根的判别式和韦达定理(根与系数的关系)精品!!

九年级数学讲义根的判别式与韦达定理知识要点：1． 根的判别式：设一元二次方程ax 2＋bx+c=0（a ≠0），其根的判别式为Δ＝b 2－4acΔ>0 ⇔方程有两个不相等的实数根 Δ＝0⇔方程有两个相等的实数根 Δ<0 ⇔方程没有实数根2． 根与系数的关系：设一元二次方程ax 2＋bx+c=0（a ≠0）的两个根分别为x 1，x 2x 1＋x 2＝－a b x 1·x 2＝ac例1、关于x 的两个方程x 2＋4mx ＋4m 2＋2m ＋3＝0，x 2＋（2m ＋1）x ＋m 2＝0中至少有一个方程有实数根，求m 的取值范围。

例2、求证：m 为任何实数时，方程21402x m x m +-+-=()有两个不相等的实数根。

例3、已知x 1、x 2是方程x 2+3x －5=0的两根。

则x x -2122+4x 1－2x 2= 。

例4、已知方程x 2+px +q =0的两根之积比两根的和大5，且两根的平方和为25，求p 和q 的值。

例5、已知α、β是方程x 2+5x +2=0的两根求αββα+的值。

例6、已知a 、b 、c 均为实数，且a ＋b ＋c=0，abc=1。

求证：a 、b 、c 中必有一个大于23。

练习：1、不解方程，判断下列方程的根的情况。

（）127302x x +-= （ ）（）221202()()y y y -++=（ ）（）3912402x x ++= （ ）（）423402x x --= （ ）（）551702()x x +-= （ ）（）62102x mx --= （ ）2、一元二次方程ax x 2210-+=有实数根，那么a 的取值范围是 。

3、方程380312x x m m -+==的两根之比为，则:。

4、已知： 方程x x p p 226250-+-+=一根为2，则p ＝_______，它的另一个根为_________。

5、设0342,2=-+x x 是方程βα的两个根，那么ααββ223-+= 。

一元二次方程根的判别式及韦达定理常见题型及注意事项一、一元二次方程跟的判别式的常见题型 题型1：不解方程，判断一元二次方程根的情况.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--题型2：证明一元二次方程根的情况求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。

题型3：已知一元二次方程根的情况．．，求方程中未知系数的取值范围 1．（ 2011·重庆）已知关于x 的一元二次方程．．．．．．(a －1)x 2－2x +1=0有两个不相等的．．．．．．实数根,则a 的取值范围是( )<2 B,a >2 <2且a ≠1 <－2·变式1：（2010·安徽芜湖）关于x 的方程．．(a －5)x 2－4x －1＝0有实数根．．．．，则a 满足（） A ．a ≥1 B ．a ＞1且a ≠5 C ．a ≥1且a ≠5 D ．a ≠5变式2：（2010 ·成都）若关于x 的一元二次方程2420x x k ++=有两个实数根，求k 的取值范围及k 的非负整数．．．．值.变式3：已知关于x 的一元二次方程(12)10k x --=有两个实数根，求k 的取值范围二、一元二次方程根与系数的关系------韦达定理的常见题型 题型1：已知一元二次方程的一根，求另一根及未知系数k 的值已知2-是方程210x kx ++=的一根，则方程的另一根是 ，k = 。

题型2：求与一元二次方程根有关的代数式的值；1. 已知12,x x 是方程22430x x --=的两根，计算： （1）2212x x +； ⑵1211x x +；⑶212()x x -变式：已知,a b 是方程2201230x x -+=的两实根，求22(20103)(20103)a a b b -+-+的值题型3：已知一元二次方程两根的关系．．．．．，求方程中未知系数的取值 1． 关于x 的一元二次方程22(21)10x k x k +-+-=的两个实根的平方和等于9，求k 的值变式1： （2011·荆州）关于x 的方程0)1(2)13(2=+++-a x a ax 有两个不相等的实根1x 、2x ，且有a x x x x -=+-12211，则a 的值是（ ）A ．1B ．－1C ．1或－1D ． 2变式2：（2010·中山）已知一元二次方程022=+-m x x ．（1）若方程有两个实数根，求m 的范围；（2）若方程的两个实数根为1x ，2x ，且1x +32x =3，求m 的值。

金银学校2010年秋期初2011级一诊考试数学复习（二）“第23章：一元二次方程”第3讲：一元二次方程根的判别式、根与系数的关系（韦达定理）一．课堂反馈1．（03泸州）一元二次方程210x x ++=的根的情况是（ ）A.有两个不相等的实数根B.有两个相等的实数根C.没有实数根D.以上说法都不对 2．（04泸州17题）已知：一元二次方程2440(0)k x x k ++=≠，当k 为何值时，方程有两个相等的实数根（ ）A. 12k =B.12k =-C. 1k =D. 1k =-3．（07泸州）若关于x 的一元二次方程02.2=+-m x x 没有实数根，则实数m 的取值范围是（ ） A ．1m < B ．1m >- C ．1m > D ．1m <- 4．（08泸州）已知关于x 的一元二次方程()21210k x x ++-=有两个不相同的实数根，则k 的取值范围是5．(10安徽芜湖7题)关于x 的方程2(5)410a x x ---=有实数根，则a 满足（ ） A ．1a ≥ B ．15a a >≠且 C ．15a a ≥≠且 D ．5a ≠6．（03泸州）设12,x x 是方程22410x x +-=的两个根，则2212x x += .7．（10泸州）已知一元二次方程21)10x x -+=的两根为12x x ，，则1211x x +=_________.8．（07泸州）若非零实数)(,b a b a ≠满足020072=-+a a ,020072=-+b b ，则=+ba 11____________.9．（09泸州B4）已知方程11=-xx 的两根为1x 、2x ，则=+21x x ．10．（10日照）如果关于x 的一元二次方程20x p x q ++=的两根分别为122,1x x ==，那么,p q 的值分别是（ ） A ．－3，2 B 3，-2 C 2，－3 D 2，3 二．典例精析 例1．（09泸州B6）有A 、B 两个黑布袋，A 布袋中装有四个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2，3， B 布袋中装有三个除标号外完全相同的小球，小球上分别标有数字0，1，2．小明先从A 布袋中随机取出—个小球，用m 表示取出的球上标有的数字，再从B 布袋中随机取出一个小球，用n 表示取出的球上标有的数字．（1）若用(m ，n)表示小明取球时m 与n 的对应值，请画出树状图并写出(m ，n)的所有取值；（2）求关于x 的一元二次方程0212=+-n mx x 有实数根的概率．例2．已知关于x 的方程22x －4x ＋3q ＝0的一个根是1－2，求它的另一个根和q 的值．例3．（08泸州压轴题）如图，已知二次函数2y a x b x c =++的图象经过三点A ()1,0-，B ()3,0，C ()0,3，它的顶点为M ，又正比例函数y k x =的图像与二次函数相交于两点D 、E ，且P 是线段DE 的中点.（1）求该二次函数的解析式，并求函数顶点M 的坐标；（2）已知点E ()2,3，且二次函数的函数值大于正比例函数时，试根据函数图象求出符合条件的自变量x 的取值范围；（3）当02k <<时，求四边形PCMB 的面积s 的最小值.【参考公式：已知两点()11D ,x y ，()22E ,x y ，则线段DE 的中点坐标为1212,x x y y ++⎛⎫】三．自我测评 1．（02泸州）下列方程有实数根的是（ ）A ．x 2－x －1＝0 B. x 2＋x ＋1＝0 C. x 2－6x ＋10＝0 D. x 2－2x ＋1＝0 2．（05泸州非课改15题）下列方程中，没有实数根的是（ ） A ．012=++x x B ．0122=++x x C ．0122=--x x D ．022=--x x3. (10兰州) 已知关于x 的一元二次方程2(1)10m x x -++=有实数根，则m 的取值范围是 ．4．(10安徽B 卷5)关于x 的方程2(6)860a x x --+=有实数根，则整数a 的最大值是（ ）A ．6B ．7C ．8D ．95．（04泸州B2）已知：12,x x 是方程2430x x +-=的两根，则1211x x +＝＿＿＿.6．（10四川眉山）已知方程2520x x -+=的两个解分别为1x 、2x ，则1212x x x x +-⋅的值为（ ） A ．7- B ．3- C ．7 D ．37．(10安徽芜湖14题)已知12,x x 为方程2310x x ++=的两实根，则312820x x ++＝_______．8．（10广东广州）已知关于x 的一元二次方程)0(012≠=++a bx ax 有两个相等的实数根，求4)2(222-+-ba ab的值.9．（02泸州压轴题）已知：抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 与y 轴交于点C ，与x 轴交于点A(x 1，0)，B(x 2，0)(x 1<x 2)，顶点M 的纵坐标是－4。

韦达定理与根的判别式这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习韦达定理与根的判别式知识点：1、根的判别式b24ac（1）b24ac 0 ，方程有两个不相等的实数根；（2）b2 4ac 0，方程有两个相等的实数根；（3）b2 4ac 0，方程没有实数根；2、韦达定理已知x1,x2是一元二次方程的两根，则有xb1 x2ax1x2ca例1：已知一元二次方程x22x m 1 0 （1）当m取何值时，方程有两个不相等的实数根？（2）设x21,x2是方程的两个实数根，且满足x1 x1x2 1，求m的值练习：1、方程x23 0的根的情况是（）A有两个不等的有理实根B有两个相等的有理实根C有两个不等的无理实根D有两个相等的无理实根2、已知x2 1,x2是方程2x 3x 4 0的两个根，则（）A x331 x2 2 ，x1x2 2 B x1 x2 2 ，x1x2 2 C x1 x322，x1x2 2 D x31 x22，x1x2 23、已知方程x2 2 0，则此方程（）A 无实数根B两根之和为C两根之积为2D有一根为2 1这个专题是一二次方程是的判别式与韦达定理知识要点和练习4、已知x1,x2是方程2x 3x 1 0的两个根，则3221x11x2的值为（）A 3B -3C D5、若将二次三项式x2 px 6因式分解，分解后的一个因式是x-3，则p的值是（）A -5 B -1 C 1 D 56、已知x1,x2是方程x 4x 3 0的两个根，那么x1x2的值是（） A - 4 B 4 C -3 D 37、在一元二次方程ax2 bx c 0(a 0)中，若a与c异号，则方程（）A 有两个不相等的实数根 B 有两个相等的实数根 C 没有实数根 D 根的情况无法确定8、已知一元二次方程的两根分别为x1 3,x2 4，则这个方程为（） A (x 3)(x 4) 0 B (x 3)(x 4) 0 C (x 3)(x 4) 0 D (x 3)(x 4) 09、关于x的一元二次方程3x 2x k 1 0有两个不相等的实数根，则k的取值范围是（） A k432243且k 1 C k2243D k4310、若关于x的一元二次方程(m 2)x (2m 1)x 1 0有两个不相等的实数根，则m的取值范围为（） A m43B m43C m43且m 2 D m43且m 22211、已知一直角三角形的三边为a、b、c，∠B=90 ，那么关于x的方程a(x 1) 2cx b(x 1) 0的根的情况为（）A 有两个不相等的实数根B 有两个相等的实数根C 没有实数根D 无法确定12、设x1,x2是方程2x 4x 3 0的两个根，则2221x11x213、已知关于x的方程x 2(m 2)x m 0有两个实数根，且两根的平方和等于16，则m的值为14、已知方程x (12x20的两根为x1,x2，则x1 x2的值为2215、关于x的一元二次方程mx (3m 1)x m 0，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根。

一元二次方程根与系数关系【知识点】一元二次方程根的判别式、判别式与根的个数关系、判别式与根、韦达定理及其逆定理【内容分析】1.一元二次方程的根的判别式一元二次方程20ax bx c ++=(a ≠0)的根的判别式24b ac ∆=-⑴当△＞0时，方程有两个不相等的实数根；⑵ 当△＝0时，方程有两个相等的实数根，⑶当△＜0时，方程没有实数根．2.一元二次方程的根与系数的关系(1)如果一元二次方程20ax bx c ++=(a ≠0)的两个根是12,x x ，那么ab x x -=+21，a c x x =21 (2)如果方程20x px q ++=的两个根是12,x x ，那么1212,x x p x x q +=-⋅=(3)以12,x x 为根的一元二次方程(二次项系数为1)是()212120x x x x x x -++=． ()212120x x x x x x -++=．3.二次三项式的因式分解(公式法)在分解二次三项式2ax bx c ++的因式时，如果可用公式求出方程20ax bx c ++=的两个根是12,x x ，那么()()212ax bx c a x x x x ++=--．【考查重点与常见题型】1.利用根的判别式判别一元二次方程根的情况，有关试题出现在选择题或填空题中，如：关于x 的方程ax 2－2x ＋1＝0中，如果a<0，那么梗的情况是（ ）（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根（C ）没有实数根 （D ）不能确定2.利用一元二次方程的根与系数的关系求有关两根的代数式的值，有关问题在中考试题中出现的频率非常高，多为选择题或填空题，如：设x 1，x 2是方程2x 2－6x ＋3＝0的两根，则x 12＋x 22的值是（ ）（A ）15 （B ）12 （C ）6 （D ）33．在中考试题中常出现有关根的判别式、根与系数关系的综合解答题。

在近三年试题中又出现了有关的开放探索型试题，考查了考生分析问题、解决问题的能力。

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程ax?+bx+c = 0(a式0)，当判别式心= b?_4ac兰0时，其求根公式为：％、=―' b——4ac；当2ab c.：_0时，设一元二次方程的两根为X「x2，有：x-i x2，x-i x2;根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的a ab c逆定理也是成立的，即当x-i x2，x-i x2时，那么为、x2则是方程ax2bx c = 0(a = 0)的两根。

一元二次方程a a的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。

学习中，除了要求熟记一元二次方程ax2 bx c =0(a =0)根的判别式厶二b2 -4ac存在的三种情况外，还常常要求应用韦达定理解答一些变式题目，以及应用求根公式求出方程ax2 bx 0(^- 0)的两个根为、x2，进而分解因式，即ax2bx • c = a(x-xj(x-x2)。

下面就对韦达定理的应用可能出现的问题举例做些分析，希望能带来小小的帮助。

一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

例1：已知关于x的方程(1) X2 -(1-2a)x • a2 -3 =0有两个不相等的实数根，且关于x的方程⑵x2-2x，2a-1=：0没有实数根，问a取什么整数时，方程(1)有整数解？分析：在同时满足方程(1)，(2)条件的a的取值范围中筛选符合条件的a的整数值。

解：a的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定能和一定的逻辑推理，从而筛选出a,这是解答本题的基本技巧。

二、判别一元二次方程两根的符号。

例2：不解方程，判别方程2x2・3x-7=0两根的符号。

判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，倘若由题中x1 x^：： 0，所以可判定方程的根为一正一负；倘若为x2 0，仍需考虑x1 X2的正负，倘若x1 x2 • 0，则方程有两个正数根；倘若x1 X2：：：0，则方程有两个负数根。

一元二次方程的根的判别式及根与系数的关系要点一、一元二次方程的判别式1．定义：在一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0中，只有当系数a 、b 、c 满足条件△≥b ac 2=−40时才有实数根．这里b ac 2−4叫做一元二次方程根的判别式，记作△．2．判别式与根的关系：在实数范围内，一元二次方程()ax bx c a 2++=0≠0的根的情况由△b ac 2=−4确定． 设一元二次方程为()ax bx c a 2++=0≠0，其根的判别式为：△b ac 2=−4，则①△>0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个不相等的实数根,x 12．②△=0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0有两个相等的实数根b x x a12==−2． ③△<0⇔方程()ax bx c a 2++=0≠0没有实数根． 特殊的：（1）若a ，b ，c 为有理数，且△为完全平方式，则方程的解为有理根；（2）若△为完全平方式，同时b −±2a 的整数倍，则方程的根为整数根．【例1】（1）不解方程，直接判断下列方程的解的情况： ①x x 27−−1=0 ②()x x 29=43−1 ③x x 2+7+15=0④()mx m x 2−+1+=02（m 为常数）（2）已知a 、b 、c 分别是三角形的三边，则方程()()a b x cx a b 2++2++=0的根的情况是（ ） A ．没有实数根B ．可能有且只有一个实数根C ．有两个相等的实数根D ．有两个不相等的实数根【解析】（1）①△>0，有两个不等实根；②△=0，有两个相等实根； ③△<0，无实根；④△m 2=+1>0，方程有两个不等实根． （2）由题()()()()△c a b a b c c a b 22=2−4+=4++−−∵a b c ++>0，c a b −−<0，故方程没有实根．选A ．【点评】这道题（1）主要考察判别式与根的关系，属于特别基础的题，锻炼孩子们的思维，（2）结合三角形三边关系来考察一元二次方程的判别式和根的个数的关系．【例2】（1）若关于x 的一元二次方程()k x x 21−1+−=04有实根，则k 的取值范围为______． 【解析】（1）≥k 0且≠k 1；【变式2-1】若关于x 的一元二次方程kx 2﹣4x+3=0有实数根，则k 的非负整数值是（ ） A. 1 B. 0,1 C. 1,2 D. 1,2,3【答案】A.提示：根据题意得：△=16﹣12k≥0，且k≠0，解得：k≤，且k≠0. 则k 的非负整数值为1．【变式2-2】已知关于x 的一元二次方程有实数根，则m 的取值范围是________ 【答案】且m≠1 【解析】因为方程有实数根，所以，解得， 同时要特别注意一元二次方程的二次项系数不为0，即， ∴ m 的取值范围是且m≠1． 【总结升华】注意一元二次方程的二次项系数不为0，即，m≠1．【例3】已知：关于x 的方程有两个不相等的实数根,求k 的取值范围. 【答案】.【变式3-1】关于x的一元二次方程()k x 21−2−−1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围______．≤k −1<2且k 1≠2， 由题意，得()()k k k k 4+1+41−2>0⎧⎪+1≥0⎨⎪1−2≠0⎩，解得≤k −1<2且k 1≠2；2(1)10m x x −++=54m ≤2(1)10m x x −++=214(1)450m m =−−=−+≥△54m ≤(1)0m −≠54m ≤(1)0m −≠2(1)04kkx k x +++=102k k ≠＞－且【变式3-2】已知关于x 的方程x 2+2x+a ﹣2=0．（1）若该方程有两个不相等的实数根，求实数a 的取值范围； （2）当该方程的一个根为1时，求a 的值及方程的另一根． 【思路点拨】（1已知方程有两个不相等的实数根，即判别式△=b 2﹣4ac ＞0．即可得到关于a 的不等式，从而求得a 的范围．（2）设方程的另一根为x 1，根据根与系数的关系列出方程组，求出a 的值和方程的另一根． 【答案与解析】解：（1）∵b 2﹣4ac=（﹣2）2﹣4×1×（a ﹣2）=12﹣4a ＞0，解得：a ＜3．∴a 的取值范围是a ＜3；（2）设方程的另一根为x 1，由根与系数的关系得：，解得：，则a 的值是﹣1，该方程的另一根为﹣3．【变式3-2】关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k 的取值范围是 ．【思路点拨】此题要考虑两方面：判别式要大于0，二次项系数不等于0. 【答案】k ＜2且k≠1；【解析】解：∵关于x 的一元二次方程（k ﹣1）x 2﹣2x+1=0有两个不相等的实数根， ∴k ﹣1≠0且△=（﹣2）2﹣4（k ﹣1）＞0， 解得：k ＜2且k≠1． 故答案为：k ＜2且k≠1．【总结升华】不能忽略二次项系数不为0这一条件.【例4】当a 、b 为何值时，方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根？（3）要使关于x 的一元二次方程()x a x a ab b 222+21++3+4+4+2=0有实根，则必有△≥0，即()()≥a a ab b 22241+−43+4+4+20，得()()a b a 22+2+−1≤0．又因为()()a b a 22+2+−1≥0，所以()()a b a 22+2+−1=0，得a =1，b 1=−2．【变式4-1】已知关于x 的一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根，求代数式a a a21−2+1+的值．【解析】由题，一元二次方程()a x ax 213−1−+=04有两个相等的实数根， 所以a a 2−3+1=0．所以有a a a 2−2+1=，a a 2+1=3．代入a a a21−2+1+，得a a a a a a a a a 2211+13−2+1+=+===3．【点评】这道题主要是考察判别式与代数式的结合，难度不大．【变式4-2】m 为任意实数，试说明关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根. 【答案】∵Δ=[-(m-1)]2-4×[-3(m+3）]=m 2+10m+37=(m+5)2+12＞0，∴关于x 的方程x 2-（m-1）x-3（m+3）= 0恒有两个不相等的实数根.【例5】在等腰△ABC 中，A ∠、B ∠、C ∠的对边分别为a 、b 、c ，已知a =3，b 和c 是关于x 的方程x mx m 21++2−=02的两个实数根，求△ABC 的周长．【解析】当b c =时，方程有两个相等的实数根，则=△m m 21⎛⎫−42−=0 ⎪2⎝⎭，∴m 1=−4，m 2=2．若m =−4，原方程化为x x 2−4+4=0， 则x x 12==2，即b c ==2， ∴△ABC 的周长为2+2+3=7． 若m =2，原方程化为x x 2+2+1=0， 则x x 12==−1，不合题意．当a b =或a c =时，x =3是方程的一个根， 则m m 19+3+2−=02，则m 22=−5，原方程化为x x 22221−+=055，解得x 1=3，x 27=5， ∴ABC △的周长为7373+3+=55．综上所述，ABC △的周长为7或375． 【点评】这道题主要考察学生们的分类讨论能力，应对多种情况是要理清思路．要点二、一元二次方程的根与系数关系(韦达定理)1．韦达定理：如果()ax bx c a 2++=0≠0的两根是x 1，x 2，则b x x a 12+=−，cx x a12=．（使用前提：△≥0）特别地，当一元二次方程的二次项系数为1时，设x 1，x 2是方程x px q 2++=0的两个根，则x x p 12+=−，x x q 12=． 2．韦达定理的逆定理：如果有两个数x 1，x 2满足b x x a 12+=−，cx x a12=，那么x 1，x 2必定是()ax bx c a 2++=0≠0的两个根．特别地，以两个数x 1、x 2为根的一元二次方程（二次项系数为1）是()x x x x x x 21212−++=0． 3．韦达定理与根的符号关系：在△≥b ac 2=−40的条件下，我们有如下结论： （1）当ca<0时，方程的两根必一正一负． ①若≥b a −0，则此方程的正根不小于负根的绝对值；②若ba−<0，则此方程的正根小于负根的绝对值．（2）当ca>0时，方程的两根同正或同负． ①若b a −>0，则此方程的两根均为正根；②若ba−<0，则此方程的两根均为负根．注意：（1）若ac <0，则方程()ax bx c a 2++=0≠0必有实数根．（2）若ac >0，方程()ax bx c a 2++=0≠0不一定有实数根．【例6】（1）已知一元二次方程ax ax c 2+2+=0的一根x 1=2，则方程的另一根______x 2=．（2）已知x 1，x 2是方程x x 2−3+1=0的两个实数根，则：①x x 2212+；②()()x x 12−2⋅−2；③x x x x 221122+⋅+；④x x x x 2112+；⑤x x 12−；⑥x x 2212−；⑦x x 1211−．【解析】（1）−4；（2）()x x x x x x 2222121212+=+−2⋅=3−2⨯1=7， ()()()x x x x x x 121212−2⋅−2=⋅−2++4=1−2⨯3+4=−1， ()x x x x x x x x 22211221212+⋅+=+−⋅=9−1=8，x x x x x x x x 2221211212+7+===7⋅1，()()x x x x x x 222121212−=+−4⋅=3−4⨯1=5，∴x x 12−=，∴()()(x x x x x x 22121212−=+−=3⨯=x x x x x x 21121211−−==．【点评】第三小题，主要是考察韦达定理的灵活运用，包含了各种变形情况．【例7】（1）已知关于x 的方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，且x x x x 121211+=+，求k 值．（2）已知x 1，x 2是方程ax ax a 24−4++4=0的两实根，是否能适当选取a 的值，使得()()x x x x 1221−2−2的值等于54．【解析】（1）∵方程()x k x k 22+2−3+−3=0有两个实数根x 1，x 2，∴()()△≥k k k 22=2−3−4−3=21−120得：≤k 74． 由韦达定理得，()x x k x x k 12212+=−2−3⎧⎪⎨⋅=−3⎪⎩． ∵x x x x 121211+=+，∴x xx x x x 121212++=，x x 12+=0或x x 12=1，当x x 12+=0时，k 3−2=0，k 3=2，∵k 37=<24，所以k 3=2符合题意． 当x x 12=1时，k 2−3=1，k =±2，∵k 7≤4，∴k =2舍去．∴k 的值为32或−2． （2）显然a ≠0由()△a a a 2=16−16+4≥0得a <0， 由韦达定理知x x 12+=1，a x x a12+4=4， 所以()()()()()a x x x x x x x x x x x x a 2221221121212129+4−2−2=5−2+=9−2+=−24a a+36=4 若有()(),x x x x 12215−2−2=4则a a +365=44，∴a =9，这与0a <矛盾， 故不存在a ，使()()x x x x 12215−2⋅−2=4． 【点评】这道题主要锻炼孩子们的过程，以及有两个实根，解出来别忘了限制条件，这种类型的题比较常见，一定不要忽视∆的限定条件以及用韦达定理可得到的限定条件．【例8】（1）若m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，则m m n 2+2+−1的值为________．（2）已知a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，则a ab a b 2−+3+的值为__________．（3）已知m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，则()()m m n n 22+2015+6+2017+8= ________．【解析】（1）∵m ，n 是方程x x 2+−1=0的两个实数根，∴m n +=−1，m m 2+−1=0，则原式()()m m m n 2=+−1++=−1=−1，（2）∵a 是方程x x 2+2−5=0的实数根，∴a a 2+2−5=0，∴a a 2=5−2，∴a ab a b a ab a b a b ab 2−+3+=5−2−+3+=+−+5， ∵a ，b 是方程x x 2+2−5=0的两个实数根，∴a b +=−2，ab =−5，∴a ab a b 2−+3+=−2+5+5=8． 故答案为8．（3）∵m 、n 是方程x x 2+2016+7=0的两个根，∴m n +=−2016，mn =7；∴m m 2+2016+7=0，n n 2+2016+7=0，()()()()m m n n m m m n n n 2222+2015+6+2017+8=+2016+7−−1+2016+7++1()()()()m n mn m n =−+1+1=−+++1=−7−2016+1=2008故答案是：2008．【点评】这道题主要考查韦达定理根系关系的应用，进一步强化孩子对于韦达定理应用的理解．【例9】（1）已知一元二次方程()ax a x a 2+3−2+−1=0的两根都是负数，则k 的取值范围是_________．（2）已知二次方程342x x k 2−+−=0的两根都是非负数，则k 的取值范围是__________．【解析】（1）此方程两实根为,x x 12，由已知得a x x x x 1212≠0⎧⎪∆0⎪⎨+<0⎪⎪>0⎩≥，∴()()a a a a a a a a2≠0⎧⎪3−24−10⎪⎪2−3⎨<0⎪⎪−1⎪>0⎩-≥g ,即a 91<8≤．（2）此方程两实根为,x x 12，由已知得≥x x x x 1212∆≥0⎧⎪+≥0⎨⎪0⎩，得：∴2()43()k k ⎧⎪−4−⨯−2≥0⎪4⎪>0⎨3⎪−2⎪≥0⎪3⎩即k 102≤≤3． 【点评】这道题主要考查韦达定理和判别式结合不等式组的形式去判定根的具体情况，这类题是比较常见一类题，要将这种不等的思想传授给孩子．【课后作业】1．已知关于x 的一元二次方程()()k x k x 22−1+2+1+1=0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围为_____________． A ．k 1≥4 B ．k 1>4且≠k 1 C ．k 1<4且≠k 1 D ．k 1≥4且≠k 1【解析】B ．2．已知关于x 的一元二次方程x m 2−=0有两个不相等的实数根，则m 的取值范围__________．3．关于x 的方程()()m x m x 22−4+2+1+1=0有实根，则m 的取值范围__________．【解析】2．由题意可知，原方程的判别式(m m m 21∆=+4=1+3>0⇒>−3．又≥≤m m 1−0⇒1， 故≤m 1−<13．3．题设中的方程未指明是一元二次方程，还是一元一次方程，所以应分0m 2−4=和m 2−4≠0，两种情形讨论：当m 2−4=0即m =±2时，()m 2+1≠0，方程为一元一次方程，总有实根； 当m 2−4≠0即m ≠±2时，方程有根的条件是： [()]()≥m m m 22=2+1−4−4=8+20∆0，解得m 5≥−2．∴当m 5≥−2且m ≠±2时，方程有实根．综上所述：当m 5≥−2时，方程有实根．4．已知关于x 的方程()x k x k 2−+1+2−2=0． （1）求证：无论k 为何值，方程总有实根；（2）若等腰ABC △，底边a =3，另两边b 、c 恰好是此方程的两根，求ABC △的周长．【解析】（1）()()()≥△k k k 22=+1−42−2=−30，∴无论k 为何值，方程总有实根．（2）当a =3为底，b ，c 为腰时，b c =，∴方程有两个相等的实根，∴∆=0，即()k 2−3=0，k =3，此时方程为x x 2−4+4=0，解x x 12==2，∴ABC △的周长为3+2+2=7，当a =3为腰，则方程有一根为3，将x =3代入方程，得k =4，方程为x x 2−5+6=0，解得x 1=2，x 2=3，∴ABC △的周长为2+3+3=8，综上所述，ABC △的周长为7或8．5．关于x 的方程x kx 22+=10的一个根是−2，则方程的另一根是_______；k =________．6．已知a ，b ，c 为正数，若二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根，那么方程a x b x c 2222++=0的根的情况是（ ） A ．有两个不相等的正实数根 B ．有两个异号的实数根 C ．有两个不相等的负实数根D ．不一定有实数根7．设α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根，则ααβ2+4+=________．【解析】5．设另一根为x ，由根与系数的关系可建立关于x 和k 的方程组，解之即得．x 5=2，k =−1． 6．a x b x c 2222++=0的()()D b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2， ∵二次方程ax bx c 2++=0有两个实数根， ∴≥b ac 2−40， ∴b ac 2−2>0，∴()()△b a c b ac b ac 42222=−4=+2−2>0∴方程有两个不相等的实数根，而两根之和为负，两根之积为正． 故有两个负根．故选C ．7．∵α，β是一元二次方程x x 2+3−7=0的两个根， ∴αβ+=−3，αα2+3−7=0， ∴αα2+3=7，∴ααβαααβ22+4+=+3++=7−3=4，故答案为：4．11 8．已知关于x 的方程()x m x m 22+2+2+−5=0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．【解析】有实数根，则∆≥0，且x x x x 221212+−=16，联立解得m 的值．依题意有：()2()3()()x x m x x m x x x x m m 12212121222+=−2+2⎧⎪=−5⎪⎨+−=16⎪⎪∆=4+2−4−5≥0⎩，解得：m =−1或m =−15且m 9≥−4， ∴ m =−1．韦达定理说明了一元n 次方程中根和系数之间的关系。

第14讲根的判别式与韦达定理模块一一元二次方程根的判别式知识导航式子b2－4ac叫做一元二次方程ax2＋bx＋c＝0（a≠0）根的判别式，通常用希腊字母“△”来表示，即△＝b2－4ac．当△＞0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个不等的实数根；当△＝0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有两个相等的实数根；当△＜0时，方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实数根．计算判别式的值，可以判断一元二次方程根的情况；反之，若一元二次方程有两个不等实数根，则△＞0；若一元二次方程有两个相等实数根，则△＝0；若一元二次方程无实数根，则△＜0.注意：①当△＝0时，方程有两个相等的实根，不能说方程只有一个根②当△≥0时，方程有两个实根（一元二次方程有实根）．例1(1)已知关于x的一元二次方程x2－2x＋m＝0有解，求m的范围．-1x－m＝0有两个不相等实数根，求m的取值范围．(2)己知关于x的一元二次方程x2－m(3)求证：关于x的一元二次方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0（a≠0）总有实数根(4)已知关于x的方程ax2－(3a＋l)x＋2(a＋l)＝0有两个不相等的实数根，求a的取值范围(5) （2016武汉元月调考第9题）关于x的方程（m－2）x2＋2x＋1＝0有实数根，求m的取值范围．拓展己知关于x的方程(n－1)x2＋mx＋1＝0有两个相等的实数根，试说明关于y的方程m2y2—2my－m2—2n2＋3＝0的根的情况【总结】1、在处理【例1】和【练1】这类问题时，一定要注意先判断方程类型，若方程类型不确定，则需要分类讨论2、关于方程类型，题目在设问方面会有下列说法：(1)“关于x的一元二次方程有解”则方程一定为一元二次方程．(2)“关于x的方程有两实根”则方程一定为一元二次方程．(3)“关于x的方程有解”则方程类型不确定，需要分类讨论例2(1) 己知a、b、c是三角形三边，求证：关于x的方程(a＋b)x2＋2cx＋（a＋b）＝0无实根．(2) 己知：a、b、c分别是△ABC的三边长，求证：关于x的方程b2x2＋(b2＋c2一a2)x＋c2＝0没有实数根．练习己知△ABC三边a，b，c，关于x的方程(a＋c)x2 ＋2bx－a＋c＝0，x2＋2ax＋b2＝0均有两个相等的实数根，试判断△ABC的形状．模块二 一元二次方程根与系数关系知识导航：由因式分解法可知，方程（x －x 1）(x －x 2)＝0（x 1，x 2为已知数）的两根为x 1和x 2，将方程化为x 2＋px ＋q ＝0的形式，即x 2一(x 1＋x 2)x ＋ x 1x 2＝0，则二次项系数为1，一次项系数为p ＝－(x 1＋x 2)，q ＝ x 1x 2． 于是，上述方程两个根的和、积与系数的关系分别有如下关系：x 1＋x 2＝－p ， x 1x 2＝q对于一般地一元二次方程ax 2＋bx ＋c ＝0，二次项系数a 未必是1．根据求根公式，x 1＝a ac b b 24-2-+， x 2＝aac b b 24-2-- 由此可知，x 1＋x 2＝－a b ， x 1x 2＝ac 这表明任何一个一元二次方程的根与系数的关系为：两根之和等于一次项系数与二次项系数的比的相反数，两根之积等于常数项与二次项系数的比．例3(1)若x 1，x 2是一元二次方程x 2—5x ＋6＝0的两个根，则x 1＋x 2的值是____(2)一元二次方程x 2—4x －c ＝0的一个根是3，则另一个根是____，c ＝___________(3)若方程x 2－3x 一1＝0的两根为x 1、x 2，则11x ＋21x 的值为____ (4)关于x 的一元二次方程x 2一mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x 1、x 2，且x 12＋x 22＝7， 则(x 1－x 2)2的值是_____________练习(1)方程x 2—2x －1＝0的两个实数根分别为x 1、x 2，(x 1－l )( x 2－1)＝______________cz ，设x 1、x 2是方程2x 2—6x +l ＝o 的两个实数根，则(x 1－21x )( x 2－11x )的值为__________ 【总结】1、用韦达定理，常见的恒等变形有：11x ＋21x ＝2121x x x x +,x 12＋x 22＝(x 1＋x 2)2－2x 1x 2,(x 1－x 2)2＝(x 1＋x 2)2－4x 1x 2 21x x -＝212214)(x x x x -+x 13 ＋x 23＝(x 1 ＋x 2)(x 12＋x 22－x 1x 2)＝(x 1＋x 2)3－3x 1x 2(x 1＋x 2)2、韦达定理只有在两根存在的情况下才成立，故使用韦达定理的前提条件是b 2—4ac ≥0例4已知x 1，x 2是方程x 2—3x ＋l ＝0的两个实数根，则x 12＋x 22＝________________(x 1－2)(x 2－2)＝______________；x 12＋x 1·x 2＋x 22＝_____________,12x x ＋21x x ＝_________ x 1－x 2＝__________, x 12－x 22＝________;11x －21x ＝__________;12x x －21x x ＝___________练习已知x 1，x 2是方程2x 2—3x －5 ＝0的两个根，求下列代数式的值：x 12＋x 22＝__________,12x x ＋21x x ＝_________; 21x x -＝___________ x 12－x 22＝________;12x x －21x x ＝___________,x 12＋3x 22－3x 2＝_________________例5已知关于x 的方程x 2—2(k －l )x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)求k 的取值范围．(2) 若x l ＋x 2 ＝1－x 1x 2，求k 的值．练习关于x 的方程x 2＋2(a －l )x ＋a 2 －7a －4＝0的两根为x 1. x 2，且x 1x 2 －3x l －3x 2 ＋2＝0，求a 的值例6关于一元二次方程x 2 ＋2x ＋k ＋l ＝0的实数解是x l 和x 2．(1)求k 的取值范围；(2)如果x 1＋x 2－x 1x 2＜－1且k 为整数，求k 的值．练习己知关于x 的方程x 2 ＋2(m ＋2)x ＋m 2 －5＝0有两个实数根，并且这两个根的平方和比这两个根的积大16，求m 的值．例7己知△ABC 的两边AB 、AC 的长是关于x 的一元二次方程x 2 －(2k ＋3)x ＋k 2 ＋3k ＋2＝0的两个实数根，第三边BC 的长是5．(1)k 为何值时，△ABC 是以BC 为斜边的直角三角形；(2)k 为何值时，△ABC 是等腰三角形，并求△ABC 的周长．练习在等腰△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 的对边分别为a 、b 、c ，已知a ＝3，b 和c 是关于x 的方程x 2＋mx ＋2－21m ＝0的两个实数根，求△ABC 的周长． 课后作业A 基础巩固1．已知x ＝l 是方程x 2＋bx －2＝0的一个根，则方程的另一个根是( )A .1B ．2C ．－2D ．－12． 已知一元二次方程x 2—4x ＋3＝0两根为x 1,x 2，则x 1·x 2＝( )A .4B ．3C ．－4D .－3 3． 己知关于x 的一元二次方程(1－2k )x 2—21+k x －1＝0有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是____．4． 关于x 的方程kx 2 ＋(l －k )x －l ＝0有两个不等实根，则k 的取值范围是____________．5． 关于x 的方程kx 2＋(l －k )x －l ＝0有实根，则k 的取值范围是_______________6． 求证：不论m 为何值时，关于x 的方程x 2一2mx －2m －4＝0总有两个不相等的实根．7． 如果一直角三角形的三边长分别为a ，b ，c ，b 为斜边，求证：关于x 的方程a (x 2 －1)一2cx ＋b (x 2 ＋1)＝0有两个相等的实数根8． 己知x 1，x 2是方程x 2－5x ＋2＝0的两个实数根，则x 12＋x 22＝________________(x 1－2)(x 2－2)＝______________；x 12＋x 1·x 2＋x 22＝_____________,12x x ＋21x x ＝_________ x 1－x 2＝__________, x 12－x 22＝________;11x －21x ＝__________;12x x －21x x ＝___________B 综合训练 9． （2015年汉阳区九上期中）己知关于x 的方程x 2—2(k －l )x ＋k 2＝0有两个实数根x 1，x 2．(1)求k 的取值范围；(2) 若x 1＋x 2＝1－ x 1x 2，求k 的值．10.已知关于x 的一元二次方程mx 2—2x ＋l ＝0．(1)若方程有两个实数根，求m 的范围；(2)若方程的两个实数根为x 1,x 2，且x 1x 2一x 1一x 2＝21，求m 的值 111.己知，关于x 的方程x 2一kx ＋k －1＝0(1)求证：无论k 取何值，方程总有两实数根(2)若等腰△ABC 的一边长为2，另两边为这个方程的两个根，求△ABC 的周长数学故事“石头剪刀布”或能揭示演化策略“石头剪刀布”是游戏中解决争端的常用方式，每人各出剪刀、石头、布中的一种，通过石头砸剪刀、剪刀剪布、布包住石头的规则，可以在两人甚至多人中决出胜负．不过，科学家发现，大自然也用自己的方式玩着类似“石头剪刀布”这样的游戏，数学家和生物学家利用这种方式研究了从人类社会到培养皿中的细菌的各种现象．如今，研究者又发现，当玩家不断改变策略时，三种武器的使用频率会轮流上升与下降，呈现出一种固定的模式．这一发现或许可以帮助我们理解生物在生存之争中是如何维持竞争策略的．一旦应用到生物中来，石头剪刀布就不仅仅是两个小孩子的游戏，而变成多玩家之间的复杂关系了．比方说，某些蜥蜴用来赢得伴侣的策略就有三种：侵略、合作与欺骗，这三种策略就和石头剪刀布一样，有着环状的胜负关系（侵略战胜合作，欺骗战胜侵略，合作战胜欺骗），而对于蜥蜴来说，成功繁衍后代就意味着赢得游戏，在生物的“石头剪刀布”游戏中，通常是大的种群中随机产生一对玩家开始比拼，每个玩家通常都保持一种固定的策略一一即对每一个对手都出同样的姿势（石头、剪刀或者布）．每次对决之后，赢家就增加一个（对应着繁衍后代），使用同样的策略，而输家则消失．对这种模型进行仔细的数学研究以后发现，出石头、剪刀和布的玩家会随着时间波动．随着初始情况中每种策略所占比例不同，整个群体的情况会分别演变成不同的长期行为，比如用石头、剪刀、布的个体各占三分之一，或者一种策略大幅减少另两种上升，过一段时间又反过来，呈现剧烈的周期波动．受到计算机模拟的启发，康奈尔大学的两位数学家Steven Strogatz 和Danielle Toupo 决定研究一下如果玩家中途改变策略会发生什么．“我觉得这个想法很吸引人，就想找到一种最简洁的数学模型来描述它，”Strogatz 说．他们试图回到最基础的原理，寻找纯粹的公式，而非复杂的计算机模拟．Strogatz 和Toupo 修正了“石头剪刀布”方程，允许一些“突变子女”存在，它们所采用的策略和亲代不同．此前的研究者也研究了突变，但一直假设突变是对称的，即每种策略变成其他策略的几率相同，但Strogatz 和To upo 考虑到了其他的模式，比如出石头的玩家可能会生下出布的子女，但反过来则不尽然．每种突变最终都会导致一种循环，即出石头、剪刀和布的玩家数都各自不停地上下波动，循环不息．而更令人惊讶的是，他们还证明哪怕突变率极低甚至接近于0，整个游戏还是会进入这种循环模式，论文发表于本月的《物理评论E 》（Physical ReviewE ）中，只是增加了一点点突变的因素，游戏结果就不再是三种各占三分之一的稳定态或是剧烈波动态了， “我认为该研究最吸引入的一点是，这种‘游戏’在自然界中真的存在，”加州大学圣克鲁兹分校的生态学家BarrySinervo 说，他没有参与这项工作，“哪怕你不是数学家，也会欣赏这一研究．”Sinervo-直在研究加州一种侧斑鬣蜥，该蜥蜴的种群行为也会进入像“石头剪刀布”一样的振荡状态．Sinervo和同事通过野外的长期观察发现，采取侵略、合作和欺骗三种策略的蜥蜴数目有一个6年的变化周期，每一代新的蜥蜴诞生时，主导策略都会变化．Strogatz和Toupo的新研究为Sinervo的工作提供了数学模型，来解释了这种变化周期，“对我来说，这篇论文的有趣之处就在这里．”Sinervo说，由于数学方面的限制，康奈尔大学的研究者还不能证明他们的发现适用于所有的突变模式，但Strogatz说他们预测会如此．研究更广泛的突变模式也可以更进一步地提供数学基础，帮助我们解释自然界这个大剧场里物种策略的兴衰变迁．。

一元二次方程根的判别式、根与系数的关系【基础知识】一、根的判别式1.4022.0203.,22ac b b x x a a ⎧⎪≠-∆⎪⎪∆>⎧⎪⎪⎪∆=⎨⎨⎪⎪∆<⎩⎪⎪--±∆⎪==⎪⎩22概念：对于一个一元二次方程ax +bx+c=0(a 0)来说，b 称为根的判别式，记为时，方程有个不相等的根根的判别式意义：时，方程有个相等的根时，方程没有实数根公式法：解为即为二、根与系数的关系（也叫韦达定理）对于一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠，如果方程有两个实数根12,x x ， 那么1212,b cx x x x a a+=-= 则x 1和x 2为根的一元二次方程为： x 2－( x 1+x 2)x ＋ x 1x 2＝0特殊情况：当一元二次方程为x2+px+q=0时，x 1+x 2=-p,x 1x 2=q （二次项系数为1．） 说明：（1）定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别．．【课堂演练】三、选择题1. 若关于x 的方程x 2+2(k -1)x +k 2=0有实数根，则k 的取值范围是:（ ）A. 12k <B. 12k ≤C. 12k >D. k ≥122.若t 是一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的根,则判别式24b ac =-和完全平方式2(2)M at b =+的关系是:（ ）(A)M = (B)M > (C)M < (D)大小关系不能确定3．已知关于x 的一元二次方程220x x a -+=有实数根，则实数a 的取值范围是：（ ） A.a ≤1 B. a<1 C. a ≤-1 D. a ≥1 4.下列关于x 的一元二次方程中，有两个不．相等的实数根的方程是（ ） （A ）012=+x（B ）0122=++x x（C ）0322=++x x（D ）0322=-+x x5.若1x 、2x 是一元二次方程0572=+-x x的两根，则2111x x +的值是（ ） （A ）57 （B ）57- （C ）75 （D ）75- 6.已知x 1、x 2是方程x 2－3x ＋1＝0的两个实数根，则1x 1＋1x 2的值是()A 、3B 、－3C 、13 D 、17. 不解方程，判别方程5x 2-7x+5=0的根的情况是（ ）.（A ）有两个相等的实数根 （B ）有两个不相等的实数根 （C ）只有一个实数根 （D ）没有实数根8.已知方程x 2+(2k+1)x+k 2－2=0的两实根的平方和等于11，k 的取值是（ ）A ．－3或1B ．－3C ．1D ．39.满足“两实数根之和等于3”的一个方程是（A ）0232=--x x （B ）02322=--x x （C ）0232=-+x x （D ）02322=-+x x 10.一元二次方程0322=--x x 的根为（ ）A 、3,121==x xB 、3,121=-=x xC 、3,121-=-=x xD 、3,121-==x x11.下列方程中，没有实数根的是A ．012=++x xB ．0122=++x xC ．0122=--x xD ．022=--x x12.两个不相等的实数m ，n 满足m 2-6m=4，n 2-6n=4，则mn 的值为( ) (A)6 (B)-6 (C)4 (D)-413.关于x 的一元二次方程2x 2x 40－－＝的两根为12x x 、，那么代数式1211x x ＋的值为( ) A12 B 12－ C 2 D －2 14.方程x 2－5x －1=0A 、有两个相等实根B 、有两个不等实根C 、没有实根D 、无法确定 15. 两个不相等的实数m ，n 满足462=-m m ，462=-n n ，则mn 的值为(A) 6 (B) －6 (C) 4 (D) －4 16. 已知：a ＋b ＝m ，ab ＝－4, 化简（a －2）（b －2）的结果是A. 6B. 2 m －8C. 2 mD. －2 m17.方程组18ax y x by -=⎧⎨+=⎩的解是23x y =⎧⎨=⎩，那么方程x 2+a x+b=0( )A.有两个不相等实数根B.有两个相等实数根C.没有实数根D.有两个根为2和3 18.一元二次方程0132=-+x x 的根的情况为（ ）A 、有两个不相等的实数根B 、有两个相等的实数根C 、只有一个实数根D 、没有实数根四、填空题1.等腰△ABC 中，BC ＝8，AB 、AC 的长是关于x 的方程0102=+-m x x 的两根，则m 的 值是 。

一元二次方程根与系数的关系应用例析及训练对于一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax ，当判别式042≥-=∆ac b 时，其求根公式为：aacb b x 24221-±-=、；当0≥∆时，设一元二次方程的两根为21x x 、，有：a b x x -=+21，acx x =⋅21；根与系数的这种关系又称为韦达定理；它的逆定理也是成立的，即当a b x x -=+21，ac x x =⋅21时，那么21x x 、则是方程)0(02≠=++a c bx ax 的两根。

一元二次方程的根与系数的关系，综合性强，应用极为广泛，在中学数学中占有极重要的地位，也是数学学习中的重点。

学习中，除了要求熟记一元二次方程)0(02≠=++a c bx ax 根的判别式ac b 42-=∆存在的三种情况外，还常常要求应用韦达定理解答一些变式题目，以及应用求根公式求出方程)0(02≠=++a c bx ax 的两个根21x x 、，进而分解因式，即))((212x x x x a c bx ax --=++。

下面就对韦达定理的应用可能出现的问题举例做些分析，希望能带来小小的帮助。

一、根据判别式，讨论一元二次方程的根。

例1：已知关于x 的方程(1)03)21(22=-+--a x a x 有两个不相等的实数根，且关于x 的方程(2)01222=-+-a x x 没有实数根，问a 取什么整数时，方程(1)有整数解？分析：在同时满足方程(1)，(2)条件的a 的取值范围中筛选符合条件的a 的整数值。

解： ?说明：熟悉一元二次方程实数根存在条件是解答此题的基础，正确确定a 的取值范围，并依靠熟练的解不等式的基本技能和一定的逻辑推理，从而筛选出a ，这是解答本题的基本技巧。

二、判别一元二次方程两根的符号。

例2：不解方程，判别方程07322=-+x x 两根的符号 。

判别根的符号，需要把“根的判别式”和“根与系数的关系”结合起来进行确定，倘若由题中021<⋅x x ，所以可判定方程的根为一正一负；倘若021>⋅x x ，仍需考虑21x x +的正负，倘若021>+x x ，则方程有两个正数根；倘若021<+x x ，则方程有两个负数根。

求根公式根的判别式韦达定理求根公式、根的判别式和韦达定理都是数学中与多项式方程有关的重要概念。

在代数学和高等数学中，这些定理被广泛应用于求解多项式方程的根以及分析多项式函数的性质。

下面将详细介绍这些定理的原理和应用。

一、求根公式求根公式是一个重要的定理，它告诉我们如何求解一元二次方程和一元三次方程的根。

具体地说，一元二次方程的一般形式为ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知的实数，且a ≠ 0。

根据求根公式，一元二次方程的根可以通过下面的公式来求解：x = (-b ± √(b^2 - 4ac)) / (2a)同样地，对于一元三次方程ax^3 + bx^2 + cx + d = 0，其中a、b、c、d为已知的实数，且a ≠ 0。

求根公式告诉我们一元三次方程的根可以通过下面的公式来求解：x=r+s+t其中r、s、t为复数，满足下面的条件：r=-b/(3a)+(Δ)^(1/3)/(3a)s=-b/(3a)+(ζΔ)^(1/3)/(3a)t=-b/(3a)-(ζΔ)^(1/3)/(3a)Δ = c^2 - 3bd + 12ad^2 - 4ac^3 - 4b^3dζ=(-1+√3i)/2，即ζ是虚数单位求根公式的应用非常广泛，可以帮助我们求解各种类型的方程，特别是二次方程和三次方程。

通过求根公式，我们可以找到方程的解的表达式。

二、根的判别式根的判别式是用来判断方程的根的条件的一种方法。

对于一元二次方程ax^2 + bx + c = 0，其中a、b、c为已知的实数，且a ≠ 0。

根据根的判别式，方程的根可以通过下面的判别式来判断：Δ = b^2 - 4ac如果Δ>0，则方程有两个不相等的实根。

如果Δ=0，则方程有两个相等的实根。

如果Δ<0，则方程没有实根，但可以有两个复数根。

根的判别式可以帮助我们快速判断方程的根的数量和性质，从而可以在求解过程中采取不同的计算方法。

三、韦达定理韦达定理是数学中多项式的一个重要定理，它描述了一个多项式的根与系数之间的关系。

一元二次方程根的判别式和根与系数关系复习课教学目标(一)提高学生对于根的判别式的运用能力；(二)提高学生对于根与系数关系的运用能力.教学重点和难点重点：会用根的判别式及根与系数关系解题.难点：根的判别式和根与系数关系的综合题；不遗漏、不重复地列出所解问题应具备的条件.特别是容易忽略隐含条件.教学设计过程(一)复习1.已知一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a ≠0).(1) 它的根的判别式是什么?用什么记号表示根的判别式?(b2-4ac,用△表示)(2) 叙述一元二次方程根的判别式的性质.(一元二次方程ax2+bx+c=0 (a ≠0)当△＞0时，有两个不相等的实数根；当△=0时，有两个相等的实数根；当△＜0时，没有实数根.反过来也成立，即有两个不相等的实数根时，△＞0，有两个相等的实数根时，△=0； 没有实数根时，△＜0)2.(1)已知x1,x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a ≠0)的两个根，那么x1+x2=?,x1·x2=?(2)上述性质的逆命题怎样叙述?此逆命题是否成立?3.对于根的判别式和根与系数关系的性质，我们从正、反两方面(即原命题与逆命题)都知道了，并初步做了有关练习，但涉及这两个性质的综合性较强的问题，还需要训练.(二)综合举例例1 当m 分别满足什么条件时，方程2x 2-(4m+1)x +2m 2-1=0, （1）有两个相等实根；（2）有两个不相实根；（3）无实根；(4)有两个实根. 解：∵△=（4m+1）2-4×2×（2m 2-1）=8m+9（1）当△=8m+9=0，即m= - 89时，方程有两个相等的实根； （2）当△=8m+9＞0，即m ＞-89 时，方程有两个不等的实根； （3）当△=8m+9＜0，即m ＜ -89时，方程没有实根. 例2 求证：关于x 的方程x 2+(m+2)x+2m-1=0有两个不相等的实数根。

分析：(1)要证方程有两个不相等的实数根，就是证明其根的判别式要大于零.(2)对于一个含有字母的代数式，要判断其正负，通常下面方法：通过配方变为“ 一个完全平方式+正数”；或变为“ -（ ）2 –正数”.解答过程略例3 （1）已知关于x 的方程3x 2+6x-2=0的两根为x 1 ，x 2，求2111x x +的值.分析：已知方程，求两根组成代数式的值。

第3讲 根的判别式以及韦达定理新知探究：1、一元二次方程的根：有两个根，最多有两个实数根或没有实数根。

2、根的情况的判别：在)0(02≠=++a c bx ax 中，令ac b 42-=∆，其中，∆称为一元二次方程根的判别式。

（1） 当0≥∆时，_____________________________________； （2） 当0>∆时，_____________________________________； （3） 当0=∆时，_____________________________________； （4）当0<∆时，_____________________________________。

3、由求根公式可知：aacb b x a ac b b x 24,242221-+-=---=，则=+21x x _____， =∙21x x ______________。

由此得出，一元二次方程的根与系数之间存在得关系（韦达定理）： 结论1．如果)0(02≠=++a c bx ax 的两个根是21,x x ，=+21x x 即：两根之和等于_____________；=∙21x x 即：两根之积等于_____________。

4、如果把方程)0(02≠=++a c bx ax 的二次项系数化为1，则方程变形为)0(02≠=++----a acx x ， 我们就可把它写成02=++q px x ．的形式其中=p ab ，=q ac ，结论2．如果方程x 2+px+q ＝0的两个根是21,x x ，那么q x x p x x =∙-=+2121,。

则以21,x x 为根的一元二次方程（二次项系数为1）是：0)(21212=++-x x x x x x说明：（1）韦达定理成立的条件0∆≥ （2）注意公式重12bx x a+=-的负号与b 的符号的区别 【典型例题】【例1】不解方程，判断下列方程根的情况：.6232)3(;0123)2(;0345)1(222x x x x x x =+=++=--变式练习：（2013•珠海）已知一元二次方程：①0322=++x x ；②0322=--x x ．下列说法正确的是（ ）A.①②都有实数解B.①无实数解，②有实数解C.①有实数解，②无实数解D.①②都无实数解【例2】证明方程的根的情况：1、求证：无论k 取何实数，关于x 的一元二次方程：2(1)40x k x k -++-=总有两个不等实根。

一元二次方程根的判别式和根与系数关系复习课教学目标(一)提高学生对于根的判别式的运用能力；(二)提高学生对于根与系数关系的运用能力• 教学重点和难点重点：会用根的判别式及根与系数关系解题•难点：根的判别式和根与系数关系的综合题；不遗漏、不重复地列出所解问题应具备的条件•特别是容易忽略隐含条件•教学设计过程(一)复习1•已知一元二次方程ax 2+bx+c=0 (a 丰 0).(1)它的根的判别式是什么？用什么记号表示根的判别式?(b2-4ac,用△表示)(2)叙述一元二次方程根的判别式的性质•(一元二次方程 ax2+bx+c=0 (a 丰 0)当厶> 0时，有两个不相等的实数根；当厶 =0时，有两个相等的实数根；当△<0时, 没有实数根•反过来也成立，即有两个不相等的实数根时，△>0,有两个相等的实数根时，△=0 ；没有实数根时，△<0)2.(1)已知x1,x2是一元二次方程 ax2+bx+c=0(a丰0)的两个根，那么 x1+x2=?,x1 x2=?(2)上述性质的逆命题怎样叙述？此逆命题是否成立？I如果口工①一牛一;t二次方律西两帳之杓沟-—,两根之机为丄，那艺这^一无二吹计①afli Kj'十虹十亡匸0仃吝0)此邊命題赴戒豆的｝3•对于根的判别式和根与系数关系的性质，我们从正、反两方面 (即原命题与逆命题)都知道了，并初步做了有关练习，但涉及这两个性质的综合性较强的问题，还需要训练•(二)综合举例例1当m分别满足什么条件时，方程2x2-(4m+1)x +2m2-1=0,(1)有两个相等实根；(2)有两个不相实根；(3)无实根；(4)有两个实根•2 2解：= (4m+1 -4 X 2X(2m2-1 ) =8m+9(1)当厶=8m+9=0即m=--时，方程有两个相等的实根；8(2)当厶=8m+>0，即m>-9时，方程有两个不等的实根；8(3)当厶=8m+9< 0，即m< - 9时，方程没有实根•8例2求证：关于x的方程x2+(m+2)x+2m-仁0有两个不相等的实数根。

每个人都有潜在的能量，只是很容易被习惯所掩盖，被时间所迷离，被惰性所消磨！分式方程，根的判别式，根与系数的关系（韦达定理）【典型例题】【例1】1.用换元法解方程1222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ，若设x x y 2+=，则原方程可化为（ ）A 012=+-y yB 012=++y yC 012=-+y yD 012=--y y 2.用换元法解分式方程2221x x x x++=+时，如果设2y x x =+，那么原方程可化为关于y 的一元 二次方程的一般形式是 ．3.用换元法解分式方程222(1)671x x x x ++=+时，如果设21x y x+=，那么将原方程化为关于y 的一元 二次方程的一般形式是（ ）A 22760y y -+=B 22760y y ++=C 2760y y -+=D 2760y y ++=4.解方程：1122x x +=+ 5.解方程：22321011x x x x x --+=--6.解方程：221122x x x x ⎛⎫++=+ ⎪⎝⎭7.设23111x A B x x ==+--，，当x 为何值时，A 与B 的值相等？题1:1. 用换元法解方程1222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ，若设x x y 2+=，则原方程可化为（ ）A 012=+-y y B 012=++y y C 012=-+y y D 012=--y y2.用换元法解方程1222=⎪⎭⎫ ⎝⎛+-⎪⎭⎫ ⎝⎛+x x x x ，若设x x y 2+=，则原方程可化为（ ）A 012=+-y y B 012=++y y C 012=-+y y D 012=--y y 3.若关于x 的分式方程121m x -=-的解为正数，则m 的取值范围是（ ）A 1m >-B 1m ≠C 1m >且1m ≠-D 1m >-且1m ≠4.解方程：32211x x x +=-+ 5.解方程：11322x x x -+=--6.解方程：22(2)3(2)20x x x x++-+= 7.解方程：120112x x x x -+=+-【例2】1.方程7339722-=++x x x 根的判别式的值是__________． 2.下列一元二次方程中，没有实数根的是（ ）．A 2210x x +-= B 220x ++= C 210x ++= D 220x x -++= 3. 已知关于x 的方程01)12(2=-+++k x k x ，则下列结论正确的是（ ）．A 该方程有两个不相等的实数根B 该方程有两个相等的实数根C 该方程没有实数根D 上述三种情况都有可能4. 若关于x 的方程0122=+-+m x x 无实数根，试判断关于x 的方程0122=-++m mx x 的根的情况．5.若关于x 的分式方程3131+=-+x ax 在实数范围内无解，则实数=a _____. 题2:1. 不解方程，判别方程05752=+-x x 的根的情况是（ ）．A 有两个相等的实数根B 有两个不相等的实数根C 只有一个实数根D 没有实数根 2.方程30)3)(7(=--x x 的根的情况（ ）A 没有实数根B 有实数根C 有两个不相等的实数根D 有两个相等的实数根 【例3】1．若关于x 的一元二次方程2210kx x -+=有实数根，则k 的取值范围是（ ） A 1k < B 1k ≤ C 1k <且0k ≠ D 1k ≤且0k ≠ 2．关于x 的方程032)1(2=+++-k kx x k 有两个不相等的实数根，则k 的最大整数值是（ ）A 0B 1-C 1D 2 3.关于x 的方程22(1)2(1)10m x m x -+--=只有一个实数根,则m _________. 4.若关于x 的方程01122)1(2=++--x m x m 有实数根，求m 的取值范围．5.求证：不论m 取何值，关于x 的方程074)1(3222=--+-+m m x m x 总有两个不相等的实数根．6.若二次三项式k x x -+842在实数范围内能分解因式，则k 的取值范围为___________． 7.若二次三项式28x x k +-是一个完全平方式,则k =_________.8.若关于x 的二次三项式m x m x m ++-+)2()2(2是一个完全平方式，求m 的值．9.如果一元二次方程02=++c bx ax 的两个根是1x 、2x ，那么二次三项式c bx ax ++2分解因式的结果是( )A ()()212x x x x c bx ax --=++B ()()212x ax x ax c bx ax --=++C ()()212x x x x a c bx ax ++=++D ()()212x x x x a c bx ax --=++ 10.方程2111x x k x x x +=-+-有两个不相等的实数根，则k 的取值范围是________． 11.若方程组205x y x y k⎧-=⎨+=⎩有两组相同的解，求k 的值．12.已知方程2(3)30x k x +++=和210x x ++=有且只有一个相同的实数根，求k 的值和这个相同的实数根.题3: 1. 已知方程0)12(22=++-m x m x 的根的判别式等于9，则m 的值_________． 2.若关于x 的方程0122=+-x kx 有两个实数根，则k 的取值范围是（ ）A 1k <B 1k ≤C 1k <且0k ≠D 1k ≤且0k ≠3.已知：c b a ,,是ABC ∆的三边，求证：关于x 的方程0)()(262=-+--+c b a x c a x 有两个不相等的实数根．4.已知x 为实数，且()033922=+-+x x xx ，那么x x 32+的值为（ ） A 1 B －3或1 C 3 D －3或35.如果方程组⎩⎨⎧=+--=+01242y x y ya x 无实数解，则a 的取值范围是（ ）．A 2=aB 3≥aC 2>aD 以上都不是 6.若关于x 的方程()0471222=-+-+k x k x 有两个相等的实数根，则k ＝ ． 7.二次三项式,2432k x x +-当k 为何值时,在实数范围内（1）能分解因式；（2）不能分解因式；（3）能分解成一个完全平方式,并写出这个完全平方式．8.在实数范围内，1842++x x 可以分解为（ ） A ()()3232++-+x x B ⎪⎪⎭⎫⎝⎛---⎪⎪⎭⎫⎝⎛+--232232x x C ()()322322++-+x x D()()32232241++-+x x 9.关于x 的一元二次方程032)1(2=+++-m mx x m 有两个不相等的实数根，求m 的最大整数值．10.如果方程032)1(2=+--x x k 有两个不相等实数根,那么k 的取值范围为________． 11. 若关于x 的方程22(1)2(2)10m x m x --++=有实数根,求m 的取值范围.12.若关于x 的方程068)12(2=+--x x k 有实数根，则k 的取值范围为____________． 13.k 取何值时：关于x 的方程022)1(2=+++-k kx x k(1)有两个不相等的实数根 (2)有两个相等的实数根 (3)没有实数根?（4）只有一个实数根.14.当___k 时,方程组24210x y x y x k ⎧--+=⎨=-⎩有两个不相等的实数根．15.无论m 取任何值,关于x 的一元二次方程03)7(92=-++-m x m x 永远有两个不相等的实数根．16.若方程0322=-++k x x 有两个相等实根,则方程032=-+-k x kx 的根的情况为（ ）A 两不相等实根B 两相等实根C 无实根D 不能确定 17.在实数范围内分解因式：22--2x x ＝___________________．18.关于x 的二次三项式322-+-a ax x 是完全平方式,则a 的值为（ ）A 2B 4C 6D 2或6【例4】1.一元二次方程0132=--x x 的两根为1x ,2x , 则1x +2x 、21x x 的值分别是（ ） A 3、1B 3-、1-C 1-、3D 3、1-2.若12,x x 是方程22410x x -+=的两个根，则2112x x x x +的值为（ ） A 6 B 4 C 3D23 3.若两个数的和为5，积为6，则以这两个数为根的一个一元二次方程是（ ）A 0652=+-x x B 0652=--x x C 0652=++x x D 0652=-+x x 4.两个实数根的和是3的一元二次方程是（ ）A 0432=+-x x B 0432=-+x x C 0432=--x x D 0432=++x x5. 已知0,0p q <<,则一元二次方程20x px q ++=( )A 一定有一个正实根和一个负实根,并且正实根的绝对值大.B 一定有一个正实根和一个负实根,并且负实根的绝对值大.C 一定有两个实根,它们互为想反数.D 不一定有实根.6.已知,m n 是不相等的常数, 且2210,m m --=2210,n n --=则m n +的值是___________.7.若0>>>c b a ，一元二次方程0)()()(2=-+-+-a c x c b x b a 两实根中较大的实根等于多少？请加以证明．8.已知方程2(1)(2)0x m x m +-+-=的一个根小于1，而另一个根大于1，则m 的取值范围是多少？9.已知方程22320x x k -+-=，k 为实数且0k ≠，证明：此方程有两个实数根，其中一个大于1，另一个小于1。