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判别式与韦达定理

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第三讲 判别式与韦达定理 教学内容： 判别式与韦达定理 教学目标： 1、熟练掌握判别式的概念以及判别式与方程根的情况； 2、能熟练运用△求方程中的参数值或取值范围； 3、理解并掌握韦达定理的定义； 4、熟练掌握一些常用代数式的变形； 5、能利用韦达定理构造一元二次方程； 6、经过本章的学习，体会一元二次方程根与系数的关系，以及加深对一元二次方程的理解。 教学重点： 1、△与方程根的关系； 2、韦达定理； 3、常用代数式的变形； 教学难点： 1、 运用△求方程中参数的值或取值范围； 2、常用代数式的变形； 教学方法：探究法、讲授法；

教学过程： 8:20~8:30:考勤，收发作业 8:30~8:50:进门考 第一课时8:50~9:20 一、讲评作业 二、 导入新课 子曰：“温故而知新，可以为师矣！”所以在学习今天的新知识前我们先一起 2

来温习一下昨天我们学了什么？ 1、引导学生复习一元二次方程： 定义 一元二次方程 特点 解 直接开方 解法 配方 公式 因式分解 2、举例复习四种方法： （1） x2=25 （2） 2x2+4x-2=0 （3） 21230234xx

（4） 2560xx 3、问公式引入判别式 三、探索新知：

1、回顾得出判别式的概念：24bac作用：判别一元二次方程根的个数. 要先化为一般式 2、算出下列一元二次方程的判别式

222

3720230410xxxxxx 3、判别式与方程的根的关系

21,212402020bbacxabxxa方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实根 4、说出刚刚的几个方程根的情况 5、判别式我们昨天讲了今天又再专门拿出来讲，它到底有什么用呢？ （1）运用判别式，判别方程实数根的个数； （2）利用判别式建立等式、不等式，求方程中的参数值或取值范围； （3）通过判别式证明与方程相关的代数问题或几何存在性问题。（以后会讲） (1)已知方程，判断根的情况：求△，判断根的个数 3

2223402,3,43424932230xxabc

解：

方程无实根 （2）已知带参数的方程的根的情况，求参数：由根的情况得出△的情况，进而解出参数

已知一元二次方程220xxm （1）求m为何值时，方程有两个不相等的实； （2）求m为何值时，方程有两个相等的实根； （3）求m为何值时，方程无实根； （4）求m为何值时，方程有实根。 解：（1）

044>0m<1m方程有两个不相等的实根即：

（2） 04401mm方程有两个相等的实根即：

（3） 04401mm方程无实根即：

（4） 04401mm方程有实根即：

已知一元二次方程220xxm （1）求m为何值时，方程有两个不相等的实； （2）求m为何值时，方程有两个相等的实根； （3）求m为何值时，方程无实根； （4）求m为何值时，方程有实根。 分析：当m=0时一元一次方程 当m≠0时一元二次方程 4

解：（1） 0,044>010mmmm方程有两个不相等的实根且 （2）

0,04401mmm方程有两个相等的实根即：

（3） 0,04401mmm方程无实根即：

（4） 10210,20044011mxxmmmm当时，方程即：

当时，方程为一元二次方程方程有实根

即：

6、接下来，我们一起来看一段视频，让视频中的老师带着我们一起加深对△的理解

四、点点精讲 例1、（1） 分析： 两个相等的实根 △=0 解：

2.141130.4441120.1241361441440.141290ABCD (2) 分析：根的情况：

000方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实根 5

解：22414160aa方程有两个不相等的实数根 （3）解：22=3434aacaac无法确定

【小结】000方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实根 例2．分析：方程有实数根 0

证明： 因为22=2412280mm 所以方程总有实根 例3 . 分析：方程有两个不相等的实数根 0

证明：22223469429180mmmmmmmm 所以方程总有两个不相等的实数根 例4、分析：k=-1时方程为一元一次方程 K≠-1时方程为一元二次方程 解：k-1时，方程即-4x-4=0,解得x=1 k≠-1时，△=(3k-1)2-4(k+1)(2k-2)=(k-3)2≥0 故方程总有实数根

例5、分析：直角三角形三边的关系：222acb 解：由勾股定理得;a2+c2=b2 将原方程化为一般式得：（a+b）x2-2cx+(b-a)=0 △=4c2-4(a+b)(b-a)=0 故方程有两个相等的实数根 【小结】

用△判别方程的根时要先将方程化为一般式 六、归纳总结

1、000方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实根 2、算△之前，要先化为一般式 6

第二课时：9:30~10:30 上节课我们说判别式的应用很多，可以利用判别式建立等式不等式，求方程中的参数值或取值范围，这节课我们就来看看到底怎么用的。

例6、分析：

000方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实根 解：B、D

例7、分析：000方程有两个不相等的实数根方程有两个相等的实数根方程无实根

解： 

11140,412140,413140,4aaaaaa

 例8、分析：有两个不同的实根 是一元二次方程 二次项系数不为0

△≥0 解：依题意得：

20214516101161016aaaaaaaa





且 例9、分析：有两个相等实根 是一元二次方程 二次项系数不为0

△=0 整数m 解：依题意得： 7





2

12

02420252022,52mmmmmmmmm

不合题意舍去

例10、分析：有两个相等实根 是一元二次方程 二次项系数不为0

△=0 解：

222222

2

040444444424abacabaaaaaaaab



例11、分析：等腰三角形（1）a=b方程有两个相等的实根,(2)a≠b，a,b中必有

一个等于2,2为方程的解，三角形边的关系 解：（1）当a=b时，△=36-4（n-1）=0 n=10,a=b=3满足提题意 （2）当a≠b时，4-12+n-1=0 N=9,方程为x2-6x+8=0 x1=2,x2=4 2,2,4不能构成三角形舍去 所以n=10

方程ax2+bx+c=0(a≠0)的求根公式242bbacxa不仅表示方程的系数a、b、c决定根的值，而且反映了根与系数的关系。那么一元二次方程根与系数的关系还有其他表示方式吗？



2222

132025603275043840xxxxxxxx 方程 X1 X2 X1+X2 X1X2 21320xx

-1 -2 -3 2

22560xx

2 3 5 6 8

232750xx

52 -1 72 5

2 243840xx

23 2 83 4

3 归纳方程根与系数的关系：

（1）20xpxq 1212xxpxxq

（2）20axbxc 1212bxxacxxa 这是我们在特殊情况下的两根之和、两根之积与系数的关系，能不能证明呢？ 2212

2212

2212

44,2244224422bbacbbacxxaabbacbbacbxxaaabbacbbaccxxaaa





刚刚同学们得到的两根之和与两根之积与系数的关系就是我们今天要学习的第二大块内容，韦达定理。因为它最早是被韦达发现的，所以用他的名字来命名，以示纪念，韦达是法国数学家，被尊称为“现代数学之父”，主要工作——《方程论》，最早系统引入代数符号，推进了方程论的发展。韦达定理表示的是一元二次方程根与系数的关系，推导也不难，我们都能推出来，可惜我们生得晚，不然，说不定这个定理就以我们的名字命名了。韦达因韦达定理而出名了，那么韦达定理到底有什么用呢？ 应用1、计算两根之和、两根之积：

2223402950xxxx





1212

12,3,4932022,9,5812009252abcabcxxxx解：方程无实根解：

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九年级数学中考第二轮复习专题：判别式与韦达定理

九年级数学中考第二轮复习专题：判别式与韦达定理

〖知识点〗一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理 〖大纲要求〗1.掌握一元二次方程根的判别式，会判断常数系数一元二次方程根的情况。

对含有字母系数的由一元二次方程，会根据字母的取值范围判断根的情况，也会根据根的情况确定字母的取值范围；2.掌握韦达定理及其简单的应用；3.会在实数范围内把二次三项式分解因式；4.会应用一元二次方程的根的判别式和韦达定理分析解决一些简单的综合性问题。

内容分析1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的根的判别式△＝b 2-4ac当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；当△＝0时，方程有两个相等的实数根，当△＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程ax 2+bx+c=0(a ≠0)的两个根是x 1，x 2，那么a b x x -=+21，ac x x =21 (2)如果方程x 2+px+q=0的两个根是x 1，x 2，那么x 1+x 2=-P ，x 1x 2=q(3)以x 1，x 2为根的一元二次方程(二次项系数为1)是x 2-(x 1+x 2)x+x 1x 2=0．3.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式ax 2+bx+c 的因式时，如果可用公式求出方程ax 2+bx+c=0的两个根是x 1,x 2，那么ax 2+bx+c=a(x-x 1)(x-x 2)．〖考查重点与常见题型〗1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。

韦达定理判别式

韦达定理判别式

2
当 b 4ac 0 时，方程有两个相等实数根； ---------------------- 要注意：根的情况到底是作为已知条件出现
2
批注 1：利用根与系数之间的关系时特别需 的还是作为结论需要证明的。
当 b 4ac 0 时，方程没有实数根；
2
当 b 4ac 0 时，方程有实数根。
七升八暑假班知识点整理
第四、五讲 一元二次方程判别式和韦达定理一、2一元二源自方程根的判别式”标号，记做
把 b 4ac 叫做一元二次方程 ax 2 bx c 0 (a 0) 的根的判别式，通常用符号“
b 2 4ac 。
利用判别式判断方程根的情况： 当 b 4ac 0 时，方程有两个不相等实数根；
b c ； x1 x2 a a
b x1 x2 a x x c 1 2 a
2
二、
韦达定理的认识
编者的话：有的时候我们发现，对于一元二次方程，我并不需要知道确切的两根的值，但是对于两根的和 与及我们会有较大的兴趣，下面我们来推导一下两根的和与积。 （1） 法一：利用求根公式
b b2 4ac b b2 4ac ； x2 x1 2a 2a
易得： x1 x2
b c ； x1 x2 a a
（2） 法二：利用因式分解 假设方程两根为 x1 、 x2 ；所以可以构造方程 ( x x1 )( x x2 ) 0
2 还原方程 x ( x1 x2 ) x x1 x2 0 ，比较 ax bx c 0
2
易得： x1 x2 韦达公式：
第二章 一元二次方程专题复习2-根的判别式与韦达定理(含答案)

第二章 一元二次方程专题复习2-根的判别式与韦达定理(含答案)

专题复习二 根的判别式与韦达定理重点提示： (1)根的判别式ac b 42-主要应用于判断方程根的情况.利用判别式判断方程根的情况时要注意方程是不是一元二次方程，如果方程的类型不确定还要进行分类讨论.（2）韦达定理主要反映一元二次方程根与系数的关系，利用韦达定理的前提条件是方程有解，即042≥-ac b .【夯实基础巩固】1． 已知x 1，x 2是方程x 2+2x ﹣5=0的两根，则的值为（ B ）A ．﹣B ．C ．D ．﹣2．已知x 2+px +q =0的两根是3，﹣4，则代数式x 2+px +q 分解因式的结果是（ C ）A ． （x +3）（x +4）B ． （x ﹣3）（x ﹣4）C ． （x ﹣3）（x +4）D ． （x +3）（x ﹣4）3．关于x 的方程x 2﹣2mx ﹣m ﹣1=0的根的情况是（ A ）A ． 有两个不相等的实数根B ． 有两个相等的实数根C ． 有两个实数根D ． 没有实数根4．关于x 的方程x 2﹣（m ﹣1）x +m ﹣2=0的两根互为倒数，则m 的值是（ C ）A ． 1B ． 2C ． 3D ． 45．关于x 的方程x 2﹣（m ﹣3）x +m 2=0有两个不相等的实数根，则m 的最大整数值是（ B ）A ． 2B ． 1C ． 0D ． ﹣16．已知关于x 的一元二次方程x 2+kx +1=0有两个相等的实数根，则k = ±2 ．7．已知x 1，x 2是方程的两根，则的值为 3 ．8．已知a ，b 是一元二次方程x 2﹣2x ﹣1=0的两个实数根，则代数式（a ﹣b ）（a +b ﹣2）+ab 的值等于 ﹣1 ．9．已知关于x 的方程x 2+2mx +m 2﹣1=0.（1）不解方程，判别方程根的情况.（2）若方程有一个根为3，求m 的值．（1）∵∆=（2m ）2﹣4×1×（m 2﹣1）=4＞0，∴方程x 2+2mx +m 2﹣1=0有两个不相等的实数根.（2）∵x2+2mx+m2﹣1=0有一个根是3，∴32+2m×3+m2﹣1=0，解得m=﹣4或m=﹣2．10．已知关于x的一元二次方程x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根．（1）求实数m的最大整数值.（2）在（1）的条件下，方程的实数根是x1，x2，求代数式x12+x22﹣x1x2的值．（1）∵x2﹣2x+m=0有两个不相等的实数根，∴ =8﹣4m＞0，解得m＜2，∴m的最大整数值为1.（2）∵m=1，∴此一元二次方程为x2﹣2x+1=0.∴x1+x2=2，x1x2=1.∴x12+x22﹣x1x2=（x1+x2）2﹣3x1x2=8﹣3=5．【能力提升培优】11．若a，b，c为三角形三边，则关于x的一元二次方程x2+（a﹣b）x+c2=0的根的情况是（C）A．有两个相等的实数根B．有两个不相等的实数根C．没有实数根D．无法确定12．已知一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），给出下列命题：①若a+b+c=0，则b2﹣4ac≥0；②若方程ax2+bx+c=0两根为﹣1和2，则2a+c=0；③若方程ax2+c=0有两个不相等的实根，则方程ax2+bx+c=0必有两个不相等的实根．其中真命题有（C）A．1个B．2个C．3个D．0个13．设x1，x2是关于x的方程x2+px+q=0的两根，x1+1，x2+1是关于x的方程x2+qx+p=0的两根，则p，q的值分别为（A）A．﹣1，﹣3 B．1，3 C．1，﹣3 D．﹣1，3【解析】∵x1，x2是x2＋px＋q=0的两根，x1＋1，x2＋1是x2＋qx＋p=0的两根，∴x1＋x2=-p，x1x2=q，x1＋1＋x2＋1= x1＋x2＋2=-q，（x1＋1）（x2＋1）= x1x2+（x1＋x2）＋1=p.∴-p+2=-q，q-p＋1=p.∴p=-1，q=-3.14．若一元二次方程x2﹣（a+2）x+2a=0的两个实数根分别是3，b，则a+b=5．15．已知m，n是方程x2﹣2x﹣1=0的两根，且（7m2﹣14m+a）（3n2﹣6n﹣7）=8，则a的值等于﹣9．16．已知关于x的方程x2﹣（a+b）x+ab﹣1=0，x1，x2是此方程的两个实数根，现给出三个结论：①x1≠x2；②x1x2＜ab；③．则正确结论的序号是①②．17．关于x的一元二次方程x2+（2k+1）x+k2+1=0有两个不等实根x1，x2．（1）求实数k的取值范围．（2）若方程两实根x1，x2满足|x1|+|x2|=x1x2，求k的值．（1）∵原方程有两个不相等的实数根，∴∆=（2k+1）2﹣4（k2+1）=4k2+4k+1﹣4k2﹣4=4k﹣3＞0，解得k＞.（2）∵k＞，∴x1+x2=﹣（2k+1）＜0.又∵x1x2=k2+1＞0，∴x1＜0，x2＜0.∴|x1|+|x2|=﹣x1﹣x2=﹣（x1+x2）=2k+1.∵|x1|+|x2|=x1x2，∴2k+1=k2+1.∴k1=0，k2=2.又∵k＞，∴k=2．18．设m是不小于﹣1的实数，关于x的方程x2+2（m﹣2）x+m2﹣3m+3=0有两个不相等的实数根x1，x2．（1）若+=1，求的值.（2）求+﹣m2的最大值．∵方程有两个不相等的实数根，∴∆= 4（m﹣2）2﹣4（m2﹣3m+3）=﹣4m+4＞0，解得m＜1.∴﹣1≤m＜1．（1）∵x1+x2=﹣2（m﹣2），x1x2=m2﹣3m+3，∴+===1，解得m1=，m2=（不合题意，舍去）.∴=﹣2．（2）+﹣m2=﹣m2=﹣2（m﹣1）﹣m2=﹣（m+1）2+3．当m=﹣1时，最大值为3．【中考实战演练】19．【烟台】等腰三角形边长分别为a，b，2，且a，b是关于x的一元二次方程x2﹣6x+n﹣1=0的两根，则n的值为（B）A．9B．10 C．9或10 D．8或10【解析】∵a,b,2是等腰三角形的三边长，∴a=2,b＜4或a＜4，b=2或a=b＞1. ∵a,b是x2-6x+n-1=0的两根，∴a+b=6.∴a=b=3.∴ab=n-1=9.∴n=10.20．已知m，n是关于x的一元二次方程x2﹣2ax+a2+a﹣2=0的两实根，那么m+n的最大值是4．【开放应用探究】21．若x1，x2是关于x的方程x2+bx+c=0的两个实数根，且|x1|+|x2|=2|k|（k是整数），则称方程x2+bx+c=0为“偶系二次方程”．如方程x2﹣6x﹣27=0，x2﹣2x﹣8=0，x2+3x﹣=0，x2+6x ﹣27=0，x2+4x+4=0，都是“偶系二次方程”．（1）判断方程x2+x﹣12=0是否是“偶系二次方程”，并说明理由.（2）对于任意一个整数b，是否存在实数c，使得关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”？请说明理由．（1）不是.理由如下：解方程x2+x﹣12=0得x1=3，x2=﹣4．∴|x1|+|x2|=3+4=7=2×3.5．∵3.5不是整数，∴x2+x﹣12=0不是“偶系二次方程.（2）存在．理由如下：∵x2﹣6x﹣27=0和x2+6x﹣27=0是偶系二次方程，∴假设c=mb2+n.当b=﹣6，c=﹣27时，﹣27=36m+n．∵x2=0是偶系二次方程，∴n=0，m=﹣.∴c=﹣b2．∴可设c=﹣b2．对于任意一个整数b，c=﹣b2时， =b2﹣4c=4b2．∴x1=﹣b，x2=b．∴|x1|+|x2|=2|b|，∵b是整数，∴对于任何一个整数b，当c=﹣b2时，关于x的方程x2+bx+c=0是“偶系二次方程”．。

人教版-数学-九年级上册上册21.2.5韦达定理与判别式 教案

人教版-数学-九年级上册上册21.2.5韦达定理与判别式 教案

2.家庭作业：
1.不解方程，判别关于x的方程 的根的情况
3.中考链接：
加强实战训练
积累考试经验
六. 教学理念
1.体现了从特殊到一般，推陈出新的认知过程，
2.经历观察、类比、转化、归纳、证明研究的科学方法
七、教学反思
1.加强化繁为简的教学方法；
2.加强课堂内的练习时间。
1、化为一般式，确定a、b、c的值.
2、计算 “△”的值，确定“△”的符号.
3、判别根的情况，得出结论
（二）韦达定理的运用步骤
1、化为一般式，确定a、b、c的值.
2.2.利用系数列两根之和与两根之积方程
（二）新知拓展
用韦达定理和“△”解答问题的方法与技巧拓展应用，培养学生的综合应用意识和能力，
1.以 为两根的一元二次方程(二次项系数为1)为:
1．一元二次方程 的两实数根相等，则a的值为（ ）．
A．a=0B．a=2或a=-2C．a=2D．a=2或a=0
2.．已知k≠1，一元二次方程 有根，
则k的取值范围是（ ）．
A．k≠2B．k>2C．k<2且k≠1D．k为一切实数
3．已知b≠0，不解方程，试判定关于x的一元二次方程
的根的情况是________．
当△＜0时，方程的右边是一个负数，因为在实数范围内，负数没有平方根。所以，方程没有实数根
通过复习思考问题，让学生复习理解“△”和“韦达定理”。
复习旧知识引入新知识，为后面继续研究做铺垫
二、自主交流 探究新知
（一）探究
探究韦达定理
和“△”的运用。
学生主体活动，让学生通过探究问题，体会从特殊到一般，推陈出新的认知过程，
4.以2和-3为根的一元二次方程（二次项系数为１）为：