课件(37张)

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2.下列四个命题中，正确的是 A.各侧面都是全等四边形的棱柱一定是正棱柱 B.对角面是全等矩形的六面体一定是长方体 C.有两侧面垂直于底面的棱柱一定是直棱柱
√D.长方体一定是直四棱柱
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7.蹴鞠，又名蹴球，踢圆等，蹴有用脚蹴、踢、蹋的含义，鞠最早系外
包皮革、内实米糠的球.因而蹴鞠就是指古人以脚蹴、蹋、踢皮球的活动，
类似今日的足球.2006年5月20日，蹴鞠已作为非物质文化遗产经国务院
批准列入第一批国家非物质文化遗产名录.已知某鞠的表面上有五个点P，
对于A，由m∥α，m∥n，得到： 若n∥α，过n的平面γ∩α＝l，则n∥l， 又n⊥β，则l⊥β，l⊂α，则α⊥β， 若n⊂α，又n⊥β，则α⊥β.综上，α⊥β，故A正确； 对于B，若m⊥n，m⊥α，n∥β，则α与β相交或平行，故B错误； 对于C，若α⊥β，m⊥α，m⊥n，则n与β相交、平行或n⊂β，故C错误； 对于D，若α⊥β，α∩β＝m，n⊥m，则n与β相交或n⊂β，故D错误.
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8.某同学画“切面圆柱体”(用与圆柱底面不平行的平面切圆柱，底面与 切面之间的部分叫做切面圆柱体)，发现切面与圆柱侧面的交线是一个椭 圆(如图所示).若该同学所画的椭圆的离心率为12，则“切面”所在平面与 底面所成的角为
π A.12
4.已知m，n表示两条不同的直线，α，β表示两个不同的平面，则下列命 题中正确的是
√A.若m∥α，n⊥β，m∥n，则α⊥β
三角函数与解三角形：向量极化恒等式

三角函数与解三角形：向量极化恒等式


由极化恒等式可得P→D·P→C＝P→E2－E→C2＝P→E2－12，
所以当 P 与 A(B)重合时，|PE|＝ 从而(P→D·P→C)max＝2.
52最大，
1234
2.已知在△ABC 中，P0 是边 AB 上一定点，满足 P0B＝14AB，且对于边 AB
上任一点 P，恒有P→B·P→C≥P→0B·P→0C，则
解析 如图所示，由极化恒等式易知， 当 OP 垂直直线时，P→A·P→B有最小值， 即P→A·P→B＝P→O2－O→B2＝( 2)2－12＝1.
(2)如图所示，正方体 ABCD－A1B1C1D1 的棱长为 2， MN 是它的内切球的一条弦(我们把球面上任意两点之 间的线段称为球的弦)，P 为正方体表面上的动点，当
根据向量的极化恒等式，
得A→B·A→C＝A→D2－D→B2＝9n2－m2＝4，
①
F→B·F→C＝F→D2－D→B2＝n2－m2＝－1.
②
联立①②，解得 n2＝58，m2＝183.
因此E→B·E→C＝E→D2－D→B2＝4n2－m2＝78.
即B→E·C→E＝78.
例 2 (1)已知 AB 为圆 x2＋y2＝1 的一条直径，点 P 为直线 x－y＋2＝0 上 任意一点，则P→A·P→B的最小值是___1__.
A.∠ABC＝90°
B.∠BAC＝90°
C.AB＝AC
√D.AC＝BC
1234
解析 如图所示，取AB的中点E， 因为 P0B＝14AB，所以 P0 为 EB 的中点，取 BC 的中点 D， 则DP0为△CEB的中位线，DP0∥CE. 根据向量的极化恒等式，
有P→B·P→C＝P→D2－D→B2，P→0B·P→0C＝P→0D2－D→B2. 又P→B·P→C≥P→0B·P→0C，则|P→D|≥|P→0D|恒成立，